微积分（II ）复习要点（共11页）
（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）
Ch6+Ch7两章
第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）
()()()
.
y
z
,x z y
z ,
x
z
,y ,x f z .10000y ,x y ,x ????????=或偏导函数求解偏导数
具体形式已知初等函数问题()()().
x
z
,x x 3,
dx
dz 2,y ,x f ,y y 1x
z
0000y ,x 000y ,x ??==??即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：
求具体点偏导解法：
*().y
z
,00y ,x ??可求出
类似
()().
y
z
y ,x y ,x f ,*.
x z ,x z 2,
y y ,x f 1x
z
??????求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：
求偏导函数 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！
前提——熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64复合函数求导之链式法则！
P251 Ex8 2) 1) 4), Ex9 3) 2)
().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=
.
dy y
z
dx x z dz ,
y
z ,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：??+??=????
配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P253 Ex13 2) 7) 3)
().y
z
,x y z ,
y x z
,x z ,y ,x f z .322
2
222??????????=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题
().
y x z ,x z y ,x f z :y x z .P225,*2的偏导再求此新函数关于）
（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导
—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个????=??? 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P253 Ex12 1) 2)
.
,)107(P219,.
.4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex16 1) 4)
两例的法一即可！
学会套用即可公式二元隐函数偏导
一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P224~P223.),167(P224),157(P223.
.5-- 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)
第二部分 求二元函数的极值和条件最值
()()().
/8.7P229,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0
z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：
的极值求二元初等函数问题''''''''????
?='
='''=Λ.32P230*解答过程、例例学会
配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex20 1) 4)
()()()()()()()().
y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0
f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y y
x x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：
的驻点求）令）解法步骤：
下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令
令
λ??
?
?
???=?='=?'λ+'='=?'λ+'='λ?+=λ=?=λ
该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：
()()()式：
之间的关系如下经验公万元费用及报纸广告万元与电台广告费用万元销售收入统计资料据商品的广告报纸两种方式做销售某某公司通过电台、）例y x R ,. 22y 10x 2xy 8y 32x 1415R ---++=
.,5.1 求相应的最优广告策略万元且用尽为若提供的广告费用
5.1y ,0x Key ==：
第三部分 定积分相关要点
基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！
()()()()()()()().
a F
b F x F dx x f 2,x F x f ,1.dx x f ,x f .1b a b
a b
a -==??从而）的一个原函数求出利用求不定积分的方法）莱布尼兹公式：
—牛顿主要方法）求解定积分具体形式已知问题
()[].
,,f f f ,c ,b ,a x f *b
c c
a b
a 再进行计算均取明确形式使得右端每个被积函数性质“拆区间”定积分的则需利用为分段点比如以上的分段函数是若重点：???+= 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)
?????=???为偶函数
为奇函数有公式如下：定积分称时当积分区间关于原点对特殊方法）f ,f 2f ,
0f f ,a 0
a
a -a
a -
()
.
1100.1xdx 2dx x 2dx x ,x .0dx x 1x xdx sin x ,x 1x ,x sin x .dx x x 1x x sin x .1
01
01
11
121
12
2
2
1
122=++=====∴=-=∴-+-+??????----从而原式为偶函数均有奇函数）
特点！（务必注意积分区间的解：求解例ΛΘΘ
()()()()()()
[
]
()[]()()()
()[
]
()[]()()[]().
,Hospital 'L ,2.x v x v f x u x u f dt t f x u x u f dt t f .
x f x dt t f x 1.2x u x v x u a
x
a 可求解某些极限法则结合利用以上求导公式）进一步有公式：的求导公式：熟记函数）要点）
变限积分的求导及应用问题?????'-'='
'?='=Φ'=Φ???
配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！
P186 Ex5 1), Ex4 1) 2)
.
:4P1631P1621.3积分变量状选择适当的
注意针对不同的区域形例例典型例—求平面图形面积）—几何应用一）要点）
济应用定积分的几何应用与经问题+
配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P189 Ex22 1) 3) 4)
.
