第三讲：二次函数
一：阅读理解
1：二次函数的三种形式.
（1） 一般式：f （x ）= ；（2）顶点式：f （x ）= ；（3）两根式：f （x ）= ；
（I ）理解（1）～（3）三者之间的关系。
（II ）求二次函数解析式的常用方法是待定系数法，根据所给条件特征，从以上三种形式中选择适当的形式求解。 例1：若二次函数f （x ）满足f （x+1）—f （x ）=2x ，且f （0）=1，则f （x ）的表达式为？
例2：已知函数f （x ）为二次函数；且f （—1）=2、f （1）=8、f （0）=4，求f （x ）。
例3：若x x x f x f 2)1()1(2-=-++其中)(x f 是二次函数，求)(x f 。
2：二次函数的图像：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像是以直线 为
轴的抛物线；顶点坐标为 ；若图象与x 轴有交点，则交点的横坐标是方程 的实根；它在x 轴上截得的线段长为=-21x x
（1）当 时，抛物线开口向上；函数在??? ??-
∞-a b 2,上单调 ；在??????∞+-.2a b 上单调 ；当=x 时，=min )(x f
（2）当 时，抛物线开口向下；函数在??? ??-
∞-a b 2,上单调 ；在??
????∞+-.2a b 上单调 ；当=x 时，=max )(x f
（Ⅲ）二次函数的单调性，最值与对称轴；区间和开口方向密切相关，解题要注意影响。
例4：函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在(]1,∞-上单调递增的充要条件为？ 1）二次函数132+++-=m mx x y 的图像与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_______________。
2）设全集U={x x *,5N x ∈≤且},集合A={x 052=+-q x x },B={x x 2
+px+12=0},且 （C U A ）?B={1，4，3，5}，求实数P 、q 的值。
3：二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上必有最大值与最小值；能在区间的端点处或二次函数的点处取得。
对于二次函数：)0()()(2
>+-=a k h x a x f 在区间[]n m ,上的最值问题，有以下结论： （1）若[]n m h ,∈则k h f y ==)(min {})(),(max max n f m f y =
（2）若[]n m h ,?
则 {})(),(min min n f m f y ={})(),(max max n f m f y =（0 （Ⅳ）当对称轴h x =中含有参变量时，要注意按n h m m h m h ≤≤><和,的不同情况加以讨论 a.定轴动区间 b.定区间动轴c 。定区间定轴 例5：求函数322++=x x y []3,2-∈x 的最大值与最小值。 例6：求函数142+--=x x y 在下列区间的最值：（1）[]3,3-∈x （2）[]1,4--∈x （3）[]3,5--∈x （4）[]2,1-∈x 二：考点深化 1．三个“二次”的关系： 二次函数c bx ax x f ++=2)(的零点（图像与x 轴交点的横坐标）是相应一元二次方程02=++c bx ax 的两根，也是一元二次不等式02>++c bx ax （或02<++c bx ax ）解集的端点值。 观察并分析： ,06722≤+-x x 06722=+-x x ,y=6722+-x x 之关系。 1）设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042=-=?ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为 2）．已知集合A={a 关于x 的方程x 2-ax+1=0,有实根}，B={a 不等式ax 2-x+1>0对一切x ∈R 成立}, 求A ?B 。 3）．已知全集合U {}2|10M m mx x =--=方程有实数根 {}()2|0,.U N n x x n C M N =-+= 方程有实数根求 4）．已知集合}023|{2=+-=x ax x A （1）至多有一个元素，则a 的取值范围； （2）若至少有一个元素，则a 的取值范围。 5）．设A={x }01a x )1a (2x x {B ,0x 4x 222=-+++==+,其中x ∈R,如果A ?B=B ， 求实数a 的取值范围.(分类讨论) 6）不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围． 7）已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－21 ＜x ＜31 ， 解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0． 8）．若不等式01 2>++p qx x p 的解集为{}42|< 2．一元二次方程根的分布 对于一元二次方程根的分布问题可以结合相应二次函数的图像求解。 设实系数的二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两根分别为21,x x 函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 1）方程有两个不等的正根 方法一：（利用根与系数的关系）?????????>=>-=+>-=?000421212a c x x a b x x ac b 方法二：? ???? ??>=>->-=?0 )0(020 42ac af a b ac b （2）方程有两个不相等的负根 方法一：???? ?????>=<-=+>-=?000421212a c x x a b x x ac b 方法二：???????>=<->-=?0)0(02042ac af a b ac b （3） 方程有一正根，有一负根。 方法一：021<=a c x x 方法二：0)0(<=ac af 练习 1）．若方程8x 2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k 的取值范围是 2）．若不等式x 2 -ax+b<0的解集是{32< 求实数a 的取值范围. 4）.求关于x 的方程ax 2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件. 5）.设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x 2-x-6≤0，或x 2+2x-8＞0， 且q p ??是 的必要不充分条件，求a 的取值范围. 3. 幂函数 ： y x =≠αα(,)01在第一象限的图象，可 2—1中的三类： 图2—1 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解 y x =α中α限于在集合 ---???? 21121312123，，，，，，，中取值。 幂函数有如下性质： ⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ⑵定义域为R 或（，）（，）-∞+∞00 的幂函数都具有奇偶性， 定义域为[]R ++∞或，0 的幂函数都不具有奇偶性； ⑶幂函数y x =≠αα()0都是无界函数；在第一象限中，当α<0时为减函数， 当α>0时为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点； 4. 指数函数与对数函数 指数函数y a a a x =>≠()01且，对数函数y a a a x =>≠log ()01且。是高中数学典型函数，也是高考中经常涉及到的函数，复习时要注意以下几点： ⑴熟练掌握两个函数的图象和性质。⑵注意底数a 的取值不同（如a =212313 ，，，）对函数图象位置的影响。