离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 （2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 （1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)
第12章习题答案 1.设T 是一个非平凡树，证明T 中最长基本链的起点和终点的次数为1。 证明：假设P 是T 中最长的基本链，P 的起点或终点的次数不为1，即它的次数至少是2，则至少有一个顶点，令其为u ，与P 的起点或终点邻接。若u 在P 上，则构成圈，与T 是树矛盾，若u 不在P 上，则存在比P 更长的基本链，这与P 是T 中最长的基本链矛盾。因此，非平凡树T 中最长基本链的起点和终点的次数必为1。 2.证明恰好有两个顶点的次数为1的树必为一基本链。 证明：假设T 是任意一个恰好有两个顶点的次数为1的树，如果T 不是一基本链，则至少有一个分支顶点的次数大于2。设T 有n 个顶点，则T 有n-2个分支顶点，n-1条边。根据定理9.1，T 的顶点的次数之和等于T 的边数的2倍，可知 2（n-1）>2+2（n-2） 因此得到2n-2>2n-2，矛盾。故T 必为一基本链。即恰好有两个顶点的次数为1的树必为一基本链。 3.一个树有n 2个顶点次敉为2，n 3个顶点次数为3，…，n k 个顶点次数为k ，问这个树有几片树叶？ 解：设这个树为T ，有x 片树叶，则T 有x +n 2+n 3+…+n k -1条边。根据定理9.1，T 的顶点的次数之和等于T 的边数的2倍，有 x +2n 2+3n 3+…+k n k =2（x +n 2+n 3+…+n k -1） 解得 x =n 3+2n 4+3n 5+…+（k-2）n k +2 即这个树有n 3+2n 4+3n 5+…+（k-2）n k +2片树叶。 7.证明在完全二元树中，弧的总数等于2(n t -1)，这里n t 是树叶的数目。 证明：设完全二元树T 有n 个顶点，m 条弧。因为它有n t 片树叶，所以除树叶以外的顶点有n -n t 个。由于在完全二元树中，除树叶以外的顶点的引出次数均为2，每片树叶的引出次数均为0，故所有顶点的引出次数之和为2（n -n t ），它等于弧的总数m 。又因为1-=n m ， 故有2（n -n t ）=1-n ，解得n =2n t -1。因此m=n-1=2(n t -1)。 11. 图12.11给出了一个有序树，试求其对应的位置二元树。 解：把该树顶点标记i u 的下标i 作为序， 利用将有序树转化为位置二元树的算法， 求得其对应的位置二元树如右图所示。 4u 3 u 5 u 7 u 0u 1 u 2 u 6 u 8 u 9 u 10
第一部分： 1.命题/谓词逻辑的推理 2.求析取合取范式 3.求给定解释下公式的值 第二部分： 1.关系的性质/判断，证明 2.偏序关系（哈斯图），极大值，极小值，上界下界 3.证明等价关系 第三部分： 1.证明半群，独异点，群 2.子群 3.同态映射 4.找特异元素 第四部分： 1.点和边的关系 2.邻接矩阵，可选矩阵 3.最优二叉树（哈夫曼的算法） 略过不考的部分： 第二部分：第八章8.3节 第九章全部 第三部分：第十一章11.7节 第十三章全部 第四部分：第十五单全部 第十七单全部 第十八单全部 自己通过网络及课本整理的，希望能帮到大家。内容在下面。。。。
一、命题：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义. 1.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式； 2.主析取(合取)范式法判断命题公式类型，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式. 3.定理1设Φ(A)是含命题公式A的命题，Φ(B)是用命题公式B置换Φ(A)中的A之后得到的命题公式. 如果A?B，则Φ(A)?Φ(B). 4.求析取(合取)范式的步骤：①将公式中的联结词都化成?，∧，∨(即消去个数中的联结词→，?，?∨)；②将否定联结词?消去或移到各命题变项之前；③利用分配律、结合律等，将公式化为析取(合取)范式 5.求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤：①求公式A的析取(合取)范式；②“消去”析取(合取)范式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项)，如P∧?P(P∨?P)用0(1)替代. 用幂等律将析取(合取)范式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并，如P∧P(P∨P)用P替代，m i∨m i(M i∧M i)用m i(M i)替代. ③若析取(合取)范式的某个合取项(析取项)B不含有命题变项P i或?P i，则添加P i∨?P i(P i∧?P i)，再利用分配律展开，使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全；④将极小(极大)项按由小到大的顺序排列，用∑(∏)表示. 6.求公式(p∧q)∨r的主析取范式及主合取范式。
