概率统计总复习资料
注：(1) 以下是3学分、4学分、4.5学分考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；(2)四学分包含所有3学分内容；(3)4.5学分包含所有4学分内容；(3)注明“了解”的内容一般不考．
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义
2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义
3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式
4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质．
5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的概率分布．
6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质．
7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算
8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的概率分布或概率密度．
9、会求分布中的待定参数．
10、会求边沿分布函数、边沿概率分布、边沿密度函数，会判别随机变量的独立性．
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算．(四学分)
12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率．
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法．(四学分)
14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差．会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差．
15、较熟练地求协方差与相关系数.
16、了解矩与协方差矩阵概念．会用独立正态随机变量线性组合性质解题．
17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题．
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t分布、F分布及其上百分位点及双侧百分点概念．19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理（不要求背，考试时定理内容可列在试卷上）；会用矩估计方法来估计未知参数．
20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法．
21、会求单正态总体均值与方差的置信区间．会求双正态总体均值与方差的置信区间．
χ检验法、F检验法解题．(三学分23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、2
只考两个正态总体均值与方差的检验法)．
24、掌握两个正态总体均值与方差的检验法．(四学分)
(以下内容仅仅针对4.5学分考试，3、4学分不作要求)
25、掌握随机过程的概念，掌握随机过程的分布函数和数字特征．
26、掌握独立增量过程、正态过程、维纳过程的判断方法．
27、了解严平稳过程，掌握宽平稳过程的判断和基本性质．
28、了解圴方极限与圴方积分、时间均值与时间相关函数的概念，了解各态历经性的判定定理．
29、了解时间函数的功率谱密度，掌握平稳过程的功率谱密度概念，掌握功率谱密度的基本
性质，了解互谱密度及其性质． [模拟试卷1(3学分、4学分)] 一、（9分）现有10张卡片，分别标有号码1，2…，10，今从中任意抽取出三张卡片．求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）中间号码为5的概率． 二、（9分）已知P （A ）=0.5,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,求下列概率：)|(),|(),|(B A P B A P B A P ． 三、（12分）设随机变量X 的概率密度函数为f(x)=αe -|x|
(-∞ 五、（10分）设X 是一个随机变量，试证明对任意常数c ，有D （X ）≤E[（X -c ）2 ]，并由 此证明：对取值于区间[a,b]内的随机变量X ，有4 )()(2a b X D -≤ 六、（15分）假设某校学生的数学能力测试成绩X 与音乐能力测试成绩Y 具有如下形式的概率密度函数； ?? ???≤≤≤≤+=其它,01 0,10),32(52 ),(y x y x y x f （1）试求)(x f X 与)(y f Y ，并判断X 与Y 是否相互独立？ （2）试求X 与Y 的相关系数XY ρ，并判断X 与Y 是否不相关？ 七、（10分）检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒时间，有的产品可能要复查一次 而再花10秒时间．假定每一件产品需复查的概率为0.5，求在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率． 附：Φ（1.37）=0.9147，Φ（1.38）=0.9162 八、（15分）设),(~2σa N X ，a 已知，2 σ未知，（X 1，…，X n ）为样本，（x 1,…,x n ）为样本观察值，求2 σ的极大似然估计，判断它是否2 σ的无偏估计，并计算出它的方差． 九、（12分）设),(~2σa N X ，a 和2 σ未知，12(,,,)n x x x 为样本12,,,n X X X 观察 值．（1）试写出检验a 与给定常数a 0有无显著差异的步骤;(2)试写出检验2 σ与给定常数20 σ比较是否显著偏大的步骤．（要求写出步骤序号）． [模拟试卷2(3学分、4学分)] 一、填空：（每题5分） 1.若事件A 与B 相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.25,则P(A-B)=_________; P(A B)=___________. 2.设总体X 服从N (a ,22)分布，（X 1,X 2,...X n )是来自此总体的样本，X 为样本均值，试问 样本容量n >_________,才能使E(|X -a |2)≤0.1 二、选择填空：（每题5分） 1.设两个独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)则_______ (A) P{X +Y <0}=0.5 (B) P{X + Y <1}=0.5 (C) P{X -Y <0}=0.5 (D) P{X - Y <1}=0.5 2.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X +Y)=D(X)+D(Y)是X 和Y________ (A)不相关的充分条件，但不是必要条件． (B)独立的充分条件，但不是必要条件． (C)不相关的充分必要条件． (D)独立的充分必要条件． 三、(12分）在射击室里有9支枪，其中经试射的有两支，试射过的枪的命中率是0.8,未试射过的枪的命中率为0.1．今从射击室里任取一枪，发射一次结果命中了．求“所取枪是已经试射过” 的概率． 四、(12分）设随机变量X 的分布列为 P{ X =k}= 2k a k=1,2,... 求： (1)参数a. (2)P{ X >4} (3)Y=2X +1的分布列． 五、(12分）设随机变量X 与Y 独立且均在(-1,1)区间上服从均匀分布，求： (1) P { X +Y<1}; (2) F(0.5,-0.5) 六、(12分）已知(X ,Y)的概率密度函数为 ? ??<<<<+=其它01 0,10),(y x y x y x f 求：（１）相关系数XY ρ；（２）判断X 与Y 的独立性． 七、(10分）某工厂有100台同类机器，各台机器发生故障的概率均为0.2,假设各台机器工 作是相互独立的，设一台机器需一人维修，为使机器发生故障时能及时维修的概率不低于90%,问至少应配备多少名维修工人． 