高中数学外接球的几种常见求法

高三微专题：外接球

一、由球的定义确定球心

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt△用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）．

二、球体公式

1.球表面积S=42R 2.球体积公式V=334R

三、球体几个结论：

（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长

（2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心

（3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角）

（4）正三棱锥对棱互相垂直

四、外接球几个常见模型

1.长方体（正方体）模型 O

例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）

答案：14 练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

答案：12

2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）

球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上

半径公式：222)(rRhR（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理rAa2sin

（一边一对角)

例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是____.

【解析】

正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．

正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，，，，在中，，由勾股定理得．所以，球的表面积.

练习2．正三棱锥ABCS中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .

解析：ABC外接圆的半径为

，三棱锥ABCS的直径为3460sin22R，外接球半径32R，

或1)3(22RR，32R，外接球体积2733233834343RV

3. 侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）

(1) 侧棱与底面垂直：

球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）

半径公式：222)2(hrR,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理rAa2sin

（一边一对角)

(2) 直棱柱(圆柱)

球心位置：上下底面外心连线中点处

公式公式：222)2(hrR,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理rAa2sin

（一边一对角)

例3.在四面体中，ABCSA平面，,1,2,120ABACSABAC

则该四面体的外接球的表面积为（ ）11.A 7.B 310.C 340.D

解析：在ABC中，7120cos2222BCABABACBC，

7BC，ABC的外接球直径为372237sin2BACBCr，

310,)2(2222RSArR，340S，选D

练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。

解析：32BC，4120sin322r，2r，5R，20S SABC111ABCABC12ABACAA120BAC