二次函数的图像与性质专题练习
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二次函数的图像与性质专题练习
1．（）如图是二次函数y１=ａx2+bｘ+c（ａ≠０）和一次函数y２=mx+n（m≠0)的图象，当y2＞ｙ1，x的取值范围是_＿_＿＿____ ．
2．（2011?扬州）如图,已知函数y＝与y＝ax2+bx(a>0，b
＞０)的图象交于点P．点Ｐ的纵坐标为1.则关于ｘ的方程ax2+bx＋＝0的解为＿_＿______.
３.(2011?黑龙江）抛物线ｙ=﹣(x+1)2﹣1的顶点坐标为
___＿___＿_．
４.(2０１1?淮安）抛物线y=x２﹣2x+３的顶点坐标是＿___＿____ ．
５.(2010?扬州）抛物线y=2x２﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为_＿＿______.
6.(20０9?西宁)二次函数y＝﹣x２+x﹣的图象的顶点坐标
为_______＿_.
7．(2008?大庆）抛物线ｙ=﹣3ｘ2+1的顶点坐标是__＿_＿____ .
８．（2０12?牡丹江）若抛物线y＝ａx2＋bx+c经过点（﹣1，10）,则a﹣ｂ+c= _＿_＿_＿_＿＿ .
９.（2012?大庆)已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，ｙ1)，Ｂ（﹣8,ｙ2）,则ｙ1＿___＿＿＿__ y2．(用>、<、＝填空).
10.（200８?白银)抛物线ｙ=x2＋ｘ﹣4与y轴的交点坐标为____＿__＿＿.
11.(200７?黄石)二次函数y＝ａ(x﹣1)2+ｂx＋c(ａ≠0）的图象经过原点的条件是___＿_____ .
12．(２007?黑龙江）抛物线y＝x2＋bx+3经过点（３，0),则b的值为___＿_____.
１3．（2006?攀枝花)已知抛物线y＝ax2+bx+ｃ经过点(1，3)与（﹣1，5)，则ａ+c的值是_＿_＿_____．
14．若二次函数y=ｍx２﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m= __＿_____＿．
1５.抛物线y=ｘ2＋8x﹣4与直线ｘ=4的交点坐标是_________.
1６．(2012?深圳)二次函数ｙ=x2﹣2x+6的最小值是__＿___＿＿_．
１7．（2011?泉州）已知函数ｙ=﹣3(x﹣2）2+４，当x＝______＿_＿时,函数取得最大值为_＿＿____＿_．18．（2009?荆门）函数y＝（ｘ﹣2)（3﹣x）取得最大值时，x= __＿_＿__＿_ ．
19．（20０8?黄石）若实数a,b满足ａ+ｂ2=1,则2a2+7b2的最小值是__＿___＿__.
20.二次函数y＝ａx2﹣4x﹣13a有最小值﹣１7,则a=＿_＿_____＿.
２1.(２０11?济宁）将二次函数y=x2﹣4x+５化成ｙ=(x﹣h)２＋k的形式,则ｙ＝____＿____．
22.（20００?河南）用配方法将二次函数y＝4x2﹣24ｘ+２6写ｙ=a(x﹣ｈ)２+k的形式是____＿＿___ .
23.ｙ=﹣配方成y=a（x﹣h)2＋k的形式是＿
________ .
24．（2012?上海）将抛物线y＝x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是____＿＿___．
2５．（2011?昭通）把抛物线ｙ=x2+bx+c的图象向右平移３个单位,再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x+3,则b的值为＿___＿__＿_.
26.(２011?雅安)将二次函数ｙ=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位,再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为__＿____＿_.