八、（12分）总体X 的概率密度函数为 || 1()2x f x e x σσ -=-∞<<∞， X 1, X 2,... X n 为X 的样本，求参数σ的矩估计． 九、(10分）已知某种食品每袋标准重量应为50克,现随机抽查市售的该种食品4袋测得重量如下：45.0, 49.5, 50.5, 46.5,设每袋重量服从均方差为3(克）的正态分布，试在显著性水平α=5%下检验该食品平均袋重是否合格． 附表：dt t e x x 22 21)(- ?∞-=Φπ [模拟试卷3(3学分、4学分)] 一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只．假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率β． 二、（12分）设随机变量X 的分布列为 {},1,2,2 k A P X k k == = 求：（1）参数A ；（2）}4{>X P ；（3）12+=X Y 的分布列． 三、（10分）设二维随机变量),(Y X 在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度)(s f ． 四、（12分）设),(~h a a U X +,),(~p n b Y ，且X 与Y 相互独立，试求Y X Z βα+=和Y X W βα-=的相关系数（其中α、β是不全为零的常数）． 五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率． 六、（12分）设总体X 的概率密度为 36(),0, ()0,,x x x f x θθθ ?-< 其它 ),,,(21n X X X 是取自总体X 的简单随机样本．求： （1）θ的矩估计量θ?；（2）?θ的方差?()D θ ． 七、（12分）设X 服从)1,0(N ，),,(1n X X 是来自总体X 的样本，2321)(X X X Y ++=＋2654)(X X X ++．试求常数C ，使得CY 服从2 χ分布． 八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为cm x 2.13=， 已知这批木材小头直径的标准差cm 6.2=σ，问该批木材的平均小头直径能否认为是在cm 12以上？（取显著性水平α＝0.05） 附表一： 5871.0)2222.0(=Φ,9495.0)64.1(=Φ,9505.0)65.1(=Φ,9750.0)96.1(=Φ,9826.0)108.2(=Φ [模拟试卷4(3学分、4学分)] 一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上．若每 个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？ 二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()2, 01 0, Ax x f x < ，求：（1）参数A ； （2）}35.0{< 三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差． 四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为 ,01,01 (,)0, x y x y f x y +<<< ?其它． （1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性． 五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立．已知每户每 天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布．现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 六、（8分）在总体~(12,4)X N ，从X 中随机抽取容量为6的样本16(,)X X .求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率． 七、（14分）设总体X 的密度函数为 1 ,01()0,x x f x θθ-?< 其它 其中θ是未知参数，且0>θ．试求θ的最大似然估计量． 八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布)75.0,54(N ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取05.0=α）？ 附表一： 5871.0)2222.0(=Φ,9495.0)64.1(=Φ,9505.0)65.1(=Φ,9750.0)96.1(=Φ,9826.0)108.2(=Φ,9901.0)33.2(=Φ,9929.0)45.2(=Φ，9950.0)575.2(=Φ. [模拟试卷5(4.5学分)] 一、(12分)一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球．今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率． 二、12分)设随机变量)1,1(~-U X ,求2 X Y =的分布函数与概率密度． 三、10分)设某昆虫的产卵数X 服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概 率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X 与孵化为成虫数Y 的联合分 布律． 四、(14分)设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ?? ?<<=其它, 01 ,),(22y x y cx y x f , a) 确定常数c 的值; b) Y X ,是否相互独立?为什么? c) Y X ,是否不相关?为什么? 五、(10分)一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的 比例与1/6相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？ 六、(12分)设总体X 服从二项分布，它的概率分布为 k l k k l q p C k X P -==)(,l k ,1,0=,p q p -=<<1,10， 求未知参数p 的极大似然估计. 七、(12分)某种仪器间接测量硬度，重复测量5次，所得数据是175，173，178，174，176， 而用别的精确方法测量硬度为179（可看作硬度的真值），设测量硬度服从正态分布，问此种仪器测量的硬度是否显著降低（05.0=α）？ 八、(10分)已知随机过程)(t X 的均值t t X =)(μ，协方差函数21211),(t t t t C XX +=，试求 t t X t Y sin )()(+=的均值)(t Y μ和协方差函数),(21t t C YY . 九、(8分)设)(t X 是平稳过程，且)(t X μ=0，||1)(ττ-=X R ，（|τ|≤1），Y = ?1 )(dt t tX ， 求)(Y E 和)(Y D . 附：995.0)575.2(=Φ,99.0)33.2(=Φ,1318.2)4(05.0=t ,7764.2)4(025.0=t . [模拟试卷6(4.5学分)] 一、(10分)某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率． 二、(10分)某种晶体管寿命服从均值为0.001的指数分布(单位是小时)．电子仪器装有此种晶体管5个，并且每个晶体管损坏与否相互独立．试求此仪器在1000小时内恰好有3个晶体管损坏的概率． 三、(10分)),(~ππ-U X ,求)(X COS Y =的密度函数． 四、(12分) 且知X 与Y 独立，（1）求α、β的值．（2）令，求与Z 的相关系数. 五、(10分)设X 与Y 的联合密度函数为 求P(X+2Y<1) 六、(14分)设随机变量)9,2(N X -～，Y 在区间() 4,2-上服从均匀分布，令 4Y 2X XY Y 4X 3U 22-+--+= (1)若X 与Y 相互独立，求)U (E ；(2) 若X 与Y 的相关系数为4.0XY -=ρ，求)U (E 七、(12分)设总体X 服从几何分布，其分布列为.,2,1)1()(1 =-?