2019年中考专题复习
第九讲 分式方程
【基础知识回顾】
一、 分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】
二、分式方程的解法：
1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即
分式方程 ﹥整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
①、 ②、 ③、
3、增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。如：1x a x ---3x
=1有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。】
三、分式方程的应用：
解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
转化 去分母
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】
【重点考点例析】
考点一：分式方程的解
A．a=1 B．a=2
考点三：由实际问题抽象出分式方程
例3 （2018?嘉兴）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：．
考点四：分式方程的应用
A．x=1 B．x=2
C．x=-1 D．无解
2．（2018?临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（）
A．5000500012% 1
(0) x x
-
=
+
B．
()
500 500010% 02
1
x x
+
+
=
C．5000500012% 1
(0) x x
-
=
-
D．
()
500 500010% 02
1
x x
+
-
=
4．（2018?威海）某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，
5．（2018?东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．
6．（2018?菏泽）列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
【备考真题过关】
一、选择题
A．5 B．4
C．3 D．2
A．m≤3B．m≤3且m≠2
C．m＜3 D．m＜3且m≠2
3．（2018?荆州）解分式方程
14
3
22
x x
-=
--
时，去分母可得（）
A．1-3（x-2）=4 B．1-3（x-2）=-4
C．-1-3（2-x）=-4 D．1-3（2-x）=4
4．（2018?成都）分式方程
11
1
2
x
x x
+
+=
-
的解是（）
A．x=1 B．x=-1
C．x=3 D．x=-3
5. （2018?通辽）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）
A．
9000
10
0 0
5
00
1
x
x
-=
-
B．
100
90000
10
0 5
x x
-=
-
C．
9
10
0000
00
100 5x
x
-=
-
D．
1000 90000
100
5
x
x
-=
-
二、填空题
三、解答题
11．（2018?柳州）解方程21 2
x x =- ．
12．（2018?贺州）解分式方程：241 111
x x x -+=-+ 。 13．（2018?岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
14．（2018?曲靖）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
15. （2018?玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．
（1）求二月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
16. （2018?宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：
甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
2019年中考专题复习
第九讲分式方程
【聚焦山东中考】
1.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+2x-x2-x+2=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
∴3x=75，4x=100．
答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【备考真题过关】
一、选择题
3.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1-3（x-2）=-4，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4.【思路分析】观察可得最简公分母是x（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：
11
1
2
x
x x
+
+=
-
，
去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：
（x+1）（x-2）+x=x（x-2），
x2-x-2+x=x2-2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分
二、填空题
6.【思路分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以2（x2-1）得，
8x+2-5x-5=2x2-2，
解得x1=1，x2=0.5，
检验：当x=0.5时，x-1=0.5-1=-0.5≠0，
当x=1时，x-1=0，
所以x=0.5是方程的解，
故原分式方程的解是x=0.5．
故答案为：x=0.5
【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
7.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+6=4x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：x=2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x-2-3x=0，
解得：x=-1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：-1
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
三、解答题
10.【思路分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：两边乘x（x-1），得
3x-2（x-1）=0，
解得x=-2，
经检验：x=-2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根．
11.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x-4=x，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4+x2-1=x2-2x+1，
解得：x=-1，
