兰州一中2014-2015-2高一期末考试数学试题(含答案)

2014-2015学年甘肃省兰州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1．（3.00分）已知集合A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x=（）A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±42．（3.00分）函数y=的定义域是（）A．[，+∞）B．[，2）∪（2，+∞）C．（，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）3．（3.00分）点（x，y）在映射f：A→B作用下的象是（x+y，x﹣y），则点（3，1）在f的作用下的原象是（）A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（4，﹣2）4．（3.00分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，5．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣36．（3.00分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）7．（3.00分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=158．（3.00分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）9．（3.00分）函数f（x）=3•4x﹣2x在x∈[0，+∞）上的最小值是（）A．﹣B．﹣4 C．﹣2 D．210．（3.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）11．（3.00分）设x、y是关于m的方程m2﹣2am+a+6=0的两个实根，则（x﹣1）2+（y﹣1）2的最小值是（）A．﹣12B．18 C．8 D．12．（3.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．（4.00分）函数f（x）=log2（x2﹣5x+4）的单调递减区间是．14．（4.00分）函数y=的值域是．15．（4.00分）已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=．16．（4.00分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：①函数f（x）满足f（x+4）=f（x）；②函数f（x）图象关于点（1，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；④函数f（x）的最大值为f（2）；⑤f（2009）=0．其中正确的序号为．三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6.00分）设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．（10.00分）（1）若a＞0，b＞0，化简：﹣（4a﹣1）（2）若log23=a，log52=b，试用a，b表示log245．19．（10.00分）已知f（x）=log2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．20．（10.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．21．（12.00分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．2014-2015学年甘肃省兰州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1．（3.00分）已知集合A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x=（）A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±4【解答】解：∵A={1，16，4x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x2=16或x2=4x，则x=﹣4，0，4．又当x=4时，4x=16，A集合出现重复元素，因此x=0或﹣4．故选：C．2．（3.00分）函数y=的定义域是（）A．[，+∞）B．[，2）∪（2，+∞）C．（，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）【解答】解：要使原式有意义只需：，解得且x≠2，故函数的定义域为[）∪（2，+∞）．故选：B．3．（3.00分）点（x，y）在映射f：A→B作用下的象是（x+y，x﹣y），则点（3，1）在f的作用下的原象是（）A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（4，﹣2）【解答】解：由，解得x=2，y=1．∴象（3，1）的原象是（2，1）．故选：A．4．（3.00分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，【解答】解：A．函数g（x）==|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．B．函数f（x）==|x|，g（x）=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数．C．函数f（x）=x+1的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．D．由，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，由x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选：A．5．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．故选：A．6．（3.00分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）【解答】解：令则x=（t﹣1）2（t≥1）∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）故选：C．7．（3.00分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=15【解答】解：因为y=是减函数，所以，幂函数y=是增函数，所以，∴a＜b＜c．故选：C．8．（3.00分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）【解答】解：∵f（x）为奇函数，f（2）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（﹣∞，0）内是增函数∵xf（x）＜0，∴或根据在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数解得：x∈（0，2）∪（﹣2，0）．故选：D．9．（3.00分）函数f（x）=3•4x﹣2x在x∈[0，+∞）上的最小值是（）A．﹣B．﹣4 C．﹣2 D．2【解答】解：∵x∈[0，+∞），∴2x∈[1，+∞），∵f（x）=3•4x﹣2x=3（2x﹣）2﹣，∴当2x=1时，f（x）=3•4x﹣2x在x∈[0，+∞）上的最小值为：3（1﹣）2﹣==2．故选：D．10．（3.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log 2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．11．（3.00分）设x、y是关于m的方程m2﹣2am+a+6=0的两个实根，则（x﹣1）2+（y﹣1）2的最小值是（）A．﹣12B．18 C．8 D．【解答】解：由△=（﹣2a）2﹣4（a+6）≥0，得a≤﹣2或a≥3．于是有（x﹣1）2+（y﹣1）2=x2+y2﹣2（x+y）+2=（x+y）2﹣2xy﹣2（x+y）+2=（2a）2﹣2（a+6）﹣4a+2=4a2﹣6a﹣10=4（a﹣）2﹣．由此可知，当a=3时，（x﹣1）2+（y﹣1）2取得最小值8．故选：C．12．（3.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象如下图所示：若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解则log a4＜3，log a8＞3，解得：＜a＜2故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．