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第一讲矩阵运算性质及其应用

矩阵是数学中的一个重要内容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的.

一矩阵的概念及其运算方法

首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.

定义1 由m n ?个数字ij a （1,2,,i m = ，1,2,,j n = ）排成的m 行n 列的数表，称为一个

m 行n 列矩阵，简称为m n ?型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并

用大写字母表示，即

12121

2221

n n m m mn a a a a a a A a a a ??

= ?

位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ?型矩阵A 也记作m n A ?或m n

A ?.m n =时，n n ?型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .

两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B

相等，记作A B =.

有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E （也记作I ），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.

对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ??

?Λ= ? ?

? （与行列式中一样，不写出的元素就是0）.

下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.

定义2 设两个矩阵()ij m n A a ?=和()ij s t B b ?=，

①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B

相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -.

运算方法规定为

111112121121212222221122+++?? ?+++ ?+= ?

+++??

n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b

111112121121212222221122

---?? ?--- ?-= ?

---??

n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b

根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.

例如

23342334575710517067++????????+== ? ? ? ?++????????

1233132(3)2543244234212112211213-----???????? ? ? ? ?-=--=- ? ? ? ?

? ? ? ?-----????????

定义3 数k 与矩阵()ij m n A a ?=相乘的积记作()=kA Ak .

运算方法规定为

()

?=ij m n

kA ka

例如

23452535410152053105(3)5150155

0-?-?-?---??????-== ? ? ?--?--?-?-??????

定义4 设两个矩阵()ij m n A a ?=和()ij s t B b ?=，

①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B

相乘的积记作AB .

运算方法规定为

AB 的(,)i j 元1122=+++ i j i j in nj a b a b a b

即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.

例如312322314772??

-?? ?- ? ??? ?-??

233(2)(2)72133(2)(2)134(2)77

11437(2)?+?-+-??+?+-?-??= ??+?-+??+?+?-??1415441-??

= ?-??

定义5 设矩阵A 为m n ?型，

①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作k A .

运算方法规定为

1,0

,1,2-=??==??≥?

k E k A A k A A k ，

例如

232323313131??????= ? ? ?---??????

232323

()313131??????= ??? ?

---??????

1332331031????= ???-???? 3536361??= ?-??

定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或T A ，即

111212122212

?? ? ?= ?

??? n n m m mn a a a a a a A a a a 时，11

2111222212??

? ?'= ?

m m n

n mn a a a a a a A a a a

例如

345123??= ???A 时，314253??

?'= ? ???

定义7 设矩阵()ij m n A a ?=，

①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即

=ij

A a .

例如

341200111??

?= ? ?-??

A 时，21341412002(1)

611111+==?-=--A 注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一张数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，

矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.

定义8 设矩阵()ij m n A a ?=，

①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*

A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为

1121112

222*12?? ? ?= ?

n n n

nn A A A A A A A A A A 即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.

例如

-????= ? ?-????

a b d b c d c a *

123005111264200241-???? ? ?-=-- ? ? ? ?--????

2312131213323332332223*

111213212311131113212223313331332123313233212211

111231

3132

22??-

? ??? ? ? ?=--

? ? ???

? ?- ???

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ?=，

①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1

-A ，并称1

-A

为A 的逆矩阵

运算方法规定为

2=≥m n 时，1

1-=A A A

；

1==m n 时，即一阶方阵的逆1

1111

()-=a a .

当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。例如

1(3)3-??

= ???， 1

11242131343122

2--??-???? ?== ? ? ?---??

????

， 1

123005005111112642641010200241241--??????- ? ? ?-=--=- ? ? ? ? ? ?---??????

有时，规定一阶矩阵的伴随*11()(1)=a ，这样，求逆公式就统一为1

*1-=A A A

定义10 矩阵A 的共轭记作A ，规定为()?=ij m n A a .

例如

__________________

34141-????= ? ?+--+????

i i i i i i

习题1

1.计算

（1）1235189190654368321-????

? ?-+ ? ?

? ?

????；答案 13114744.689?? ?- ? ???（2）()???

? ??123321；答案 10. （3）()22123??

? ? ???

；答案 242436?? ? ? ???.（4）01(1,2,3)2014?? ? ? ?-??

；答案 (1,13). 2. 设2412A -??=

?-??,1123,1133B C ????== ? ?-????,计算;AB AC .答案 1326AB AC ??== ???

3. 设 ???? ??--=1111A ,???? ??--=1111B ,计算 ;AB BA . 答案,0000???

? ??=AB 2222BA ??

= ?--??.

4. 已知 3435T s

t u v A B C D C C ????+=，求,,,s t u v . 答案4,5,3s t v u ====.

5. 设 (0,8,6),T A ααα==，计算 101A .答案 1011000001000644804836A ?? ?= ? ???

6. 设33

123(,,),2A A ααα?==-，求3121

2,3,αααα-. 答案6.