经检验x=-1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13.【思路分析】设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量÷工作效率结合提前11天完成任务，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得：3300033000
11
1.2
x x
-=，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
∴1.2x=600．
答：实际平均每天施工600平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14.【思路分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，
根据题意得：120100
4
x x
=
-
，
解得：x=24，
经检验，x=24是分式方程的解，
∴x-4=20．
答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15.【思路分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，
根据题意得：3000027000
100
x x
=
+
，
解得：x=900，
经检验，x=900是原分式方程的解．
答：二月份每辆车售价是900元．
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，
根据题意得：900×（1-10%）-y=35%y，
解得：y=600．
答：每辆山地自行车的进价是600元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
16.【思路分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y 元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，20002400
8
x x
=
+
，
解得x=40．
经检验，x=40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为2000
50
40
=．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60-40）a+（60×0.7-40）（50-a）+（88-48）×50≥2460，
解得a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价-进价．
一、选择题 1． 函数y =x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ≥﹣2且x ≠1 C ．x ≠1 D ．x ≥﹣2或x ≠1 2．把分式22 10x y xy +中的x y 、都扩大为原来的5倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小为 15 D ．扩大25倍 3．下列分式是最简分式的是（ ） A ．22a a ab + B ．63xy a C ．211x x -+ D ．211 x x ++ 4．计算2 21 93x x x +--的结果是（ ） A ． 13 x - B ． 13 x + C ． 13x - D ． 233 9 x x +- 5．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 6．计算32-的结果是（ ） A ．-6 B ．-8 C ．1 8 - D ． 18 7．如果 112111S t t =+，212111 S t t =-，则12 S S =（ ） A ． 1221t t t t +- B ． 21 21 t t t t -+ C ． 12 21 t t t t -+ D ． 12 12 t t t t +- 8．下列变形正确的是（ ）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93 x x x -=-- 9．已知有理式：4x 、4a 、1x y -、34x 、12 x 2、1 a ＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 10．下列各式中的计算正确的是（ ） A ．2 2b b a a = B ． a b a b ++=0 C ． a c a b c b +=+ D ． a b a b -+-=-1 11．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示该数据为 （ ）
分式方程与实际问题 ——工程问题 一、教学目标 1．通过对工程问题的逐步探究，明确工程问题中三个量之间的基本关系，同时让学生学会从实际问题中寻找与这个量有关的等量关系． 2．经历从实际问题到建立分式方程的过程，体会建立分式方程模型解决实际问题的作用． 3．类比整式方程模型解决实际问题和分式方程模型解决实际问题的基本思路，突出分式方程模型解决实际问题的双检验特点． 二、学情分析 1．通过对工程问题的逐步探究，明确工程问题中三个量之间的基本关系，同时让学生学会从实际问题中寻找与这个量有关的等量关系． 2．经历从实际问题到建立分式方程的过程，体会建立分式方程模型解决实际问题的作用． 3．类比整式方程模型解决实际问题和分式方程模型解决实际问题的基本思路，突出分式方程模型解决实际问题的双检验特点． 三、重点难点 教学重点：工程问题中数量相等关系的探究． 教学难点：工程问题中分式方程模型的建立． 四、教学过程 （一）复习旧知，知识铺垫 有一项工程，甲单独完成需x天，乙单独完成比甲单独完成多用4天，那么乙单独完成这项工程需_____天， 则甲的工作效率是____,乙的工作效率是___ . 若这项工程甲先单独做3天，然后甲乙合作做2天， 则甲完成的工作量是____,乙完成的工作量是_____. 设计意图：通过简单的工程问题，让学生回顾工程问题中的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间，并且让学生回顾工程问题中当工作总量没有具体值时通常设工作总量为“1”。 （二）创设情境，提出问题 甲乙两个清洁队共同参与了城中垃圾的清运工作，甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成。哪个队的施工速度快？ 设计意图：引导学生从问题出发，分析题中的已知量和未知量，通过设未知数来表示未知量，找出题中等量关系，利用分式方程解决问题。在这个问题中让
