2013年中考数学专题：动点型问题
一、中考专题诠释
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲
解决动点问题的关键是“动中求静”.
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲
考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.
（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）
例1 （2012?嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B →D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
思路分析：根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．
解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴BD=a，
则当0≤x＜a时，y=x，
当a≤x＜（1+）a时，y=，
当a（1+）≤x＜a（2+）时，y=，
当a（2+）≤x≤a（2+2）时，y=a（2+2）﹣x，
结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，
根据当a≤x＜（1+）a时，函数图象被P在BD中点时，分为对称的两部分，故B选项错误，
再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，
故只有D符合要求，
故选：D．
点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．
对应训练
1．（2012?内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）
例2 （2012?攀枝花）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
思路分析：首先根据点D的坐标求得点A的坐标，从而求得线段OA和线段OC的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF的面积的变化情况．
解：∵D（5，4），AD=2．
∴OC=5，CD=4 OA=5
∴运动x秒（x＜5）时，OE=OF=x，
作EH⊥OC于H，AG⊥OC于点G，
∴EH∥AG
∴△EHO∽△AGO
即：
∴EH=x
∴S△EOF=OF?EH=×x×x=x2，
故A、B选项错误；
当点F运动到点C时，点E运动到点A，此时点F停止运动，点E在AD上运动，△EOF 的面积不变，
点在DC上运动时，如右图，
EF=11﹣x，OC=5
∴S△EOF=OC?CE=×（11﹣x）×5=﹣x+是一次函数，故C正确，
故选C．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象．对应训练
2．（2012?贵港）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．
（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．
（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式
例3 （2012?桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；
（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．
思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；
（2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到y与x之间的函数关系式；
（3）依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠
DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．
解：（1）证明：∵∠BAC=90°AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
∴AD=BD=DC （2分）
∵AE=CF∴△AED≌△CFD
（2）解：依题意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9
∴
∴；
（3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°
∴△ADF≌△BDE
∴S△ADF=S△BDE
∴S△EDF=S△EAF+S△ADB
=
∴．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．
对应训练
3．（2012?桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
考点二：动态几何型压轴题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
（一）点动问题．
例4 （2012?宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，
A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n 经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．
（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；
（2）当点C与点A重合时，求a的值；
（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？
思路分析：（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数．
（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值．
（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E 的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解．
解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣，
∴OA=1，OB=，∴A的坐标是（0，1）
∠ABO=30°．
（2）∵△CDE为等边△，点A（0，1），∴tan30°=，∴，
∴D的坐标是（﹣，0），
E的坐标是（，0），
把点A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入y=a（x﹣m）2+n，
解得：a=﹣3．
（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H 为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足．
∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30°
∴∠BCE=90°，∠ECN=90°
∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四边形MPCN为矩形，∵
MP=MN
∴四边形MPCN为正方形…6分
∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）．
∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ．
∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°
∴∠EMQ，=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（﹣3）a
∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2 a
∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a，
∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣
∴E（﹣4a﹣，0）
∴C（﹣3a﹣，﹣3a）
设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2﹣3a
∵E在该抛物线上
∴a（﹣4a﹣+3a+）2﹣3a=0
得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1
∵a＜0，∴a=﹣1
∴AF=2，CF=2，∴AC=4
∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切．
点评：这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识．难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键．
对应训练
4．（2012?永州）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，
）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．
（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；
（2）求∠B的度数；
（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．
（二）线动问题
例5 （2012?深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b 的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C （6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．
思路分析：（1）①当直线经过圆心M（4，2）时，将圆心坐标代入直线解析式，即可求得b的值；
②当若直线与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线，不要遗漏．
欲求此时b的值，可以先求出切点P的坐标，代入解析式即可；欲求切点P的坐标，可以构造相似三角形△PMN∽△BAO，求得PN=2MN，然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN，最后求出P点坐标；
（2）本问关键是弄清直线扫过矩形ABCD的运动过程，可以分为五个阶段，分别求出每一阶段S的表达式，如答图2﹣4所示．
解：（1）①直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M（4，2）时，则有：2=﹣2×4+b，∴b=10；
②若直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A（，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点H．
