高考数学数列部分知识点梳理
一数列的概念
1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++=Λ21； ??
?≥-==-)2()
1(11n S S n S a n n n 2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何
+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1Λ---④常数数列:例
如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.
一、等差数列
1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。前n 项和公式2
1n n S =或
d n n na S n )1(2
1
1-+=.
2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列.
4）等差数列的性质：
⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .
⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；
⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则?
??
???n S n 是等差数列；
⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n
n a a
S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶； 当项数为)(12+∈-N n n ，则
n
n S S a S S n 1
,-=
=-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则
（是常数）是公差为
的等差数列；
(8)设
，
，
，则有
；
(9) 是等差数列的前项和，则；
(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列
，公差为，前项和为
，则
①．为等差数列，公差为
；
②．（即
）为等差数
列，公差
；?
③．（即）为等差数列，公差为.
二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。前n 项和公式：①当1=q 时，1
na S n =②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --=
--=11)1(11. 2）等比中项：b a G ?=2。
；
3）等比数列的判定方法：⑴定义法：
q a a n
n =+1
（+∈N n ，0≠q 是常数）?{}n a 是等比数列；⑵中项法：22
1++?=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ?{}n a 是等比数列. 4）等比数列的性质：
⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列； （2）
),(+-∈?=N m n q a a m n m n
（3）若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=?；
（4）若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. （5）设，
是等比数列，则
也是等比数列。
（6）设
是等比数列，是等差数列，且
则
也是等比数列（即等比
数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）； （7）设是正项等比数列，则
是等差数列； （8）设，
，
，则
有
；
（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为
，则
①．为等比数列，公比为
；
②．（即
）为等比数列，公比为
；
三、解题技巧： A 、数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）
即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列11n n a a +???????
和??（其中{}n a 等差）。可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-?
1d
=
B 、等差数列前n 项和的最值问题：
1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。
（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?100n n a a +≥??≤?；
（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q
p
-
的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值
（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?10
0n n a a +≤??≥?；
（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q
p
-
的非零自然数时n S 最小； C 、根据递推公式求通项： 1、构造法：
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解
【例题】已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除1n p +或待定系数法求解 【例题】n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.
3°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ?+?=++12”，利用待定系数法求解 【例题】已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.
4°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -
【例题】已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.
【例题】数列{}n a 中，)(42,211++∈+=
=N n a a a a n
n
n ，求数列{}n a 的通项公式. 2、迭代法：
a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----Λ
【例题】已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式
b 、已知关系式)(1n f a a n n ?=+，可利用迭乘法.1
1
22332211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n n ??????=-----Λ
【例题】已知数列{}n a 满足：111
(2),21
n n a n n a a n --=
≥=+，求求数列{}n a 的通项公式； 3、给出关于n S 和m a 的关系
【例题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设
n n n S b 3-=，
求数列{}n b 的通项公式．
五、典型例题： A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想）
【例题】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； 2）根据数列的性质求解（整体思想）
【例题】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . B 、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分） C 、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差
【例题】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n n
S
b n n .求证：数列{}n b 是等差
数列.
2）证明数列等比
【例题】数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，若a n +S n =n.设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等比数列； D 、求数列的前n 项和
【例题1】求数列n {223}n +-的前n 项和n S .（拆项求和法） 【例题2】求和：S=1+
n
+++++
+++++ΛΛ3211
3211211（裂项相消法） 【例题3】设2
2
1)(x
x x f +=，求：⑴)4()3()2()()()(21
3141f f f f f f +++++； ⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ΛΛ（倒序相加法）
【例题4】若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S .（错位相减法） 【例题5】已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .
E、数列单调性最值问题
【例题】数列{}n a中，49
2-
=n
a
n ，当数列{}n a的前n项和n S取得最小值时，=
n