2015-2016学年重庆市南开中学八年级（上）期中数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．实数，π﹣2，2.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（）
A．8，15，17 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25
3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．若关于x的二元一次方程kx+3y＝5有一组解是，则k的值是（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
5．已知点A（a+1，1），点B（3，﹣1），且A、B关于x轴对称，则a的值为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
6．二元一次方程组的解为，则一次函数y＝5﹣x与y＝2x﹣1的交点坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
7．已知直线l平行于直线y＝﹣2x，且过点（4，5），则l的解析式为（）
A．y＝2x+13 B．y＝2x﹣13 C．y＝﹣2x+13 D．y＝﹣2x﹣13
8．如图为一次函数y＝kx+b的图象，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）
A．B．
C．D．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D点在AB上且AD＝AB，那么CD的长是（）
A．2B．C．4 D．2
10．若直线y＝k1x+1与y＝k2x﹣4的交点在x轴上，那么等于（）
A．4 B．﹣4 C．D．
11．如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A→B→C→D→E爬行，那么蚂蚁爬行的高度h与时间t的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
12．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（）
A．886 B．903 C．946 D．990
二、填空题（每小题4分，共32分）
13．比较大小：3．（填“＞”、“＜”或“＝”）
14．函数y＝中，自变量x的取值范围为．
15．已知2y﹣3x＝4，则y可用含x的式子表示为y＝．
16．图中的甲、乙、丙三个天平，其中甲、乙天平已保持左右平衡，现要使丙天平也平衡，则在天平右盘中放入的砝码应是克．
17．如图，在平面直角坐标系中点A（﹣3，1），点B（1，2），一束光线从点A处沿直线射出经x轴反射后，正好经过点B，则光线从A到B所经过路程为．
18．如图，Rt△AOC在平面直角坐标系中，OC在y轴上．OC＝2，OA＝5．将△AOC沿OB翻折使点A恰好落在y轴上的点A′的位置，则AB＝．
19．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0）、B（0，3）、C（10，3），O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，点E的坐标为．
20．我校初二年级数学兴趣社的一位同学放假期间对小区某停车库进行了调查研究，发现该车库有四个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%．在每个出入口的车辆数均是匀速变化的情况下，如果开放1个进口和3个出口，6个小时车库恰好停满；如果开放2个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．开学后，由于小区人数增多，早晨7点时的车位空置率变为70%．又因为车库改造，只能开放1个进口和2个出口，则从早晨7点开始经过小时车库恰好停满．
三、解答题（共70分）
21．（8分）计算：
（1）|﹣2|×（3﹣π）0+（﹣1）2015×
（2）．
22．（12分）解方程组：
（1）（2）（3）．
23．（8分）王教授在本市车展期间购置了一辆涡轮增压轿车，该车在市郊路段和高速路段的每公里耗油量有所不同．第1次王教授开了10公里市郊路和40公里高速路，耗油4.2升；第2次王教授开了20公里市郊路和60公里高速路，耗油6.8升．
（1）请分别求出该车在市郊路段和高速路段上的每公里耗油量；
（2）周六时，王教授准备从家出发到景区游玩，其间共有80公里市路，120公里高速路，现车内余油20升．问王教授能否不加油从家直接开到景区？请说明理由．
24．（10分）如图，直线y1＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线y2过原点O且与直线
y1＝﹣x+2交于点．
（1）求点A和点B坐标；
（2）求出直线y2的解析式；
（3）根据图象可知：当x 时，y1＞y2，y1＝﹣x+2．
25．（10分）某知名品牌在甲、乙两地的新店同时开张，乙店经营不久为了差异营销而进行了品牌升级，因此停业了一段时间，随后继续营业，第40天结束时两店销售总收入为2100百元．甲、乙两店自开张后各自的销售收入y（百元）随时间x（天）的变化情况如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）乙店停业了天；
（2）求出图中a的值；
（3）求出在第几天结束时两店收入相差150百元？
26．（10分）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAD＝90°且AB＝AD，CD⊥BC，∠ACB＝45°，AC＝BC．（1）求证：△DCA≌△OCB；
（2）若AC＝4，求出四边形ABCD的面积．
27．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝，与x轴、y轴分别交于点B、D．直线AC与x轴、y轴分别交于点C、E，．
（1）若OG⊥CE于G，求OG的长度；
（2）求四边形ABOE的面积；
（3）已知点F（5，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O、Q、P为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．【解答】解：，π﹣2，2.1010010001…是无理数，
故选：B．