易证△PMN∽△BAO，∴PN：MN=OB：OA=2：1，∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2=PN2+MN2，解得：MN=，PN=，
∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣，
∴P（4﹣，2﹣），代入直线解析式求得：b=10﹣2；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2．
（2）由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．
由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．
可得当直线经过A（2，0）时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C（6，0）时，b=14．
①当0≤b≤4时，S=0；
②当4＜b≤6时，如答图2所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．
令y=0，可得x=，∴AP=﹣2；
令x=2，可得y=b﹣4，∴AQ=b﹣4．
∴S=S△APQ=AP?AQ=（﹣2）（b﹣4）=b2﹣2b+4；
③当6＜b≤12时，如答图3所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．
令y=0，可得x=，∴AP=﹣2；
令y=2，可得x=﹣1，∴DQ=﹣3．
S=S梯形APQD=（DQ+AP）?AD=b﹣5；
④当12＜b≤14时，如答图4所示．
设直线l：y=﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．
令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；
令y=2，可得x=﹣1，∴DQ=﹣3，CQ=7﹣．
S=S矩形ABCD﹣S△PQC=8﹣CP?CQ=b2+7b﹣41；
⑤当b＞14时，S=S矩形ABCD=8．
综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：
．
点评：本题是动线型压轴题，综合考查了一次函数的图象与性质、圆的切线性质、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及图形面积等重要知识点，涉及的考点较多，难度较大，对同学们的解题能力提出了很高的要求．本题的难点在于：（I）第（1）②问中，圆的切线有两条，容易遗漏．求切点坐标时候，注意运用相似关系化简运算；（II）第（2）问中，动直线的运动过程分析是难点，注意划分为五个阶段，分别求出每个阶段S的表达式．
对应训练
5．（2012?盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A （2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．
①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．
②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．
（三）面动问题
例6 （2012?达州）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．
（1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为．
（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．
（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．
思路分析：（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）本问非常复杂，须小心思考与计算：
①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形
认真思考；
②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而
求出其顶点坐标．
解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1．
如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G．
易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；
同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）．
∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）．
（2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2），
则
解得
∴．
（3）①当点D运动到y轴上时，t=．
当0＜t≤时，如图（3）a所示．
设D′C′交y轴于点F
∵tan∠BCO==2，又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2，即=2
∵CC′=5t，∴FC′=25t．
∴S△CC′F =CC′?FC′=t×t=5t2
当点B运动到点C时，t=1．
当＜t≤1时，如图（3）b所示．
设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H．在Rt△BOC中，BC=
∴GH=，∴CH=GH=
∵CC′=t，∴HC′=t﹣，∴GD′=t﹣
∴S梯形CC′D′G =（t﹣+t）=5t﹣
当点E运动到y轴上时，t=．
当1＜t≤时，如图（3）c所示
设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N
∵CC′=t，B′C′=，
∴CB′=t﹣， ∴B′N=2CB′=t﹣
∵B′E′=，∴E′N=B′E′﹣B′N=﹣t
∴E′M=E′N=（﹣t）
∴S△MNE′ =（﹣t）?（﹣t）=5t2﹣15t+
∴S五边形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ ﹣S△MNE′ =（5t2﹣15t+）=﹣5t2+15t﹣
综上所述，S与x的函数关系式为：
当0＜t≤时，S=5t2
当＜t≤1时，S=5t
当1＜t≤时，S=﹣5t2+15t
②当点E运动到点E′时，运动停止．如图（3）d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
∵OB=2，B′E′=BC=
∴
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+=
∴E′（0，）
由点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．
∵=
∴原抛物线顶点坐标为（，）
∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（，）．
点评：本题是非常典型的动面型综合题，全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换（平移）、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等．难点在于第（3）问，识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在．作为中考压轴题，本题涉及考点众多，计算复杂，因而难度很大，对考生综合能力要求很高，具有很好的区分度．
对应训练
6．（2012?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=﹣
x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．
（1）求M，N的坐标．
（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时开始结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．
四、中考真题演练 一、选择题
1．（2012?烟台）如图，矩形ABCD 中，P 为CD 中点，点Q 为AB 上的动点（不与A ，B 重合）．过Q 作QM ⊥PA 于M ，QN ⊥PB 于N ．设AQ 的长度为x ，QM 与QN 的长度和为y ．则能表示y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2012?鞍山）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=BC=4，DE ⊥BC 于点E ，且E 是BC 中点；动点P 从点E 出发沿路径ED →DA →AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动；设点P 的运动时间为t 秒，△PBC 的面积为S ，则下列能反映S 与t 的函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2012?巴中）如图，点P是等边△ABC的边上的一个做匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，则S 与t的大致图象是（）
A．B．
C．D．
4．（2012?佳木斯）如图所示，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，动点P在正方形ABCD的边上沿着A→B→C→D的路径以1cm/s的速度运动，在这个运动过程中△APD的面积s（cm2）随时间t（s）的变化关系用图象表示，正确的是（）
A．B．
C．D．
5．（2012?温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP，MQ，PQ．在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）
A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少6．（2012?绥化）如图，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC﹣﹣DO的路线做匀速运动，设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是（）
A．B．
C．D．
7．（2012?北京）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个个定位置可能是图1中的（）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．（2012?六盘水）如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动
点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为（）
A．4 B．3C．2D．1
二、填空题
9．（2012?张家界）已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为．
三、解答题
