2010年重庆市高考理科数学试卷及答案(Word版)

绝密★启用前 解密时间：2010年6月7日17：00 【测试时间：6月7日15：00—17：00】

2010年普通高等学校招生全国统一测试（重庆卷）

数学（理工农医类）分析

数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。测试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）在等比数列}{n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、8

【命题意图】本题考查等比数列的概念，基础题. 【分析】∵

832007

2010

==q a a ，∴2q =，选A. （2）已知向量,满足2||,1||,0===?，则=-|2|（ ） A 、0

B 、22

C 、4

D 、8

【命题意图】本题考查向量的有关概念和基本运算.

【分析】∵222|2|(2)44822a b a b a a b b -=-=-?+==，∴选B. （3）=???

?

?---→2144

lim 22x x x （ ）

A 、1-

B 、4

1-

C 、

41

D 、1 【命题意图】本题考查函数极限的概念、运算法则、0

型极限的求法以及转化和化归思想.

【分析】22

22241211lim lim lim 42(4)(2)24x x x x x x x x x →→→--??-===-

?---++??

，选B. （4）设变量y x ,满足约束条件??

?

??≤-+≥+-≥,03,01,

0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（ ）

A 、2-

B 、4

C 、6

D 、8

【命题意图】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题，要准确快速求解，可利用端点处取得最值（函数的思想）来求解则更好，从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认识.

【分析】不等式组??

?

??≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 表示的平面区域是如图所示的

ABC ?，

当直线y x z +=2过点(3,0)A 的时，z 取得最大值6，故选C.

（5）函数x

x x f 2

1

4)(+=的图象（ ）

A 、关于原点对称

B 、关于直线x y =对称

C 、关于x 轴

对称

D 、关于y 轴对称

【命题意图】本题考查函数的概念和奇偶性、幂的运算性质和计算能力.

【分析】∵)(2

41214)(x f x f x

x

x x =+=+=---，∴()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，选D （6）已知函数sin()y x ω?=+（0,||2

π

ω?><）

的部分图象如题（6）图所示，则（ ）

A 、6

,1π

?ω=

=

B 、6

,1π

?ω-==

C 、6

,2π

?ω=

=

D 、6

,2π

?ω-

==

【命题意图】本题考查sin()y A x ω?=+的图像和性质，数形结合思想等，这是高考的常考题型，但又是学生的软肋，注意复习，多加训练. 【分析】由图像可知，周期74()123T πππ=-=，

∴2ω=，由五点作图法知232π?π=+?，解得6

π

?=-，所以2ω=，6

π

?=-

，选D.

（7）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，y x 2+的最小值是（ ）

A 、3

B 、4

C 、

2

9

D 、

2

11 【命题意图】本题考查均值不等式的灵活使用、一元二次不等式的解法以及整体思想.

【分析】由均值不等式，得2

228)2(82??

?

??+-≥?-=+y x y x y x ，

整理，得()()0322422

≥-+++y x y x ，

即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，所以24x y +≥，选B.

（8）直线233+=x y 和圆心为D 的圆33,

13,

x y θθ?=??=+??（[0,2)θπ∈）A 、B 两点，则直线AD 和BD 的倾斜角之和为（ ）

A 、π6

7

B 、

π4

5 C 、

π3

4

D 、π3

5

【命题意图】本题考查直线的倾斜角、斜率、方程，圆的标准方程和参数方程，直线和圆的位置关系以及数形结合的思想方法.

【分析】画出图形，

301-=∠α，βπ-+=∠

302

由圆的性质可知21∠=∠

βπα-+=-∴ 3030，

故=

+βα4

3

π，选C. （9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每

天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）

A 、504种

B 、960种

C 、1008种

D 、1108种

【命题意图】此题是一个排列组合问题.既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生克服困难解决实际问题的能力和水平.

【分析】分两类：①甲乙排1、2号或6、7号，共有4

414222A A A ?种不同的安排方法；②甲乙排中间，丙

排7号或不排7号，共有)(43

313134422A A A A A +种方法，故共有1008种不同的排法，选C.