7.求矩阵的伴随矩阵以及逆矩阵（1） 2543A -??= ?-??；（2）120213502A -??

=- ? ?

-??

. 答案（1）35*42A -??= ?-?? ，1

3514214A --??= ?-??；（2）246*19235103A --?? ?=-- ? ?-??，2461*1923365103A -??

?=- ? ?

--??

二矩阵运算的性质

这一部分讲两个问题：

其一，矩阵运算性质的发现方法——类比；

其二，矩阵运算性质的证明方法（定义方法及其简化形式，举反例方法，连续性方法，逆矩阵方法）

其一，矩阵运算性质的发现方法——类比

矩阵运算是与数值运算不同的一种新运算对象的运算.研究它们的性质，当然还是从类比数值运算的性质开始.

注意到，运算的名称是规定的,因此，进行类比时，数值运算的某一运算性质就可能

会类比到矩阵的每一个运算上面去.

例如，类比交换性质，就是交换运算中两个运算对象的位置，就可类比出下列等式是否正确的问题： ①+=+A B B A ②-=-A B B A

③=kA Ak (定义中相等) ④=AB BA

⑤=k

A k （A

k 不会算）

①②④这三个等式是否正确的判别就是下面要讲的证明方法。

其二，矩阵运算性质的证明方法

于是要做的事情就很多了.类比数值运算，矩阵有哪些运算性质呢？在这一讲中，我们不可能将所有性质都列举出来，并逐一证明一遍，这也不必要.我们将针对某些类比性质，用举例的形式给出主

要用到的证明方法，希望大家学会以后，能举一反三.

①定义方法及其简化形式

例1 证明矩阵乘法满足结合律：()()A BC AB C =.

注意矩阵运算的等式是有前提条件的. 运算所要求的所有条件中，有些条件是必须作为前提条件的，有些条件是可由前提条件推出的. 而在等式中往往又写不出这些条件，那么怎么样区分哪些是前提条件呢？一般来说，等式两边的运算中，最基本运算的一边的条件是作为前提条件的，而另

一边（往往可能是复合运算时，更是如此）的条件是应该要推出来的.

证等式两边都是复合运算，选取左边的运算条件为前提条件.

设B 为n s ?型，则C 必须是s 行，可设C 为s t ?型，从而BC 是n t ?型，则A 必须是n 列，可设A 为m n ?型，于是左边()A BC 为m t ?型.而这时右边()AB C 的运算条件显然就都满足了，且也是m t ?型,等式两边型相同了.

下面再来证明两边对应位置的元素相等.用()ij X 表示矩阵X 的(,)i j 元，这样，左边的(,)i j 元为

(())ij A BC 1122()()()()()()i j i j in nj A BC A BC A BC =+++

11111221()[()()()()()()]i j j s sj A B C B C B C =+++ 22112222()[()()()()()()]i j j s sj A B C B C B C ++++

1122()[()()()()()()]in n j n j ns sj A B C B C B C ++++ 11122111[()()()()()()]()i i in n j A B A B A B C =+++ 11222222[()()()()()()]()i i in n j A B A B A B C ++++

1122[()()()()()()]()i s i s in ns sj A B A B A B C ++++ 1122()()()()()()i j i j is sj AB C AB C AB C =+++ (())ij AB C =

为右边的(,)i j 元，1,2,,i m = ，1,2,,j t = .

根据矩阵相等的定义，我们就证明了乘法结合律.

从这个例子，我们看到，要证明一个矩阵运算的等式，就要做两方面的工作. 一方面找出所需要的前提条件（尽可能少）并推证出其他的运算条件是满足的. 另一方面再证明矩阵运算的等式是成立的，即等式两边型相同，且所有对应位置的元素也相等，这可以叫做矩阵相等的定义方法

仿照例1的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质 ①A B B A +=+

②()()A B C A B C ++=++ ③()A B A B -=+- ④()()A A λμλμ= ⑤()A A A λμλμ+=+

⑥()A B A B λλλ+=+ ⑦()()()AB A B A B λλλ==

⑧()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+ ⑨k

k l

A A A

+=，()k l kl A A =

⑩()T T A A = ?()T T T A B A B +=+ ?()T T A A λλ= ?()T T T AB B A = ?________

A B A B +=+ ?_____

A A λλ= ?_____A

B AB =

其中，性质?是类比分配律考虑()=T T T AB A B 成立与否时发现的.

例2 证明伴随矩阵满足**AA A A A E ==.

证根据行列式展开定理：同行展开等于行列式本身，异行展开等于零.

1112111

21121

22212222*

12n n n n n n nn n

nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A ???? ??

? ???= ??? ??

?????

A A

A ??

?= ?

? ??

A E = 同理*

A A A E =.

这个证明中，省略了前提条件：A 为方阵且阶2≥，并推出其他运算条件的过程.且矩阵相等不是像例1那样分两步，而是直接计算的.