（4.00分）函数f（x）=log2（x2﹣5x+4）的单调递减区间是（﹣∞，1）．【解答】解：令t=x2﹣5x+4＞0，求得x|x＜1，或x＞4，故函数的定义域为{x|x ＜1，或x＞4}，且f（x）=log2t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=x2﹣5x+4在定义域{x|x＜1，或x＞4}内的减区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．14．（4.00分）函数y=的值域是{y|y≠0} ．【解答】解：∵y===又∵的图象向左平移可得y=的图象，且反比例函数y=≠0∴y===≠0故答案为{y|y≠0}15．（4.00分）已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=2．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，∴定义域关于原点对称，即﹣2a+3a﹣1=0，∴a=1，∵函数为奇函数，∴f（﹣x）==﹣，即b•2x﹣1=﹣b+2x，∴b=1．即a+b=2，故答案为：2．16．（4.00分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：①函数f（x）满足f（x+4）=f（x）；②函数f（x）图象关于点（1，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；④函数f（x）的最大值为f（2）；⑤f（2009）=0．其中正确的序号为①②③⑤．【解答】解：①对，因为f（x+2）+f（x）=0，得f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．②对，函数f（x+1）为奇函数，即函数f（x）向左平移一个单位以后关于（0，0）对称，∴平移之前的图象应该关于（1，0）对称，故②正确；③对，由f（x+2）=﹣f（x），得f（x+1+2）=﹣f（x+1），又由f（﹣x+1）=﹣f（x+1），知f（x+1+2）=f（﹣x+1），即f（x+3）=f（﹣x+1），故函数f（x）有对称轴x=2，即f（x）的图象关于直线x=2对称．④不对，对于f（x+2）+f（x）=0，因为是奇函数，所以f（0）=0，也就是f（2）=﹣f（0）=0，因为函数的单调性没有给出，所以无法确定函数的最大值，即④错误．⑤对，由①知，f（2009）=f（502×4+1）=f（1），又由②知F（x）=f（x+1），令x=0，则F（0）=f（0+1）=0，即f（1）=0，即f（2009）=0．故答案为：①②③⑤．三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6.00分）设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵a=5，A={x|a﹣1≤x≤a+1}={x|4≤x≤6}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．∴A∩B={x|4≤x≤5}．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，∴，解得0≤a≤4．18．（10.00分）（1）若a＞0，b＞0，化简：﹣（4a﹣1）（2）若log23=a，log52=b，试用a，b表示log245．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴=．（2）∵log245=log2（5×9）=log25+log29=log25+2log23，而log52=b，则，∴．19．（10.00分）已知f（x）=log2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．【解答】解：（1）若有意义，则，解得定义域为（﹣1，1），关于原点对称．又因为，所以f（x）为奇函数．（2）函数f（x）在定义域（﹣1，1）上单调递减．证明：任取x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，因为x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，所以，即f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（﹣1，1）上为减函数．20．（10.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．【解答】解：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．当x＞0时，f（x）=x2﹣2x所以：（2）①当a+1≤1时，即a≤0，g（x）min=g（1）=1﹣2a②当1＜a+1＜2时，即0＜a＜1③当a+1≥2时，即a≥1g（x）min=g（2）=2﹣2a综上：．故答案为：（1）（2）21．（12.00分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，证明如下由题意，设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2则x1﹣x2＜0∵x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．令x=x1，y=﹣x2，∴f（x1）+f（﹣x2）＜0∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调增；（2）由（1）知，，解得：（3）由于函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，∴函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1∴f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立可转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1，1]恒成立∴，解得m≥2或m≤﹣2或m=0赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

兰州一中2023-2024-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间 120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．己知集合(){}N |30P x x x =∈−≥，{}2,4Q =，则()N P Q ⋃=（ ） A ．{}1,4B ．{}0,2,4C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,42．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（ ）象限. A ．一B ．二C ．三D ．四3．若()2222mmy m m x +=−−是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则m 的值为（ ）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(4,5)D ．(5,6)A ．()3cos f x x =B ．()3sin f x x =C ．()3cos 3f x x =+D ．()sin f x x =A ．70B ．80C ．90D ．1008．已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点()0,3，且在区间()π,2π内不存在最值，则ω的取值范围是（ ）A ．10,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 1120,,1233⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．1170,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若log 0a b <，则函数()x f x a b =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列说法错误．．的是（ ） A ．若α终边上一点的坐标为()()3,40k k k ≠，则3cos 5α= B ．若角α为锐角，则2α为钝角C ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2D ．