子集、全集、补集·典型例题
能力素质
例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}?
(2){1,2,3}={3,2,1}
(3){0}??≠
(4)0∈{0}
(5){0}(6){0}
??∈=
分析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的.
说明:含元素0的集合非空.
例2 列举集合{1,2,3}的所有子集.
分析 子集中分别含1,2,3三个元素中的0个,1个,2个或者3个.
解含有个元素的子集有:; 0?
含有1个元素的子集有{1},{2},{3};
含有2个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}; 含有3个元素的子集有{1,2,3}.共有子集8个.
说明:对于集合,我们把和叫做它的平凡子集.A A ?
例已知,,,,,则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ??
________.
分析 A 中必含有元素a ,b ,又A 是{a ,b ,c ,d}真子集,所以满足条件的A 有:{a ,b},{a ,b ,c}{a ,b ,d}.
答 共3个.
说明:必须考虑A 中元素受到的所有约束.
例设为全集,集合、,且,则≠
4 U M N U N M ??
[ ]
分析 作出4图形. 答 选C .
说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便.
点击思维
例5 设集合A ={x|x =5-4a +a 2,a ∈R},B ={y|y =4b 2+4b +2,b ∈R},则下列关系式中正确的是
[ ]
A A
B B A B
C A B
D A B .=...≠≠
???
分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上
x =5-4a +a 2=(2-a)2+1≥1,
y =4b 2+4b +2=(2b +1)2+1≥1,所以它们的值域是相同的,因此A =B . 答 选A .
说明:要注意集合中谁是元素.
M 与P 的关系是
[ ]
A .M =
U P
B .M =P
C M P
D M P ..≠??
分析 可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证(排除)的方法;二是利用补集的性质:M =
U N =
U (
U P)=P ;三是利用画图的方法.
答 选B .
说明:一题多解可以锻炼发散思维. 例7 下列命题中正确的是
[ ]
A .
U (
U A)={A}
B A B B A B
C A {1{2}}{2}A
.若∩=,则.若=,,,则≠???
D A {123}B {x|x A}A B .若=,,,=,则∈?
分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的选择支.
∵选择支中,中的元素,,即是集合的子集,而的子D B x A x A A ?
集有,,,,,,,,,,,,,而?{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B
是由这所有子集组成的集合,集合A 是其中的一个元素. ∴A ∈B . 答 选D .
说明:选择题中的选项有时具有某种误导性,做题时应加以注意.
例8 已知集合A ={2,4,6,8,9},B ={1,2,3,5,8},又知非空集合C 是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A 的一个子集;若各元素都减2后,则变为B 的一个子集,求集合C .
分析 逆向操作:A 中元素减2得0,2,4,6,7,则C 中元素必在其中;B 中元素加2得3,4,5,7,10,则C 中元素必在其中;所以C 中元素只能是4或7.
答 C ={4}或{7}或{4,7}.
说明:逆向思维能力在解题中起重要作用.
学科渗透
例9 设S ={1,2,3,4},且M ={x ∈S|x 2-5x +p =0},若S M ={1,4},则
p
=________.
分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论,由于
S M ={1,4},
且,≠
M S ? ∴M ={2,3}则由韦达定理可解. 答 p =2×3=6.
说明:集合问题常常与方程问题相结合.
例10 已知集合S ={2,3,a 2+2a -3},A ={|a +1|,2},S A ={a +3},求
a
的值.
S 这个集合是集合A 与集合
S A
的元素合在一起“补成”的,此外,对这类字
母的集合问题,需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用.
解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足
()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 2
2
2+=①+=+-②+-≠③+-≠④???????
或+=+-①+=②+-≠③+-≠④
(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 22
2???
??
?? 在(1)中,由①得a =0依次代入②③④检验,不合②,故舍去.
在(2)中,由①得a =-3,a =2,分别代入②③④检验,a =-3不合②,故舍去,a =2能满足②③④.故a =2符合题意.
说明:分类要做到不重不漏.
高考巡礼
例年北京高考题集合==π+π
,∈,=11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24
x|x k Z}=
π+π
,∈则k 42
[ ]
A .M =N
B M N
C M N
..≠≠??
D .M 与N 没有相同元素
分析 分别令k =…,-1,0,1,2,3,…得
M {}N {}
M N =…,-
π,π,π,π,π,…,=…,π,π,π,π,π
,…易见,.≠
44345474423454
? 答 选C .