27．（２012?宁波）把二次函数y＝（x﹣1)2+2的图象绕原点旋转1８0°后得到的图象的解析式为_＿＿_＿＿__＿．
29．（2010?黑河)抛物线ｙ=ｘ2﹣４ｘ+与ｘ轴的一个交点
的坐标为(1，0）,则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是___＿__＿__ ．
３0.（2０10?金华)已知二次函数y=﹣x２+2ｘ+ｍ的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程﹣x２+２x+m=0的解为＿＿_______．
31.(２007?天水）已知二次函数y=ax2+bｘ+c
（ａ≠0)的部分图象如图所示，它的顶点的横
坐标为﹣1,由图象可知关于ｘ的方程ax2＋bｘ
+c＝０的两根为x１＝1,x2=_________．32.（20０6?兰州)开口向下的抛物线y＝（ｍ2﹣２)x2＋2ｍx+１的对称轴经过点(﹣1，3),则m=_＿_＿_＿_＿_ ．
３3.（２０05?温州)若二次函数y=x２﹣4x＋c的图象与x轴没有交点，其中ｃ为整数,则c=_＿＿＿_＿__＿．(只要求写出一个)．
３4.（２006?泰安)抛物线y＝ax2＋bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x …﹣3 ﹣2 ﹣1 ０ 1 …
ｙ…﹣6 0 4 ６６…
容易看出,(﹣２,0)是它与x轴的一个交点,则它与x轴的另一个交点的坐标为_____＿_＿_．
35.（２0１2?孝感）二次函数y=aｘ2+bｘ+c（ａ,b，c是常数,a≠０）图象的对称轴是直线x＝１,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:
①abｃ＜0;②a﹣b+c<0；③3a+c<0；④当﹣１ 其中正确的是_＿___＿＿__ （把正确的序号都填上)． 36．(20１２?天水）二次函数y=ax2+bx＋c（a≠0)的图象如图所示,下列结论中： ①b>0;②c＜0；③｜a+ｃ｜<|b｜；④4ａ+２b+c>０． 其中正确的结论有___＿_____（填写序号）． 3７．(2０10?玉溪)如图是二次函数y＝ax2+bx＋c(a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①ｃ＞0；②a+ｂ+c＜0;③2a﹣b＜0；④b2+8ａ＞4ac中正确的是（填写序号) ＿_＿__＿___ ． 3８．（２0１2?枣庄）二次函数y＝ｘ２﹣2x﹣3的图象如图所示.当ｙ<0时，自变量x的取值范围是_＿_______．39.(２010?日照)如图是抛物线y=ａx2+bx+ｃ的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与ｘ轴一交点为Ｂ（３,０）,则由图象可知,不等式ａx2+bx+c＞０的解集是___＿__＿_＿． 40．已知一次函数ｙ1＝kｘ+ｍ和二次函数y2=ax２+ｂx＋c的图象如图所示,它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1 二．解答题（共4小题） 1.(201２?佳木斯)如图，抛物线y=ｘ2＋bｘ+ｃ经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，０)． （3)若抛物线上有一点B,且Ｓ△OAB=3,求点B的坐标． 2．(２０1２?绥化）如图，二次函数y=aｘ２﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(﹣4,0）. (１)求二次函数的解析式; (2）在抛物线上存在点Ｐ，满足Ｓ△AOＰ＝8，请直接写出点P的坐标． ３.（２012?徐州)二次函数y＝x２+ｂx＋ｃ的图象经过点（4,3)，(3，0). （１)求b、c的值; (2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴; （3)在所给坐标系中画出二次函数ｙ=x2+bｘ+c的图象. 4．(2０11?佛山)如图，已知二次函数ｙ=ax2+ｂx＋c的图象经过A（﹣1,﹣1）、B（0,2)、Ｃ(1,３); (1)求二次函数的解析式; （2）画出二次函数的图象． 二次函数的图像与性质专题练习 参考答案与试题解析 一．填空题(共30小题) 1．（)如图是二次函数y1=ax2+bｘ＋ｃ(ａ≠0）和一次函数y2=ｍx+n（m≠0)的图象，当y2＞ｙ1，x的取值范围是﹣2＜x<1. 