精心整理 北师大版八年级二元一次方程应用题 1、一个校办工厂购进了5立方米的木材，厂长决定构成方桌销售，已知一张方桌由一个桌面和4个桌腿做成，经试验发现1立方米木材可以做成50张桌面或者桌腿300个，问工厂能做多少张方桌？ 2、某人用有机肥给玉米施肥，如果每亩施10千克，就缺200千克；如果每亩施8千克，又剩余300千克，问该人有多少亩玉米？又有多少千克有机肥？（1公顷=15亩） 3、古题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”。问：有多少间房？多少客人？ 4、某工厂去年的总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元，已知今年计划的总产值去去年增加15%,而计划总支出比去年减少10%,求今年计划的总产值和总支出各为多少？ 5、某商场购进商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销，决定甲、乙两种商品分别打七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款399元，这两种商品原销售价之和为490元，问：这两种商品的进价分别是多少元？ 6、某同学的父母用甲、乙两种形式为其存储了一笔教育准备金10000元，甲种年利率为2.25%，乙种年利率为 2.5%,一年后，这名同学得到本息和共10242.5元，问其父母为其存储的甲、乙两种形式的教育准备金各多少元？ 7、某间寺庙有大小和尚共100人，在一顿午餐中一个大和尚一人能吃掉三个馒头，三个小和尚一起才吃掉一个馒头。现知道这顿午餐共计吃掉100个馒头，问这间寺庙大和尚多少人？小和尚多少人？ 8、由甲、乙两种铜与银的合金，甲种含银25%，乙种含银37.5%，现在要溶成含银30%的合金100千克，两种合金各取多少千克？ 9、在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只负了2场，那么这个队胜了几场？平了几场？ 10、某体育场的一条环形跑道长400m ，甲乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车，如果背向而行，每隔1/2分钟他们相遇一次；如果同向而行，每隔4/3乙就追上甲一次。问;甲、乙每分钟各行多少米？ 11、甲乙两列火车均长180m ，如果两列火车相对行驶，从车头相遇到车尾相遇共需12s ；如果两列车同向行驶，那么从甲的车头遇到乙的车尾到甲的车头超过乙的车头共需60s ，假定甲乙两车的速度不变，求甲乙两列火车的速度。 12、A 、B 两地相距20km ，甲从A 地向B 地前进，同时乙从B 地向A 地前进，2h 后二人在途中相遇，相遇后，甲返回A 地，乙仍向A 地前进，甲回到A 地时，乙离A 地还有2km ，求甲乙二人的速度。 13、有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把两个数字的位置对调，那么所得的新数与原数的和为143，求这个两位数。 14、某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度与速度。 答案： 1、设用x 立方米木材做桌面，y 立方米木材做桌腿，则 ??=?=+y x y 3005045x 解的? ??==23x y 150350x 50=?=∴（张） 答：5立方米的木材恰好能做成150张方桌。 2、设该人有x 亩玉米，有y 千克有机肥，由题意得???=+=-y x y 3008200x 10解的? ??==2300250x y
分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+---
6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x
3、解分式方程： 3131=---x x x 4、解方程： 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程： x x x -=+--23123. 7、解分式方程： 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--．
方程与不等式之分式方程难题汇编附答案 一、选择题 1．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）. A．900900 2 13 x x ?= +- B． 900900 2 13 x x =? +- C．900900 2 13 x x ?= -+ D． 900900 2 13 x x =? ++ 【答案】A 【解析】 【分析】 设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】 设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍， ∴900900 2 13 x x ?= +- ， 故选：A. 【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程. 2．方程 100 20x + ＝ 60 20x - 的解为（） A．x＝10 B．x＝﹣10 C．x＝5 D．x＝﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】 方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】 解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x）， 得100（20﹣x）＝60（20+x）， 整理，得8x＝40， 解得，x＝5， 经检验，x＝5是方程的根， ∴原方程的根是x＝5； 故选：C． 【点睛】 本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．
3．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( ) A．24002400 8 (120%) x x -= + B． 24002400 8 (120%)x x -= + C． 24002400 8 (120%)x x -= - D． 24002400 8 (120%) x x -= - 【答案】A 【解析】 【分析】 求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8． 【详解】 原计划用的时间为：2400 x ，实际用的时间为：() 2400 120% x+．所列方程为： 2400 x -() 2400 120% x+=8． 故选A 【点睛】 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效． 4．解分式方程11 2 22 x x x - += -- 的结果是（） A．x="2" B．x="3" C．x="4" D．无解【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D． 考点：解分式方程． 5．已知关于x的分式方程12 1 11 m x x - -= -- 的解是正数，则m的取值范围是() A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6
二元一次方程专题训练 授课教师 学科 数学 上课日期 2018年 5 月12日 学生姓名 年级 七年级 上课星期 星期（ 六 ） 教学课题 二元一次方程（组）专题训练 上课时段 14:00--16:00 教学 重难点 1. 理解二元一次方程（组）相关概念。 2. 会用代入法、加减法解二元一次方程组。 3. 能够解决二元一次方程组的实际问题。 上节课作业完成情况 作业完成情况：完成□ 未完成□ 建议：1、未完成作业整改措施： 。 2、作业完成质量：优□ 良□ 中□ 差□ 教师与学生互动安排 检查复习上节课重点： 1. 检查不等式与不等式组的作业。 2. 二元一次方程组你了解多少？ 讲授知识点、例题及教师点评 知识1;二元一次方程（组）的概念 ①二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程。 注意：满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的 项的系数不为0. ②二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。 注意：1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。 2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。 