说明:判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性
高一数学集合 子集、全集、补集 要点一子集、真子集[重点] 在上一节中,我们用约定的字母标记了一些特殊的集合,在这些特殊的集合中,我们会发现这样一个现象: 正整数集中的所有元素都在自然数集中; 自然数集中的所有元素都在整数集中; 整数集中的所有元素都在有理数集中; 有利数集中的所有元素都在实数集中. 其实,上述各集合之间是一种集合见得包含关系;可以用子集的概念来表示这种关系. 1.子集 (1)定义: 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B),那么集合A成为集合B的子集,记作A?B或B?A,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A” . (2)举例: 例如,{4,5}?Z,{4,5}?Q,Z?Q,Q?R.A?B可以用图1-2-1来表示. (3)理解子集的定义要注意以下四点: ①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,既由x∈A,能推出x ∈B,例如{-1,1}?{-1,0,1,2}. ②任何一个集合是它本身的子集,即对于任何一个集合A,它的任何一个元素都是属 于集合A本身,记作A?A. ③我们规定,空集是任何集合的子集,即对于任何一个集合A,有??A. ④在子集的定义中,不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=?,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素,但此时都说集合A是集合B的子集. 以上②③点告诉我们,在邱某一个集合时,不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况. (4)例题: 例1设集合A={1,3,a },B={1,a 2-a +1},且A?B,求a的值. 解:∵A?B,∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a, 由a 2-a +1=3,得a =2或a =-1;由a 2-a +1=a,得a =1. 经检验,当a =1时,集合A、B中元素有重复,与集合元素的互异性矛盾,所以符合题意的a的值为-1,2. 2.真子集 (1)定义: 如果A?B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集,记作A?B或B?A,读作 “A真包含于B”或“B真包含A”.
子集、全集、补集 教学目标:理解子集、真子集概念,会判断和证明两个集合包含关系,会判断简单集合的相等关系. 教学重点:子集的概念,真子集的概念. 教学难点:元素与子集,属于与包含间的区别;描述法给定集合的运算. 课 型:新授课 教学手段:讲、议结合法 教学过程: 一、创设情境 在研究数的时候,通常都要考虑数与数之间的相等与不相等(大于或小于)关系,而对于集合而言,类似的关系就是“包含”与“相等”关系 二、活动尝试 1.回答概念:集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图 2.用列举法表示下列集合: ①32{|220}x x x x --+= {-1,1,2} ②数字和为5的两位数} {14,23,32,41,50} 3.用描述法表示集合:1111{1,,,,}2345 *1{|,5}x x n N n n =∈≤且 4.用列举法表示:“与2相差3的所有整数所组成的集合”{||2|3}x Z x ∈-=={-1,5} 5.问题:观察下列两组集合,说出集合A 与集合B 的关系(共性) (1)A={-1,1},B={-1,0,1,2} (2)A=N ,B=R (3)A={x x 为北京人},B= {x x 为中国人} (4)A =?,B ={0} (集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素) 三、师生探究 通过观察上述集合间具有如下特殊性 (1)集合A 的元素-1,1同时是集合B 的元素. (2)集合A 中所有元素,都是集合B 的元素. (3)集合A 中所有元素都是集合B 的元素. (4)A 中没有元素,而B 中含有一个元素0,自然A 中“元素”也是B 中元素. 由上述特殊性可得其一般性,即集合A 都是集合B 的一部分.从而有下述结论. 四、数学理论 1.子集 定义:一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素 都是集合B 的元素,我们就说集合A 包含于集合B ,或集合B 包含集 合A.记作A ?B (或B ?A ),这时我们也说集合A 是集合B 的子集. 请同学们各自举两个例子,互相交换看法,验证所举例子是否符合定义. 2.真子集:对于两个集合A 与B ,如果B A ?,并且B A ≠,我们就说集合A 是集合B 的真
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题(每题4分,共40分) 1、下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ,b ,c }的真子集共有 个 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1,2}?A ?{1,2,3,4,5}则满足条件的集合A 的个数是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则C U (M ∪N )= ( ) A . {1,2,3} B. {2} C. {1,3,4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式:{}00∈,{}0??,Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? , {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中,错误的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<,B=} { x x a <,若A ?B ,则a 的取值范围是 ( ) A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ,则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-,A={}2,b ,C U A={} 5,则a = ,b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或,{}41|><=x x x B 或,A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A∩C=Φ,求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-,B=} { 2 20x x ax b -+=,若B ≠?,且A B A ?= 求实数 a , b 的值。