.21624619,6226P1662转体体积运用以上两公式求解旋及其适用的图）（熟记公式及其适用的图）（公式熟记—求旋转体体积）—几何应用二）----
.
236P166.
,.*即运用了此原理）（式例如实心体积所求体积转化为若干则只能间接利用公式将若考察空心旋转体体积特征的旋转体体积“实心”于求解具有以上两公式只能直接用注意：-配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P189 Ex29 3) 5)
()()()().
9P170,8P169.286~266169~P168.a ,dt t F a F x F ,x F 3x
a 例例典型例：）（）（公式熟记为选定的常数其中莱布尼兹公式可得
—则由牛顿若已知原理：
—已知边际求总量）—经济应用）--'+='? 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P190 Ex33, Ex34
第四部分 二重积分相关要点
().
,y x D ,7.7P238,y x D 3x y 227,y )b (277P239D ;y x 217,x )a (277P239D D 2D 1.dxdy y ,x f ,D .1D
果再分别写出累次积分结区域型”“或型”“划分为若干标准的将）性质（则需利用分块积分法则型”“或型”“并非标准的若）形式的累次积分
”内“外写出）（公式则运用区域型”“之图为若形式的累次积分”内“外写出）（公式则运用区域型”“之图为若的形状：
判断）的草图出在平面直角坐标系中画）解法步骤）
累次积分次序表达为两种
将二重积分具体形式已知区域问题----------??
2P241例典型例：
配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex30 3) 1)
().
1,,dxdy y ,x f 2,
D 1..2D
”“问题方法同积分按要求写出另一种累次对于）的形状区域根据题目形式写出积分）要点）
积分次序将给定的累次积分交换问题??
3P241例典型例：
配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex31 1) 3) 4) 2)
()()()()().
)257(),267(~)247(P245~P244,r ,rdrd rsin ,rcos f ,rsin y ,rcos x ,,
x
y
y x y ,x f ,*.
,3,y ,x f D 2,
D 1.
dxdy y ,x f ,D y ,x f .322D
即可熟记重点公式具体结果见的累次积分关于内层、外层关于再将此新二重积分化为化为将原积分即令标系计算则上述过程宜采用极坐的形式或为关于且扇形等环、若区域形状为圆、最终求出原二重积分上述累次积分由内层至外层逐层计算）积分次序表达的形式选择适当的累次的形状及根据）的草图画出积分区域）要点）
计算的具体形式和积分区域已知问题---θθθθθ=θ=+????8
P246,5,64,P242例例例例）：
（建议按以下顺序复习典型例
配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)
()()().
3.dxdy y x,f V .D y ,x f z .
D xy ,y ,x f z .4D
中方法求此二重积分再利用问题则平面区域的“底”及作为的函数“顶”由题意准确识别出作为要点：的曲顶柱体体积为底平面上某区域为顶求以非负曲面问题??=== 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P256 Ex35 1) 2)
第五部分 其它要点摘录
()(
)()()()()()142
x 0a
b
.z f x,y ,f x,y .
2.P147 6.3P186Ex21)2)4).
3.e dx .dx,dx,f x dx dx b +∞
-∞
+∞
∞-∞
==
∈????
?+a
-a
理清偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系理清的极值点、驻点的关系熟用性质并练习熟记概率积分按定义判定无穷限积分f x f x 的敛散性；
能识别瑕积分,并按定义判定瑕积分f x （三类：分别a 、、c a,b 为瑕点）的敛散性。
（建议参考A*组相应作业）
Ch8+Ch9两章
第一部分 函数的幂级数展开
()的幂级数展开成将问题x x f .1
()
()()()()(]1,1x ,1
n x 1-3x 2x x 1
n x 1-x 1ln 31,1x ,x x x 1x x 112,x ,!n x 2!x x 1n x e 1,11
n n
32
n 1n n n 20
n n n 20n n x
0-∈+++-+-=+=+-∈+++++==-+∞∞-∈+++++==+∞
=+∞
=∞
=∑
∑∑ΛΛΛΛΛΛ））！
）如式及其成立区间熟记重要的幂级数展开主要思路：
()()()()()()()()()2,2x ,2x
12x 212x 1121x 211,1x ,x 1x x x 11x x 1x ,
,x ,!
n x !n x x e x .x f .,x f 20
n 1n n n 0n n
n 2n n 0n n 222
0n 3
n 0n n 3x
30-∈-=??? ??