考点：二次函数的图 象;一次函数的 图象.353143 分析:关键是从图象 上找出两函数 图象交点坐标, 再根据两函数 图象的上下位 置关系，判断ｙ 2>y1时,x的取 值范围. 解答:解:从图象上看 出，两个交点坐 标分别为（﹣2, ０）,（1，3）, ∴当有y2＞y1 时,有﹣2＜x＜ 1, 故答案为:﹣ 2 点评:此题考查了学 生从图象中读 取信息的数形 结合能力．解决 此类识图题，同 学们要注意分 析其中的“关键 点”，还要善于 分析各图象的 变化趋势． 2．（2011?扬州)如图,已知函数y=与y=ａx２+bx（a>0， b>0）的图象交于点P.点P的纵坐标为1．则关于x的方 程ax２+bx+＝０的解为ｘ=﹣3 . 的图象；反比例 函数图象上点 的坐标特征．３ 53１４3 专题：探究型. 分析:先根据 点P的 纵坐标为1求出 ｘ的值，再把于 x的方程aｘ 2+bx+=０化为 于x的方程 ax2+bx=﹣=0的 形式，此方程就 化为求 函数 y＝ 与y=ax2＋bx（a ＞０，ｂ>0)的 图象交点的横 坐标，由求出的 Ｐ点坐标即可 得出结论. 解答：解：∵P的纵坐 标为1， ∴１= ﹣, ∴x=﹣３, ∵ａ x2+ｂx ＋=0化为于x 的方程ax2＋ bx=﹣的形式, ∴此方程的解 即为两函数图 象交点的横坐 标的值， ∴x＝﹣3. 故答案为:x=﹣ 3. 点评：本题考查的是 二次函数的图 象与反比例函 数图象的交点 问题，能把方程 的解化为两函 数图象的交点 3．(２011?黑龙江)抛物线y=﹣(ｘ+1）2﹣1的顶点坐标为 （﹣1,﹣1）． 考点：二次函数的性 质.3531４3 分析:根据二次函数 顶点形式,直接 可以得出二次 函数的顶点坐 标. 解答:解:∵ 抛物线 y=﹣（x＋1）２ ﹣1, ∴抛物 线ｙ= ﹣(ｘ＋1)2﹣１ 的顶点坐标为： (﹣1,﹣1). 故答案为：（﹣ 1,﹣1). 点评:此题主要考查 了二次函数的 性质,同学们应 根据题意熟练 地应用二次函 数性质,这是中 考中考查重点 知识． ４．（２01１?淮安）抛物线y=x2﹣2x＋3的顶点坐标是（１,2) ． 考点：二次函数的性 质．３53143 分析:已知抛物线的 解析式是一般 式，用配方法转 化为顶点式,根 据顶点式的坐 标特点，直接写 出顶点坐标. 解答：解：∵y＝x２﹣ 2x+3=x２﹣２ x+1﹣１＋3=(x ﹣1）2＋２， ∴抛物线y=ｘ2 点坐标是(1， ２). 点评：此题考查了二 次函数的性质， 二次函数y=a(x ﹣h）２+k的顶 点坐标为（ｈ， k），对称轴为 x=h,此题还考 查了配方法求 顶点式. 5.(２０1０?扬州）抛物线y=2x2﹣ｂx+3的对称轴是直线x=１,则b的值为4. 考点：二次函数的性 质.35314３ 分析：已知抛物线的 对称轴,利用对 称轴公式可求b 的值. 解答:解：∵y=2x２﹣ ｂx＋３,对称轴 是直线x=１， ∴=1 ,即 ﹣=1，解得ｂ =4． 点评: 主要考查了求 抛物线的顶点 坐标的方法:公 式法:y=aｘ2+b ｘ+c的顶点坐 标为（,),对称轴 是x=． ６．(２0０９?西宁）二次函数y＝﹣x２+x﹣的图象的顶 点坐标为(1，﹣2). 考点: 二次函数的性 质.3５３14３ 分析：已知二次函数 的一般式,直接 利用顶点公式 求顶点坐标. 解答: 解：根据顶点坐 标公式,x==１， ｙ==﹣２，即顶 点坐标为(１， ﹣2）. 故答案为：(1, ﹣2). 点评：主要考查了求 抛物线顶点坐 标的方法． 7.（２008?大庆）抛物线y=﹣3ｘ２+１的顶点坐标是(０，1)． 考点: 二次函数的性 质．3５3１43 分析： 利用顶点坐标 公式（﹣,），直 接求解． 解答: 解:∵x=﹣=﹣ ＝0，ｙ===1， ∴顶点坐标是 （0，１）． 点评：熟练运用顶点 公式求抛物线 的顶点坐标． 8．（2012?牡丹江)若抛物线ｙ=ax２+bｘ+c经过点(﹣1，10),则ａ﹣b+c= １0 . 考点：二次函数图象 上点的坐标特 征.353143 专题：计算题. 分析：由于函数图象 上的点符合函 数解析式,将该 点坐标代入解 析式即可. 解答：解：将(﹣1，１ 0）代入ｙ＝ax２ +bx＋ｃ得， 点评:本题考查了二 次函数图象上 点的坐标特征， 知道函数图象 上的点符合函 数解析式是解 题的关键. 9.(201２?大庆）已知二次函数y=﹣ｘ２﹣2x+3的图象上有两点A（﹣７，y1),B(﹣８,y2），则y1＞y2.（用>、＜、=填空). 考点：二次函数图象 上点的坐标特 征.３5３１43 分析:先根据已知条 件求出二次函 数的对称轴，再 根据点A、Ｂ的 横坐标的大小 即可判断出y1 与y２的大小关 系． 