若1sin cos 5αα+=，且0πα<<，则4tan 3α=−11．已知函数()()tan 203f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是（ ）A ．若()f x 的最小正周期是2π，则1ω= B ．当1ω=时，()f x 图象的对称中心的坐标都可以表示为(),026k k ππ⎛⎫−∈⎪⎝⎭Z C ．当12ω=时，()6f f ππ⎛⎫−<− ⎪⎝⎭D ．若()f x 在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则103ω<≤12．已知函数 ()()21,0ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则方程()()()0f f x m m −=∈R 实数根的个数可以为 （ ）第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．计算：31π10πsin cos 63⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ．14．当1x >时，721x x +−的最小值为 ． 15．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s （单位:cm ）和时间t（单位:s ）的函数关系为2cos 3s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆摆动的频率为 ，第二次到达平衡位置O 所需要的时间为 s ．16．定义在R 上的奇函数()f x 满足()20212()f x f x +=，且在(0,1)上()3x f x =，则3(log 54)f =四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算下列各式的值： (1)3224031168(2021)281−−⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)7log 5222lg5lg8lg5lg 20(lg 2)73++⋅++.18．（12分）已知()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫−−−−+ ⎪⎝⎭. (1)化简()f α； (2)已知()2f α=−，求sin cos sin cos αααα+−的值.19．（12分）已知一次函数()f x 过定点()0,1． (1)若()13f =，求不等式()4f x x≤解集． (2)已知不等式()4f x x ⋅>的解集是(),b a ，求2+a b 的最小值．20．（12分）秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与药熏时间t （小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与时间t （小时）的函数关系式为116t ay −⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数，12t >）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）关于时间t （小时）的变化曲线如图所示.（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y （毫克） 与时间t （小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于14毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.21．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，其中()f x 的图象与x 轴的一个交点的横坐标为π12−. (1)求这个函数的解析式，并写出它的单调区间； (2)求函数()f x 在区间π,212π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．（12分）把符号a bc d称为二阶行列式，规定它的运算法则为a b ad bc c d =−．已知函数()cos 1sin 2cos f θλθθθ−=．(1)若12λ=，R θ∈，求()f θ的值域； (2)函数()221111x g x x −=+，若对[]1,1x ∀∈−，R θ∀∈，都有()()1g x f θ−≥恒成立，求实数λ的取值范围．兰州一中2023-2024-1高一期末考试试题(答案)高一数学命题：石磊 审题：达志虎 周莉说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 所以{}N1,2P =()N P Q ⋃=【详解】3π25<<0，则点P 位于第二象限，【详解】因为(y =，0y x ==二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.⎤⎥⎦17,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 13．1【详解】31π10πππsin cos sin 4ππcos 2ππ6363⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−=−++−++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ11sin cos 16322=+=+=．故答案为：1 14．2142+【详解】由于1x >，所以10x −>， 所以()()777221222122142111x x x x x x +=−++≥−⋅+=+−−−， 当且仅当()()2771421,1,1122x x x x −=−==+−时等号成立. 故答案为：2142+ 15．12/0.5 76【详解】单摆摆动的频率111.2π2πf T ===当1s 6t =时，0s =，故第一次到达平衡位置O 的所需要的时间为16s ．所以第二次到达平衡位置O 所需要的时间为117s 626T +=故答案为：12；76.16．32−【详解】3333log 54log (23)log 23=⋅=+，即3log 54(3,4)∈，因()20212()f x f x +=，且()f x 是R 上的奇函数，则33333320212021(log 54)(log 23)(log 21)(1log 2)2021(log 21)(log 21)f f f f f f =+===−=−−+−， 因在(0,1)上()3xf x =，3331log 2log (0,1)2−=∈，于是得33log 233(1log 2)32f −==，所以33(log 54)2f =−.故答案为：32−四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(1)198(2)8 【详解】（1）原式=2334()334231924()144()1328⨯⨯−=−+−=−+−=（2）原式()()2322lg5lg2lg5lg21lg 253=+++++ 22lg52lg 2lg5lg 2lg5(lg 2)5=++⋅+++()()2lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2lg 55=++⋅+++2lg 2lg558=+++=.18．(1)tan α−；(2)3.【详解】（1）()π(sin )(cos )(sin )cos 5π2π(cos )sin(π)[sin(π)]sin 4π2f ααααααααα⎡⎤⎛⎫−−−+− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫−−−+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2πsin cos cos 2π(cos )sin [(sin )]sin 2ααααααα⎡⎤⎛⎫−−− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫−−−+ ⎪⎝⎭sin tan cos ααα=−=−. （2）因为()2f α=−，所以tan 2α=，∴sin cos sin cos αααα+−tan 133tan 11αα+===−.19．(1)102xx x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭∣或 (2)1282+ 【详解】（1）设一次函数()()0f x kx m k =+≠，因为()f x 过定点()0,1， 所以1m =，所以()()10f x kx k =+≠， 因为()13f =，即13k +=，所以2k =， 所求不等式为214x x +≤，可得120x−≤，即120xx −≤，令sin u θ=，则[]1,1u ∈−，记()221h u u u λ=−+，[]1,1u ∈−，故只要()min 0h u ≥，①当1λ≤−时，()()min 1220h u h λ=−=+≥，解得1λ≥−，∴1λ=−，②当11λ−<<时，()()2min 10h u h λλ==−≥，解得11λ−≤≤，∴11λ−<<，③当1λ≥时，()()min 1220h u h λ==−≥，解得1λ≤，∴1λ=． 综合①②③得，11λ−≤≤．。