例1、下列方程①x x 263=+，②3=xy ，③42=- x y ，④y y x 24 10=-，⑤21 =+y x ，⑥ 532=+xy x ，⑦03=+-z y x ，⑧1332=+y x 中，二元一次方程有 个。 例2、方程14-=-x y ax 是二元一次方程，则a 的取值范围为 . 例3、若1342=+--b a y x 是关于x ，y 的二元一次方程，其中3≤+b a ，则=-b a ． 例4、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 . （1）?????=+=+21122y x y x ；（2）???? ?=-=+211y x y x ；（3）?????=-=211y x xy ；（5）??? ????=+=+2111y x y x ；（6）???=+=+212z y y x ； 例5、若方程组()? ??=-=+-+-43 33 2b a y x xy c x 是关于y x ,的二元一次方程组，则代数式c b a ++的值是 知识2：题型二：二元一次方程（组） ①二元一次方程: 注意：1)二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值；2）二元一次方程的解使方程左右 两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解。 ②二元一次方程组：
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ； 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则 （n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1：计算的结果是（） A. B. C. D. 分析：原式 故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：
1 分式化简、解分式方程与应用题三个重要问题 一、分式化简 1、 在分式的运算中,有整式时,可以把整式瞧做分母为1的式子,然后再计算。 2、 要注意运算顺序,先乘方、再乘除、后加减,同级运算从左到右(谁在前先 算谁)依次进行。有括号的先算括号里面的 3、 如果分式的分子分母就是多项式,可先分解因式,再运算。 4、 注意分式化简题不能去分母、 1、先化简,再求值:23393 x x x ++--,其中1x =-. 2.先化简,再求值 4 421642++-÷-x x x x ,其中 x = 3 . 3.先化简,再求值:22424412 x x x x x x x -+÷--++-,其中x ＝2－2. 4、计算:2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5、化简:35(2)482y y y y -÷+--- 6、化简,:2211()22x y x y x x y x +--++, 7、先化简,再求值:211122 x x x -??-÷ ?++??,其中2x =. 8、计算:22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+. 二.分式方程: 解分式方程的步骤: 1、去分母,化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母,分子要括起来, 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1
2 3、检验-------带入最简公分母,若为零,则为増根,应舍去。 1、解分式方程:2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3、解分式方程: 3131=---x x x 4、解方程:22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程:x x x -=+--23123、 7、解分式方程: 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--. 三.列分式方程——基本步骤: ① 审—仔细审题,找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程(组)。 ④ 解—解出方程(组)。注意检验 ⑤ 答—答题。 列方程解应用题 1、为加快西部大开发,某自治区决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工,则刚好如期完成;如果乙工程队单独施工就要超过6
二元一次方程专题 一．选择题（共12小题） 1．已知是关于x、y的方程4kx﹣3y=﹣1的一个解，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 2．已知与是二元一次方程mx+ny=5的两组解，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y=D．xy=1 4．在方程﹣=5中，用关于x的代数式表示y，正确的是（） A．x=y﹣10 B．x=y+10 C．y=x﹣15 D．y=y+15 5．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为（） A．50元、150元B．50元、100元C．100元、50元D．150元、50元6．若关于x，y的方程x m+2﹣y n﹣1=5是二元一次方程，则m+n的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 7．将方程x+y=1中的x的系数化为整数，则下列结果正确的是（）A．﹣x+y=1 B．x﹣2y=﹣2 C．﹣x+y=2 D．x﹣y=2 8．已知x和y满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式3x2+12xy+y2的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1 9．若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 10．若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（） A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定 11．一个长方形的长的2倍比宽的5倍还多1cm，宽的3倍又比长多1cm，求这个长方形的长与宽．设长为xcm，宽为ycm，则下列方程组中正确的是（）A．B． C．D． 12．小明的储钱罐有5角和1元的硬币共100枚，币值共有68元．求5角、1元硬币各有多少枚？设小明有5角硬币x枚，有1元硬币y枚，则可列出方程组为（） A．B． C．D． 二．填空题（共6小题） 13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是． 14．有一些苹果及苹果箱，若每箱装25千克，则剩余40千克无处装，如每箱装30千克则余20只空箱，则共有千克苹果，个苹果箱． 15．一次智力竞赛有20题选择题，每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣，小亮答完全部测试题共得65分，那么他答错了道题． 16．把面值20元的纸币换成1元和5元的两种纸币，则共有种换法．
分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1=3 1 C （-2）2=4 D （）-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是