==-x p p x X P x n X X ,1 为X 的一个样本． (1) 求未知参数p 的极大似然估计． (2)求p 1=θ 的极大似然估计并验证所得估计量的无偏性． 八、(10分)某卷烟厂生产甲、乙两种烟，分别对它们的尼古丁含量（毫克）作了六次测定，得子样观察值为 甲：25 28 23 26 29 22； 乙：28 23 30 25 21 27． 检验它们的方差有无显著差异（1.0=α）． 九、(12分)设Z （t ）=Xcos2πt+Ysin2πt,其中X ，Y 为两个随机变量，且E （X ）=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1,E(XY)=0．证明：随机过程Z （t ）是一个平稳过程． 附表：αα=>)),(),((m n F m n F P ,05.0)79.3)7,7((=>F P 05.0)05.5)5,5((=>F P ,05.0)28.4)6,6((=>F P ,025.0)82.5)6,6((=>F P [模拟试卷1答案(3学分、4学分)] 一、:设A i ={第i 个问题},i=1,2,3 )3(12 13)()1('310 353 1025 1==?= C C A A A p ；)3(201)()2('3 1035352=-=A A A A p ； )3(101 )()3('310 1 8193==A A A A p 二、解：3 2 6.04.0)()()|()1(=== B P AB P B A P (3')；31)(1)|()2(=-=IB A P B A P (6') ) (1)(1)()()|()3(B P B A P B P B A P B A P --= = =43 6.014.06.05.01)(1)(1=-+--=--B P B A P (9') 三、解: 122 )(1)1(===?=-+∞∞ -+∞ ∞-? ααdx e dx x f x 2 1=∴α (3') ????? e o x dt t e x o dt t f x x F χ???? ?>-≤=-o x e o x e x x ,2 1 1,21 02 21)(1 )()3(+∞ -∞+= ∞ -∞ ++??-dx xe dx x xf X E x ?∞-∞+= =-+dx x f x X E X E X E X D )()()()(1)(22 2 2?=∞++-22222dx e x o x 四、解:由?? ?????????∈=?∈=)3,0(,0) 3,0(,31 )(,)1,0(,0)1,0(,1)(y y y f x x x f Y x 及X 与Y 独立得,(X,Y)的联合密度函数为 )()(),(y f x f y x f Y x =?? ???∈∈=其它,0) 3,0(),1,0(,31 y x )3(' 则 dy y f y f f Y x )()((-∞-∞+=?Z αα)2('????? ? ???????≥<<-≤<-≤<'≤=? ??4,43,31 1331,31 11,31,Z o z dy z z dy z z z o dy o z o z o =???????? ???<≤-<≤<<其它 ,43,313431,311,31 o z z z z o z )5(' 五、证明:(1) ()[ ]()[]{} 2 2 ))(()(2C X E X E X E C X E -+-+- []{}[][]{})()(2)(22 X E X C X E E X E X E --+-+[]2 )(C X E -+ [])()()(22 X D C X E X D ≥-++ (2)若X 是取值于[a,b]间内的随机变量,则?? ? ???+-≤+2)2(1) (b a X E X D 由2222a b b a b a X -=-≤++-得4)(121)(22 a b a b E X D -+??? ???????? ??-≤+ 六、解: (1) ?? ???≤≤+=+=?其它,1,53 54)32(5201)(o x o x dy y x x f x )2(' ??? ????≤≤+=+=?其它,010,5 6 52)32(5201)(y y dx y x y f Y )2(' )()(),(y f x f y x f Y x ≠ )2('不独立与Y X ∴ )1(' (2) ??=+= 30 17 )32(520101)(dxdy Y X X X E )1(' ?=+= 5 3 )5652(01)(2dy y y Y E )1(' ??=+=3 1 )5654(0101)(dxdy y x xy XY E )1(' 150 1 )()()(),(- =-=Y E X E XY E Y X COV )2(' ?=+= 52 )5354(01)(252dx x x X E ?=+= 30 13)5652(01)(322dy y y Y E []90071)()()(2 2 = -=X E X E X D [] 150 11)()()(2 2 =-=Y E Y E Y D 0876.0) ()(),(-== Y D X D Y X COV XY ρ )2(' 所以,X 与Y 相关. )1(' 七、解:设X 表示1900件的需复查数,)2('则X~B(1900,0.5))2('.设A 表示8小时内检验员 至少能检查1900件,则{}3600 810101900)(?<+?=X P A P )2('{}980<=X P )2(' ??? ? ??==???-≈9162.0)376.1(5.05.019005 .01900980φφ )2(' 八、.解: (1)()2 2 2 2 2)(21 1 );(1 ααππ απα a x e i n xi f i n L i --==== ( ) .1 )(21 2222 2=--=∑-i a x n e i n α πα )2(' 2 2 22)(121)2ln(2)(ln a x i n n L i -=∑--=σ πσδ )2(' 令 0)(1 21222)l n (2 4 222 =-=∑+?-=a x i n n d d i σ πσπσσ )2(' 得 22)(1 1a x i n n i -=∑=∧σ )2(' (2) () 22 2 2 2?()1i n x a E E n n n i σσσ σσ??-??=∑=?=????=?? )3(' 22 ?σ σ∴是的无偏估计 )1(' (3) 2(1) 24422?()(2)()1i n x ax D D n n n n i σσσσσ??-??'∑=?=????=?? )1(' 九、解: (1) a a H a a H ≠=:,:.11提出假设)2(' () * -= s n a x t 选取统计量.2)1(' 查表求临界对给家的显著性水平,.3α )1(2 -n t α)1(' .4 计算 () .* -= s n a x t )1(' .5 判断 若),1(2 ->n t t α拒绝; H 反之,接受. H )1(' (2) 20 21202:,:.1σσσσ>≤H H 提出假设 )2(' ()2 2 2 1.2σ*-= s n x 选取统计量 )1(' )1(,.32 -n x αα查表求临界值对给家的 )1(' .4 计算.)1(,2 2 2 2σ *-= s n x x 值 )1(' .5 判断 若),1(2 2- [模拟试卷2答案(3学分、4学分)] 试卷编号：11022601001 一、1．525.0)(375 .0)(==-B A P B A P （5分） 2．n >40 （5分） 二、1．B （5分）；2.C （5分） 三、1.设A ——发射一次命中 H 1——所取的枪试射过 H 2——所取的枪未试射过 （2分） 由题意，9 7 )(,92)(,1.0)/(,8.0)/(2121====H P H P H A P H A P （8分） 由贝叶斯公式： ) ()/()()/() ()/()/(2211111H P H A P H P H A P H P H A P A H P += （11分）2316= (12分) 四、（1）由 ∑∞ ==112k k a （2分）解出a =1 （4分） （2）∑∞ ==>521}4{k k X P （6分）161 2 11251 =-=（8分） （3）}{}12{k X P k Y P ==+= （10分） ,2,1,2 1 2===k a k k （12分） 五、由题意，?? ?<<=?? ?