2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是()A.3B. C.4 D.52.设等差数列的前n 项和为，若则()A.B.0C.5D.93.下列说法中：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是若事件两两互斥，则若事件A ，B 满足，则A ，B 互为对立事件正确说法有个A.0B.1C.2D.34.已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是()A.B.C.D.5.设m 、n 为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为()A.若m 上有两个点到平面的距离相等，则B.若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件C.若，，，则D.若m 、n 是异面直线，，，，，则6.在四面体ABCD 中，，且异面直线AB 与CD 所成的角为，M ，N 分别是边BC ，AD 的中点，则异面直线MN 和AB 所成的角为()A.或B.或C.D.7.圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则下面说法不正确的是()A.圆台的母线长是20B.圆台的表面积是C.圆台的高是D.圆台的体积是8.已知ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则的最小值是A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数，则下列结论不．正确的是()A.z在复平面对应的点位于第二象限B.z的虚部是iC. D.10.将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字.甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则()A.事件甲与事件丙是互斥事件B.事件甲与事件丁是相互独立事件C.事件乙包含于事件丙D.事件丙与事件丁是对立事件11.如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是()A.直线与直线AF垂直B.直线与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2014-2015学年重庆一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．学校教务处要从某班级学号为1﹣60的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（）A．5，10，15，20，25，30 B．3，13，23，33，43，53C．1，2，3，4，5，6 D．2，4，8，16，32，483．下列命题中错误的是（）A．夹在两个平行平面间的平行线段相等B．过直线l外一点M有且仅有一个平面α与直线l垂直C．垂直于同一条直线的两个平面平行D．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等4．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A．B．C．D．5．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°6．如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（）A．4+ B．6+ C．4+ D．6+7．已知x＞0，y＞0，且（x+1）（y+1）=9，则x+y的最小值是（）A．4 B．5 C．D．8．的值为（）A．7+ B．9+ C．11+ D．7+9．在△ABC中AC=BC=3，AB=2，P为三角形ABC内切圆圆周上一点，则的最大值与最小值之差为（）A．4 B．2 C．2 D．210．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q是面A1B1C1D1上的两个不同的动点．给出以下四个结论：①若DP=，则DP在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为6；②若P在面对角线A1C1上，则在棱DD1上存在一点M使得MB1⊥BP；③若P，Q均在面对角线A1C1上，且PQ=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；④若P，Q均在面对角线A1C1上，则四面体BDPQ在底面ABCD﹣A1B1C1D1上的投影恒为凸四边形的充要条件是PQ＞；以上各结论中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11．经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，a）的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a=．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=3，S5=25，则S10=．13．已知B，C是球O的一个小圆O1上的两点，且BC=2，∠BOC=，∠BO1C=，则三棱锥O ﹣O1BC的体积为．14．在星期天晚上的6：30﹣8：10之间，小明准备用连续的40分钟来完成数学作业，已知他选择完成数学作业的时间是随机的，则在7：00时，小明正在做数学作业的概率是．15．已知m≥0，满足条件的目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．某同学对本地岁的爱好阅读的人群随机抽取n人进行了一次调查，得到如下年龄统计表，其中不超过40岁的共有60人．（1）求出n，a的值；（2）从岁的爱好阅读的人群随机抽取n人进行了一次调查，得到如下年龄统计表，其中不超过40岁的共有60人．（1）求出n，a的值；（2）从=b2，∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA，由正弦定理可得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA，∴sinAsinB（sinAcosA﹣sinBcosB）=0，∴sin2A=sin2B，由0＜2A，2B＜2π，可得2A=2B，或2A=π﹣2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．由（1）知C≠，即△ABC是等腰三角形，∵sin﹣cos=＞0，且∈（0，）⇒⇒C∈（，π），∴cosC=﹣=﹣，∴c==．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，求三角函数值要特别注意角范围的确定，属于中档题．21．已知数列{a n}满足，a1=a，n2S n+1=n2（S n+a n）+a n2，n∈N*，（1）若{a n}为不恒为0的等差数列，求a；（2）若a=，证明：＜1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过对n2S n+1=n2（S n+a n）+a n2变形、整理可知a n+1=a n+，利用a n=kn+b，计算即得结论；（2）利用a n+1＞a n、放缩可知﹣＞﹣，通过叠加可知﹣＞﹣，利用＜﹣、并项相加可知a n＜1；利用a n＜1放缩可知a n+1＜a n+，进而﹣＜﹣，通过叠加可知﹣＜﹣，利用＞﹣、并项相加可知a n≥．解答：（1）解：∵数列{a n}为不恒为0的等差数列，∴可设a n=kn+b，∵n2S n+1=n2（S n+a n）+a n2，∴n2（S n+1﹣S n）=n2a n+a n2，∴n2a n+1=n2a n+a n2，∴a n+1=a n+，∴k（n+1）+b=kn+b+，整理得：kn2=k2n2+2kbn+b2，∴，解得：k=1、b=0或k=0、b=0（舍），∴a n=n，∴a1=a=1；（2）证明：下面分两部分来证明命题：①证明：a n＜1．易知a n＞0，a n+1﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n，∴a n+1=a n+＜a n+，两端同时除以a n a n+1，得：＜+，∴﹣＞﹣，∴﹣＞﹣，…﹣＞﹣，叠加得：﹣＞﹣，又∵＜=﹣，∴﹣＞﹣＞﹣（﹣+﹣+…+﹣+）=﹣（2﹣）=﹣2，又∵a1=a=，∴﹣3＞﹣2，∴＞﹣2+3=1+＞1，∴a n＜1；②证明：a n≥．显然a1=≥，∵a n＜1，∴a n+1=a n+＜a n+，∴a n＞•a n+1，∴a n+1=a n+=a n+•a n＞a n+••a n+1=a n+•a n•a n+1，两端同时除以a n a n+1，得：＞+，∴﹣＜﹣，∴﹣＜﹣，…﹣＜﹣，叠加得：﹣＜﹣，又∵＞=﹣，∴﹣＜﹣＜﹣（﹣+…+1﹣）=﹣（1﹣），∴﹣=﹣3＜﹣（1﹣），∴＜3﹣1+=，∴a n≥；综上所述：＜1．点评：本题是一道关于数列递推关系的综合题，考查运算求解能力，利用放缩法和裂项是解决本题的关键，难度较大，注意解题方法的积累，属于难题．。