-
=?
?? ?
?-?=--∈-=-=--=++∞∞-∈==∑∑∑∑∑∑∞
=+∞=∞
=+∞
=∞=+∞
=如
展开区间的得出最后利用上述公式也能进而得以展开上述公式的形式转化为可利用将给定的换元等）（如拆为加减、利用初等变形
()()().
12P285,11P284.
x f ,,x f 1,x f ,23000例例如的展开式即得积分中的展开式逐项求导或则只需同时将相应公式函数转为中公式的将若可利用求导或求积分对于某些外除上述
配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P291 Ex21 2) 5) 4). 另：以P284例11为练习
()()()()()()()()()()()().
1!
51
!5a !50f ,!
n x !3x !2x 0x f .a !k x f a !k x f ,a .x x a ,k .
x f ,x -x a x x f .255n
32k 0k k 0k k k
0k 0k n
0n 0===++++==-∑∞
则
处的幂级数展开式为在已知例如
得则由
取出其系数即次项找出上述幂级数的解法：求高阶导
处的幂级数展开式为在已知问题ΛΛ
第二部分 常数项级数敛散性的判定
敛散性的一般思路：
判定任意项级数敛散性结论级数与熟记几何级数∑∑
∑∞
=∞
∞1
n n 0p 1-n 0
u 2.n
1
P aq 1
.
,1r ,,r u u ,,.
,,n ,n ,u 1:
u ,*n 1
n n 1
n n 比值法失效时且；才能进一步运用比值法时存在或为仅当该极限
务必求出极限结果对于由比值法例如以比值法为重点）（或根值法则优先考虑比值法有关的阶乘或出现与置同时出现在底或指数位中若在）的常用判敛思路正项级数关于其中=∞+∞
=∑.
.v ,v ,v ,1r v v lim v ,v *n n n n
1
n n n n 域可用于求幂级数的收敛此原理也发散原级数发散收敛的必要条件知不但则由级数
则因此时必有满足级数得出相应的正项若利用比值法或根值法对于任意项级数∑∑∑
∑∞
∞
+∞→∞
∞
∞→>=
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
微积分公式与运算法则 1、基本公式 (1)导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ＝μxμ-1d(xμ)= μxμ－1 dｘ (ａx)ˊ= aｘlna d(a x)= a x lnａｄｘ (ｌogaｘ)ˊ＝1/(ｘlnａ) d(ｌｏga x)= 1／(xlna) dx (ｓin ｘ)ˊ= cos x d(sin x)= cos ｘｄx (con x)ˊ＝-ｓｉｎ x d(ｃon x)= －sin ｘｄｘ (tan x)ˊ＝ｓec2 x d(tan x)= sec2 x dx (coｔｘ)ˊ= -csｃ2x d(ｃot x)= -csc2x dx (sｅc ｘ)ˊ= sｅc x·tａn x d(seｃｘ)= sec x·tan x dｘ (ｃsc x)ˊ= -csc x·cot x ｄ(ｃsc x)= -ｃsc x·cot x dx (ａrｃsin x)ˊ= 1／(1－x2)1/2ｄ(arcsin ｘ)＝1
／(1－x２)１／2 dx (arccｏs x)ˊ＝ -1/(1-x2)1/２ d(arccoｓ x)= -１／(1－x2)1／２ dx (arctan ｘ)ˊ＝ 1/(1+x2) d(arcｔan ｘ)= 1／(1+x2) dｘ (ａrccot x)ˊ= -1/(1+x２) ｄ(aｒccot ｘ)＝-1/(1+x２) ｄx (ｓinh x)ˊ＝ cｏｓｈ x d(siｎh x)= ｃｏsh x dx (ｃosh x)ˊ= ｓinh x d(cosh x)= sinh x ｄｘ 2、运算法则(μ=μ(x),υ=υ(x),α、β∈R) （1）函数的线性组合积、商的求导法则 (αμ+βυ)ˊ=αμˊ+βυˊ (μυ)ˊ=μˊυ＋μυˊ (μ/υ)ˊ＝(μˊυ－μυˊ)/υ2 （2）函数与差积商的微分法则 ｄ(αμ＋βυ)= αdμ+βdυ ｄ(μυ)=υdμ+μdυ d(μ/υ)= (υdμ-μｄυ)/υ2
微积分公式与运算法则 1.基本公式 （1）导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx (a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx (loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx (sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R） （1）函数的线性组合积、商的求导法则 （αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????（2）()() () ()n n cu x cu x =???? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n =（2）()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-?