<<=其它其它0 1 01)(,0101)(y y f x x f Y X 且X 与Y 独立，故 ? ? ?<<<<=其它01 0,101),(y x y x f （2分） （1）?? = +G dxdy y x f Y X P ),(}1{ （4分）?? -=10 10 x dy dx （6分）2 1 = （8分） （2）}5.0,5.0{)5.0,5.0(<<=Y X P F （10分） 4 1 5 .00 5 .00 = =? ?dy dx （12分） 六、（1）) ()() ,cov(Y D X D Y X XY = ρ （2分） ??? ?= +== +=1010101 0127 )()(127 )()(dxdy y x y Y E dxdy y x x X E （5分） ??=+=101031 )()(dxdy y x xy XY E （6分） 144 1 12712731),cov(-=?-=∴Y X （7分） 14411 )127(125)()(12 5)()(125)()(2101022 101 022 = -==∴= +== +=??? ?Y D X D dxdy y x y Y E dxdy y x x X E 故 11 1- =XY ρ （10分） （2）0≠XY ρ ∴X 与Y 不独立． 七、设应配备n 名维修工人，且某时刻有X 台机器发生故障，则N ~B （100，0.2） （3分） 令 9.0}{≥≤n X P （5分） 由中心极限定理 （6分） 9.0)4 20 ( }{≥-Φ≈≤n n X P （8分） 量表得 28.14 20 ≥-n 12.25≥∴n （10分） 即至少应配备26名维修工人． 八、02)(| |==?∞ ∞--dx e x X E x σ σ （2分） dx e x X E x ?∞ ∞--=σ σ | |2 2 2)(（4分） 2 2 2σσ σ ==- ∞ ? dx e x x （6分） 由题意2 ) (02X E = ∴σσ （8分） 由∑==n i i X n X E 1 22 1)(? （10分） ∑==∴n i i X n 1 2 21?σ （12分） 注：求极大似然估计者按满分5分计算． 九、设X ——袋重，X ~N （μ，32） 50:;50:10≠=μμH H （2分） H 0下，)1,0(~4 /350 N X U -= （4分） 水平a =0.05的拒绝域为96.1||025.0=≥u U （6分） 这里875.47=x ,由96.1417.1||<=u ,则接受H 0． （8分） 认为平均袋重合格． （10分） [模拟试卷3答案(3学分、4学分)] 一、解：设事件A 表示“顾客买下该箱”，i B 表示“箱中恰好有i 件次品”，2,1=i ．则 8.0)(0=B P ，1.0)(1=B P ，1.0)(2=B P ，1)|(0=B A P ，54 )|(4204 191==C C B A P ， 19 12 )|(4204182==C C B A P ． （1） 由全概率公式得 ∑==? +?+?===2 94.019 12 1.0541.018.0)|()()(i i i B A P B P A P α； （2） 由贝叶斯公式 85.094 .01 8.0)()|()()|(000=?== =A P B A P B P A B β． 二、解：(1)由12 1=∑ ∞ =k k A ，得A =1； （2）∑∑∞ =∞ =+===>50 5161 2121}4{k l k k X P ； （3）,...2,1,2 1 }{}12{== ==+=k k X P k Y P k ． 三、解：二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ??????∈=, ),(,0, ),(,2 1 ),(G y x G y x y x f 设}{)(s S P s F ≤=为S 的分布函数，则 当0≤s 时，0)(=s F ；当2≥s 时，1)(=s F ． 当20< }{1}{}{)(s XY P s XY P s S P s F >-=≤=≤= )ln 2ln 1(2211),(11 2 s s dy dx dxdy y x f x s s s xy -+=-=-=????>． 则 ?? ???<<-=.,0.20),ln 2(ln 21 )(其它s s s f 四、解：)1(12/)()()()(22222p np h Y D X D Y X D Z D -+=+=+=βαβαβα， )1(12/)()()()(22222p np h Y D X D Y X D W D -+=+=-=βαβαβα， ) 1(12/),cov(),cov(),cov(),cov() ,cov(),cov(22222p np h X Y Y X Y Y X X Y X Y X W Z --=+--=-+=βαβααββαβαβα 则 )1(12/) 1(12/) ()() ,cov(2 2 2222p np h p np h W D Z D W Z ZW -+--==βαβαρ 五、解：设这批种子发芽数为X ，则)9.0,1000 (~B X ，由中心极限定理得 所求概率为 }880{≥X P 9826.0)108.2()108.2(1)90 900 880( 1=Φ=-Φ-=-Φ-=． 六、解：（1）2 )(6)()(0 3 2 θ θθθ = -== ? ?+∞ ∞ -dx x x dx x xf X E ． 令 X =2 θ，则得θ的矩估计量为X 2?=θ ． （2）由于10 3)(6)()(2 03 3 2 2 θθθθ =-== ? ?+∞ ∞ -dx x x dx x f x X E 20 2103)]([)()(2 222 2 θθθ=-=-=X E X E X D 则n X D n X D X D D 5)(4)(4)2()?(2 θθ====． 七、解：根据正态分布的性质知 )3,0(~321N X X X ++，)3,0(~654N X X X ++， 则)1,0(~3/)(321N X X X ++，)1,0(~3/)(654N X X X ++， 从而)1(~ ]3/)[(22321χX X X ++，)1(~]3/)[(22654χX X X ++， 又由于,,,321X X X ，654,,X X X 相互独立及2 χ分布的可加性知 2321]3/)[(X X X ++＋)2(~]3/)[(22654χX X X ++， 则当3 1 = C 时，CY 服从2χ分布． 八、解：检验假设 cm H 12:00=≤μμ，01:μμ>H 由于显著性水平α＝0.05，查表得05.0z z =α＝1.645． 因为 615.4100 /6.2122.13/0 =-= -= n x u σμ>1.645=05.0z z =α 则拒绝原假设cm H 12:00=≤μμ，即在显著性水平α＝0.05下，认为该批木材的平均小头直径在12cm 以上． [模拟试卷4答案(3学分、4学分)] 一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上．若每 个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？ 解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S 中的样本电数μ[S ]= 350C ?3 47C ?…?3 23C ． 设A i =“3个次品铆钉恰好用在第I 个部件上”，i=1、2、…、10 A =“3个次品铆钉恰好用于同一部件” A i 中的样本点个数μ[A i ]= 347C ?346C ?…?3 23C ，P(A i )= μ[A i ]/μ[S ]=1/19600． P(A )= ∑ =101 )(i i A P =1/1960． 二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()? ??<<=其他 ,01 0, 2x Ax x f ，求：（1）参数A ； （2）}35.0{< ?? ??????∞ -∞ -∞ -∞ ∞ -==<<=≤= <===<<=? ==x x x x x tdt dt t f x dt t f x dt t f x X p xdx dx x f x p A Axdx dx x f 20 35.01 5 .01 2)(100 )(0)(}{)3(75 .02)(}35.0{)2(1 1 2)(时，当时，当 三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差． 