云南省景洪市第三中学2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题 时间：120分钟 总分：150分姓名： 班级： 得分：第一卷一．选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{} ,3,2,4,3,1==B A 则B A ⋂等于（ ）A.{}2B.{}4,1 C.{}3 D.{}4,3,2,1 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. x x y ||= 与 1=y B. 1-=x y 与 {1,11,1>-<-=x x x x yC. 2x y = 与 x x y 3=D.123++=x x x y 与 x y = 3. 327-的值是（ ）A. 3B. -3C. 3±D. -94. 函数313-=x y 的定义域为（ ）A. [)+∞,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,31 C. [)+∞-,1 D. (]1,-∞- 5. 函数2x y -=的单调递增区间为（ ）A ．]0,(-∞B ．),0[+∞C ．),0(+∞D ．),(+∞-∞6．下列函数是偶函数的是（ ）A. x y =B. 322-=x yC. 21-=x y D.]1,0[,2∈=x x y7.函数()33--=xxf x的一个零点所在区间是（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)10、如图的组合体的结构特征是( )A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台11、有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( ) A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对12、已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A ．32a2B ．34a2C ．64a2 D ．6a213. 圆锥的表面积公式（ ）A. rl r S ππ+=2B. rl r S ππ222+=C. rl S π=D. Rl rl R r S ππππ+++=2214.一个球的表面积是π16，那么这个球的体积为（ ）A.π332 B ．π16 C ．π316D ．π24第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

哈一中2013-2014学年度下学期高一数学试题答案选择题1、经过点A )2,3(-和B )1,0(的直线l 的倾斜角α为( )A 30°B 60°C 120°D 150° C2. 已知向量(2,23)=-a ，向量(7,0)=-b ，则向量a 和向量b 的夹角为( )A ． o30B ．o60C ．o120D ．o150C3.已知直线m l ,，平面βα,且βα⊂⊥m l ,，给出下列四个命题中，正确命题的个数为( )(1)若βα//，则m l ⊥(2)若m l ⊥，则βα// (3)若βα⊥，则m l ⊥ (4)若m l //，则βα⊥A 1B 2C 3D 4B4．直线l 过点(－1,2)，且和直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0 分析 A5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =( )A ． 2B ． 9C ．10D ． 19C6．已知三棱锥的正视图和俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是( )B7. 设0a b <<，则下列不等式中正确的是( )A ． 2a b a b ab +<<<B ．2a ba ab b +<<< C ． 2a ba ab b +<<<D 2a bab a b+<<<B8 正方体1111D C B A ABCD -中，若E 为棱AB 的中点，则直线E C 1和平面11B BCC 所成角 的正切值为 A.62 B.42 C.1717D.17 B9．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ，b 的等差中项为12，α＝a ＋1b ，β＝b ＋1a ，则α＋β的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 分析 C 10.已知,,,S A B C 是球O表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥1SA AB ==2BC =，则球O 的表 面积等于A ．4π B.3π C.2π D.π A11. 正项等比数列{}n a 满足1232a a a +=，若存在两项 n m a a , ，使得 14a a a n m =∙， 则nm 41+的最小值是 A .625 B . 35 C .23D .不存在 C12.已知直线y x b =+和平面区域C:||2,||2x y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A ，B 两点，若22AB ≥，则b的取值范围是________.A.(-2,2)B.[-2,2)C.(-2,2] D[-2,2] 填空题13.已知两直线0x ky k --=和(1)y k x =-平行,则k 的值为________．1 14. 若α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则sin α的值为________．322+ 15.已知点(,)P x y 在不等式组24022x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩所确定的平面区域内，则2z x y =+的取值范围是__________ [-6,4]16.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应三边长分别为a ，b ，c .若C ＝3B ， cb的取值范围________．(1,3) 解答题17．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．分析 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则由点A (1,3)到直线l 的距离为2， |k －3|1＋k2＝2，解得k ＝－7或k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x . (5分)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ＋3a －11a 2＋1a 2＝2，解得a ＝2或a ＝6.∴直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x ，y ＝x ，x ＋y －2＝0，x ＋y －6＝0. (10分) 18. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为多少元?［分析］ 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y 台，租赁费z 元，5x +6y ≥50 由题意得 10x +20y ≥140x,y ≥0且x,y ∈N ,z =200x +300y .作出如图所示的可行域.令z =0,得l 0:2x +3y =0,平移l 0可知，当l 0过点A 时，z 有最小值. 5x +6y =50又由 ，得A 点坐标为（4，5）.x +20y =140所以z max =4×200+5×300=2300.19．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．