个性化学科优化学案
辅导科目
数学就读年级学生教师徐亚
课题函数的概念
授课时间2015年11月28 备课时间2015年11月25日
教学目标1、理解函数的概念，明确确定函数的三个要素，会用区间表示函数的定义域和值域；掌握求函数定义域的基本原则。
2、了解函数的三种表示方法，并能选择合适的方法表示函数。
重、难考点求函数的值域问题时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。
教学容
鹰击长空—基础不丢
1．定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B
→为集合A到集合的一个，记作：
2．函数的三要素、、
3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法；
4.同一函数：相同，值域，对应法则 .
1．区间的概念和记号
在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,b∈R ,且a ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a ③满足不等式a≤x 这里的实数a和b叫做相应区间的端点. 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间的端点，定义名称符号数轴表示 {x|a ≤x ≤ b} 闭区间 [a ，b] {x|a 开区间 (a ，b) {x|a ≤x } 左闭右开区间 [a ，b] {x|a } 左开右闭区间 (a ，b) 这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读 作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x ∞,b). 注意：书写区间记号时： ①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开. 3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值围，对应法则不同，这样的函数通常称 为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数. 4．复合函数：设 f (x )=2x 3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x 3)2+2=4x 212x +11）为复合函数 5．定义域：自变量的取值围 求法：（1）给定了函数解析式：使式子中各部分均有意义的x 的集合； (2) 活生实际中，对自变量的特殊规定. 6.常见表达式有意义的规定： ① 分式分母有意义，即分母不能为0； ② 偶式分根的被开方数非负， x 有意义集合是{|0}x x ≥ ③ 00无意义 ④ 指数式、对数式的底a 满足：{|0,1}a a a >≠,对数的真数N 满足：{|0}N N > 二、值域是函数()y f x =中y 的取值围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数 法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 可以攻玉—经典题型 1、求函数解析式问题 一、定义法： 例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f . 二、待定系数法： 例2：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f . 三、换元（或代换）法： 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1 ()(2=+，求)(x f ； 例6：已知,1 1)1(22x x x x x f ++=+求)(x f . 四、特殊值法： 例11：设)(x f 是定义在N 上的函数， 满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有 xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f . 五、归纳法： 例13：已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(2 12)1(且，求)(x f . 2、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=211)( 例2 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。 例3 若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数 )41(+=x f y )41(-?x f 的定义域 例4 若函数 a ax ax y 12+-=的定义域是R ，数a 的取值围 3、函数值域求法 【1】直接观察法 对于一些比较简单的函数，可以通过对解析式的简单变形和观察，求出函数的值域。 例1 求函数y=x 1的值域 例2 求函数y=3- x 的值域。 【2】配方法 若函数是二次函数，即可化为二次函数的一般形式，则可通过配方后再结合二次函数性质求值域，但要 注意给定区间二次函数最值得求法。 例1、求函数y=2x -2x+5的值域。 例2、求函数y=2 x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。 【3】利用换元法 某些函数通过换元，可使其变为我们熟悉的函数，从而求得其值域，但在代换时应注意等 价性。 例1、求函数x x y 41332-+-=的值域。 例2、求函数x x y 21--=的值域。 【4】判别式法 形如）不同时为0,,,,,()(22f e d c b a f ex dx c bx ax x f ++++=的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的二次方程，通过方程有实根，判别式0≥?，求出y 的取值围。 例1、求函数1 122+++=x x x y 的值域。 【5】数形结合法. 有些函数的图象比较容易画出，可以通过函数的图象得出函数的值域。 例1、求函数|1||2|+--=x x y 的值域。 6 分离常数法 形如 的常数，经常采用分离常数的方法，再结合x 的取值围，从而确定函数的值域。 对于形如)0()()0()(222222≠+++++=≠+++=d a f ex dx c bx ax x f c a d cx b ax x f 或的有理分式函数均可利用部分分式发求其值域。 例1、(1)求函数1 13+-=x x y 的值域。 (2)求函数122+--=x x x x y 的值域。 7、反函数法 因为原函数的值域与其反函数的定义域相同，所以可由求其反函数的定义域来确定原函数的值域。 例1 求函数y= 6543++x x 值域。 挑战自己—高考真题 6．（5分）（2015?）函数f （x ）=的定义域为（ ） A ．（2，3） B ．（2，4] C ．（2，3）∪（3，4] D ．（﹣1，3）∪（3，6]
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