一、判断题 (正确的在括号内填写“√”，错误的写“×”) （ ）1、“只有天下大雨，他才乘班车上班”与“除非天下大雨，否则他不乘班车上班”所表达的逻辑关系是一样的。 （ ）2、公式B A ,含相同的命题变项,若B A ∨是重言式,则A 与B 都是重言式。 （ ）3、在命题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是惟一的。 （ ）4、永真式的主合取范式是1，矛盾式的主析取范式是0。 （ ）5、同一个谓词公式，在不同个体域中，真值不一定相同。 二、单项选择题 1、下列命题是复合命题的是（ ） A 、黄色和蓝色可以调配成绿色； B 、李辛与李未是兄弟； C 、黄色和蓝色都是常用颜色； D 、张辉与王力是同学 ； 2、设p:天下大雨，q:小王乘公共汽车上班，命题“只有天下大雨，小王才乘公共汽车上班”的符号化形式为（ ） A 、p →q ； B 、q →p ； C 、p →┐q ； D 、┐p →q ； 3、公式()p q r ∧?∨的公式类型为（ ） A 、重言式； B 、矛盾式； C 、非重言式的可满足式； 4、下列联结词集是联结词完备集的是（ ） A 、{,,}∧∨→； B 、{,}?→； C 、{,,}∨→?； D 、{,,,}∧∨→?； 5、设解释I 如下：个体域D={a,b},F(a,a)=(b,b)=0,F(a,b)=F(b,a)=1，在解释I 下，下列公式中真值为1的是（ ） A 、(,)x yF x y ??； B 、(,)x yF x y ??； C 、(,)x yF x y ??； D 、(,)y xF x y ??； 三、填空题 1、公式)(q p ??与)()(q p q p ∧?∨?∧共同的成真赋值为 。 2、设命题公式A 为含命题变项,p q r ,的重言式，则公式(())A p q r ∨∧→的类型为 。
第一章 命题逻辑 习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题1.2 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p 二层：?p ?q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r )) 2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(是3层公式。真值表如表2-2所示：
一、培养目标 信息科学技术学院(以下简称信息学院)本科培养方案面向电子信息科学与技术、计算机科学与技术、自动化、微电子学、示范性软件学院的计算机软件等五个专业，从2003级开始实行多学科交叉背景下、通识教育基础上的宽口径专业教育，构建具有各专业共性基础的学院平台课程体系以及具有一定特长的专业核心课程体系，强调对学生进行基本理论、基础知识、基本能力(技能)以及健全人格、综合素质和创新精神培养，为学生提供增强基础、选择专业的机制，培养基础厚、专业面宽、具有自主学习能力的复合型人才。 从2011级开始，信息学院对培养方案进行了全面修订，进一步将学科交叉范围扩大到专业核心课程体系，为学生提供更加灵活的选课机制和更加宽广的专业空间；并将继续深入研究和不断改进课程内容和教学方法，加强实践环节，更好地培养适应时代要求的信息科学技术专业人才。 信息学院致力于为学生全面参与教育教学、科学研究、文化艺术、社会服务等活动创造条件，提倡学生在参与中发现自己的能力和兴趣，最大限度地发展自己的智力和潜能，鼓励学生敢于面对挑战、不断探索、努力创造、追求卓越，并提供一种基础和环境，促使学生养成独立工作的能力和终身学习的习惯。 二、基本要求 信息学院各专业通过各种教育教学活动发展学生个性，培养学生具有健全人格；具有成为高素质、高层次、多样化、创造性人才所具备的人文精神以及人文、社科方面的背景知识；具有国际化视野；具有创新精神；具有提出、解决带有挑战性问题的能力。具有进行有效的交流与团队合作的能力；在信息科学技术领域掌握扎实的基础理论、相关领域基础理论和专门知识及基本技能，具有在相关领域跟踪、发展新理论、新知识、新技术的能力，能从事相关领域的科学研究、技术开发、教育和管理等工作。 电子信息科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事信号获取、处理和应用，通信及系统和网络，模拟及数字集成电路设计和应用，微波及电磁技术理论、信号与信息处理的新型电子材料、器件和系统，包括信息光电子和光子器件、微纳电子器件、微光机电系统、大规模集成电路和电子信息系统芯片的理论和应用等方面的科研、开发与教育工作。 微电子学专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事大规模模拟及数字集成电路设计和应用，工艺开发，EDA工具开发，新型电子材料、微纳电子器件和系统，量子信息和电子信息系统的理论和应用等方面的科研、开发与教育工作。