分析 (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC . (5分)(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°. 从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC ·h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2. (12分)文科，略20.（本小题满分12分）已知向量1(sin ,)2A =m ，(3,sin 3)A A =+n ，且m ∥n ，其中A 是ABC ∆的内角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2BC =，求ABC ∆面积S 的最大值． 20．解：由两向量共线知，22sin 23sin 3A A A +=………………（2分）即32sin 32cos 1=+-A A ，可化为22cos 2sin 3=-A A………………（4分）故2)62sin(2=-πA ，1)62sin(=-πA ，0A π<<，112666A πππ-<-<解得3π=A .………（6分）（Ⅱ）由222222cos 2cos 43a b c bc A b c bc π=+-⋅=+-⋅=，………………（8分）又bc c b 222≥+，可知4≤bc ，其中当2b c ==时，等号成立………………（10分） 因为1113sin sin 432232ABC S bc A bc π∆==≤⋅=.………………（12分）21、(本小题满分12分)如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AB AA AD ， 点E 在棱AB 上移动. (1)证明：D A E D 11⊥；(2)当E 为AB 的中点时，求点A 到面1ECD 的距离； (3)当AE 等于何值时，二面角D EC D --1的大小为4π.21、(1)证明：连结1AD ，则11AD D A ⊥，又⊥AB 平面11ADD A ，⊥∴⊥∴D A AE D A 11,平面E AD 1又⊂E D 1 平面E AD 1，D A E D 11⊥∴(2)AEC D ECD A V V --=11 ，设点A 到面1ECD 的距离为d ，则AEC ECD S D D S d ∆∆⋅=⋅11，在1ECD ∆中，5,2,311===CD CE E D ，EC D 1∆∴为直角三角形262111=⋅=∴∆E D EC S ECD ， 又211121=⨯⨯=∆AEC S ，6626211=⨯=∴d ∴点A 到面1ECD 的距离为66ABCDEA 1B 1C 1D 1(3)过点D 作,EC DH ⊥垂足为H ，连结H D 1，⊥D D 1 平面A B C D ，⊥∴⊥∴EC EC D D 1平面HD D 1 ECH D ⊥∴1，HDD 1∠∴为二面角DEC D --1的平面角，1,411==∴=∠∴DD DH HD D π，在DEC ∆中，32,3,2-=∴=∴=⋅=AE BE DHBCDC EC22.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足33b =，59b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n N ∈，不等式1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．。

2014-2015学年兰州一中高一上学期期中考试数学试题说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分100分, 考试时间100分钟. 答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分. 在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1.设集合}2,1{=A , 则满足}3,2,1{=B A 的集合B 的个数是( )1.A2.B 4.C 8.D2.对于映射:f A B →，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与B 中 的元素(3,1)-对应的A 中的元素为（ ）.A (3,1)- .B (1,3) .C (4,2)--.D (1,2)- 3.设,,a b c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是( ) .log log log a c c A b b a ⋅= .l o g l o g l og a c cB b a b ⋅=.log ()log log a a a C bc b c =⋅ .l o g ()l o g l oa aaD b c b c -=- 4.若函数)(x f y =是函数x a y =（0>a ，且1≠a ）的反函数，其图象经过点),(a a ， 则=)(x f （ ）.A x 21log .B x 2log .C x 21.D 2x5.下列四组函数中，（1）2()lg ,()2lg f x x g x x ==； （2）}4,2{,2∈=x x y 和}4,2{,2∈=x y x ；（3）21(),()11x f x g x x x -==+-； （4）1()2,()2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭. 表示相同函数的组数是（ ）1.A2.B3.C4.D6.设()833-+=x x f x, 用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）.A (1.25,1.5) .B (1,1.25 .C (1.5,2) .D 不能确定 7.计算12223)3)]235582log 10log 0.25+--=（ ）1.A2.B3.C4.D8.若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图，其中b a ,为常数． 则函数b a x g x +=)(的图象大致是（ ）ABC D9.函数y = ）34.(,]A 4.(,]B -∞ 3.(,)C +∞ 4.[,)D +∞ 10.若函数⎩⎨⎧≤+->=1,1)32(1,)(x x a x a x f x 是实数集R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）.A )1,32( .B )1,43[ .C ]43,32( .D ),32(+∞11.设245log 6,log 12,log 15a b c ===, 则（ ）.A c b a >> .B b c a >> .C a c b >> .D a b c>> 12.当103x <≤时，8log ,x a x < 则a 的取值范围是（ ）.A (0,.B 1) .C (1, .D 3) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13.已知函数)(x f ,)(x g 分别由下表给出:则当2[()]f g x =时, =x _________.14.已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则=)2(log 2f _________. 15.若函数1()||1f x m x =--有零点，则实数m 的取值范围是_________.16.已知函数()2)2f x x =+, 则1(lg2)(lg )2f f +=_________.三、解答题（本大题共4小题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分8分）设全集为实数集合R ，集合{|14}A x x =≤≤, {|121}B x m x m =+≤≤-. ⑴ 当3m =时，求 R ()A B ； ⑵ 若A B B =，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分8分）设函数)(x f =232log ()a x x --，其中0,a > 且1.a ≠ ⑴ 当12a =时，求函数)(x f 的单调递增区间；⑵ 若函数)(x f 在区间11[--上的最大值与最小值之差为2，求实数a 的值. 19．（本小题满分10分）已知函数)(x f =a xx++122是奇函数. ⑴ 求实数a 的值； ⑵ 判断)(x f 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义证明； ⑶ 对任意的实数x ，不等式210()f x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为11(,)- , 对于任意的11,(,)x y ∈-, 有 1()()()x yf x f y f xy++=+, 且当10x -<< 时, 0()f x >. ⑴ 求0f ()的值，并判断函数()f x 的奇偶性（不要求证明）；⑵ 若1211(),()a b a b f f ab ab+-==+-, 且11||,||a b <<, 求(),()f a f b 的值；⑶ 若112()f -=, 试解关于x 的方程12()f x =-.