（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）

A 、直线

B 、椭圆

C 、抛物线

D 、双曲线

【命题意图】本题考查空间中线和线，线和面的垂直，动点的轨迹的求法，同时考查空间想象力. 【分析】（直接法）记这两直线为1l ，2l ，异面直线的距离为k ，平面α为过1l 且平行于2l 的平面，设α上某个点P 满足条件。

将2l 正投影到平面α上，其投影记为3l ，设P 到1l 及2l 的距离为t ，到3l 的距离为u ，则2

2

2

u k t +=，即2

2

2

t u k -=，这里k 为定值，t ，u 分别正是P 到α上两垂直直线1l ，2l 的距离，而1l 和3l 可看作α上的直角坐标系，由此可知，P 的轨迹就是双曲线.

（排除法）轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹和已知直线不能有交点，排除B ，故选D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.

（11）已知复数,1i z +=则

=-z z

2

____________. 【命题意图】本题考查复数概念和基本运算，其中分母实数化是求解的关键. 【分析】

i i i i i

211112

-=---=--+，答案为：2i -. （12）设}0|{},3,2,1,0{2

=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________.

【命题意图】此题题型来自于课本习题，考查集合的概念和运算、方程的解法等基础知识. 【分析】∵}2,1{=A C U ，∴ A={0,3}，故3m =-.答案为：3-.

（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为25

16

，则该队员每次罚球的命中率为_____________.

【命题意图】本题考查对立事件的概率、独立事件的概率以及计算能力和推理能力.当有“至少”、“最多”等字眼时，常从反面入手，化难为易. 【分析】由251612

=

-p ，解得53=p ，答案为：35

（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42

=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.

【命题意图】本题考查抛物线的定义、标准方程、几何性质等，灵活使用平面几何知识是解决本题的关键，向量仅仅是一件外衣，本题是平面几何知识的使用.

【分析】设BF m =，由抛物线的定义，知13AA m =，1BB m =，

ABC ?∴中，2AC m =，4AB m =，

由相似三角形性质，得224m m

m m

-=

，解得43m =， 根据梯形中位线定理，得弦AB 的中点到准线的距离为38223m m m +==，答案为：8

3

. （15）已知函数)(x f 满足：1

(1)4

f =，

4()()()()f x f y f x y f x y =++-（,x y R ∈）

，则=)2010(f __________. 【命题意图】本题考场抽象函数的周期性，函数和数列的关系，研究抽象函数最有效的办法是：特殊值法. 【分析】取x=1， y=0，得2

1

)0(=

f ， 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6

法二：取x=n ，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n-1)，同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) ，所以T=6 ，故()()1201002f f ==

，答案为：2

1

. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）

设函数22()cos()2cos 32

x

f x x π=+

+，x R ∈. （Ⅰ）求)(x f 的值域；

（Ⅱ）记ABC ?的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(=

==c b B f ，求a 的值.

【命题意图】此题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、和（差）角公式、正弦定理、由余弦定理以及函数思想和方程思想，同时考查基本运算能力． 【分析】（Ⅰ）1cos 3

2

sin

sin 32

cos cos )(++-=x x x x f ππ 1cos sin 23cos 21++-

-=x x x

1sin 23cos 21+-=

x x 1)6

5

sin(++=πx ，因此)(x f 的值域为]2,0[. （Ⅱ）由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ，即0)6

5

sin(=+πB ，又因π<

π

=

B .

解法一：由余弦定理B ac c a b cos 22

2

2

-+=，得0232

=+-a a ，解得1=a 或2.

解法二：由正弦定理

C c

B b sin sin =

，得3,23sin π==C C 或3

2π. 当3π

=

C 时，2

π

=

A ，从而222=+=c b a ；

当32π=C 时，6π=A ，又6

π=B ，从而1==b a .故a 的值为1或2.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用

抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列和期望.

【命题意图】本小题主要考查等可能事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所

学知识和方法解决实际问题的能力.其中第（2）问是课本上常见的类型题.

【分析】（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号为偶数”，由等

可能性事件的概率计算公式得 545111)(1)(26

23=-=-=-=C C A P A P .

（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且

5

1

3)2(,1544)1(,315)0(26266

2========

=C P C P C P ξξξ，

15

11)4(,1522)3(2626=====

=C P C P ξξ.

从而知ξ有分布列

ξ 0

1

2

3

4

P

3

1

15

4 5

1 15

2 15

1

所以，3

1541535215130=?+?+?+?+?