解答:解：∵二次函数 y=﹣x2﹣２ｘ +3的对称轴是 x＝﹣1，开口向 下， ∴在对称轴的 左侧y随x的增 大而增大， ∵点A（﹣7,y ），B(﹣8,ｙ2) １ 是二次函数ｙ= ﹣x２﹣2x+３的 图象上的两点， ﹣７＞﹣8， ∴y1＞ｙ2. 故答案为：＞． 点评：本题主要考查 了二次函数图 象上点的坐标 特征，在解题时 要能灵活应用 二次函数的图 象和性质以及 点的坐标特征 是本题的关键. 考点: 二次函数图象 上点的坐标特 征．３53１43 分析:y轴上点的坐标 横坐标为0,纵 坐标为y＝﹣4， 坐标为(0，﹣4）. 解答:解:把x=0代入 得,ｙ=﹣4,即交 点坐标为（0， ﹣4)． 点评:本题考查了函 数图象上的点 的坐标与函数 解析式的关系， 要明确y轴上点 的坐标横坐标 为０. 1１.(2００7?黄石)二次函数y=a(x﹣1）2＋bx+c（a≠０)的图象经过原点的条件是a+c=0 . 考点：二次函数图象 上点的坐标特 征．35３１４３ 分析:利用二次函数 图象经过原点 即是ｘ=0时y= ０． 解答：解: ∵二次函数y＝ a（x﹣1)2+bx+c （a≠０), ∴ｘ和y的值同 时为0. ∴０=a×１+c. 即a+c＝０. 点评：考查二次函数 图象上点的坐 标特征. 12．（2００7?黑龙江）抛物线ｙ=ｘ2+bx+3经过点（３,0),则b的值为﹣４. 考点: 二次函数图象 上点的坐标特 征.35３1４3 分析:将点(３,０）代 即可求得b的 值． 解答:解：把点(3，0) 代入y=ｘ2+bx ＋3,得 9+3b+3=0， ∴b＝﹣4. 点评：此题考查了点 与函数的关系, 点在函数上，将 点代入解析式 即可． 13.（200６?攀枝花）已知抛物线y=ａx2+ｂx＋c经过点（1,3）与（﹣1，5），则a+c的值是4. 考点：二次函数图象 上点的坐标特 征.353１４3 分析：把两点的坐标 代入二次函数 的解析式，通过 变形，即可求得 a+c的值． 解答：解:将点（1,3） 与(﹣1，5)代入 y=ax２+ｂｘ+c 得： ∴两式相加得 2a+2c=8 ∴a＋ｃ＝4. 点评:解答此题，要注 意函数图象上 的点的坐标与 函数解析式的 关系，且注意整 体思想的应用. １４.若二次函数y=mｘ２﹣3x+２m﹣m2的图象经过原点,则m＝２. 考点：二次函数图象 上点的坐标特 征.35３14３ 分析：此题可以将原 点坐标（0，0) 3x＋2m﹣m2， 求得m的值即 可. 解答:解:由于二次函 数y=mｘ2﹣ 3x+2m﹣ｍ2的 图象经过原点， 代入(0，０)得： 2m﹣m２＝0, 解得：m＝ 2,m=0; 又∵ｍ≠0， ∴m=2. 点评：本题考查了二 次函数图象上 点的坐标特征， 通过代入点的 坐标即可求解， 较为简单． １5．抛物线y=x2＋8x﹣４与直线x＝4的交点坐标是（4，4４）. 考点: 二次函数图象 上点的坐标特 征.３５3１４3 分析：将x=4代入ｙ ＝x２+8x﹣４中 求y，可确定交 点坐标. 解答:解：将x＝4代 入y=ｘ2+8ｘ﹣ 4中，得y=42+ ８×４﹣４=4 ４, 故交点坐标为 （４,４4)． 点评:本题考查了两 图象交点坐标 的求法,联立解 析式,解方程组 即可. 1６．（2012?深圳）二次函数y=ｘ2﹣2ｘ+6的最小值是5． 考点：二次函数的最 值.3５３1４３ 专题: 计算题. 原式化为顶点 式,即可求出二 次函数的最小 值. 解答:解:原式＝x2﹣ ２x+１+5 =(x﹣１）2+5, 可见，二次函数 的最小值为５. 故答案为5． 点评:本题考查了二 次函数的最值, 将原式化为顶 点式是解题的 关键. １7.（2０1１?泉州)已知函数y=﹣3(ｘ﹣2）2+４，当ｘ= 2 时，函数取得最大值为4 ． 考点: 二次函数的最 值.353１4３ 分析：由抛物线的顶 点式y=﹣3（x ﹣2）2+4，得到 抛物线的顶点 坐标为(2，4)， 又ａ=﹣３<0， 抛物线的开口 向下，于是x= ２时，函数有最 大值为４. 解答：解：∵y=﹣３ (ｘ﹣2）２+4， ∴抛物线的顶 点坐标为（２， ４）, 又∵ａ=﹣３＜ ０， ∴抛物线的开 口向下，顶点是 它的最高点， ∴x=2时,函数 有最大值为4. 故答案为：2,4． 点评:本题考查了抛 物线的顶点式: ｙ=a（x﹣h)2+ ｋ（a≠０),顶点 当ａ＜0，抛物 线的开口向下, 顶点是它的最 高点，即函数值 有最大值,x=ｈ, 函数值的最大 值=k. 18．(2０09?荆门)函数ｙ=(x﹣2）（3﹣x)取得最大值时,ｘ = . 考点：二次函数的最 值．