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）13. 3 ； 14.12； 15. (,1](0,)-∞-+∞； 16. 4 . 三.解答题（本大题共4小题, 共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解：⑴当4m =时，{|45}B x x =≤≤， ∴{|15}AB x x =≤≤.∴ R ()AB {|1,x x =<或5}.x > ………………………………………4分 ⑵A B B =⇔B ⊆A .①当121m m +>-，即2m <时，B A =∅⊆，符合题意. ②当121m m +≤-，即2m ≥时, 由B ⊆A 有11214,,m m +≥⎧⎨-≤⎩ 解得502m ≤≤. ∴522m ≤≤. 综合可得实数m 的取值范围是5{|}2m m ≤. …………………………………………8分18. 解: 由2320x x -->，解得31x -<<.(1) 当12a =时, 212()log (32)f x x x =--. 令21232,log u x x y u =--=.23(1)4u x =-++， ∴所以对称轴为1x =-，∴232u x x =--在区间[-1,1)上是减函数, 又12log y u =是减函数, 所以函数()f x 的单调递增区间是[-1,1). …………4分(2)121x --≤≤-+且2(1)4,u x =-++ ∴24u ≤≤.①当1a >时, log 4log 22a a -=, 解得a =②当01a <<时, log 2log 42a a -=, 解得2a =. ………………………8分19. 解：⑴ ∵)(x f =a x x++122是奇函数,∴对任意x ∈R, 有)(x f -=-().f x∴(122-=++--a x xa xx ++122）. ∴2a =-1121122-=+-+x x x .∴12a =- …………………………3分⑵)(x f 在R 上是增函数,证明如下：)(x f =12121211211221122+-=-+-+=-+xx x xx . 设1x 、2x ∈R 且1x ＜2x ，)12121()12121()()(1112+--+-=-x x x f x f =)12)(12(221212++-x x x x∵1x ＜2x ，∴22x＞120x >，∴)12)(12(221212++-x x x x ＞0, 即)(2x f ＞)(1x f ， ∴)(x f 在R 上是增函数. …………………………6分 ⑶ 对任意的实数x ，不等式210()f x m -+>恒成立， 则只要21m -＜)(x f min .∵x2+1＞1, ∴0＜121+x ＜1, ∴-1＜-121+x ＜0 ,∴-21＜21-121+x ＜21, 即 12-＜)(x f ＜21，∴1212m -≤-， ∴14m ≤. 故所求实数m 的取值范围是14{|}.m m ≤ …………………………10分20. 解：⑴ ∵1()()()x yf x f y f xy++=+ ① ∴由①式令0x y ==，得000()()()f f f +=， ∴00()f =.又由①式令11(,)y x =-∈-，得0()()()f x f x f +-=.∴函数()f x 是奇函数. ………………………………………………3分 ⑵ 由①式及已知，得 11()(),()(),f a f b f a f b +=⎧⎨+-=⎩ 由（1）知函数()f x 是奇函数， ∴11()(),()(),f a f b f a f b +=⎧⎨-=⎩解得3122(),().f a f b ==- ………………………………………………6分（3）112(),f -= ∴112(),f =-所解方程12()f x =-，即为21()f x =-，∴122()()f x f =. 又由①式令y x =得，221()()()x f x f x f x +=+，即2221()()xf x f x=+. ∴22121()()x f f x =+.设1211,x x -<<<∴1212010,,x x x x -<-> ∴121201x x x x -<-.又由题设知，当10x -<< 时, 0()f x >. 则1212121201()()()()(),)x x f x f x f x f x f x x --=+-=>- ∴12()(),f x f x >-∴()f x 在区间（-1，1）内为减函数；∴22121x x =+， 解得2x =11(,),x ∈- ∴2x = ………………………………………………10分。

兰州一中2015-2016-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1. 下列说法中,正确的是()A．幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B．当α＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数y＝xα,当α< 0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小2．如图所示,则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．8D．123．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为()①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A．0 B．1 C．3 D．44．如图,在三棱锥S﹣ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA ＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°5. 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F ,且EF , 则下列结论中错误的是 ( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D ．异面直线AE 、BF 所成的角为定值6. 若函数 ()(0x f x a x a a =-->且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．)∞D ．0⎛ ⎝⎦7. 已知,m n 为异面直线, m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄, 则 ( ) A ．α∥β,且l ∥α B ．αβ⊥,且l β⊥C ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l8. 已知直线（1+k ）x +y -k -2＝0过定点P ,则点P 关于直线x -y -2＝0的对称点的坐标是( )A ．（3,﹣2）B ．（2,﹣3）C ．（3,﹣1）D ．(1,﹣3）9. 如图,平面α⊥平面β,A α∈,B β∈, AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°．过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′、B ′,则AB ：A ′B ′＝ ( )A ． 2 ：1B ． 3 ：1C ． 3 ：2D ． 4 ：310. 经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为 ( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 已知直线1l : x +(1+m )y +m -2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行,则经过点A (3,2)且与直线1l 垂直的直线方程为________．12. 用斜二测画法得到的四边形ABCD 是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为则原四边形的面积是________．13. 已知三棱锥A -BCD 则该三棱锥的外接球的表面积为________． 14. 已知关于x 的方程22210x mx m +++=有两根,其中一根在区间(1,0)-内,另一根在区间(1,2)内,求m 的取值范围是________．