10．（2012?扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2012?佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2012?铁岭）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
1、如图，已知ABC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中 AB AC △中，10 点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △ 与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速 度为多少时，能够使BPD △全等？ △与CQP （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？
2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，364y x =-+A B 、P Q 、O A Q OA
速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动． （1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式； （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 485S P O P Q 、、M
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。
中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析 【真题精讲】 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10，梯形的高为4 ?动 点M 从 B 点出发沿线段B C 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段C D 以 每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t （秒）? （1）当MN I AB 时，求t 的值； 2）试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分 析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间， 就本题而言，M N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些 动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所 以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自 然得出结果。 【解析】 解：（1 ）由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形ABED 是平行四边形. ??? AB II DE , AB II MN . ??? DE II MN . （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MN 放在三角形 ? MC NC EC CD （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=C ^两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三 （2）分三种情况讨论： ①当MN NC 时，如图②作 NF BC 交BC 于F ,则有MC 2FC 即.（利用等腰三角形 底边高也是底边中线的性质） .4丄?解得t 50 . 10 3 5 17 【思路分析2】第二问失分也是最严重的， 很多同学看到等腰三角形， 理所当然以为是 MN=NC 角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了 较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】
2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析 汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s 的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）． （2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN 上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况：
①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE 上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： ①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。 DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。 ∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。 ∴FM=AM=t．
1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？
2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发， 同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动． （1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出 与之间的函数关系式； （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 3 64 y x =-+A B 、P Q 、O A Q OA P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 48 5 S = P O P Q 、、 M
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A
1 / 20 动点综合问题 一、单选题（共12题；共24分） 1、（2016?安徽）如图，Rt △ ABC 中，AB 丄BQ AB=6, BC=4 P 是厶ABC 内部的一个动点，且满足 / PAB 2 PBC 则线段 CP 长的最小值为（ ） B 、 2 C.]+1 C 、 9 D — 3、（ 2016?十堰）如图，将边长为 10的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是AB 边上 的动点（不与端点 A , B 重合），作CDLOB 于点D,若点C, D 都在双曲线y= 上（k > 0, x > 0）, C D 5、（ 2016?宜宾）如图，点 P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点, AC 和 BD 的距离之和是（ B 、2 4、（2016?娄底）如图，已知在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90，点 C 不重合），作 BE 丄AD 于E , CF 丄AD 于F ,贝U BE+CF 勺值（ D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B ） 13 2、（2016?台州）如图，在△ ABC 中，AB=10 AC=8 BC=6以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点P, Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接 PQ 贝U PQ 长的最大值与最小值的和是（ ） C 6 D 7.2 不变 增大 减小 先变大 再变小 矩形的两条边 AB BC 的长分别是 ） D 9 B 5
6、( 2016?龙岩)如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1, AF=2,若P为对角线BD上一动点, 则EP+FP的最小值为( ) A、1 B、2 C、3 D 4 O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点 7、(2016?漳州)如图，在△ ABC中，AB=AC=5 BC=8, D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段 AD长为正整数，则点D的个数共有( 沿折线A- B- M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s .设P点的运动时间为P的 运动路径与OA OP所围成的图形面积为S (cm?),则描述面积S (cm2)与时间t P由A开始 t (s)，点 (s)的关系 的图象可以是( ) D______________ C A 、 B 、 C 、 D 5个 4个 3个 2个 8、(2016?荆门)如图，正方形ABCD的边长为的 方向运动到点C停止，设点P的运动路程为关于 x (cm)的函数关系的图象是( ) 2cm,动点P从点A出发，在正方形的边上沿A T B-C x( cm)，在下列图象中，能表示△ ADP的面积y( cm2)
2018中考数学动点问题专题复习 1.如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°． （1）求ED 、EC 的长； （2）若BP ＝2，求CQ 的长； （3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长． 图1 备用图 解：（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以 315tan 544ED CD C =?∠=? =，25 4EC =． （2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是 △ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3． 由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ． 因此△PDM ∽△QDN ． 所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1． 此时 3344QN PM = =．所以319444CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5． 此时 31544QN PM = =．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中， 3 tan 4QD DN QPD PD DM ∠= == ． 在Rt △ABC 中， 3tan 4BA C CA ∠= = ．所以∠QPD ＝∠C ． 由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ． 当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形． ①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时 4433PM QN ==．所以45 333BP BM PM =-=-= ． ②如图6，当QC ＝QD 时，由 cos CH C CQ = ，可得5425 258CQ =÷= ． 所以QN ＝CN －CQ ＝ 257488- = （如图2所示）． 此时 4736PM QN ==．所以725 366BP BM PM =+=+= ． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）． 图5 图6 2.如图1，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2