35314３ 分析：先把二次函数 化为一般式或 顶点式的形式, 再求其最值即 可． 解答：解：原 二次 函数可化为y= ﹣x2＋5x﹣6= ﹣（x﹣)2+,取得 最大值时x=﹣ ＝． 点评:求二次函数的 最大（小)值有 三种方法,第一 种可由图象直 接得出，第二种 是配方法,第三 种是公式法． １９.(2００8?黄石)若实数a,b满足ａ＋b2=1,则2a2+7b２的最小值是２． 考点: 二次函数的最 值．3５３１4３ 分析：根据a＋b2=１ 求出a的取值范 围，再把代数式 变形,然后结合 结合函数的性 质及b的取值范 围求得结果. 解答:解:∵a＋ｂ2= １, ∴a=1﹣b２ 7b2＝２(1﹣b2） ２+7ｂ2＝2b4+ ３b２＋２＝2 （b2+）2＋2﹣ =2（b2+)2+, ∵b2≥0， ∴2(ｂ 2＋）2+ ＞0, ∴当b２=0，即 b=0时，2a２＋ 7b2的值最小． ∴最小值是２. 方法二:∵ａ＋ b2=1, ∴b２=1﹣a， ∴2a2+ ７ｂ 2=2a2+7(１﹣ ａ）=２a2﹣ 7a+7=2（a﹣）2 ＋, ∵b２≥0， ∴1﹣a≥0， ∴a≤1, ∴当a=1,即b=0 时,２a2＋7ｂ２ 的值最小． ∴最小值是2． 点评:此题比较复杂, 是中学阶段的 难点,综合性比 较强，解答此题 的关键是先求 出b的取值范 围，再把已知代 数式变形后代 入未知，把求代 数式的最小值 转化为求函数 式的最小值，结 合函数的性质 及b的取值范围 解答． 20．二次函数y=ax2﹣4ｘ﹣１3a有最小值﹣17，则a= 1 或． 值.3５31４3 分析：本题考查二次 函数最大(小)值 的求法． 解答：解：∵二次函数 y=ａｘ2﹣４ｘ ﹣13a有最小值 ﹣1７， ∴ａ>0， ｙ最小值＝＝= ﹣13a２﹣4=﹣ １7， 解得 a=１ 或， 均合题意． 点评:求二次函数的 最大（小)值有 三种方法,第一 种可由图象直 接得出,第二种 是配方法，第三 种是公式法,常 用的是后两种 方法,当二次系 数a的绝对值是 较小的整数时， 用配方法较好, 如y＝﹣x2﹣ 2x+5，y=３x2 ﹣６x＋1等用 配方法求解比 较简单. ２１.（２0１１?济宁)将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y=（x﹣h)2+k的形式,则y＝（x﹣2)2＋1 . 考点: 二次函数的三 种形式．3５３ 14３ 专题：常规题型. 分析:将二次函数y＝ x２﹣4x+５的右 边配方即可化 成y＝(x﹣ｈ） 2+ｋ的形式. 4x+5, y=x２﹣4ｘ+４ ﹣４+5， ｙ=x２﹣４ x+4+1， y＝（x﹣2）2＋ 1. 故答案为:y=（x ﹣2)2+１． 点评：本题考查了二 次函数的三种 形式：一般 式:y=ａx2＋ｂ x+c，顶点式:ｙ ＝a(x﹣h）2＋ ｋ；两根 式:y=a(ｘ﹣ x1)(x﹣ｘ２). 2２．（200０?河南）用配方法将二次函数y=４x2﹣2４ｘ+26写y=a（x﹣ｈ)2+ｋ的形式是y=4（x﹣3)2﹣10 ． 考点：二次函数的三 种形式．３ 53143 专题：配方法. 分析：利用配方法先 提出二次项系 数,在加上一次 项系数的一半 的平方来凑完 全平方式，把一 般式转化为顶 点式. 解答:解：y＝4x2﹣ 24x＋2６=4（x2 ﹣6ｘ+9)﹣3６ +２6=４(x﹣3)2 ﹣10 故本题答案 为:y=4（x﹣3)2 ﹣10． 点评:二次函数的解 析式有三种形 式: （１）一般式： y=ax2+bx＋c （a≠0，ａ、ｂ、 （２)顶点式： y=a(ｘ﹣ ｈ)2+k; (3)交点式（与ｘ 轴)：ｙ=a（x﹣ x1）（ｘ﹣ｘ２). 23.y=﹣配方成ｙ＝a（x﹣h）2+k的形式是y=﹣0.5 （ｘ﹣2)2+3 ． 考点: 二次函数的三 种形式．３５31 ４3 分析：利用配方法先 提出二次项系 数，在加上一次 项系数的一半 的平方来凑完 全平方式，把一 般式转化为顶 点式． 解答:解：ｙ =﹣x２ ＋２x+１=﹣ （x2﹣4x+４）+ ２+１=﹣0.5(x ﹣2)2﹣３ 故本题答案为： y＝﹣0.5(x﹣ 2)2﹣3. 点评：二次函数的解 析式有三种形 式： (1)一般式:ｙ=a ｘ２+bx＋ｃ (a≠0,a、b、ｃ为 常数）； (2)顶点式:y=ａ （x﹣h）2+k； (3）交点式（与 ｘ轴）:y=a(x﹣ ｘ1）(x﹣x2). 24.(2012?上海)将抛物线y=x2＋x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是ｙ＝x2+ｘ﹣2 ． 考点：二次函数图象 与几何变换．35 二次函数图象性质及应用（讲义） ?