15. 甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动,其轨迹f i (x ) (i =1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为1()21x f x =-, 22()f x x =, 3()f x x =,42()log (1)f x x =+,有以下结论：①当x ＞1时,甲在最前面； ②当x ＞1时,乙在最前面；③当0＜x ＜1时,丁在最前面,当x ＞1时,丁在最后面； ④丙不可能在最前面,也不可能在最后面； ⑤如果它们一直运动下去,最终在最前面的是甲．其中,正确结论的序号为___________ (把正确结论的序号都填上,多填,错填或少填均不得分)．三、解答题(本大题共5小题,共50分)16. （本小题8分）如图（1）所示,在直角梯形ABCD 中, BC ∥AP , AB ⊥BC ,CD ⊥AP, AD =DC =PD =2.又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））． （1）求证：平面EFG ∥平面P AB ； （2）求三棱锥C -EFG 的体积．17.（本小题10分） 已知两点)3,4(-A ,)1,2(-B ,直线0234=-+y x l ：,求一点P 使PB PA =,且点P 到直线l 的距离等于2．18.（本小题10分）(1)已知圆C 经过(0,0)O , (2,2)Q 两点,且被直线y =1截得的线段长为.求圆C 的方程.(2)已知点P (1,1)和圆x 2＋y 2－4y ＝0,过点P 的动直线l 与圆交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.19.（本小题12分）如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD , ∠ABC ＝60°, PA ＝AB ＝BC , E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．20. (本小题10分) 诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后．的基金总额(1999年记为f (1),2000年记为f (2),…,依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32)C APB DE兰州一中2015-2016-1学期期末考试答题卡高一数学答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11. 2x -y -4＝0． 12. 82． 13. 3π． 14. 5162m -<<-．15. ③④⑤．三、解答题(本大题共5小题，共50分)16．（本小题8分）如图（1）所示,在直角梯形ABCD 中, BC ∥AP , AB ⊥BC ,CD ⊥AP, AD =DC =PD =2.又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））．（1）求证：平面EFG ∥平面P AB ； （2）求三棱锥C -EFG 的体积．证明：（1）∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD 又CD ∥AB ． ∴ EF ∥AB ． ∵EF ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB ．同理，EG ∥平面P AB ， ∵EFEG E =，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG∴平面EFG ∥平面P AB ． （2）V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC ＝13×（12×1×1）×1＝16． 17. （本小题10分） 已知两点)3,4(-A ,)1,2(-B ,直线0234=-+y x l ：,求一点P 使PB PA =,且点P 到直线l 的距离等于2．解：设点P 的坐标为),(b a P ．∵)3,4(-A ，)1,2(-B ．∴AB 的中点M 的坐标为)2,3(-．又AB 的斜率12413-=-+-=AB k ． ∴AB 的垂直平分线方程为32-=+x y ，即05=--y x ． 而),(b a P 在直线05=--y x 上． ∴05=--b a ． ①又已知点P 到l 的距离为2． ∴点P 必在于l 平行且距离为2的直线上， 设直线方程为034=++m y x ，由两条平行直线之间的距离公式得：252=+m ∴8=m 或12-=m ．∴点P 在直线0834=++y x 或01234=-+y x 上． ∴0834=++b a 或01234=-+b a ② ∴①②得：1=a ，4-=b 或727=a ，78-=b ． ∴点)4,1(-P 或)78,727(-P 为所求的点． 18.（本小题10分）线y =1截(1)已知圆C 经过(0,0)O , (2,2)Q -两点,且被直得的线段长为.求圆C 的方程.(2)已知点P (1,1)和圆x 2＋y 2－4y ＝0,过点P 的动直线l 与圆交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 解：(1)设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=.因为点O,Q 在圆上，代入：4=0F D E =--又由已知，联立：解得：2+10x Dx E ++=由韦达定理知：1212+,1x x D x x E =-⋅=+.即()21212+412x x x x -⋅= 即：24412D E --=.即：24=0D D -. 则 0,44,0D E D E ==-==或者. 所以所求圆方程为：22224040x y x x y y ++=+-=或者.(2)设点M （x ,y ）, 圆2240x y y +-=的圆心坐标为C （0,2）. 由题意：1CM AB k k ⋅=-,又AB PM k k = .化简: 22330x y x y +--+=所以M 点的轨迹方程为 22330x y x y +--+=19. （本小题12分）如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD , ∠ABC ＝60°, PA ＝AB ＝BC , E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．解: (1)解：在四棱锥P —ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，从而AB ⊥平面PAD ， ∴PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt △PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°.(2)证明：在四棱锥P —ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴ CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ∵CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ， ∴AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ， 综上得AE ⊥平面PCD .(3)解：过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示． 由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则可证得AM ⊥PD . 因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得 PA ＝a ，AD，PD＝3a ，AE在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ， 则AM ＝PA AD PD ⋅. 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AEAM. C APDE所以二面角A—PD—C.20. (本小题10分) 诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后．的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32)解：(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－12f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12·f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．。