解：由题意，),(Y X 的密度函数为 ?? ?≥+≤≤≤≤=,, 0, 1,10,10,2)(其它y x y x x f 则 ?? ?<<=?? ???<<==?? -∞ +∞ -其它其它,01 0,2,010,2),()(1 1x x x dy dy y x f x f x X 得 ;2 12;3 2 21 321 2= == = ? ? dx x EX dx x EX 则 18 1)(22= -=EX EX DX 同理，18 1 ,32==DY EY ． 则 36 19412532322),cov(1 11 -=-=?- =?-=??-x ydy xdx EY EX EXY Y X ． 则 18 1 362181181),cov(2)(=-+= ++=+=Y X DY DX Y X D DU ． 四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为 ?? ?<<<<+=其它, 01 0,10,),(y x y x y x f ． （1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性． 解：（1）) ()(),cov(Y D X D Y X XY = ρ ????= +== += 10101 01 127 )()(127 )()(dxdy y x y Y E dxdy y x x X E ?? = += 10 1 3 1)()(dxdy y x xy XY E 144112712731),cov(-=?-= ∴Y X ?? = += 1 1 22 12 5 )()(dxdy y x x X E 14411 )127(125)()(12 5 )()(21 01 22= -==∴= += ??Y D X D dxdy y x y Y E 故11 1- =XY ρ （2）0≠XY ρ ∴X 与Y 不独立． 五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立．已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布．现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 解：设1000户居民每天用电量为X 度，则由中心极限定理，),(~DX EX N X ，其中 =EX 1000×10=2000，DX =3 10000 100012202=?．再设供应站需供应L 度电才能满足 条件，则 99.0)3 /1000002000(}{=-Φ=≤L L X P 即 33.23 /1000002000=-L ，则L=2426度． 六、（8分）在总体)4,12(~N X ，从X 中随机抽取容量为6的样本),(61X X .求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率． 解：设总体由题意：)3/2,12(~N X ，则)3/2,0(~N EX X -，所求概率为 )]3/2/2()3/2/2([1}2|{|1}2|{|-Φ-Φ-=<--=>-EX X P EX X P ＝)]4495 .2(1[2Φ-＝0.01． 七、（14分）设总体X 的密度函数为 ? ? ?<<=-其它,01 0,)(1x x x f θθ 其中θ是未知参数，且0>θ．试求θ的最大似然估计量． 解：设n x x x ,,,21 是X 的子样观察值，那么样本的似然函数为 ∏=-=n i i n x L 1 1 )(θ θ θ， 就有 ∑=-+=n i i x n L 1 ln )1(ln )(ln θθθ， 于是，似然方程为 0ln )(ln 1 =+=∑=n i i x n d L d θθθ， 从而，可得 ∑=- =n i i X n 1 ln ?θ 八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布)75.0,54(N ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 55.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取05.0=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ已知，故用-U 检验法，由05.0=α，查正态表得临界值 96.1=αz ，由样本值算得 94.1,46.54==u x 因为96.1 5871.0)2222.0(=Φ,9495.0)64.1(=Φ,9505.0)65.1(=Φ,9750.0)96.1(=Φ,9826.0)108.2(=Φ,9901.0)33.2(=Φ,9929.0)45.2(=Φ，9950.0)575.2(=Φ. [模拟试卷5答案(4.5学分)] 一、一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球．今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率． 解：以三个球相应号码的组合为样本点构成样本空间S ，则样本空间S 中的样本点个数 μ[S ]=3 10C =120． 设 事件 A =“最小号码为5”， B =“最大号码为5”， C=“一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5”． A 中的样本点个数μ[A ]= 36C －3 5C =10， P(A )= μ[A ]/ μ[S ]=1/12， B 中的样本点个数μ[B ]= 35C －34C =6， P(B )= μ[B ]/ μ[S ]=1/20， C 中的样本点个数μ[C ]= 14C 15 C =20， P(C )= μ[C ]/ μ[S ]=1/6. 二、随机变量)1,1(~-U X ,求2 X Y =的分布函数与概率密度． 解：()??? ??<<-=其它 112 1 x x f X ,且2)(x x g y ==, ()()dx x f y F y x X Y ?≤=∴2???????≥<<≤=?-11 1 02 1 00 y y dx y y y ?? ???≥<<≤=1 11000 y y y y , ?? ? ??<<==其它 01021)(')(y y y F y f Y Y . 三、设某昆虫的产卵数X 服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8, 且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X 与孵化为成虫数Y 的联合分布律． 解：本题已知随机变量X 的分布律为 {}50 ! 50-==e i i X P i , ,2,1,0=i 由题意易见，该昆虫下一代只数Y 在i X =的条件下服从参数为i ,0.8的二项分布,故有 j i i j i C i X j Y P -===2.08.0}|{，i j ,...,1,0= 由{}{ }{}i X P i X i Y P j Y i X P ======|,,得),(Y X 的联合分布律为： 50 ! 502 .08.0},{--===e j C j Y i X P i j i j j i ，i j i ,,1,0;,1,0 ==. 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02， 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第一章 随机事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0 )()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))0(,,()()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=) /()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P == 应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。 