当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 动点综合问题一 【例1】（2016广东梅州）如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛 物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为． （3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围． 【例2】（2016四川攀枝花）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心 Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方 向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，P A长为半径的⊙P 与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC． （1）当t为何值时，点Q与点D重合？ 【例3】（2016山东济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、 E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折 线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其 中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大 致图象为（） （2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长． 5．（2016青海西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=3 同步练习 一、选择题 1．（2016山东泰安）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）4．（2016湖北荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O 于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接A D、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（） A．15°B．20°C．25°D．30° 2．（2016山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发 （P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大 致是（） 4，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分 别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（） A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2 3．（2016广东省）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）二、填空题 6．（2016四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C （1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是． x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊 角 或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单 介 绍 ，解题方 法、关键给以点拨。 一 、 三 角 形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =-+与坐标轴 分别交于 A B 、两点，动点P Q 、同时从 出发，同时到达 A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点 Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ， 求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出 以 点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标． 解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，S =t 2 当3＜t ＜8时，S =3／8(8-t )t 提示：第（2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分 段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ， 探 究 第 四 点 构 成 平行四边形 时 图B 图 B 图 按已知线段身份不同分类-----①O P为 边、O Q为边，②O P为边、O Q为对角 线，③O P为对角线、O Q为边。然后画 出各类的图形，根据图形性质求顶点坐 标。 2、（2009年衡阳市） 如图，A B是⊙O的直径，弦B C=2c m， ∠A B C=60o． （1）求⊙O的直径； （2）若D是A B延长线上一点，连结C D，当B D长为多少时，C D与⊙O相切； （3）若动点E以2c m/s的速度从A点出发沿着A B方向运动，同时动点F以1c m/s的速度从B点出发沿B C方向运动，设运动时间为 )2 )( (< 2021中考数学总复习动点问题 年班姓名成绩： 1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图 解：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以 315 tan5 44 ED CD C =?∠=?=， 25 4 EC=． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以 4 3 PM DM QN DN ==．所以 3 4 QN PM =， 4 3 PM QN =． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时 33 44 QN PM ==．所以 319 4 44 CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5． 此时 315 44 QN PM ==．所以 1531 4 44 CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中， 3 tan 4 QD DN QPD PD DM ∠===． 在Rt△ABC中， 3 tan 4 BA C CA ∠==．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ． 当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形． ①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时 44 33 PM QN ==．所以 45 3 33 BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC＝QD时，由cos CH C CQ =，可得5425 258 CQ=÷=． 所以QN＝CN－CQ＝ 257 4 88 -=（如图2所示）． 此时 47 36 PM QN ==．所以 725 3 66 BP BM PM =+=+=． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）． 图5 图6 2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由 BH PH BO CO =，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6 -)或(1,0)． 动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 3 1、( 2009年齐齐哈尔市) 直线y x 6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发, 4 同时到达A点，运动停止?点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单 位长度，点P沿路线O T B T A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)设点Q的运动时间为t秒，△ OPQ的面积为S,求出S与t之间 的函数关系式； 「48 (3)当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5 坐标. 提示：第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第(3)问是分类讨论：已知三定点OP、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同 分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、(2009年衡阳市) 如图，AB是O O的直径，弦BC=2cm / ABC=60). (1) 求O O的直径； (2) 若D是AB延长线上一点，连结CD当BD长为多少时，CD与O O相切； (3) 若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC t(S)(0 ::: t ::: 2)，连结EF,当t为何值时，△ BEF为直角三角形. 注意：第(图问按直角位置分类讨论 O 图(2) D A 中考动点专题 1、如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH= 32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2 362 1 21x OH MH -==. 在Rt △MPH 中, . ∴ y =GP= 32MP=23363 1 x + (0中考数学压轴题专题 动点问题
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