=ξE . （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 已知函数)1ln(1

)(+++-=

x a

x x x f ，其中实数1-≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；

（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.

【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． 【分析】（Ⅰ）22

(1)111

()()1()1

x a x a f x x a x x a x +--+'=

+=+++++.

当1=a 时，47101)20(12)0(2/

=++++=

f ，而2

1

)0(-

=f ， 因此曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为)0(4

7

)21

(-=--x y 即0247=--y x .

（Ⅱ）1-≠a ，由（Ⅰ）知2111111)1(1)(2/

++=++++=

a a a x f ，即02

1

11=++a ，

解得3-=a .

此时)1ln(3

1

)(++--=

x x x x f ，其定义域为),3()3,1(+∞- ，且

)1()3()7)(1(11)

3(2)(2

2/+---=++--=

x x x x x x x f ，由0)(/

=x f 得7,121==x x .当

11<<-x 或7>x 时，0)(/>x f ；当71<

由以上讨论知，)(x f 在区间),7[],1,1(+∞-上是增函数，在区间]7,3(),3,1[上是减函数.

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（19）图，四棱锥ABCD P -为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6=

=AB PA ，点E 是棱PB 的

中点.

（Ⅰ）求直线AD 和平面PBC 的距离；

（Ⅱ）若3=

AD ，求二面角D EC A --的平面角的余弦值.

【命题意图】本题考查直线和平面垂直、二面角、三棱锥的性质及体积等基础知识.求解第（1）问的关键是将点到面的距离转化为三棱锥的高，等体积法是这类问题的杀手.第（2）问只需用“三垂线”即可找到二面角的平面角. 【分析】解法一： （Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形ABCD 中，//AD 平面PBC ， 故直线AD 和平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离.

因⊥PA 底面ABCD ，故，由AB PA =知PAB ?为等腰三角 形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥.又在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由 三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，故

AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD

和平面PBC 的距离.

（Ⅱ）过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过点F 作CE FG ⊥，

交AC 于G ，则DFG ∠为所求的二面角的平面角.

由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又BC AD //，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=AD AE DE .

在CBE Rt ?中，622=+=

BC BE CE .由6=CD ，所以

CDE ?为等边三角形，故F 为CE 的中点，且

2

2

33

sin

=

?=π

CD DF . 因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥，又CE FG ⊥，知AE FG 2

1

//，从而23=FG ，且G 点为AC 的中点.

连接DG ，则在ADC Rt ?中，2

3

212122=+==

CD AD AC DG .

所以3

62cos 222=??-+=FG DF DG FG DF DFG .

y

x

P z

G

F

答（19）图2

C

B

A

D

E

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建

立空间直角坐标系xyz A -.

设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B ，

)2

6

,0,26(

),6,0,0(E P . 因此)6,0,6(),0,,0(),2

6,0,26(

-===PC a BC AE ， 则0,0=?=?，所以⊥AE 平面PBC. 又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 和平面 PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3||=. （Ⅱ）因为3||=，则)0,3,6(),0,3,0(C D .

设平面AEC 的法向量),,(1111z y x n =，则0,011=?=?n n .

又)26,0,26(),0,3,6(==AE AC ，故?

?

???=+=+,02626,

0361111z x y x 所以1111,2x z x y -=-=. 可取21-=z ，则)2,2,2(-=. 设平面DEC 的法向量),,(2222z y x n =，则0,022=?=?n n . 又)2

6

,3,26(),0,0,6(-==，故 所以2222,0y z x ==. 可取12=y ，则)2,1,0(2=n .

故3

6

|

|||,cos 212121=

?>=

3

6. （20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率2

5

=e .

（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；

x M

题（20）图

2l

1l

y

G E

N

H O

（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 和过点),(22y x N （其中12x x ≠）

的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 上，直线MN 和两条渐近线分别交于H G 、两点，求

OGH ?的面积.

【命题意图】题主要考查双曲线概念、标准方程、几何性质，直线和双曲线的位置关系等基础知识，考查分析几何的基本思想方法和综合解题能力．圆锥曲线问题的求解一般思考方法是合理设元（设点或直线等）、几何条件代数化、建立恰当的关系式、围绕目标合理处理关系式（包括代入转化和恒等变形等）．

【分析】（Ⅰ）设C 的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b

y a x ，则由题意25,5===a c e c ， 因此1,222=-=

=a c b a ，

C 的标准方程为14

22

=-y x .