2．【解答】解：82+152＝172，A能作为直角三角形三边长；
52+127＝132，B能作为直角三角形三边长；
72+242＝252，D能作为直角三角形三边长；
故选：C．
3．【解答】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴该点在第四象限．
故选：D．
4．【解答】解：把代入方程kx+3y＝5，得
6k+3＝5，
故选：A．
5．【解答】解：
∵A、B关于x轴对称，
解得a＝2，
故选：D．
6．【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴一次函数y＝5﹣x与y＝5x﹣1的交点坐标为（2，3），
故选：A．
7．【解答】解：设它的函数解析式为y＝kx+b，
∵平行于直线y＝﹣2x，
∴y＝﹣2x+b，
∴7＝﹣8+b，
∴函数解析式为y＝﹣2x+13．
故选：C．
8．【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知k＜0，b＞0，所以一次函数y＝bx+k的图象应该见过一、三、四象限，
故选：B．
9．【解答】解：过D作DE∥BC，交AC于E．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴AD＝AB＝2．
∴DE＝AD＝1，AE＝DE＝，
∴CD＝＝＝．
故选：B．
10．【解答】解：令y＝0，则k1x+1＝0，
解得x＝﹣，
解得x＝，
∴﹣＝，
故选：D．
11．【解答】解：当蚂蚁在AB段上爬行时，爬行高度随时间的增加而增加；当蚂蚁在BC段上爬行时，蚂蚁的爬行高度不变；当蚂蚁在CD段爬行时，爬行高度随时间的增加而增加，蚂蚁在DE段上爬行时，蚂蚁的爬行高度不变，
故B符合题意．
故选：B．
12．【解答】解：∵一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，6）→（1，2）→（2，1）→…，
第5行：x＝0 2个点
（共2个点）
第3行：x＝3 4个点 x＝7 1个点 x＝5 1个点
（共6个点）
第4行：x＝10 6个点 x＝11 1个点 x＝12 8个点 x＝13 1个点 x＝14 1个点（共10个点）
…
8+4+6+8+10+…+2n≤2015
得n＝44，
且当n＝45时：2+4+6+6+10+…+90＝2070
∴2015在45行，
1980＜2015＜1980+46
故选：D．
13．【解答】解：∵2＝，8＝，而
∴2，
故答案为“＞”．
14．【解答】解：由分式分母不为0可知；x﹣5≠0．
解得：x≠5．
故答案为：x≠5．
15．【解答】解：方程2y﹣3x＝4，
解得：y＝，
故答案为：
16．【解答】解：设的质量为x千克，的质量为y克，由题意得
，
所以要使丙天平也平衡，则在天平右盘中放入的砝码应是18克．
故答案为：18．
17．【解答】解：由题意得：∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ACD＝∠BCE，
∴DC：AD＝CE：EB，
解得DC＝，
∴AC＝，BC＝，
故答案为5
18．【解答】解：由折叠的性质得：A′B＝AB，OA′＝OA＝5，
∴A′C＝3，
设A′B＝AB＝x，
在Rt△A′BC中，
解得：x＝，
故答案为：．
19．【解答】解：如图所示：，
符合的有四个点：E1（OE＝AE），E2（OE＝OA），E3和E4（OA＝AE），
∴E1（2.3，3），E2（4，3），E3（6，3），E4（9，3），
故答案为：（2.5，6）或（4，3）或（1，3）或（9，4）．
20．【解答】解：设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，由题意得
则70%a÷（a﹣a×2）＝4.2小时
故答案为：4.4．
21．【解答】解：（1）原式＝2×1﹣1×2﹣7×3＝2﹣2﹣9＝﹣9；
（2）原式＝+2﹣＝16+4﹣4＝20﹣4．
22．【解答】解：（1），
①×3﹣②得：11y＝22，即y＝2，
则方程组的解为；
②×2﹣①得：11y＝33，即y＝3，
则方程组的解为；
②+③×3得：9x+7y＝19④，
①×7﹣④得：2y＝﹣10，即y＝﹣5，
把y＝﹣5代入①得：x＝6，
则方程组的解为．
23．【解答】解：设市郊路段上的每公里耗油量为x升/公里，高速路段上的每公里耗油量为y升/公里，由题意得
，
答：市郊路段上的每公里耗油量为0.3升/公里，高速路段上的每公里耗油量为0.08升/公里．
＝8+9.6
17.6升＜20升
所以王教授能不加油从家直接开到景区．
24．【解答】解：（1）∵直线y1＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴令y＝0，则﹣x+4＝0，解得x＝4，
∴A（4，0），B（7，2）；
∴a＝﹣×+2＝，
设直线y2过的解析式为y2＝kx，
∴k＝1，
（4）根据图象可知：当x＜时，y1＞y2．
故答案为＜．
25．【解答】解：（1）由图象可知：乙店停业了30﹣20＝10天，
故答案为10；
把点（60，1800）代入y＝kx得：1800＝60k，
∴y＝30x，
∴乙店第40天结束时销售收入为2100﹣1200＝900百元，
把点（30，300）和（40，900）代入y＝mx+n得：
∴y＝60x﹣1500，
∴a＝34；
根据题意：①30x＝15x+150，
②30x+150＝60x﹣1500，解得x＝55，
③30x＝60x﹣1500+150，解得x＝45，
所以，当第10天、45天、55天结束时两店收入相差150百元．26．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90°，CD⊥BC，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵AB＝AD，
∴∠ACD＝∠ACB，
，
（2）解：过B作BE⊥AC于E，过D作DF⊥AC于F，
∴BE＝CE，DF＝CF，
∴∠ABE＝∠DAE，
，
∴AF＝BE，AE＝DF，
∴BE+DF＝AF+CF＝AC＝4，
∴S四边形ABCD＝AC3＝8．
27．【解答】解：（1）∵，
设OE＝5x，OC＝12x，
解得x＝，
∵OG⊥CE于G，
解得：OG＝＝5．
（4）∵＝，
∵OE＝，
联系方程组：，
∴A（﹣，）．
∴B（﹣，0），
＝（﹣）×+（+）×
答：四边形ABOE的面积为．
当点Q在AC上时，OG＝OF＝5，
∴△OPQ≌△OPG，
∴P（5，）．
作QF的垂直平分线交AC于P．，此时△OPQ≌△OPF，解得P（，）．综上所述，P（5，）或P（，）