课前预习 回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列 问题： 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向； 当时，开口向． c 是抛物线与交点的． b 的符号：与a ，根据可推 导．判断下面函数图象的a，b，c 符号： （1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（） A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0 （2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是． 2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2． 1 ?知识点睛 1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等， 则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用， 借助求解． 3.观察图象判断a，b，c 符号及组合： ①确定符号及信息； ②找特殊点的，获取等式或不等式； ③代入不等式，组合判断残缺式符号． ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A．5 B．-3 C．-13 D．-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值 如下表： x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x =1 ； 2 ④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大． 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是． 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大， 则x 的取值范围是． 2 二次函数草图的画法： 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数； 2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根 据四点一线来确定大致图 象．四点：二次函数顶点，二 次函数与y 轴的一个交点，二 次函数与x 轴的两个交点． 一线：二次函数对称轴． § 3.4一元二次函数的图象和性质 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 １.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2)最大（小）值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 （３）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 二次函数图象专题训练 1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个 A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的 图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ， ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③ 20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 5、如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．． 的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 6、已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3 是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的一个根 二次函数的图象和性质 教学目标 1、知道二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象； 3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式； 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值； 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2(a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当 a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。 例题讲解 例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式： ⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1) ⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0) ⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0) ⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2 巩固练习： 1．二次函数y=2x 2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______． 2．将函数y=－2x 2 +8x －7，写成y=a （x －h ）2 +k 的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______． 3．已知抛物线y=x 2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．?满足y<0的x 的取值范围是________，将抛物线y=x 2－6x+5向________平移______?个单位，可得到抛物线y=x 2 －6x+9． 4．老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小． 丙：函数的图像与坐标轴．．． 只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________． 5．不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是 ． 6．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，? 与y 轴交于C 点，且OB=OC= 12 OA ，那么b= _______________． 7．以下画抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的步骤，顺序正确的是（ ） ①利用函数的对称性列表；②确定抛物线的开口方向；③描点画图；?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a （x －h ）2+k 的形式 A ．③②①④ B ．④②①③ C ．②④①③ D ．③②④① 8．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有（ ） A ．b=3，c=7 B ．b=－9，c=－15 C ．b=3，c=3 D ．b=－9，c=21 9．抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> 12 ；④b<1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 10．满足a<0，b>0，c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的（ ） 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； .. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0二次函数图象性质及应用(讲义及答案)
一元二次函数的图像和性质
二次函数图像和性质专题训练(答案)
二次函数的图象和性质
二次函数的图像及性质
二次函数图像与性质总结
二次函数图像性质及应用
二次函数的图像和性质总结