仿照例2的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质 ①A O A +=

②OA O =，AO O =，注意这些零矩阵可能不同型 ③EA A =，AE A =，注意这些单位矩阵可能不同阶

④()()()12121122diag ,,,diag ,,,diag ,,,n n n n a a a b b b a b a b a b ±=±±± ()

()(

)12121122d i a g ,,,d i a g ,,,

d i a g ,,,n n

n n a a a b b b a b a b a

b =

()()

()1212d i a g ,,,

d i a g

,,,k

k k n n a a a a a a =

⑤1

111

222

n n n n a b a b a b a b a b a b ??????

*** ??? ? ??? ?= ??? ? ??? ??

?????

1112

k n n a a a a a a ??

??**

? ? ? ?= ? ? ? ? ??

对于方阵A 和多项式2012()m m f x a a x a x a x =++++ ，记

2012()m m f A a E a A a A a A =++++

并称()f A 为矩阵A 代入多项式()f x 所得的多项式，注意()f A 仍是与矩阵A 同阶的方阵.

⑥对于两个多项式()f x 和()g x 及方阵A ，交换律成立：

()()()()f A g A g A f A =

⑦如果()f x 为多项式，()12diag ,,,n λλλΛ= ，则

()12()diag (),(),,()n f f f f λλλΛ=

⑧如果()f x 为多项式，A 为上三角形矩阵，

n a a A a ??* ?

?= ? ??

则

2()()

()()n f a f a f A f a ??* ?

?= ? ??

对于下三角形矩阵，上述类似结论也成立.

⑨若1

A P BP -=，()f x 为多项式，则1

()()f A P f B P -=.

⑩11

AA A A E --==.

最后，我们还指出一个很有用的性质.

?对于1阶方阵()k ，总有()A k kA =，()k A kA =. ②举反例方法

例3 举反例说明矩阵乘法交换律不成立：AB BA ≠.

解当A ，B 不是同阶方阵时，显然AB BA ≠.

对于同阶方阵A ，B ，最简单的为2阶（显然1阶方阵时，没有反例）.这时，左边的(,)i j 元为

1122()()()()()ij i j i j AB A B A B =+

而右边的(,)i j 元为

1122()()()()()ij i j i j BA B A B A =+.

显然，1i =，1j =，12()1A =，21()1B =，21()0A =时，1111()()AB BA ≠.于是，无论A ，B 的其他元素怎么取，都有AB BA ≠.故可选A ，B 的其他元素都为0，即

0100A ??= ???，0010B ??

= ???

，

这时

10000001AB BA ????=≠= ? ?????

仿照例3举反例的方法，可对下列矩阵运算性质举反例进行说明. ①矩阵乘法有零因子，即0AB =?0A =或0B =

②矩阵乘法消去律一般不成立，即AB AC =且0A ≠?B C =

另外，由于矩阵乘法交换律不成立，从而有关因式分解的代数公式一般就都不成立，即 ③222()2A B A AB B ±≠±+ ④33223()33A B A A B AB B ±≠±+± ⑤0

()(1)

n k

k k n k n k A B C A B --=±≠

±∑

⑥22

()()A B A B A B +-≠- ⑦2

()()A B A AB B A B ±+≠± ⑧12321()()n n n n n n A B A A B A B B A B ----+-+-+≠+ ，n 为奇数 ⑨1

2321()()n n n n n n A B A

A B A B B A B -----++++≠-

乘积乘方的公式也不成立，即

⑩()k k k AB A B ≠

但是，要注意，仿照例2的证明方法，显然可以证明：对于乘法可以交换的两个具体矩阵A 和B ：AB BA =，上述公式③~⑩中的不等号“≠”就都要换成等号“=”.

③连续性方法

另外，由于乘法没有交换律，因此，若想用乘法定义除法，对于可逆矩阵B ，A 除以B 就应该分清是右除，还是左除，所以在矩阵运算中没有除法，因此，矩阵是永远不能出现在分母中的.

又由于矩阵取行列式后，就是上一章的行列式，是一个数了.前几例的方法就不能完全用来研究矩阵运算的行列式性质.

①T

A A =（行列式转置，值不变）

②n n n kA k A =（n 个行都提出公因子k ） ③AB A B =

④k

A A =（由③归纳） ⑤2n ≥时，1

n n n A A -=，*

11()11a ==

⑥1

--==

⑦____

A A =（行列式定义和数值共轭运算性质） ⑧A

B A B +≠+ （举2阶反例） ⑨A B A B -≠- （举2阶反例）下面给出③、⑤、⑥的证明. 先证明③.首先

11121212221211

12121222121

==----

n n n n nn

a a a a a a a a a A O D A B

b b b E

B b b b b b b

另一方面，我们对行列式D 进行下列倍加列：第i 列的i j b 倍加到第n j +列上去（1,2,,i n = ，

1,2,,j n = ），有

(1)(1)n n A AB E O

D E AB AB E O A AB

=-=--=- 这就证明了AB A B =.注意这里A 、B 为同阶方阵是前提.