⑶当底数a 取同一个值（如a =2）时，y a x =与y x a =log 互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称。 ⑷对底数a 要注意分01<1两种情况来研究a x x a 和log 中的有关问题。 1）三性：定义域，值域，单调性。（自己阅读） 2）应运：A 、比较大小——同底不同指；同指不同底；不同指也不同底。 指数、对数值的大小比较：（1）化同底 后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后 利用图象比较。 B 、解不等式： 5. 指数方程和对数方程 这两类方程都属于超越方程。解方程的基本思想是“化归”。通过把超越方程代数化，无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程（组）一元化等，最后归结为一元一次或一元二次方程等。 例1．（1）当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a －x 与y=log a x 的图象是 （ ） （2）三个数60.7,0.76,log 0.76的大小顺序是 （ ） A ．0.76 （3）当0 A ．b b a a )1()1(1 ->- B ．（1+a ）a >(1+b)b C ．2)1()1(b b a a -<- D ．（1－a ）a >(1－b)b 例2：当a >1时，在同一坐标系中，函数y a x =-与y x a =log 的图象是（ ） 例3．求函数)1,0()(log 11 )(≠>+-=a a a x x f a 的定义域.（分类讨论） 例4．已知f(x)=log a (a x －1)(a>0,且a ≠1) （分类讨论） （1） 求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的单调性；（3）解方程f(2x)=f －1(x) 例5.已知f(x)=0a 0a ,x 1x 1log a ≠>-+且 分类讨论） (1) 求f(x)的定义域，（2）判断f(x)的奇偶性，并给予说明。（3）解不等式f(x)>0. 练习：解下列不：（1）016524x 1x =+?-- （2）016524x 1x ≤+?-- ＊6. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、 奇偶性、解析递推式等）的函数问题。 （阅读赏析）求解抽象函数问题的常用方法是： （1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ： ①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±； ②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()() x f x f y f y = ； ③指数函数型：()x f x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()()() f x f x y f y -=； ④对数函数型：()lo g a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y =-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()() f x f y f x y f x f y ++=-。如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f ____（答：0） （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如 （1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有 A 、(3)()f x f x += B 、()()()f x y f x f y +=+ C 、(3)3()f x f x = D 、()()()f xy f x f y =（答：A ）； （2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果23lg )1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1） ； ＊（3）如设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称 轴； （4）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。如果421<+x x ， 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____（答：负数） （3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行 逻辑探究。 如（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）； 如（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +， 则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）； 如（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数， 当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么 不等式()c o s 0 f x x < 的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22 ππ-- ）； 如（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()() f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1()12 f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：(][)0,14,5 ）． 7.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关 系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数 2(1).(1)()41) x x f x x ?+ 已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?- ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3(,]2-∞） 8. 反函数： （1）存在反函数的条件：是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在 反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数 223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 A 、(],1a ∈-∞ B 、[)2,a ∈+∞ C 、[1,2]a ∈ D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞ （2）求反函数的步骤：①反求x ；②互换 x 、y ； ③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数(1)y f x =+的反函数不是1(1)y f x -=+，而是1()1y f x -=-。 如设)0()1()(2>+=x x x x f .求)(x f 的反函数)(1x f -（答：1()1)f x x -=>）． （3）反函数的性质： ①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。 