培养基础扎实，创新能力突出，有国际视野的微纳电子专业人才。 计算机科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事计算机科学理论、计算机系统结构、计算机网络、计算机软件及计算机应用技术等方面的科研、开发与教育工作。 自动化专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事国民经济、国防和科研各部门的运动控制、过程控制、机器人智能控制、导航制导与控制，现代集成制造系统、模式识别与智能系统、生物信息学、人工智能与神经网络、系统工程理论与实践、新型传感器、电子与自动检测系统、复杂网络与计算机应用系统等领域的科学研究、技术开发、教育及管理等工作。 计算机软件专业的本科毕业生应该具备扎实的软件理论和软件工程专业基础知识，具有良好的工具使用与实验能力、软件分析与开发能力、过程控制与管理能力、团队协作与沟通能力。 三、学制与学位授予
第十二章 格和布尔代数 12.1 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证：如果b a ，则)()(c a b c b a ∨∧∧∨ 证明 因为b a ，且)(c a a ∨ ，所以)(c a b a ∨∧ 。 又因为b c b ∧，且c a c c b ∨∧ ，所以)(c a b c b ∨∧∧ 。 即)(c a b ∨∧是a 和c b ∧的上界，从而有： )()(c a b c b a ∨∧∧∨ 。 12.2 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证： （1）)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ （2）)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ (1)证明 因为c a a b a a ∨∨ ,，所以)()(c a b a a ∨∧∨ 。 又因为b a b c b ∨∧ ，且c a c c b ∨∧ ，所以)()(c a b a c b ∨∧∨∧ 。 即)()(c a b a ∨∧∨是a 和c b ∧的上界。 所以，)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 。 （2）证明 因为a b a ∧，a c a ∧，则有a c a b a )()(∧∨∧。 又因为b b a ∧，有c b b b a ∨∧ ，同理c b c a ∨∧ 。从而有c b c a b a ∨∧∨∧ )()(。 即)()(c a b a ∧∨∧是a 和c b ∨的下界。 因此，)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ 。 10.3 设),,(∧∨A 是一个代数系统，其中∨和∧是满足吸收律的二元运算，证明：∨和∧也满足等幂律。 证明
因为∨和∧是满足吸收律，所以a b a a =∨∧)(，a b a a =∧∨)(。于是有： )((b a a a a a ∧∨∧=∧ )(c a a ∨∧= （其中b a c ∧=） a = 同理可证，a a a =∨。 故∨和∧也满足等幂律。 10.4 证明：一个格是可分配的，当且仅当对于这个格中的任意元素a ，b 和c ，有 )()(c b a c b a ∧∨∧∨ 证明 （1）必要性 因为a c a ∧和c b c b ∧∧ ，所以)()()(c b a c b c a ∧∨∧∨∧ 。 又因为格为分配格，所以)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨。 因此，)()(c b a c b a ∧∨∧∨ 。 （2）充分性 因为对于c b a ,,?，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨ ，则 )()()(c c b a c b a ∧∧∨=∧∨ （等幂律） c c b a ∧∧∨=))(( （结合律） c c b a ∧∧∨))(( （假设） c a c b ∧∨∧=))(( （交换律） )()(c a c b ∧∨∧ （假设） 又因为b a a ∨ ，c c ，所以c b a c a ∧∨∧)( ；同理，c b a c b ∧∨∧)( 因此，c b a c b c a ∧∨∧∨∧)()()( 综上所述，)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨ 故该格是可分配的。 10.5 证明一个格),( A 是分配的，当且仅当对A 中的任意元素a ，b 和c ，有 )()()()()()(a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∧∨∧∨∧