定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：
1．设函数0 cos x y tdt = ?，求'(0)y ，'()4 y π。 【解】由题设得'()cos y x x =， 于是得 '(0)cos01y ==，'()cos 4 4 2 y ππ == 。 2．计算下列各导数： ⑴20x d dx ?； 【解】20x d dx ?2)x =2= ⑵ 1t d dt dx ； 【解】1t d dt dx 1 ()t d dt dx =-=-=。 ⑶ cos 2 sin cos()x x d t dt dx π?； 【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π?0cos 2 2sin 0[cos()cos()]x x d t dt t dt dx ππ=+?? 》 0cos 22 sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ= +?? sin cos 2200 [cos()]cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=-+?? 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d d x x x x dx dx ππ=-+ 22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+-- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=--- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+ 2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。 ⑷2ln 1 x x d dt dx t ?。 【解】 2ln 1x x d dt dx t ?21ln 11 1[]x x d dt dt dx t t =+?? 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t =+?? …
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
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微积分公式与运算法则 1.基本公式 （1）导数公式(2)微分公式 (xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx (a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx (loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx (sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx (conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx (tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx (cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx (secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx (cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx (arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx (arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx (arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx (arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx (sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx (coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R） （1）函数的线性组合积、商的求导法则 （αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ
（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2 （2）函数和差积商的微分法则 d（αμ+βυ）=αdμ+βdυ d（μυ）=υdμ+μdυ d（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ2 3.复合函数的微分法则 设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为 dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x) 所以复合函数的微分为 dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx 由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ 由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 微积分公式与运算法则 1.基本公式 （1）导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx (a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx (loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx (sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2
dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R） （1）函数的线性组合积、商的求导法则 （αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ （μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2 （2）函数和差积商的微分法则 d（αμ+βυ）= αdμ+βdυ d（μυ）=υdμ+μdυ d（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ2
微积分基本公式 下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索．为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数)(t s 及速度函数)(t v 之间的联系作进一步的研究． 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 有一物体在一直线上运动．在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成为一数轴．设时刻t 时物体所在位置为)(t s ，速度为)(t v ．(为了讨论方便起见，可以设0)(≥t v ．) 从第一节知道：物体在时间间隔[]21 ,T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在[]21 ,T T 上的定积分?2 1 d )(T T t t v 来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(t s 在区间[] 21 ,T T 上增量)()(12T s T s -来表达．