如单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1x f - 的定义域为 ?? ????a a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________（答：[4,7]）. ②函数()y f x =的图象与其反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称， 注意 函数()y f x =的图象与1()x f y -=的图象相同。 如（a ）已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））； 如（b ）已知函数132)(-+=x x x f ，若函数()y g x =与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称， 求(3)g 的值（答：72 ）； ③1()()f a b f b a -=?=。 如（a ）已知函数)24(log )(3+=x x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ______（答：1）； 如（b ）设函数f (x )的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数1()f x -， f (4)＝0，则1(4)f -＝ （答：－2） ④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。 如已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等式 ()12log 1f x -<的解集为________（答： （2,8））； ⑤设()f x 的定义域为A ，值域为B ，则有1[()]()f f x x x B -=∈， 1[()]f f x x -=()x A ∈，但11[()][()]f f x f f x --≠。 三：题型研究 例6：设函数)(22)(2R a ax x x f ∈+-=当R x ∈时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围。 练习1：函数4)2(2)2(2--+-=x a x a y 的值恒小于0，则a 的取值范围是？ 例7：（2005年全国I 卷）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(-> 的解集为（1，3） 。(1)若 方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。 例8：求函数 562---=x x y 的值域 例9：设函数???>≤++=) 0(2)0()(2x x c bx x x f ，若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为 A .1 B.2 C.3 D.4 例10：关于x 的方程02=++a ax x )0(>a 有两个实数根21,x x ， （1）求2 111x x +的值， （2）证明：1121-<- 四：方法与技巧（阅读部分） 1：分类讨论的思想： 若一个数学问题中含有字母参数，常需要对这个字母参数进行讨论，在二次函数中如含参数常采用分类讨论 的思想来求解。特别是函数的二次项系数含有字母参数时，要按二次项系数大于0、等于0、小于0进行讨论， 有时还需要针对二次函数的对称轴的位置进行分类讨论。 例12：求函数]1,1[)(12-∈+-=x a ax x y ，为常数的值域。（动轴定区间） 2：换元法：有些问题需要换元后转化为二次函数在求解，换元时要注意换元后新元的范围。 例13：求函数12212-+=+x x y ]1,1[-∈x 的值域 练习：方程1)23(2cos 3sin 22=--+a a x a x 有解，求实数a 的取值范围。 3：二次函数在某个区间上的最值问题 题目类型：（1）定轴动区间、（2）动轴定区间、（3）定轴定区间 解题关键：抓住“三点一轴”，三点即区间两端点与区间的中点：一轴即为对称轴。 例14：已知函数[]m m x x y ，则，最小值上有最大值，在闭区间230322 +-=的取值范围是 A [)+∞,1 B []2,0 C []2,1 D (]2,∞- 例15：已知q x f x q ax x x f 恒成立，求时，若0)(]2,2[3)(2 ≥-∈-++=的取值范围. ex 、已知函数y=lg(mx 2-4mx+m+3)的定义域是R ，求实数m 的取值范围。 函数的图象及变换： 一．函数图象的识别与应用 函数的图象是函数重要组成部分，当能描绘出函数的图象时，可以从图象中比较直观地得到一些函数的性质（比如最值、单调性、对称性等），对解题，分析问题有更好的帮助作用.画好一个函数图像需要具备以下方面的能力： （1）掌握好一些基本函数的图象.（２）掌握画图的基本方法：描点法. （３）借助于函数的基本性质画图. 例1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2—1所示，则（ ） A ．0,0,0>> B ．0,0,0<> 评析：本题主要考查二次函数图象的画法，开口方向。对称轴，顶点及图象与x 轴，y 轴的交点. 例2：函数)(x f y =的图象可能是（ ） A ． 关于y 轴对称 B .关于X 轴对称 C. 关于y=x 轴对称 D.关于y=-x 轴对称 评析：本题主要考查函数的性质；首先去掉绝对值，及???<-≥=0).(0),()(x x f x x f x f 根据函数的图象变换 )()(x f x f -与的图象关于y 轴对称，在同一个函数中，若满足)()(x f x f =-，那么该函数的图象关于y 轴对称. 二：图象的平移与变换 1关于点的对称性 （1）),(),(1y x P y x P y -????→?轴对称关于； （2）),(),(1y x P y x P x -????→?轴对称关于； （3）),(),(1x y P y x P x y ????→?=轴对称关于 （4）),(),(1x y P y x P x y --?????→?-=轴对称关于； （5）),2(),(1y x a P y x P a y -????→?=轴对称关于；（6）)-,(),(1y x P y x P -????→?关于原点对称； （7）)2,2(),(1,A y b x a P y x P b a --??????→?）对称（关于点； 2．图象的平移 （1）） 的图象（的图象个单位向右平移0)()(>-=?????→?=a a x f y x f y a ； （2）） 的图象（的图象个单位向左平移0)()(>+=?????→?=a a x f y x f y a ； （3）） 的图象（的图象个单位向上平移0)()(>+=?????→?=b b x f y x f y b ； （4）） 的图象（的图象个单位向下平移0)()(>-=?????→?=b b x f y x f y b 例3：画函数12+=x y 的函数图像，然后再画出下列函数的图像： （1）)1(+=x f y ； （2）)1(-=x f y ；（3）3)(+=x f y ：（4）3)(-=x f y ； （5）3)1(-+=x f y 3．图象的对称变换 （1）的图象图象轴对称关于)()(x f y x f y y -=????→?=；（2）的图象图象轴对称关于)()(x f y x f y x -=????→?=； 3）的图象图象轴对称关于)()(1x f y x f y x y -==????→?=；（4）的图象图象轴对称关于)()(1x f y x f y x y --=?????→?=--=； （5）的图象图象轴对称关于)2()(x a f y x f y a x -=????→?==；（6）的图象图象关于原点对称)-()(x f y x f y -=????→?