4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ）。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B - 与A 的关系是（ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率； （2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P （2）由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛 后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。 看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16 同济大学 09 学年 第一学期 专业 级《 概率统计 》期中试卷 考试形式：（ 闭卷 ） 一、填空题（共 30 分，每空2分）： 1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 . 2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P ，则() =B A P . 3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 . 4．设随机变量X 的分布函数()??? ?? ??≥<≤<≤--<=31318 .0114 .010x x x x x F ，则X 的分布列为 . 5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从 分布，其数学期望为 ，方差为 . 6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4 12= >k X P . 7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY . 8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()?? ?>-<≤≤-=2 ,20 2225.0x x x x f ，则X 服从 分布，设随机变量 12+=X Y ，则=EY . 二、选择题（共10 分，每小题 2 分） 1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ） （A ）()0>A B P （B ）() ()A P B A P = （C ）() 0=B A P （D ）()()()B P A P AB P = 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 四川大学期末考试试题 （2008-2009学年第二学期） 一、单项选择题（每空2分，共10分） 1.设事件A 和B 独立，且,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=)(B A P Y （ ） (A)0.8 (B)0.5 (C)0.65 (D)0.95 2.设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=---x e x f x x ,61 )(625102π则 E(X)=（ ） (A)5 (B)3 (C)-3 (D)-5 3.设X 有分布函数),(x F 令53-=X Y ,则Y 的分布函数为（ ） (A)??? ??+3531y F (B))53(+y F (C) )353(-y F (D) ?? ? ??+35y F 4.设总体n X X X ,,,21Λ是独立同分布的随机变量序列，均服从参数为1的指数分布，令∑==n i i X n X 122 1，则?→?P X 2（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设总体3212 ,,),,(~X X X N X σμ是来自X 的样本，记 32114 14121X X X Z ++=，3212313131X X X Z ++=，2125253X X Z += 这三个对μ的无偏估计量中，（ ）最有效 (A)1Z (B)2Z (C)3Z (D)无法判断 二、填空题（每空2分，共10分） 1.一个袋子中有3个红球，2个白球，从中任取3个球，则至少取得一个白球的概率是______； 2.设), 3.0,100(~B X 由切比雪夫不等式，≥<-)10|30(|X P _______； 3.设)4 3;914,1,1(~),(-N Y X 的二维正态分布，记Y X Z 32-=,则~Z _________分布； 4.设)(~λP X ，已知1)]2)(1[(=--X X E ，则=λ__________； 5.设总体)1,0(~N X ，321,,X X X 分别是来自X 的样本， 20**~20**学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 一．（本题满分8分） 某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解： 设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分 ()()40951.010 91155 =-=-=A P A P ．…………….6分 二．（本题满分8分） 设随机事件，，满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()16 1==BC P AC P ．求随机事件，，都不发生的概率． 解： 由于AB ABC ?，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有 ()0=ABC P ．…………….2分 所求概率为() C B A P ．注意到C B A C B A ??=，因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ??-=1…………….2分 ()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 8 3 016116104141411=-+++--- =．…………….2分 三．（本题满分8分） 某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，()10< 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 期末考试试卷参考解答及评分标准 开/闭卷 闭卷 A/B 卷 A 2219002801- 课程编号 2219002811 课程名称 概率论与数理统计 _______________ 学分 J ________ 第一部分基本题 一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内) (每道选择题选对满分，选 错0分) 2?假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B( ) (A)是不可能事件 (B)是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D)是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量X,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则 X 2 + Y 2服从( ) (A)自由度为1的2分布 (B)自由度为2的2分布 (C)自由度为1的F 分布 (D)自由度为2的F 分布 答:选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 2分布。 4. 已知随机变量X,Y 相互独立，X~N(2,4),Y~N(-2,1),则( (A) X+Y~P ⑷ (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) 答:选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5,所以有 X+Y~N(0,5)。 