共圆模型
模型1 共端点,等线段模型
如图①,出现“共端点,等线段”时,可利用圆定义构造辅助圆.
如图②,若OA =OB =OC ,则A 、B 、C 三点在以O 为圆心,OA 为半径的圆上.
如图③,常见结论有:∠ACB =12∠AOB ,∠BAC =1
2
∠BOC .
模型分析
∵OA =OB =OC .
∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等.
∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心,OA 为半径的圆上.
∵∠ACB 是AB 的圆周角,∠AOB 是AB 的圆心角,
∴∠ACB =1
2
∠AOB .
同理可证∠BAC =1
2
∠BOC .
(1)若有共端点的三条线段,可考虑构造辅助圆.
(2)构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题. 模型实例
如图,△ABC 和△ACD 都是等腰三角形,AB =AC ,AC =AD ,连接BD .
求证:∠1+∠2=90°.
证明
图①
O A
C B
图②
B
O
C A
图③
O
A
B
C 2
1B
D
A
证法一:如图①,
∵AB =AC =AD . ∴B 、C 、D 在以A 为圆心,AB 为半径的⊙A 上. ∴∠ABC =∠2. 在△BAC 中,∵∠BAC +∠ABC +∠2=180°,∴2∠1+2∠2=180°.∴∠1+∠2=90°. 证法二:如图②,
∵AB =AC =AD .∴∠BAC =2∠1.∵AB =AC , ∴B 、C 、D 在以A 为圆心,AB 为半径的⊙O 上. 延长BA 与圆A 相交于E ,连接CE .
∴∠E =∠1.(同弧所对的圆周角相等.) ∵AE =AC ,∴∠E =∠ACE .
∵BE 为⊙A 的直径,∴∠BCE =90°. ∴∠2+∠ACE =90°.∴∠1+∠2=90°.
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1.如图,△ABC 为等腰三角形,AB =AC ,在△ABC 的外侧作直线AP ,点B 与点 D 关于AP 轴对称,连接BD 、CD ,CD 与AP 交于点E .求证:∠1=∠2.
证明
∵A 、D 关于AP 轴对称,∴AP 是BD 的垂直平分线. ∴AD =AB ,ED =EB .又∵AB =AC .
∴C 、B 、D 在以A 为圆心,AB 为半径的圆上.
∵ED =EB ,∴∠EDB =∠EBD . ∴∠2=2∠EDB .又∵∠1=2∠CDB . ∴∠1=∠2.
2.己知四边形ABCD ,AB ∥CD ,且AB =AC =AD =a ,BC =b ,且2a >b ,求BD 的长.
图①
2
1C
D
A
B
图②
12
B
A
C
E
D
1
2
P
B
A
C
E D
A D
21
P
E C
B
解答
以A 为圆心,以a 为半径作圆,延长BA 交⊙A 于E 点,连接ED . ∵AB ∥CD ,∴∠CAB =∠DCA ,∠DAE =∠CDA . ∵AC =AD , ∴∠DCA =∠CDA . ∴∠DAE =∠CAB .在△CAB 和△DAE 中. AD AC DAE CAB AE AB =??
∠=∠??=?
∴△CAB ≌△DAE . ∴ED =BC =b ∵BE 是直径,∴∠EDB =90°. 在Rt △EDB 中,ED =b ,BE =2a , ∴BD
模型2 直角三角形共斜边模型
模型分析
A C
B
D
B
C
E
D
A
如图①、②,Rt△ABC和Rt△ABD共斜边,取AB中点O,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得:OC=OD=OA=OB,
∴A、B、C、D四点共圆.
(1)共斜边的两个直角三角形,同侧或异侧,都会得到四点共圆;
(2)四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等,完成角度等量关系的转化,是证明角度相等重要的途径之一.
模型实例
例1如图,AD、BE、CF为△ABC的三条高,H为垂线,问:
(1)图中有多少组四点共圆?
(2)求证:∠ADF=∠ADE.
解答
(1)6组
①C、D、H、E四点共圆,圆心在CH的中点处;
②D、B、F、H四点共圆,圆心在BH的中点处;
③A、E、H、F四点共圆,圆心在AH的中点处;
④C、B、F、E四点共圆,圆心在BC的中点处;
⑤B、A、E、D四点共圆,圆心在AB的中点处;
⑥C、D、F、A四点共圆,圆心在AC的中点处.
(2)如图,由B、D、H、F四点共圆,得∠ADF=∠1.
同理:由A、B、D、E四点共圆,得∠ADE=∠1.
∴∠ADF=∠ADE.
例2如图,E是正方形ABCD的边AB上的一点,过点E作DE的垂线交∠ABC的外
角平分线于点F,求证:FE=DE.
解答
如图,连接DB 、DF .
∵四边形ABCD 是正方形,且BF 是∠CBA 的外角平分线, ∴∠CBF =45°,∠DBC =45°, ∴∠DBF =90°. 又∵∠DEF =90°,
∴D 、E 、B 、F 四点共圆. ∴∠DFE =∠DBE =45°(同弧所对的圆周角相等). ∴△DEF 是等腰直角三角形. ∴FE =DE .
1.如图,锐角△ABC 中,BC.CE 是高线,DG ⊥CE 于G ,EF ⊥BD 于F ,求证:FG BC
证明:由于Rt △BCE 与Rt △BCD 共斜边BC , ∴B 、C 、D 、E 四点共圆. ∴∠DBC=∠DEG ,
同理,Rt ∠EDF 与Rt △DGE 共斜边DE , ∴D 、E 、F 、G 四点共圆. 于是∠DEG=∠DFG ,
B
因此,∠DBC=∠DFG.
于是FG∥BC
2. 如图,BE.CF为△ABC的高,且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证:AD⊥BC.
D
H E
F
A
B C
3.如图,等边△PQR 内接于正方形ABCD,其中点P ,Q,R 分别在边AD,AB,DC 上,M 是QR 的中点.求证:不论等边△PQR 怎样运动,点M 为不动点.
4.如图,已知△ABC 中,AH 是高,AT 是角平分线,且TD ⊥AB,TE ⊥AC.求证:∠AHD=∠AHE.
B
R
P
A
证明:(1)∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°,∴D,E,H在以AT为直径的圆上,
∴∠AHD=∠ATD,∠AHE=∠ATE,
又∵AT是角平分线,TD⊥AB,TE⊥AC,
∴∠ATD=∠ATE,
∴∠AHD=∠AHE.
补充:A
E
H
D
T
B C
】