=； （7）的图象图象）对称（关于点)-2(2)(,A x a f b y x f y b a -=??????→?=； 例4：画出函数x y 2=的函数图象，并再画出下列函数的图象. （1）)(x f y -=； （2）)(x f y -=； （3）)(x f y --=；（4）)(1x f y -= 练习：（1）若函数)(x f 的图象与函数23-=x y 的图象关于x 轴对称，求函数)(x f 的解析式. （2）若函数)(x f 的图象与函数23-=x y 的图象关于y 轴对称，求函数)(x f 的解析式. （3）若函数)(x f 的图象与函数23-=x y 的图象关于原点对称，求函数)(x f 的解析式. （4）若函数)(x f 的图象与函数23-=x y 的图象关于x y =对称，求函数)(x f 的解析 （5）若函数)(x f 的图象与函数23-=x y 的图象关于x y -=对称，求函数)(x f 的解析 (6) 若函数)(x f 的图象与函数23-=x y 的图象关于)1,2(P 对称，求函数)(x f 的解析式. (7) 若函数)(x f 的图象与函数23-=x y 的图象关于5=x 对称，求函数)(x f 的解析式. (8) 若函数)(x f 的图象与函数23-=x y 的图象关于2=y 对称，求函数)(x f 的解析式. 4．图象的翻折变换 （1）)(x f y =的图象是将)(x f y =的图象保留y 轴右侧的图象，将y 轴右侧的图象作关于y 轴对 （2）)(x f y =的图象是将)(x f y =的图象保留x 轴上方的图象，将x 轴下方的图象作关于x 轴对称. 例5：画出下列函数的图象（1）322--=x x y ； （2）322--=x x y ；（3）1 -=x x y ； （4）11-=x y 例6：画下列函数的图象（1）221+?? ? ??=x y （2）13-=x y （3）1log 2 1+=x y （4）x y 2log = 5.图象的伸缩变换 （1）的图象图象倍标伸长时，纵坐标不变，横坐当)()(110x f y x f y ωωω=???????????→?=<<； （2）的图象图象倍 标缩短时，纵坐标不变，横坐当)()(11x f y x f y ωωω=??????????→?=>； （3）的图象的图像）倍（长为原来的横坐标不变，纵坐标伸)()(0x Af y x f y A A =????????????→?=> 例：1）函数x 2sin y =的图象可由函数x sin y =的图象经过怎样的变换而得到 2）函数x 2 1sin y =的图象可由函数x sin y =的图象经过怎样的变换而得到 3）函数x sin 2y =的图象可由函数x sin y =的图象经过怎样的变换而得到 4）函数x sin 2 1y = 的图象可由函数x sin y =的图象经过怎样的变换而得到 5）函数x 2sin 2 1y =的图象可由函数x sin y =的图象经过怎样的变换而得到 ６）函数4)63sin(21--=πx y 的图象可由函数x sin y =的图象经过怎样的变换而得到 三：图象的对称性的证明 （1）证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称性中心（或对称轴）的对称点仍在图象上。要熟 悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数的的图象，偶函数的图象，还要证)(x f y =的图象关于 直线x y =对称，只要证明)()(1x f x f =-。若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线a x =对称。 若)()(x b f a x f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x += 对称。 例7：证明函数x x y 1+=的图象关于原点对称。 例8：设函数)(x f y =定义域在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -= 的图象关于 （ ） Ａ. 直线0=y 对称 B. 直线0=x 对称 C. 直线1=y 对称 D. 直线1=x 对称 阅读注释：对于函数x y =，若有)()(x a f x a f -=+，则有)(x f y =的图象关于直线a x =对称；而对于函数 )(x a f y +=与)(x a f y -=来说，两函数图象重合而且关于直线0=x 对称。 （2）证明曲线1C 与曲线2C 的对称性，即要证明1C 上任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在2C 上，反之亦然。 例9：函数2)(,log )(2 2+-==x x g x x f ，在同一坐标系作)(x f ，)(x g 的图象。 第四讲函数的性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的 任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是 偶函数。 注意： 1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定 是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2) 确定f (－x )与f (x )的关系； 3) 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 （1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数奇偶性时，务必先判定 函数定义域是否关于原点对称。如若函数)(x f 2sin(3)x θ=+，[25,3]x απα∈-为奇函数，其中 )2,0(πθ∈，则θα-的值是 （答：0） ； 2） 确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法：如判断函数 y =____（答：奇函数）。 ②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()1() f x f x -=±（()0f x ≠）。 如判断11()( )212 x f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （3）函数奇偶性的性质： ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==. 如若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)3 1(f =2，则不等式2)(log 81>x f 的解集为______. ④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。如若 22()21 x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设) (x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2 f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝12 x ） ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当 x 1 注意： 1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2) 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做y =f (x )的单调区间。 （3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间， B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集： ①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数； ②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： 1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1 3）变形（通常是因式分解和配方）；4）定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）； 5）下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。 （5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 （6）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>， 则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。 如已知函数3 ()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)； ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等， 特别要注意(0b y ax a x =+ >、0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用： 增区间为(,)-∞+∞，减区间为[. 如（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是__(答：3-≤a ）)； 如（2）已知函数1()2ax f x x += +在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2 +∞）； 如（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ??=+->≠ ??? 且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______ ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减， 如函数() 212log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。 （2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示． （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是 定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：1223 m -<<） EX.1. 设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7 5)等于( ) A 0 5 B －0 5 C 1 5 D －1 5 2. 已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( ) A (22，3) B (3，10) C (22，4) D (－2，3) 3. 若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________ 4 . 如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (3 2),f (1)的大小关系_________ 5. 已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明 3．最值： （1）定义： 最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在 x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在 x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 注意：1） 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； 2） 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： A ．利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； B 。利用图象求函数的最大（小）值； C 。利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )； 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )； 4．周期性 （1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数； （2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2 ()2(T x f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为 ||ωT （1）类比“三角函数图像”得：①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠， 则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-； ②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-； ③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且 一周期为4||T a b =-； 如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有_个实数根（答：5） 2． 由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得： ①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =；③若1()(0)() f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 如(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+， 当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)； (2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数， 若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答： (sin )(cos )f f αβ>)； （3）已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答993)； （4）设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-????()1f x =+， 又( )22f =，则()2006f = (答 ：22 ) 【考点3】 函数的概念 1．(2009福建文2) 下列函数中，与函数y = 有相同定义域的是 A ．()ln f x x = B ．1()f x x = C ．()||f x x = D ．()x f x e = 2．(2009宁夏海南文3)对变量y x ,有观测数据)10,,2,1)(,( =i y x i i ，得散点图1；对变量v u ,有观测数据 )10,,2,1)(,( =i v u i i 。得散点图2。