选择题 1.设P :他在听音乐，Q :他学习，将命题“他在学习或在听音乐”符号化正确的是（ ） A.P →Q B.P ∧Q C.P ∨Q D.Q →?P 2.下列命题公式不是．． 永真式的是( ) A.()P Q P →→ B.()P Q →∨P C.P ?∨()Q P → D.()P Q P →→ 3.下列等价式正确的是（ ） A.()()()()x A x x A x ????? B.()()()(())A x B x x A B x →???→ C.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ D.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ 4.设A(x):x 是鸟，B(x):x 会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（ ） A.()(()x A x ??∧())B x B.()(()x A x ??∧())B x C.()(()())x A x B x ??→ D.()(()())x A x B x ??→ 5.设X ={,{},{,}}a a ??，则下列陈述正确的是（ ） A.a X ∈ B.{,}a X ?? C.{{,}}a X ?? D.{}X ?∈ 6.设A B B = ,则有（ ） A.A B A = B.A B -=? C.A B B = D.A B ? 7.设A =｛a ,{b , c }｝,则其幂集P （A ）的元素总个数为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 8.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（ ） A.1a b b *=+ B.1a b a *=- C.1a b ab *=- D.1a b a b *=++ 9.设
离散数学复习 第一章命题逻辑基本概念 1．掌握命题及相关概念 2．理解各联结词的逻辑关系 3．会将复合命题符号化 4．会求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值、成假赋值及判断公式的类型 第二章命题逻辑等值演算 1．记住基本等值式，会应用它们进行公式的等值演算 2．了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念 3．理解极大项、极小项的概念 4．掌握求主析取范式和主合取范式的方法(等值演算和真值表法) 5．会用主范式判断公式的类型及进行简单应用 6．了解联结词完备集的概念 第三章命题逻辑的推理理论 1．理解并记住推理形式结构的两种形式： (1) A1∧A2∧…∧A k→B (2) 前提：A1, A2, … , A k 结论：B 2．掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值演算法、主析取范式法等）3．记住自然推理系统P系统中的推理规则 4．掌握自然推理系统P系统中的推理方法 第四章一阶逻辑基本概念 1．会进行命题的符号化 2．理解公式的解释 3．理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及相互之间的关系 4．对于给定的解释会判断公式的真值，或判定真值不确定（即仍不是命题） 第五章一阶逻辑等值演算与推理 1．理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 2．会使用置换规则、换名规则(约束条变项)、代替规则(自由变项) 3．会求给定公式的前束范式 4．正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之间的关系 5．在F系统，对给定的推理，正确地构造出它的证明 第六章集合代数 1. 掌握集合的表示法 2．能够判别元素是否属于给定的集合 3．能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系 第七章二元关系 1. 掌握二元关系、空关系、全域关系、恒等关系、关系的定义域、值域、域、逆关系、 左复合、右复合、限制、像的概念； 2．掌握关系的集合表达式、关系矩阵和关系图三种表示法； 3．掌握关系的基本运算和关系的幂的运算性质，掌握关系的五个性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性等五个性质； 4．掌握关系的闭包的概念，会应用关系的性质求出关系的闭包（自反闭包、对称闭包和传递闭包）；