再证明⑥.利用例2后面列出的性质⑩，1

AA E -=，再根据刚证明的性质③，就得到

111A A A A E --===,故1

11A A A

--=

=. 最后证明⑤.后一个等式是显然的.对前一个等式，我们采用一种连续性方法进行证明. 对2n ≥，当A 可逆时，

*11

n n n n A A A A A A

---===.

当A 不可逆时，记B A tE =+，显然B 是t 的n 次多项式，至多n 个不同根，其中一个根为0t =.

因此在0t =的一个空心邻域内，0B ≠，B 可逆.由前面已证明的结论知1

n B B

-=在0t =的一个空心

邻域内总成立.

令0t →，则**

B A →，**B A →，B A →，1

n B A

-→，而等式两边仍是t 的多项式，由多项

式的连续性知，这时也有1

n n A A

-=.

④逆矩阵方法

对于矩阵的求逆运算，有如下特别重要的充要条件：

例4 对于方阵A ，1A B -=的充要条件是AB E =（或BA E =）.

证若A 为1阶方阵，上述充要条件是显然的.若方阵A 的阶2≥，当A 可逆且1

A B -=时，由例2后

的性质⑩得1

AB AA

E -==（或1BA A A E -==）.

而当AB E =时，易知A 、B 为同阶方阵，由矩阵运算的行列式性质③知

1A B AB E ===

就得0A ≠，从而A 可逆，再利用例2后的性质⑩和③就得到

111B EB A AB A E A ---====

同样可证BA E =的情形.

利用这个充要条件，我们就得到一个证明逆矩阵问题的方法——逆矩阵方法：要证1

A B -=，只

须证明A 为方阵且AB E =（或BA E =）.下面逆矩阵的性质就可以用这个方法证明.

①1

11()

kA k A ---= ②1

11()

AB B A ---=

③11()()k k k A A A ---== ④11()()T T A A --= ⑤*11*()()A A --= ⑥11()A A --= ⑦______

()

()A A --=

同样，举反例可说明 ⑧111()A B A B ---+≠+ ⑨111()A B A B ----≠-

另外，对于可逆矩阵的乘法消去律是成立的 ⑩AX AY =或XA YA =且A 可逆?X Y =

对于伴随矩阵，除前面已列举的性质外，还有一些性质，主要用前面的连续性方法进行证明，一并列出如下：

①*1*()n n n kA k A -=（用伴随的定义和行列式性质即得） ②***()AB B A =

③**()()k k A A =（用②归纳）

④**()()T T A A =（转置和伴随的定义即得） ⑤1**1()()A A --=（前面已有）

⑥2**

2()2(1)1n A A n A A n n -?>?==??=?

⑦______

()()A A =（用伴随的定义和行列式性质即得） ⑧**

AA A A A E ==（前面已有）同样，举反例可证明 ⑨*

()A B A B +≠+ ⑩*

()A B A B -≠-

习题2

1. 仿照例1的证明方法，证明下列矩阵运算性质（1）()A B C AB AC +=+ （2）()T T T AB B A =

2. 仿照例2的证明方法，证明下列矩阵运算性质

（1）对于两个多项式()f x 和()g x 及方阵A ，交换律成立：

()()()()f A g A g A f A =

（2）如果()f x 为多项式，()12diag ,,,n λλλΛ= ，则

()12()diag (),(),,()n f f f f λλλΛ=

(3) 若1

A P BP -=，()f x 为多项式，则1()()f A P f

B P -=. (4)1

1AA A A E --==.

(5)对于1阶方阵()k ，总有()A k kA =，()k A kA =.

3. 仿照例3举反例的方法，对下列矩阵运算性质举反例进行说明. (1)矩阵乘法有零因子，即=?AB O =A O 或=B O

(2)矩阵乘法消去律一般不成立，即AB AC =且≠A O ?B C = (3)222()2A B A AB B ±≠±+ (4)A B A B +≠+ （5） 111()A B A B ---+≠+

4. 用逆矩阵方法证明下列逆矩阵的性质（1）111()kA k A ---= （2）111()AB B A ---= （3）11()()k k k A A A ---== （4）11()()T T A A --= （5）*1

1*()

()A A --=

5. 证明：如果A A =2

,E A ≠,则A 必为奇异矩阵.

6. 证明 1

1111()()()A

B A A B B B A B A -----+=+=+.

三矩阵运算性质的应用

在这一部分，我们将列举一些应用矩阵运算性质解决的问题. ①性质1

1,--*===*=AA

A A E AA A A A E 的应用

例5 设

202220044A ?? ?= ? ???，2

23011211B ?? ?= ? ?-??

，

解矩阵方程3422A X B X +=+.

解移项并合并同类项得

223X B A =-

故 1(23)2X B A =-2232021201132202211044??

???? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-??????

2401642241410-?? ?=-- ? ?--??120321275-?? ?=-- ? ?--?? 例6 设

210031001A ??

?= ? ???

解矩阵方程45AX A X +=.

解移项

54AX X A -=-

提出公因子

(5)4A E X A -=-

消去系数矩阵求解

1(5)(4)X A E A -=--

化简

1(5)[4(5)20]X A E A E E -=----

1420(5)

E A E -=--- 由210031001A ?? ?= ? ???知，31

0502

1004A E -?? ?

-=- ? ?-??

，524A E -=-， 1*81111(5)(5)0123524006A E A E A E ---??

-=-= ?--

???

. 从而

855366100811554010012306

62001006001X ??-- ?--????

? ? ? ?=-+= ? ?

? ? ? ????? ?

例7 设

200031001A ?? ?= ? ???

解矩阵方程*

44AXA AX E +=.

解化简

1*1(4)(4)A AXA AX A A E A --+=

即

44A X XA E +=

提出公因子

(4)4X A E A E +=

消去系数矩阵求解

11(4)4(4)4(4)X A E A E A E A A E A --+=+=+

由于200031001A ??

= ? ???

，故6A =-，

于是

040640010A E A ?? ?

+= ? ?-??

4120A E A +=-

160001(4)020********A E A --?? ?

+=-- ?- ???

因此

60003000110208010430150012006X -???? ? ?=--= ? ?- ? ?-????

②性质1*

-=A

A A 的应用

例8 设43A =-，求*1

5A A -+.

解

410

55(5)(5)-----≠++=++A A A A

A A A

A A

443

(5)(35)16

A A A

=-+-+=

==--

例9 设

202031005A ?? ?= ? ???

求*1[2(3)]A E -+.

解

*111[2(3)][23(3)]A E A E A E ---+=++1

11123[(3)]A E A E ----=++

1(3)23A E A E =++5021061480008??

= ? ???

例10 设

201310401A ?? ?= ? ???

求*1*[32]A A -+.

解

*1*11*1*[32][32][(32)]A A A A A A A ----+=+=+111(32)[(32)]A A A A ---=++

111

(32)(32)()A A

A A ----=++2(32)

A A A =+2012163102401??= ?- ? ???A 2018310401?? ?=- ? ???

③性质:对于

1阶方阵()k ，总有()=A k kA ，()=k A kA 的应用

例11 设()1,2,3α=，T A αα=，求101A .

解

()11,2,32143T αα?? ?

== ? ???

()112321,2,32463369T A αα???? ? ?

=== ? ? ? ?????

101101100100100123()()()()1414246369T T T T T T T A αααααααααααααα??

===== ? ???

例12 设(1,1,0)T α=-，T

A E x αα=+，求x ，使3

A A =.

解

33()T A E x αα=+322333()()T T T E E x E x x αααααα=+++2(364)T E x x x A αα=+++=

?0x =或2(364)0x x ++=?0x =或338i x -+=

或338

x --=. ④逆矩阵方法的应用：由

()=f A O ,证明()g A 可逆并求出1[()]-g A (带余除法)

例13 设A 满足323++=A A E O ，试证明A E -可逆，并求出1()A E --.

解先将等于零矩阵的等式3

23++=A A E O 左边A 的多项式还原成变量x 的多项式3

23++x x 作为被除式，讲要求逆的A 的多项式还原成变量x 的多项式1-x 作为除式，做多项式带余除法

3123++-++x x x x x

)--x x

23x x ++

2)--x x

33x +

)33--x

即得

23(1)(3)623x x x x x -+++=++

于是

23()(3)623-+++=++=A E A A E E A A E O

从而

1()[

(3)]6

A E A A E E --++= 所以A E -可逆，且2

1()(3)6

A E A A E --=

++. 例14 设A 满足3

6136+++=A A A E O ，试证明2

32++=A A E O 可逆，并求出21(32)A A E -++. 解由于232()(2)A A E A E A E ++=++，且由3

6136+++=A A A E O ,可仿照例13求得

A E +可逆且12

1()(58)2A E A A E -+=

++ 2A E +可逆且121

(2)(45)4A E A A E -+=++

从而2

32A A E ++可逆且

2111(32)(2)()A A E A E A E ---++=++

321(9335740)8A A A A E =

++++ 3221[(3)(6136)21222]

8A E A A A E A A E =+++++++ 21

(611)4

A A E =++ 注：本题由于322

6136(32)(3)2A A A E A A E A E A +++=++++，余式2A 不是非零常数，直接

做不出来.

_矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积B A ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix Kronecker

product Abstract According to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product B A , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product). This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof. Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords: Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations 目录

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则设矩阵，，则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．

已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

MATLAB实验二矩阵基本运算(一)答案

实验一矩阵基本运算（一）（1）设A 和B 是两个同维同大小的矩阵，问： 1）A*B 和A.*B 的值是否相等？ ????? ?? =763514432A ???? ? ??=94 525 313 4B A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A*B, A.*B ans = 37 37 44 44 37 51 65 67 78 ans = 8 9 4 12 5 10 15 24 63 2）A./B 和B.\A 的值是否相等？ A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A./B, B./A

ans = 0.5000 1.0000 4.0000 1.3333 0.2000 2.5000 0.6000 1.5000 0.7778 ans = 2.0000 1.0000 0.2500 0.7500 5.0000 0.4000 1.6667 0.6667 1.2857 3）A/B和B\A的值是否相等？ A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A/B, B/A ans = -0.3452 0.5119 0.3690 0.7857 -0.7857 0.6429 -0.9762 1.3095 0.5952 ans = 110.0000 -15.0000 -52.0000

92.0000 -13.0000 -43.0000 -22.0000 4.0000 11.0000 4）A/B和B\A所代表的数学含义是什么？解： A/B是B*A的逆矩阵 B\A是B*A的逆矩阵（2）写出完成下列操作的命令。 1）将矩阵A第2—5行中第1，3，5列元素赋给矩阵B。 A=[0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186] B=A(2:5,[1,3,5]) A = 0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186 B = 0.2311 0.7382 0.2028 0.6068 0.1763 0.1987 0.4860 0.4057 0.6038 0.8913 0.9355 0.2722 2）删除矩阵A的第7号元素。 A=rand(6,6); >> A(7)=[inf] A = 0.8385 Inf 0.1730 0.1365 0.2844 0.5155

求矩阵的基本运算

求矩阵的基本运算 #include #include void jiafa() { int m,n; float a[20][20],b[20][20],c[20][20]; int i,j; printf("请输入矩阵行数："); scanf("%d",&m); printf("请输入矩阵列数："); scanf("%d",&n); printf("请输入第一个矩阵："); for(i=0; i

矩阵乘法题目

十个利用矩阵乘法解决的经典题目 By Matrix67 好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时 O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。经典题目2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。经典题目3 POJ3233 (感谢rmq) 题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据mod m。k<=10^9。这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有： A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3) 应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。

GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)

GE矩阵法及其使用方法介绍一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司（GE）于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。二、方格分析计算方法介绍： GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），

每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力）和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务（或产品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素（可能需要根据各公司情况作出一些增减）。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等，关键是不能遗漏重要因素，也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始，纵览这张表（使用同一组经理），并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似，则对其影响做总体评估，若一因素对不同竞争者有不同影响，可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准（1=毫无吸引力，2=没有吸引力，3=中性影响，4=有吸引力，5=极有吸引力）。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定（1=极度竞争劣势，2=竞争劣势，3=同竞争对手持平，4=竞争优势，5=极度竞争优势），在这一部分，应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。具体的方法是：- 确定内外部影响的因素，并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数（五级）- 最后，用权重乘以级数，得出每个因素的加权数，并汇总，得到整个产业吸引力的加权值下面分别用折线图和表格两种形式来表示。

矩阵乘法的性质优秀教学设计

矩阵乘法的性质【教学目标】一、知识与技能：理解矩阵乘法不满足交换吕和消去律，会验证矩阵乘法满足结合律二、过程与方法：比较演算法三、情感态度和价值观：体会类比推理中结论全真的含义【教学重难点】结合律验证【教学过程】一、复习二阶矩阵的乘法运算规律与实数乘法性质实数乘法运算性质：交换律ab=ba 结合律 (ab)c=a(bc) 消去律：ab=ac ，a ≠0则b=c 零律：0a=a0=0 1律：1a=a1=a 分配律 a(b+c)=ab+ac 问题：对于矩阵乘法，这些结论是否还成立？二、矩阵的简单性质 1．由上节知识知：消去律未必成立，即AB=AC ，A ≠0，则未必有B=C 2．交换律呢？例1．（1）已知P=??????1001k ，Q=?? ????1002k ，求PQ 及QP ，说明二者的几何意义及是否相等（2）A=??????2001，B=?? ????-3241，求AB ．BA ，说明二者是否相等解：（1）PQ=??????120 0k k ，QP=??????1200k k ，二者相等， PQ ：(x ，y)倍横坐标变为原来的2:k T Q (k 2x 2，y)倍纵坐标变为原来的1k (k 2x ，k 1y) QP ： ??????????????????y k x k k T y k x k T y x Q P 12211::倍横坐标变为原来的倍纵坐标变为原来的（2）AB=??????-6441，BA=?? ????-6281，AB ≠BA