由这两个散 点图可以判断 （A ） 变量y x 与正相关，v u 与正相关 （B ） 变量y x 与正相关，v u 与负相关 (C)变量y x 与负相关，v u 与正相关 （D ）变量y x 与负相关， v u 与负相关 【考点4】 函数的性质 1．(2009福建文8)定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示，则在()2,0- 上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是A ．21y x =+ B ．||1y x =+ C ．321,01,0x x y x x +≥?=?+ D ．,,0 x x e x o y e x -?≥?=? C ．321,01,0x x y x x +≥?=?+ D ．,,0 x x e x o y e x -?≥?=? 1()12(,),0()(<-+∞取值范围是 A ．)32 ,31( B ．]32 ,31[ C ．)32 ,21( D ．]3 2 ,21[ 3．（2009山东文12）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则 （A ）)80()11()25(f f f <<- （B ）)25()11()80(-< （D ）)11()80()25(f f f <<- 4．（2009浙江文8）若函数)()(2R ∈+ =a x a x x f ，则下列结论正确的是 （A ）)(,x f a R ∈?在),0(+∞上是增函数 （B ）)(,x f a R ∈?在),0(+∞上是减函数 （C ）R ∈?a ，)(x f 是偶函数 （D ）R ∈?a ，)(x f 是奇函数 5．(2007广东文3)若函数∈=x x x f ()(3R ），则函数)(x f y -=在其定义域上是 A.单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数 6．(2007宁夏海南文14)设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = 【考点5】 指数函数、对数函数及幂函数 1．（2009广东文4）若函数)(x f y =是函数)1,0(≠>=a a a y x 且的反函数，且==)(,1)2(x f f 则 A ．x 2log B ．x 21 C ．x 21log D ．22-x 2．（2009辽宁文6）已知函数1(),4,()();4,()2 x f x x f x x f x ≥=<满足当时当时2(1),(2log 3)f x f =++则 A ．241 B ．12 1 C ．81 D ．83 3．（2009上海文1）函数f(x)=x 3+1的反函数f -1(x)=_____________. 4．(2007山东文13)设函数====-)))2007(((,)(,)(,)(32121221 1f f f x x f x x f x x f 则 . 5．（2009广东理3）若函数)(x f y =是函数)1,0(≠>=a a a y x 且的反函数，其图像经过点),(a a 则=)(x f （ ） A ．x 2log B ．x 21log C ．x 21 D ．2 x 6.（2009海南宁夏文理12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值. 设{} ()min 2,2,10x f x x x =+- (x ≥0),则()f x 的最大值为 ( )． A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7 7. (2009湖南理8)设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义.对于给定的正数K ，定义函数 (),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤?=? >? 取函数()f x =2x x e ---．若对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()K f x =()f x ，则 ( )． A ．K 的最大值为2 B ．K 的最小值为2 C ．K 的最大值为1 D ．K 的最小值为1 【考点6】 函数的图象 1．(2009安徽文8)设)()(,2 b x a x y b a --=<函数的图像可能是 ( ) 2．（2009山东文6）函数x x x x e e e e y -+=-的图象大致为 ( ) 【考点7】函数与方程 1．(2009福建文11)若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超0.25， 则()f x 可以 A ．()41f x x =- B ．()2(1)f x x =- C ．()1x f x e =- D ．()12f x In x ? ?=- ??? 2．（2009天津文2）设变量x ，y 满足约束条件：?? ???≤--≥-≥+,32,1,3y x y x y x 则目标函数z=2x+3y 的最小值为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 3．(2007山东文14)函数)1,0(1≠>=-a a a y x 的图象恒过定点A ，若点A 在直线0(01>=-+mn ny mx ）上，则n m 11+的最小值为 . 幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③； 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ； 过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）． 第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义? 一般地，形如y x α=（x ∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基 本初等函数． 【思考】幂函数与指数函数有何不同？ 本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 【例】１．下列函数:①31 x y =；②23-=x y ；③24x x y +=；④32x y =,其中幂函数的个数为( ） 2.若函数22)5(x k k y --=是幂函数,则实数ｋ的值是（ ） 3.已知点)33,3 3 ( 在幂函数ｆ(x ）的图像上,则f(x)的表达式是? 4．当()+∞∈,0x 时,幂函数()3521----=m x m m y 为减函数，则实数m 的值为？ 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）1 2 y x = （3）2y x = （４)1y x -= （5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像,可以看出: 【例】已知幂函数ｆ(x)的图像过点 ( ) 2,2，幂函数 g(x ）的图像过点?? ? ??41,2，(1)求f （x)，g （x)的解 析式；(２)当ｘ为何值时:①f(x)>g （x ）;②ｆ(x)＝g （x)；③f(x)＜g （ｘ） 【变式】若点 ( ) 2,2改为()8,2，探求f(x)与g （x ） 中较小的一个的单调性及奇偶性。 【规律小结】 (1)求幂函数解析式的步骤为以下几点:①设出幂函数的一般形式ｙ＝x α(α为常数); ②根据已知条件求出α的值(待定系数法）； ③定出幂函数的解析式． (2)作直线x=ｔ，t ∈(1，＋∞)与幂函数的各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的. 