Discrete Mathematics Lecture Notes Chapter11:Graph Theory Scribe:Denis Tchaouchev December11,2017 1De?nitions ?A graph is a collection of nodes,vertices,and edges. –In a directed graph(digraph)?={a,b}={b,a}= ?A walk is a sequence of alternating vertices and edges. ?A trail is a walk with no repeated vertices. ?A circuit is a closed trail(starts and stops at the same place).?A Eulerian circuit is a circuit containing every edge. ?A Eulerian trail is a trail containing every edge. ?A Eulerian graph is a graph containing a Eulerian circuit. Figure1:Examples of Eulerian Circuits(Wendy Sparks) 1
2Konigsberg Bridge Problem Figure2:The Konigsberg Bridge Problem The Konigsberg Bridge Problem asks if it is possible to?nd a route,be-ginning at any location,that crosses every bridge and returns to its original starting point.Think of the bridges as edges and the land as vertices. Euler’s Theorem:A connected(9a path between every vertex)undirected graph G has a Eulerian circuit if and only if every vertex in G has an even degree. G has a Eulerian trail if and only if G has exactly two vertices of odd degree. 3Travelling Salesman Problem Figure3:Examples of Hamiltonian cirucit/path(Robert Almazan)?A Hamiltonian circuit is a circuit that visits each vertex at least once.?A Hamiltonian trail is a trail that visits each vertex at least once. 2
清华大学计算机系培养方案一
信息科学技术学院 本科指导性教学计划 第一年 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 12090043 军事理论与技能训练3 3 考查 秋季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 107 1 体育(1) 1 2 考查 10610183 思想道德修养与法律基础3 2 考查 10640532 英语（1） 2 2 考查 10420874 一元微积分 4 4 考试 10420904 几何与代数(1) 4 4 考试 0412 工程图学基础 2 2 考试 2选1 20240023 离散数学(2) 3 3 考试 程序设计课组 3 3 考试选１门，详见附录2 30210041 信息科学技术概论 1 1 考查 文化素质选修课≥1 1
合计≥21 注：计算机科学与技术专业必修“离散数学(2)”，其它专业必修“工程图学基础”。 春季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 107 1 体育(2) 1 2 考查 10610193 中国近现代史纲要 3 2 考试 10640682 英语（2） 2 2 考查 10420884 多元微积分 4 4 考试先修一元微积分 10421002 几何与代数(2) 2 2 考试 大学物理课组1 4 4 考试先修一元微积分 20220214 电路原理 4 4 考试 20220221 电路原理实验 1 1 考查 合计≥21 夏季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及 主要先修课 - 3 -
- 4 - 21510192 电子工艺实习（集中） 2 考查 2周 程序训练课组 2 考查 3周 合计： 4 第二年 秋季学期 课程编号 课程名称 学分 周学时 考核方式 说明及 主要先修课 107 1 体育(3) 1 2 考查 10610204 马克思主义基本原理 4 3 考试 10420892 高等微积分B 2 2 考试 10420252 复变函数引论 2 2 考试 304 3 复分析 3 3 考试 大学物理课组2 4 4 考试 见附录2 10430782 物理实验A(1) 2 2 考查 10430801 物理实验B(1) 1 1 考查 电子基础课组１ 3 3 考试 电子基础课组２ 3 3 考试 21550012 电子技术实验 2 2 考查 文化素质选修课 ≥1 2 10420262 数理方程引论 2 2 考查 20240013 离散数学(1) 3 3 考试 3选1 选1门，详见2选1，大学 2选1，一元微