说明：对于矩阵乘法，交换律未必成立 3．结合律是否成立？ A=??????1111d c b a ，B=??????2222d c b a ，C=??????3333d c b a ，则AB=?? ????++++2121212121212121d d b c c d a c d b b a c b a a ， BC=??????++++32323 23232323232d d b c c d a c d b b a c b a a (AB)C=??????++++2121212121212 121d d b c c d a c d b b a c b a a ?? ????3333d c b a =??????++++++++++++3213213213213 21321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a A(BC)=??????1111d c b a ?? ????++++3232323232323232d d b c c d a c d b b a c b a a =??????++++++++++++3213213213213 21321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a 说明：矩阵乘法满足结合律 4．自己验证：矩阵乘法满足结合律，即：A(B+C)=AB+AC 5．零律是否满足，证明你的结论，即AO=OA=O 是否成立？（成立） 6．一律是否满足？证明你的结论，即EA=AE=A 是否成立？（成立）三、备用练习与例题 1．计算（1）????????????-??????011010210110 （2）32301?? ????- （解答（1）??????-1101 （2）?? ????-8901） 2．求使式子成立的a ．b ．c ．d ，?? ????=????????????34120032d c b a （解答：a=1，b=4，c=1，d=1） 3．a ．b 为实数，矩阵A=?? ????b a 10将直线L ：2x+y-7=0变为自身，求a ，b （解答a=1/2，b=1）四、习题： [补充习题] 1．对于三个非零二阶矩阵。下列式子中正确的序号是____________

MATLAB矩阵运算基础练习题

第2章 MATLAB 矩阵运算基础 2.1 在MA TLAB 中如何建立矩阵?? ?? ??194375，并将其赋予变量a ？ 2.2 请产生一个100*5的矩阵，矩阵的每一行都是[1 2 3 4 5] 2.3产生一个1x10的随机矩阵，大小位于（-5 5） 2.2 有几种建立矩阵的方法？各有什么优点？可以用四种方法建立矩阵： ①直接输入法，如a=[2 5 7 3]，优点是输入方法方便简捷； ②通过M 文件建立矩阵，该方法适用于建立尺寸较大的矩阵，并且易于修改； ③由函数建立，如y=sin(x)，可以由MATLAB 的内部函数建立一些特殊矩阵； ④通过数据文件建立，该方法可以调用由其他软件产生数据。 2.3 在进行算术运算时，数组运算和矩阵运算各有什么要求？进行数组运算的两个数组必须有相同的尺寸。进行矩阵运算的两个矩阵必须满足矩阵运算规则，如矩阵a 与b 相乘（a*b ）时必须满足a 的列数等于b 的行数。 2.4 数组运算和矩阵运算的运算符有什么区别？在加、减运算时数组运算与矩阵运算的运算符相同，乘、除和乘方运算时，在矩阵运算的运算符前加一个点即为数组运算，如a*b 为矩阵乘，a.*b 为数组乘。 2.5 计算矩阵??????????897473535与???? ??????638976242之和，差，积，左除和右除。 2.6 求?? ?? ??+-+-+-+-++=i 44i 93i 49i 67i 23i 57i 41i 72i 53i 84x 的共轭转置。 2.7 计算???? ??=572396a 与??????=864142b 的数组乘积。 2.8 “左除”与“右除”有什么区别？在通常情况下，左除x=a\b 是a*x=b 的解，右除x=b/a 是x*a=b 的解，一般情况下，a\b ≠b/a 。 2.9 对于B AX =，如果??????????=753467294A ，???? ??????=282637B ，求解X 。 2.10 已知：???? ??????=987654321a ，分别计算a 的数组平方和矩阵平方，并观察其结果。 2.11 ??????-=463521a ，?? ????-=263478b ，观察a 与b 之间的六种关系运算的结果。

线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)

矩阵在自己专业中的应用及举例

摘要： I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。 II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。 III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，

与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。第二部分研究问题及成果 1. 矩阵的概念定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表 ????? ???????ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M K Λ212222111211 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。下面介绍几种常用的特殊矩阵。（1）行距阵和列矩阵仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为 a=(a11,a12,.....a1n). 仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如

第一讲矩阵的概念、运算

第一讲 Ⅰ 授课题目（章节）： §2.1 矩阵的概念； §2.2 矩阵的计算 Ⅱ 教学目的与要求：理解矩阵概念；掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点：矩阵的乘法 Ⅳ 讲授内容： §2.1 矩阵定义2.1 由n m ?个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21112 11 称为m 行n 列矩阵,简称n m ?矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 ??????? ??=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。 n 行n 列的矩阵n n A ?称为n 阶矩阵（或n 阶方阵），简记为n A 。只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵 ?????? ? ??=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量. 定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即

),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij === 那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =. 元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ?，简记为O .不同型的零矩阵是不同的. ??????? ??=100010001 n I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0. §2.2 矩阵的运算 1. 矩阵的加法定义2.3 设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B , 规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2. 数与矩阵相乘: 定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3. 矩阵与矩阵相乘: 定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩阵,那么规定矩阵