【幂函数性质】 (１)单调性:①所有的幂函数在(0，+∞）都有定义，并且图象都过点(1，１); ②0>a 时,幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞]上，是增函数 ③0 第二章函数概念与基本初等函数 I 一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的 三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a>0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1（x）的意义. 1 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维 (一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0 图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，0 函数及基本性质 一、函数的概念 （1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． （2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则． 注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3) 5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+= x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()6 35 -= x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ， 13 1 > 高中数学：幂函数的概念、图象和性质 1、幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使有意义的值的集合。 例1、已知幂函数，且当时为减函数。求幂函数的解析式。 分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。 解答：由于为幂函数， 所以，解得，或。 当时，，在上为减函数； 当时，，在上为常函数，不合题意，舍去。 故所求幂函数的解析式为。 2、幂函数的图象和性质 图象： 定 义域值域奇 偶性奇偶奇 非奇非 偶 奇 单 调性上增 上减， 上增 上增上增 ， 上分别减 定 点 ， （1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； （2）如果，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数； （3）如果，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。在第一象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴； （4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。 例2、比较，，的大小。 分析：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。 解答： 而在上单调递增，且， 。故。 例3、若函数在区间上是递减函数，求实数m的取值范围。 分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。 函数是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在和 上都是递减函数。一般地，形如的函数都可以通过对 的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。 解答：由于，所以函数的图象是由幂 函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。 其单调递减区间是和，而函数在区间上是递减函数，所以应有。 例4、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象 上，定义，试求函数的最大值及其单调区间。分析：首先根据幂函数的定义求出，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。 第一章 函数 1.1 函数的概念及其基本性质（4课时） 教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。 教学过程： 一、集合及其运算 1、集合概念 (1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素. (2) 集合的表示法 a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21} b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成 }|{P x x M 具有性质= (3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性. (4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算 (1) 并集 {| }A B x x A x B ?=∈∈或；(2) 交集 {| } A B x x A x B ?=∈∈且 (3) 差集 \{| }A B x x A x B =∈?但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈?但 集合的并、交、补满足下列法则： (1) 交换律：A B B A ?=?，A B B A ?=? (2) 结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=?? (3) 分配律：)()()(C B C A C B A ???=??， )()()(C B C A C B A ???=?? (4) 对偶律：C C C B A B A ?=?)(，C C C B A B A ?=?)( （5）幂等律：A A A ?=A A A ?=；（6）吸收律：A A ?Φ=A A ?Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ?=∈∈ 且 二、区间与邻域 1、映射与领域 区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U 左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a . 2、映射概念 定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x| 其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈ 第五讲 函数的基本概念与性质 函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究． 1．求函数值和函数表达式 对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题． 例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)． 解法1 令y=x-1，则x=y+1，代入原式有 f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44 ＝19y2＋93y＋30， 所以 f(x)=19x2+93x＋30． 解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30． 可． 例3 已知函数f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(-5)． 