5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体 X ，E(X)= < D(X)=-2,则有( ) 答：选B ,因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。 6. 随机变量 X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，贝U X 的数学期望E(X)的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C ,因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。 二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上) 1. 事件表达式A B 的意思是( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (C)事件B 发生但事件A 不发生 答：选D , (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (D)事件A 与事件B 至少有一件发生 ) (D) X+Y~N(0,3) 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, (A) X 1+X 2+X 3是」的无偏估计 Y + V + V (B) X1 X2 入3 是邛勺无偏估计 3 (C) X ；是二2 的无偏估计 (D) .宁严2 是■-2的无偏估计 关于经典寓言的概率分析模型 班级:电13 姓名:苗键强 学号:2011010645 摘要: 经典寓言故事中往往隐含了与数学相关的知识,本文就经典寓言故事《狼来 了》中置信概率的变化做相关分析,通过搭建的几个不同模型来对于实际问题做理 论解释? 关键词: 贝叶斯公式概率估计 引言: 伊索寓言《狼来了》向我们讲述了这样一个故事: 从前,有个放羊娃,每天都去山上放羊? 一天,他想了个捉弄大家寻开心的主意?他向着山下正在种田的村民大声 喊:“狼来了!狼来了!救命啊!”村民气喘吁吁地赶到山上帮忙,然而却发现被骗了? 第二天,放羊娃故伎重演,又欺骗了村民一次? 过了几天,狼真的来了?放羊娃再次呼救,然而村民再也不理他了。问题分析: 在这个故事中我们可以看到放羊娃的言语在村民心中的置信度是随着他说谎 的次数增加而逐渐降低的,因此本文就此构建与之相关的几个模型来对此进行相应 的解释? 模型构建: 模型一:(无视小孩模型) 记事件A为“小孩说谎”,事件B为“小孩可信”,假设村子中有N个村民(N 视为一个很大的数)? 在此模型中不考虑小孩的说谎的概率与其言语可信度之间的关系,且认为村民 之间相互不交流,其对于小孩的印象仅取决于他的初始印象和是否上过小孩的当?假 设初始状态下,村民对孩子的印象为P1(B)=0.8?同时若某一名村民上过小孩的当, 则他对于小孩的印象下降至P2(B)=0.2,若他上过两次当,则再也不会相信该小孩了? 则当小孩第一次说谎时,村民去帮忙的期望值为E1=0.8N 同时这这些村民对小孩的印象下降为P2(B)=0.2,而其余的0.2N 的村民对小 孩的印象不变? 同理可得,小孩第二次说谎时,村民去帮忙的期望值为 E2=0.8N*0.2+0.2N*0.8=0.32N,即小孩的置信度下降为0.32? 小孩第三次说谎时,村民去帮忙的期望值为 E3=(0.8*0.8+0.2*0.8)N*0.2+0.04N*0.8=0.192N,即小孩的置信度下降为0.192? 所以在此模型中,小孩说过一次谎后,村民对他的印象下降最大(E1-E2=0.48, 下降一半以上),此后则逐步下降? 模型二:(书本模型) 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或 以下解题过程可能需要用到以下数据： (1)0.8413,(1.28)0.9000,(1.65)0.9500,(2)0.9772,(2.33)0.9900Φ=Φ=Φ=Φ=Φ= 计算（总分100，要求写出解题步骤） 1．（8分）已知事件A 与B 相互独立，P(A)=0.3, P(B)=0.4。 求()P AB 和()P A B ?。 2．（10分）一个坛中有4个黑球2个白球, 先后取球两次。第一次从该坛中任取一只球，察看其颜色后放回, 同时放入与之颜色相同的2个球, 然后第二次再从该坛中任取一只球。 (1). 问第二次取出的是白球的概率为多少？ (2). 若已知第二次取出的是白球， 问第一次所取为白球的概率是多少？ 3．（10分）设随机变量X 的概率密度函数为 ,12,(), 01,0,c x x f x x x -<≤??=<≤???其它 ， 其中c 为未知常数. (1). 求c 的值. (2). 求()1/23/2P X <<. 4． (10分) 设某厂生产的灯泡寿命服从正态分布2(1200,50)N （单位：小时）。 （1）求该厂灯泡寿命超过1136小时的概率； （2）若购买该厂灯泡5只，则其中至少2只灯泡寿命超过1136小时的概率是多少？ 5．（18分）设随机变量X ，Y 相互独立同分布, 其概率密度函数均为 1,03,()30,x f x ?< 北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关 系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A， （4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (= X， 23π+=X Y 5．设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立，1X 在)5,1(-服从均匀分布，)2, 0(~22N X ，)2(~3Exp X （指数分布），记32132X X X Y +-=，则)(Y E )(Y D 6. 设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2 ,1( ),(2 2-N ~Y X ，且知8413.0)1(=Φ，则 -<+)4(Y X P 7. 已知随机变量X 的概率密度2 01()0 a bx x f x ?+<<=??其他, 且41)(=X E ，则a b ) (X D 8. 设4. 0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D =-)(Y X D 二. （10分） 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 （1）任取一个零件是合格品的概率； （2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率. 解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A .A 再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B 由已知得 .02.0)(,03.0)(;3 1 )(,32)(====A B P A B P A P A P …… 3’ （1）由全概率公式知 027.075 2 02.03103.032)()()()()(≈=?+?= +=A B P A P A B P A P B P . …… 3’ 故任取一个零件是合格品的概率73 ()1()0.973.75 P B P B =-= ≈ …… 1’ （2）由贝叶斯公式知 .4 102.03 103.03202.031 )()()()()()()(=?+??=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P …… 3’ 概率论与数理统计期中考试试题 考试时间： 2009年4月18日 9：50－11：50 一、单项选择题（18分，每题2分），请将正确答案对应的字母填在指定横线处。 1. 任何一个事件和它的对立事件之间_______________。 (A) 相容 (B) 互不相容 (C) 独立 (D) 不独立。 2. 随机变量X 的分布律：，i a a i X P )21(2}{?==L ,2,1,0=i 。则常数_______。 =a (A) 3 (B) 2 (C) 21 (D) 3 1 3. 设随机变量X 服从标准正态分布，则随机变量X Y 2=的概率密度函数是_____。 (A) )0(2182>?y e y π (B) )(24||R y e y ∈?π (C) )0(2 82 >?y e y π (D) )0(21 4 | |>?y e y π 4. 事件A,B 相互独立，且9 2)(= B A P ，)()(AB P B A P =，，则__。 )()(B P A P ≥=)(A P (A) 21 (B) 52 (C) 94 (D) 3 2 5. 如果，则+∞<<)Var(0X =??? ??????)(Var )(Var X X E X _______________。 (A) 1 (B) 0 (C) )(1X Var (D) )(X Var 6. 随机变量()2,~σμN X ，则(=?μX E )_____________。 (A) 0 (B) πσ2 (C)σ (D) 2σ7. Laplace 分布的密度函数为()x e x p ?= 21,R x ∈，其期望等于____________。 (A) 0 (B) 1 (C) e (D) 不存在 8. 假设连续型随机变量在Y X ,10,10<<< 江西财经大学 2009－2010第二学期期末考试试卷 试卷代码：03054C 授课课时：64 考试用时：150分钟 课程名称：概率论与数理统计 适用对象：2010本科 试卷命题人 徐晔 试卷审核人 何明 【本次考试允许带计算器。做题时，需要查表获得的信息，请在试卷后面附表中查找】 一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。每小题3分，共15分） 1. 设A 和B 是任意两事件，则=))()((B A B A B A Y Y Y _________ 2. 设随机变量X 的分布函数为?????≤>-=30 3 271)(3x x x x F ，则=<<)52(X P _________ 3. 设随机变量)2,1(~,)1,2(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~42+-=Y X Z _________ 4. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2和1，方差分别为1和4，而相关系数为 5.0，则根据切比雪夫不等式≤≥--}61{Y X P _________ 5. 设总体X 的密度函数为?????<<-=其他0 1)(b x a a b x f ，而n x x x ,,,21Λ为来自总体X 样本 ),,,(21b x x x a n <<Λ，则未知参数a 最大似然估计值为_________，未知参数b 最大似然估计值 为_________ 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。答案选错或未选者，该题不得分。每小题3分，共15分） 1. 设B A ,为两个随机事件，且1)(,0)(=>B A P B P ，则必有（ ） ) (}{)() (}{)()(}{)()(}{)(B P B A P D A P B A P C B P B A P B A P B A P A ==>>Y Y Y Y 2. 设随机变量()2,~σμN X ，而n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的样本，样本均值和样本修正方差分别为X 和2 *S ，1+n X 是对X 的又一独立样本，则统计量1 1+-= *+n n S X X Y n 是（ ） )(A 服从()1,0N 分布 )(B 服从)1(-n t 分布 )(C 服从)(2n χ分布 )(D 服从)1,(+n n F 分布 3. 设4321,,,X X X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，0≠=μEX ,02≠=σDX ，从无偏性、有效性考虑总体均值μ的最好的点估计量是（ ） )(A 432141414141X X X X +++ )(B 212121X X + )(C 43217 1717372X X X X +++ )(D 321313131X X X ++ 第1页 第2页 某某大学概率论与数理统计期末试卷A （20200115） 一、 单项选择(每小题3分，共30分，请用铅笔在选项框处涂黑，否则影响自动评分) A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 1. □ □ □ □ 2. □ □ □ □ 3. □ □ □ □ 4. □ □ □ □ 5. □ □ □ □ 6. □ □ □ □ 7. □ □ □ □ 8. □ □ □ □ 9. □ □ □ □ 10. □ □ □ □ 二、（8分）假定有三种投资理财的方式：基金理财、国债理财、银行存款，每种投资方式相对物价(CPI) 上涨而言都存在一定的风险。某人只选择一种投资方式，且选择上述三种投资方式之一进行投资理财的概率分别为0.4、0.3、0.3。据统计，以上各种理财方式收益赶不上CPI 涨幅的概率分别为0.3，0.2， 0.2.求此人投资收益赶不上CPI 涨幅的概率。 三、（8分）某人的一串钥匙上有3把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数X 的分布律和分布函数。 四、（10分）某旅客到达火车站的时间 X 均匀分布在早上7点55分到8点之间，而火车这段时间开出 的时间Y 的概率密度为2,05()250,Y y y f y -?≤≤? =??? （ 5）其他，求(1)此人能及时上火车的概率(2)已知在 =(05)Y y y ≤≤的条件下，X 的条件密度函数。 五、（10分）设随机变量X 与Y 独立同分布，且~(0,1)X N ，求22Z X Y =+的分布密度。 注意：学号参照范例用铅笔工整书写和填涂，上方写学号，下方填涂,一一对齐；每六点连线确定一个数字，连线不间断，不涂改；数字1可连左边或右边，请认真完成。选择题填涂选项作答，其它题须在框内作答。本卷共4页。 设123、、A A A 分布表示基金理财、国债理财、银行存款，B 为理财方式收益赶不上CPI 涨幅 3 1 ()(()0.40.30.30.20.30.20.24===?+?+?=∑)i i i P B P A P B A 所求分布律为即1 ()1,2,33P X k k ===，. 故所求分布函数为0 11 123()223 31 3x x F x x x =≤=+≤= -+=???? ?当时，Z x y z r r z r z F z P Z z P X Y z x y dxdy d e rdr e rdr 所以Z 的概率密度函数2 2 ,0()0z Z ze z f z -??>=???， 其它 概率论与数理统计复习要点： 一，如果B ?A ，则P (AB )=P (A )，但反过来不一定，由于概率为0的事件仍然有可能是“可能事件”，因此任何事件上的概率的关系通常不能够推导出事件之间的关系。 二，如果事件是用文字进行描述的，则逗号代表事件的积，“或”字代表事件的和，反义词代表事件的逆。例如，“畅销”的逆事件就是“滞销”，“A 畅销，B 滞销”是“A 畅销”与“B 滞销”二事件的积事件，“A 滞销或B 畅销”是“A 滞销”与“B 畅销”二事件的和事件，它也是“A 畅销，B 滞销”的逆事件。 三，如果X ~P ()，则X 的均值和方差都是 四，如果随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布， 221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ,则22221212~(,)Z aX bY N a b a b μμσσ=+++ 五，概率密度函数f (x )的重要性质是()d 1f x x +∞ -∞=? 六，如果随机变量X 与Y 相互独立，X ~U (a ,b ), Y ~U (c ,d ), 则它们的联合概率密度为1,,,()()(,)0,a x b c y d b a d c f x y ?<<< 1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案
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