矩阵的运算实例程序

设计一个矩阵相乘的程序假设有 1 5 7 3 3 9 1 4 1 4 A= 3 6 3 9 B= 5 6 7 9 0 3 1 2 8 7 3 2 7 2 5 6 0 3 1 9 9 7 4 7 8 0 3 2 5 4 求出A*B的矩阵程序构思：我们所知的矩阵乘法运算的算式如下： C ij = A ik X B kj的k从1到n 的和，那么可以用一个3层循环来运算此算式： C(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1)+A(1,4)*B(4,1) =(1*3)+(5*5)+(7*3)+(3*9) =3+25+21+27 =76 同理 C(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2)+A(1,4)*B(2,2) =(1*9)+(5*6)+(7*2)+(3*7) =9+30+14+21 =74 依此类推，我们可以求得矩阵A与矩阵B的矩阵乘积。 void main(void) { int matrixa[5][4]={1,5,7,3, 3,6,3,9, 1,2,8,7, 0,3,1,9, 3,2,5,4}; int matrixb[4][6]={3,9,1,4,1,4, 5,6,7,9,0,3, 3,2,7,2,5,6, 9,7,4,7,8,0}; int matrixc[5][6]; int i,j,k; for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<6;j++) { matrixc[i][j]=0; for(k=0;k<4;k++) matrixc[i][j]+=matrixa[i][k]*matrixb[k][j];

浅谈矩阵计算

浅谈矩阵计算一丶引言矩阵是高等代数学中的常见的工具。在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。二、矩阵的介绍与基本运算由m×n个数a ij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m ×n矩阵。只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单，但从计算上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计

matlab中的矩阵的基本运算命令

1.1 矩阵的表示 1.2 矩阵运算 1.2.14 特殊运算 1．矩阵对角线元素的抽取函数diag 格式X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。 X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。 v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。 v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。 2．上三角阵和下三角阵的抽取函数tril %取下三角部分格式L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。函数triu %取上三角部分格式U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。3．矩阵的变维矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。（1）“：”变维（2）Reshape函数变维格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B B = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×… B = reshape(A,[m n p…]) %同上 B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数相同。（5）复制和平铺矩阵函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。 B = repmat(A,[m n]) %与上面一致 B = repmat(A,[m n p…]) %B由m×n×p×…个A块平铺而成 repmat(A,m,n) %当A是一个数a时，该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。 1.3 矩阵分解 1.3.1 Cholesky分解函数chol 格式R = chol(X) %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。 [R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。 1.3.2 LU分解

2.2矩阵的运算及其性质

2.2矩阵的运算及其性质课题 2矩阵的运算及其性质时间教学目的学习矩阵相关的概念重点难点．矩阵概念；2特殊矩阵时间分配教学过程教学方法教学手段 0ˊ一、导言：矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。二、新授： 2.2.1矩阵的加法．定义2.2：两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的行数和相同的列数时才能相加。2．矩阵

的加法满足下列运算律：。两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。2.2.2数与矩阵的乘法．定义2.3：一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。2．数与矩阵的乘法满足下列运算律：例3设，求。解：讲授法板演 2.2. 3.矩阵的乘法．定义2.4：设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中2矩阵的乘法满足下列运算律：结合律：分配律：设是数，。例2设，，求，与。解：从例题中我们可以得出下面的结论：矩阵的乘法不满足交换律。即一般地说，。两个非零矩阵的乘积可能等于零。一般说来，不能推出或。矩阵乘法中消去律不成立。即，且，不能推出．设是一个阶方阵，定义：称为的次方幂。由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：；，时间分配教学过程教学方法教学手段

其中，为正整数。又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式2.2.4矩阵的转置1．定义2.5：设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律：例9设BT=B,证明T=ABAT证明：因为BT=B，所以T=[AT]T=TT=ABTAT=ABAT3．定义2.6：设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。如果，即有，，则说为反对称矩阵。2.2.5n阶方阵的行列式1．定义2.7：由阶方阵所有元素构成的行列式，称为阶方阵的行列式，记作||或。2．阶行列式的运算满足下列运算律：；；。三、练习：习题2.22~4四、小结：本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。五、作业：课后记事本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。

矩阵运算性质其应用

第一讲矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要内容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的. 一矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法. 定义1 由m n ?个数字ij a （1,2,,i m =L ，1,2,,j n =L ）排成的m 行n 列的数表，称为一个 m 行n 列矩阵，简称为m n ?型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即 1112121 22 212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M O M L 位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ?型矩阵A 也记作m n A ?或m n A ?.m n =时，n n ?型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A . 两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B 相等，记作A B =. 有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E （也记作I ），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵. 对角矩阵()1 2 12diag ,,,=n n λλλλλλ?? ? ?Λ= ? ?? ? L O （与行列式中一样，不写出的元素就是0）. 下面，我们来复习矩阵的10个运算方法. 定义2 设两个矩阵()ij m n A a ?=和()ij s t B b ?=， ①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B 相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -. 运算方法规定为

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