C 的渐近线方程为x y 2

1±=，即

02=-y x 和02=+y x .

（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点

),(E E y x E 在直线44:111=+y y x x l 和

44:222=+y y x x l 上，因此有4411=+E E y y x x ，4422=+E E y y x x ，

故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 设G 、H 分别是直线MN 和渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，

由方程组???=-=+02,44y x y y x x E E 及?

??=+=+,02,

44y x y y x x E E

解得E

E H E E G y x y y x y 22

,22--=+=

.

设MN 和x 轴的交点为Q ，则在直线44=+y y x x E E 中，令0=y 得E

Q x x 4

=

（易知)0≠E x . 注意到442

2

=-E E y x ，得

2|

4|||2||4

|2121|||4||||2122=-?=-++?=-??=?E E E E E E E E E H G OGH y x x x y x y x x y y OQ S .

解法二：设),(E E y x E ，由方程组

???=+=+,44,4422

11y y x x y y x x 解得12212

1122112,)(4y x y x x x y y x y x y y x E

E --=--=， 因12x x ≠，则直线MN 的斜率E

E y x

x x y y k 41212-=--=

.

故直线MN 的方程为)(411x x y x y y E

E

--

=-， 注意到4411=+E E y y x x ，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 下同解法一.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca c n ++=++（n N *

∈），其中实数0≠c .

（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）若对一切*

∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.

【命题意图】本题主要考查数列的定义、数列通项公式、数学归纳法、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式1()n n a pa f n +=+（p ，q 为常数）求通项公式. 【分析】（Ⅰ）解法一：由c c c c c ca a a +-=+=?+==2

2

2

2

121)12(33,1， 23233323)13(85c c c c c ca a +-=+=?+=， 34234434)14(157c c c c c ca a +-=+=?+=，

猜测*

-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.

下用数学归纳法证明. 当1=n 时，等式成立；

假设当k n =时，等式成立，即1

2)1(-+-=k k k c c k a ，则当1+=k n 时，

)12(])1[()12(1121`1+++-=++=+-++k c c c k c k c ca a k k k k k k

k k k k c c k c c k k +-+=++=++1212]1)1[()2(，

综上， 12)1(-+-=n n n c c n a 对任何*

∈N n 都成立.

解法二：由原式得

)12(11++=++n c a c a n

n

n n .

令n

n n c

a b =

，则)12(,111++==+n b b c b n n ，因此对2≥n 有 112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---

c

n n 1

3)32()12(+++-+-= c

n 112

+

-=，

因此1

2)1(-+-=n n n c c n a ，2≥n .

又当1=n 时上式成立.

因此*

-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.

（Ⅱ）解法一：由122->k k a a ，得 221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，

因02

2>-k c

，所以01)144()14(222>-----c k k c k .

解此不等式得：对一切*

∈N k ，有k c c >或/

k c c <，其中

)

14(2)

14(4)144()144(2

2222--+--+--=

k k k k k k c k ，

)

14(2)

14(4)144()144(22222/

--+-----=

k k k k k k c k .

易知1lim =∞

→k k c ，

又由144)14(4)14()14(4)144(22222

22+=+-+-<

-+--k k k k k k ，知

12

848)14(214)144(2

2222<--=-++--对一切*

∈N k 成立得1≥c .

又0)

14(4)144()144(2

2222/

<-+--+---=

k k k k k c k ，易知/

k c 单调递增，故

/1/c c k ≥对一切*∈N k 成立，因此由/

k c c <对一切*∈N k 成立得6

13

1/

1+-

=

从而c 的取值范围为),1[)6

13

1,(+∞+-

-∞ .

解法二：由122->k k a a ，得

221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，

因02

2>-k c

，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对*∈N k 恒成立.

记14)(4)(2

2

2

-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.

（ⅰ）当02

=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求.

（ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(

（ⅲ）当02>-c c 即0c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴

)

1(21

c x -=

必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数.

所以要使0)(>k f 对*

∈N k 恒成立，只需0)1(>f 即可.

由013)1(2

>-+=c c f 解得6131--<

c 或6

13

1+->c .

结合0c 得6

13

1+-

c .

综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6

13

1,(+∞+-

-∞ .