2017秋课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1设集合A={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是（选择题）[A] A．1∈A；B．2∈A；C．3∈A；D．{3，2,1}?A。 1-2A,B,C为任意集合，则他们的共同子集是（选择题）[D] A．C；B．A；C．B；D．?。 1-3设S={N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题） （1）N?Q，Q∈S，则N?S，［错］（2）-1∈Z，Z∈S，则-1∈S。［错］ 1-4设集合B={4，3}∩?，C={4，3}∩{?}，D={3，4，?}，E={x│x∈R并且x2-7x+12=0}，F={4，?，3，3}，试问：集合B与那个集合之间可用等号表示（选择题）[A] A.C; B.D; C.E; D. F. 1-5用列元法表示下列集合：A={x│x∈N且3－x〈3}（选择题）[D] A.N; B.Z; C.Q; D.Z+ 1-6为何说集合的确定具有任意性?(简答题) 答：按研究的问题来确定集合的元素。我们所要研究的问题当然是随意的呗。之所以，集合的定义（就是集合成分的确定）当然带有任意性哪。 第二章二元关系 2-1设A={1，2，3}，A上的关系R={〈1，2〉，〈2，1〉}∪IA， 试求：（综合题） (1)domR=?;(2)ranR=?;(3)R的性质。 （4）商集A/R=？（5）A的划分∏=？（6）合成运算（R。R）=？ 答：R={<1,2>,<1,3>,<2,3>，<1，1>，<2，2>，<3，3>}； (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={2,1,3}； (3)R的性质:自反,反对称,传递性质.这时，R不是等价关系。 （4）商集A/R={{1，2，3}，{2，3}，{3}}。由于R不是等价关系，所以，等价类之间出现交集。这是不允许的。请看下面的划分问题。 （5）A的划分∏={{1，2，3}，{2，3}，{3}}；也由于R不是等价关系，造成划分的荒谬结果：出现交集。试问：让“3”即参加第一组，又参加第二组，她该如何分配呢！！！ 所以，关系R必须是等价关系。至于作业中，此两题应说：因为R不是等价关系，此题无解。 2-2设R是正整数集合上的关系，由方程x+3y=12决定，即 R={〈x，y〉│x，y∈Z+且x+3y=12}， 试给出dom（R。R）。（选择题）[B] A.3； B.{3}； C.〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。
Δ第十二章格与布尔代数 12.1 格 内容提要 格是一种特殊的有序集，因此我们先从有序集方面引入格的概念。 定义12.1称有序集
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们 都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许 多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结 的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→ｑ。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→ｑ为假命题。 （7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命 题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。
习 题 十 三 1． 证明：对网络N 中的任意一个流f 和)(N V s ?，均有 ∑∈-=-s v s s f s s f v V f V v f ),(),()],(),([ 分析：根据定义∑∈= ∈∈=) ,()()(}|)(){()(V v f V v f V u N A u v V v α α，，，， 显然若)(),(,,2121N A v v S v v ∈∈且，则在）V v f ,(1中含）21,(v v f ，而）1,(v V f 中也含）21,(v v f ，故f 对端点同属于S 的这种弧在 ∑∈-s v v V f V v f )],(),([中不产生影响，故有： ∑∈-=-s v s s f s s f v V f V v f ),(),()],(),([ 证明： 左式)),(),(()),(),(((v u f u v f v u f u v f s v s u s u ∑∑∑∈∈∈-+-= ∑∑∑∑∑∈∈∈∈∈--+=s v s u s u s u s u v u f v u f u v f u v f )),(),(),(),(( ))),(),(()),(),(((∑∑∑∑∑∈∈∈∈∈-+-=s v s u s u s u s u v u f u v f v u f u v f )),(),((∑∑∑∈∈∈-=s u s v s u v u f u v f ∑∑∑∑∈∈∈∈-=s v s u s v s u v u f u v f ),(),( ),(),(S S f S S f -= 2．