一、选择题 1．若分式的值为0，则x 的值为 A ． B ． C ．D．不存在 2．如图，设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 （a＞b＞0），则有（）甲乙 甲
（A ）k ＞2 （B ）1＜k ＜2 （C ） 121< 8．分式 (a 、b 均为正数)，字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的 C ．不变 D ．缩小为原来的 9．若分式2 1 1 x x -+的值为零，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1 10．使代数式726 x x --有意义的x 的取值范围是( ) A ．x≠3 B ．x ＜7且x≠3 C ．x≤7且x≠2 D ．x≤7且x≠3 11．分式 （a ，b 均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来倍 C ．不变 D ．缩小为原来的 12．如果把 223y x y -中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.扩大10倍 13．无论x 取何值，总是有意义的分式是（ ） A ． 21 x x + B ． 2 21 x x + C ． 3 31 x x + D ． 21x x + 14．如果为整数，那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 15．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( ) A ． 2 1 a a + B ． 21 1 a a -+ C ． 21 1 a - D ． 11 a + 16．下列式子：2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．若分式 的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B -3 C ．4 D ．-4 18．已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则 abc ab bc ca ++的值是（ ） A ． 121 B ．122 C ．123 D ．124 19．已知实数 a ， b ，c 均不为零，且满足 a ＋ b ＋c=0，则 222222222 111 b c a c a b a b c ++ +-+-+-的值是（ ） 数学学科导学案（第—次课）教师:_ 学生:—年级:八日期: ___________ 星期: _____ 时段: ____ 乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道? 例：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付 乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的2 ,厂家需付甲、丙两队共5500 3 元. ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由. 分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量?对于工期，一般情况下把整个工作量看成1,设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为X天，y天，Z天，可列出分式方程组. 练习1:某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 ___________ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程； (3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5万元，甲工程队至少要单独施工 多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超 过64万元？ 练习2:某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款 1.5万元, 乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； 人教版数学七年级下册 第八章 二元一次方程组 8．3 实际问题与二元一次方程组 和差倍分问题 专题练习题 1． 已知∠1与∠2互补，并且∠1比∠2的3倍还大20°，若设∠1＝x °，∠2＝y °，则x ，y 满足的方程组为( ) A .???x ＋y ＝90x ＝3y ＋20 B .???x ＋y ＝90y ＝3x ＋20 C .???x ＋y ＝180x ＝3y ＋20 D .? ??x ＋y ＝180y ＝3x ＋20 2．一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组( ) A .???5x ＋4y ＝1482x ＋5y ＝100 B .???4x ＋5y ＝1482x ＋5y ＝100 C .???5x ＋4y ＝1485x ＋2y ＝100 D .???4x ＋5y ＝1485x ＋2y ＝100 3．一篮水果分给一群小孩，若每人分8个，则差3个水果；若每人分7个，则多4个水果，在这个问题中，有小孩____人，水果____个． 4．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了____张． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，下面所列方程组正确的是( ) A .???x ＋y ＝8xy ＋18＝yx B .? ??x ＋y ＝810（x ＋y ）＋18＝yx C .???x ＋y ＝810x ＋y ＋18＝yx D .???x ＋y ＝8x ＋10y ＋18＝10x ＋y 6．一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数． 7．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x 名工人生产镜片，y 名工人生产镜架，则可列方程组( ) A .???x ＋y ＝602×200x ＝50y B .???x ＋y ＝60200x ＝50y C .???x ＋y ＝60200x ＝2×50y D .???x ＋y ＝5050x ＝200y 8．家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌？(一张方桌按1个桌面4条桌腿配置) 9．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人，则1艘大船和1艘小船一次可以载乘客的人数分别是( ) A ．18人，7人 B ．17人，8人 C ．15人，7人 D ．16人，8人 10．某校举行安全知识竞赛，其评分规则如下：答对一题得5分，答错一题得－5分，不作答得0分．已知试题共20道，满分100分，凡优秀(得分80分或以上)者才有资格参加决赛．小明同学在这次竞赛中有2道题未答，但刚好获得决赛资格，则小明答对____道题，答错____道题． 