由此可见，位置函数)(t s 与速度函数)(t v 之间有如下关系： ) ()(d )(122 1 T s T s t t v T T -=? ． (1) 因为)()(t v t s ='，即位置函数)(t s 是速度函数)(t v 的原函数，所以关系式 (1) 表示，速度函数)(t v 在区间[]21 ,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t s 在区间[]21 ,T T 上的增量：)()(12T s T s -． 上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性．事实上，我们将在第三目中证明，如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，那么，)(x f 在区间 ] ,[b a 上的定积分就等于)(x f 的原函数(设为)(x F )在区间] ,[b a 上的增量：)()(a F b F -． 二、积分上限的函数及其导数 设函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，并且设x 为] ,[b a 上的一点．现在我们来考察)(x f 在部分区间] ,[x a 上的定积分 ? x a x x f d )(． 首先，由于)(x f 在区间] ,[x a 上仍旧连续，因此这个定积分存在．这时，x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成 ? x a t t f d )(
微积分公式
tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1 导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-=' 31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 常用微积分公式大全 Prepared on 24 November 2020 常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 倒数关系：sinx·cscx=1 tanx·cotx=1 cosx·secx=1 商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-s in^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差： sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 积化和差： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] A thesis submitted to in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 你的考试好帮手，记住我们的网址：www . KaoKer .com 考客下载网：你的考试好帮手，记住我们的网址：www . KaoKer .com 第 1 页 共 1 页 () / x μ =1 x μμ- ()/x a =ln x a a ()/ x e =x e ()/ l o g a x =1 ln x a ()/ ln x = 1x ()/ sin x =cos x ()/ c o s x =s i n x - ()/ t a n x =2 s e c x ()/ c o t x =2c s c x - () / sec x =sec tan x x ()/ c s c x =c s c c o t x x - ()/ a r c s i n x = () / arccos x =- ()/ a r c t a n x = 2 11x + ()/ a r c c o t x = 2 11x - + () / uv =/ / u v uv + /u v ?? = ??? / / 2 u v uv v - kdx =?kx x d x μ = ? 1 1 x μμ++ dx x =? ln x 2 1dx x =+?arctan x =? a r c s i n x c o s x d x =?s i n x s i n x d x =?c o s x - 2 sec xdx = ?tan x 2 c c s x d x =?c o t x - s e c t a n x x d x =?s e c x c s c c o t x x d x =?c s c x - x e d x =?x e x a d x = ?ln x a a t a n x d x =?l n c o s x - cot xdx =?ln sin x sec xdx = ?l n s e c t a n x x + csc xdx =?l n c s c c o t x x - 2 2 1 dx x a =+?1arctan x a a 2 2 1 dx x a =-?1ln 2x a a x a -+ = ? ln x + =? a r c s i n x a 等价无穷小()0x → sin ~x x t a n ~x x a r c s i n ~x x a r c t a n ~x x l n (1)~x +x 1~x e -x 1cos ~x -2 12 x 1~1 2x 1~x a -ln x a 渐近线k =()lim x f x x →∞ b =()lim x f x kx →∞-??? ? 曲率k = () // 3/2 2 1y y + 常用微积分公式大全 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分. 分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦) (10) lim e x =处 x _jioC 六、高阶导数的运算法则 1) ［u (X )±v (x )F )=u (X )±v (x y) -、lim a 0x m+a 1x m ：+川+a n X Y b 0X m +b 1X m ri||+b m a 。 b (系数不为 0的情况) 二、重要公式(1)］四沁/ (2) lim (1 +x y 1 =e (3) lim Va(a A 0)=1 (4) lim 折=1 n _^ limarctan x = — y 2 (6) lim arctanx =—一 J 产 2 (7) limarccotx=0 X Y (8) lim arccot x =兀 (9) lim e x = 0 三、下列常用等价无穷小关系 X T 0) sinx x tanx X arcsixrf x arcta nx x 仆赵］2 ln (1 +x 卅 X e X 一1口 X aX —1 LI XI n a (1 + x f-1U e x 四、导数的四则运算法则 (u ±v ) =u ‘±v ' f u ) u v - uv' I — = I v 丿 五、基本导数公式 ⑴(c ) =0 ⑶(sin X ) = cosx ⑷(cosx ) = -sin x 2 ⑸(tanx ) =sec x 2 ⑹(cot X ) = -csc X ⑺(secx j =secx dan x (8) (cscx ) = - cscx cot x ⑼(e x ) =e x X X ⑽(a ) =a ln a -1 (11)(In X )=- x (12)(gx )=— X l n a ， 1 (13) (arcsin x ) = -j=2 山 —x 2 ■ 1 (14) (arccos x ) = - # 2 丁1 —x 2 , 1 (15) (arctan x )= 1 +x 2 I 1 (16) (arccot X ) = --- --------------- 2(")( X ) = 1(18)( J X ) = 1 (2) 微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ()() n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则高等数学常用积分公式查询表
高等数学常用积分公式查询表
常用微积分公式大全
(完整版)高等数学常用公式汇总————
商业微积分公式
考研数学常用微积分公式背诵表
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微积分公式_微积分公式运算法则
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