设),(S S 和),(T T 都是网络N 中的最小割，求证),(T S T S ??和),(T S T S ??也都是N 中 的最小割. 分析：由集合的运算和容量的定义，可直接验证下式成立： ),(),(),(),(T S T S C T T C S S C T S SUT C -+≤? 又由于),(S S 和),(T T 都是网络N 中的最小割，根据最小割的定义有： ),(),(T S SUT C S S C ?≤ ),(),(T S T S C T T C ??≤最后可得
命题逻辑等值演算2学习目的 本章主要涉及命题演算中两个重要内容之一：等值演算。首先理解命题公式等值的含义，掌握构造真值表和不构造真值表两种方法证明等值式，熟练应用于命题公式的化简和范式表示 基本内容 z命题公式等值关系及其证明 z联结词的全功能集 z命题公式的范式表示
等值关系 基本概念 等值的两种定义： z如果两个逻辑形式对其中的命题变项的任何取值，都具有相同的值，则称它们是相等的。 z A、B等值是指等价式A?B为重言式，记为A?B。 可直接构造真值表证明两个命题形式的等值。 等值演算 根据已知的等值式，可以推演出另外许多的等值 式，这种推演过程称为等值演算。 这些已知等值式通常是经过证明了的常用等值式， 其中许多是布尔代数或逻辑代数的主要组成部分， 称为等值关系模式： (1) 双重否定律： A ???A (2) 等幂律：(2a) A ? A∧A (2b) A ? A∨A (3) 交换律：(3a) A∧B ? B∧A
(3b) A∨B ? B∨A (3c) A∨B ? B∨A (3d) A?B ? B?A (4) 结合律：(4a) (A∧B)∧C ? A∧(B∧C) (4b) (A∨B)∨C ? A∨(B∨C) (4c) (A∨B) ∨C ? A∨ (B∨C) (4d) (A?B) ?C ? A? (B?C) (5) 分配律：(5a) A∨(B∧C) ? (A∨B)∧(A∨C) (5b) A∧(B∨C) ? (A∧B)∨(A∧C) (5c) A∧(B∨C) ? (A∧B) ∨ (A∧C) (6) 德?摩根律：(6a) ?(A∧B) ??B∨?A (6b) ?(A∨B)??B∧?A (7) 吸收律：(7a) A∨(A∧B)?A (7b) A∧(A∨B)?A (7c) A∨(?A∧B)?A∨B (7d) A∧(?A∨B)?A∧B (7e) (A∧B) ∨ (?A∧C) ∨ (B∧C) ? (A∧B) ∨ (?A∧C) (8) 零律：(8a) A∨1 ? 1 (8b) A∧0 ? 0 (9) 同一律：(9a) A∨0 ? A (9b) A∨0 ? A (10)排中律：A∨?A ? 1 (11)矛盾式：A∧?A ? 0 (12)蕴涵等值式：A→B ??A∨B
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。 （7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本 题，q为真命题，因而p→q为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
第十章 格和布尔代数 习题10.1 1．解 ⑴不是，因为L 中的元素对{2,3}没有最小上界； ⑵是，因为L=｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝任何一对元素a ,b ，都有最小上界和最大下界； ⑶是，与⑵同理； ⑷不是，因为L 中的元素对{6,7}没有最小上界不存在最小上界。 2．证明 ⑴因为，a ≤b,所以，a ∨b=b ；又因为，b ≤c,所以，b ∧c=b 。故a ∨b=b ∧c ； ⑵因为，a ≤b ≤c,所以，a ∧b=a,b ∧c=b,而a ∨b=b ，因此，(a ∧b )∨(b ∧c )=b ； 又a ∨b=b,b ∨c=c,而b ∧c=b, 因此，(a ∨b )∧(b ∨c )=b 。即 (a ∧b)∨(b ∧c)=(a ∨b)∧(b ∨c)。 习题10.2 1．解 由图1知：＜S 1,≤＞不是＜L,≤＞的子格，这是因为，e ∨f=g ?S 1; ＜S 2,≤＞不是＜L,≤＞的子格， ∵e ∧f=c ?S 2; ＜S 3,≤＞是＜L,≤＞的子格. 2．解 S 24的包含5个元素的子格有如下的8个： S 1={1,3,6,12,24}, S 2={1,2,6,12,24}, S 3={1,2,4,12,24}, S 4={1,2,4,8,24}, S 5={1,2,3,6,12}, S 6={1,2,4,6,12}, S 7={2,4,6,12,24}, S 7={2,4,8,12,24}. 3．证明 因为，一条线上的任何两个元素都有（偏序）关系，所以，都有最大下界和最小上界，故它是格，又因为它是