分式培优训练题（到分式加减） 一、选择题 1、在下列各式m a m x x b a x x a ,),1()3(,43 ,2,322 2--÷++π中，是分式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、要使分式733-x x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、x=37 B 、x>37 C 、x<37 D 、x ≠37 3、若分式424 2--x x 的值为零，则x 等于（ ） A 、2 B 、-2 C 、2± D 、0 4、如果分式x +16 的值为正整数，则整数x 的值的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、有游客m 人，若果每n 个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（ ） A 、n m 1- B 、1-n m C 、n m 1+ D 、1+n m 6、把a 千克盐溶于b 千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水x 千克，则其中含盐（ ） A 、b a ax +千克 B 、b a bx +千克 C 、b a x a ++千克 D 、b ax 千克 7、在下列各题中，结论正确的是（ ） A 、若a>0,b<0, 则0>a b B 、若a>b, 则a-b ＜0 C 、若 a<0,b<0, 则ab>0 D 、 若a>b, a<0, 则0 < 1 分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计 算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 2 6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3 3、解分式方程：313 1=---x x x 4、解方程：22 333x x x -+=-- 5、解方程22 1 11x x =--- 6、解方程：x x x -=+--23 123. 7、解分式方程：6 122x x x +=-+ 7-8二元一次方程组专题复习讲义姓名： 第一一部分：二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示 出来，即写成y=ax+b的形式，即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数 的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。 解二元一次方程组应用题的步骤： 1、一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数； 3、找：找出能够表示题意两个相等关系； 4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 【基础知识回顾】 一、等式的概念及性质： 1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式 2、等式的性质： 1、性质①等式两边都加（减）所得结果仍是等式即：若a=b,那么a±c= 2、性质2：等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式若：a=b,那么a c= 若a=b（c≠o）那么a c = 【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”不被漏项 ②等式两边都除以一个数式时必须保证它的值】 二、方程的有关概念： 1、含有未知数的叫做方程 2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的组 3、叫做组方程 13、分式总复习 【知识精要】 分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10，试判断 1111a b -+，是否有意义。 分析：要判断1111 a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a b -+11，与零的关系。 解： ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ，中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算：a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分 离分式法”简化计算。 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113 311322 13()()() ()() ()() 例3. 解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解： x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验，x =0是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数，求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为a a a 226930-+=-≥()，||b -≥10，利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。 一、选择题 1．函数2 1 x y x +=-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ≥﹣2且x ≠1 C ．x ≠1 D ．x ≥﹣2或x ≠1 2．下列分式：24a 5b c ，23c 4a b ，2 5b 2ac 中，最简公分母是 A ．5abc B ．2225a b c C ．22220a b c D ．22240a b c 3．计算： ()3 3 2xy ?-一 的结果是 A ．398x y -- B ．398x y --- C ．39 1x y 2 --- D ．361x y 2 --- 4．如果分式24 2 x x --的值等于0，那么（ ） A ．2x =± B ．2x = C ．2x =- D ．2x ≠ 5．分式a x ，22x y x y +-，2 121 a a a --+，+-x y x y 中，最简分式有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知a ＜b ，化简22 2a a ab b a b a -+-的结果是( ) A ．a B ．a - C ．a -- D ．a - 7．下列分式中，最简分式是（ ） A ．x y y x -- B ．211 x x +- C ．2211x x -+ D ．2424 x x -+ 8．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a ＜1的是（ ） A ．a 1- B ．1a - C ． () 2 1a - D ． 11a - 9．若 a =20170，b =2015×2017﹣20162，c =（﹣23）2016×（3 2 ）2017，则下列 a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a 10．生物学家发现一种病毒的长度约为0.00 004mm ，0.00 004用科学记数法表示是 （ ） A ．40.410-? B ．5410-? C ．54010-? D ．5410? 11．如果把分式2x x y -中的x 与y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．缩小2倍 D ．扩大4倍 12．下列各式中，正确的是（ ）用分式方程解决实际问题
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