解 由题设 f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5 =-(ax5-bx3＋x＋5)+10 =-f(x)+10， 所以 f(-5)=-f(5)＋10=3． 例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x ，y ，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)． 解 设f(0)=k ，令y=0代入已知条件得 f(x)=f(x+0)=f(x ·0)=f(0)=k ， 即对任意实数x ，恒有f(x)=k ．所以 f(x)=f(19)=99， 所以f(1999)=99． 2．建立函数关系式 例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l 2：y=mx ＋b 过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图像． 解 因为l 2过点C(1，0)，所以m ＋b=0，即b=-m ． 设l 2与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为(0，-m)，且0＜-m ≤2(这是因为点D 在线段OA 上，且不能与O 点重合)，即-2≤m ＜0． 故S 的函数解析式为 例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。 以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。 函数的概念及基本性质练习题 1. 下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( ) 2．若f (1x )＝1 1＋x ，则f (x )等于( ) A.1 1＋x (x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0) C.x 1＋x (x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3 4．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 5.已知函数f (x )＝??? 2x ＋1，x ＜1 x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.4 5 C ．2 D ．9 6．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}， B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数 D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 7．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3 x －3与y ＝x ＋3(x ≠3) B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x (x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 8．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋8 3x －2 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(653 12121 132b a b a b a ????--（2）.)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+ （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 集合 0集合的概念 我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B C……表示，元素一般用小写字母a、b、c……表示。 如果元素二是集合A中的元素，记二三上，否则记厘三上。 有限集：只有有限个元素的集合。 无限集：有无穷多个元素的集合。 空集：不含有任何元素的集合叫空集，记常。 臼集合的表示方法列举法：如乂■仙上心町,召-卩2和??」5 描述法：如八㈤只* 1 = —w旳，U< ,曲旳 0子集 如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B）,记 A u召或月二）卫 如: 0并集: 集合A 与集合B 的元素放在一起构成的集合，称为 A 与B 的并集。记」?_」三，即 HUE = (x | re 卫或工匡5) 如：一一 .......... 「一二…-丄 …一…—. NS ■叶 2C x < 4,xs K) O 交集： 记集合A 与集合B 的公共元素构成的集合，称为 A 与B 的交集，记 卫门/ 即丿门月：｛和工乞卫且工€月｝ ZnF-(J-- < x< 0,ie2?) 则： 2 绝对值与绝对值不等式 几何意义：点T 到原点的距离。 如: Y CUE 幻月珂*2—*忒刃 ? x> 0 x< 0 几何意义：点芒到点*的距离。 性质： 1) ?、 ■ A |20 ? 3)十 UI 4)设a>0 , 环|3}?{兀卜说""} 区间与邻域 *+y|“|+恫 6) - _ 「 7) 例1 :解下列不等式 x -4| < 4 0 <〔―分 < 4 ^r-j|2 H~ H 2… -, 3) 匕十 4| > 1 5) 解.1) - -上.、.--二 _ 4 =〕_ ?.■ _L E 2) ?.：:-；； 3) 卞一一"-或 F _ 丄：_ [ — - - _ 二或二 一二 4) (^ - 2| < 2 fCl < x < 4 "2 =(工产 2 5) G >0 < 0 J A <0 或 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n a -= （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 1、幂函数的图像与性质 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 0n < 幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． O x y O x y O x y §1·函数的概念 （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域. 函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →: 这里 A, B 为非空的数集. （2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ? B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B （3）函数符号：)(x f y = ?y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域 1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函x k x f = )()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a :定义域R 值域：当0>a 时，??????-≥a b ac y y 44|2；当0 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0幂函数的概念及其性质测试题(含答案)
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