第四课时子集、全集、补集(二) 教学目标: 使学生了解全集的意义,理解补集的概念;通过概念教学,提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力;渗透相对的观点. 教学重点: 补集的概念. 教学难点: 补集的有关运算. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分别是多少? 2.两个集合相等应满足的条件是什么? Ⅱ.讲授新课 [师]事物都是相对的,集合中的部分元素与集合之间关系就是 部分与整体的关系. 请同学们由下面的例子回答问题: 幻灯片(A): 看下面例子 A={班上所有参加足球队同学} B={班上没有参加足球队同学} S={全班同学} 那么S、A、B三集合关系如何? [生]集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合. 即为如图阴影部分 由此借助上图总结规律如下: 幻灯片(B): 1.补集 一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即A?S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中集合A的补集(或余集). 记作C S A,即C S A={x|x∈3且x?a} 上图中阴影部分即表示A在S中补集C S A 2.全集 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,记作U. [师]解决某些数学问题时,就可以把实数集看作全集U,那么有理数集Q的补集C U Q 就是全体无理数的集合. 举例如下:请同学们思考其结果. 幻灯片(C): 举例,请填充 (1)若S={2,3,4},A={4,3},则C S A=____________. (2)若S={三角形},B={锐角三角形},则C S B=___________.
(3)若S={1,2,4,8},A=?,则C S A=_______. (4)若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},C U A={5},则a=_______ (5)已知A={0,2,4},C U A={-1,1},C U B={-1,0,2},求B=_______ (6)设全集U={2,3,m2+2m-3},a={|m+1|,2},C U A={5},求m. (7)设全集U={1,2,3,4},A={x|x2-5x+m=0,x∈U},求C U A、m. 师生共同完成上述题目,解题的依据是定义 例(1)解:C S A={2} 评述:主要是比较A及S的区别. 例(2)解:C S B={直角三角形或钝角三角形} 评述:注意三角形分类. 例(3)解:C S A=3 评述:空集的定义运用. 例(4)解:a2+2a+1=5,a=-1± 5 评述:利用集合元素的特征. 例(5)解:利用文恩图由A及C U A先求U={-1,0,1,2,4},再求B={1,4}. 例(6)解:由题m2+2m-3=5且|m+1|=3解之m=-4或m=2 例(7)解:将x=1、2、3、4代入x2-5x+m=0中,m=4或m=6 当m=4时,x2-5x+4=0,即A={1,4} 又当m=6时,x2-5x+6=0,即A={2,3} 故满足题条件:C U A={1,4},m=4;C U B={2,3},m=6. 评述:此题解决过程中渗透分类讨论思想. Ⅲ.课堂练习 课本P10练习1,2,3,4 Ⅳ.课时小结 1.能熟练求解一个给定集合的补集. 2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用. Ⅴ.课后作业 (一)课本P10习题1.2 3,4 3.解:因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成,而A ={x|x是平行四边形},那么C S A={x|x是梯形}. 补充: 1.判断下列说法是否正确,并在题后括号内填“”或“”: (1)若S={1,2,3},A={2,1},则C S A={2,3} () (2)若S={三角形},A={直角三角形},则C S A={锐角或钝角三角形} () (3)若U={四边形},A={梯形},则C U A={平行四边形} () (4)若U={1,2,3},A=?,则C U A=A () (5)若U={1,2,3},A=5,则C U A=?() (6)若U={1,2,3},A={2,3},则C U A={1} () (7)若U是全集且A?B,则C U A?C U B () 解:紧扣定义,利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确,其余错误. 在(1)中,因S={1,2,3},A={2,1},则C S A={3}. (2)若S={三角形},则由A={直角三角形}得C S A={锐角或钝角三角形}. (3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形,
高中数学子集、全集、补集练习题(附答案)数学必修1(苏教版) 1.2 子集、全集、补集 若一个小公司的财产和职员都是某个大公司的财产和职员,那么这个小公司叫做这个大公司的子公司.同样对于一个集合A中的所有元素都是集合B的元素,那么我们如何给A、B 之间建立一个确切的关系呢? 基础巩固 1.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则() A.A?B B.B?A C.A=B D.AB= 解析:直接判断集合间的关系. ∵A={x-1<x<2},B={x-1<x<1},B A. 答案:B 2.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则UM=() A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{1,2,4} D.U 解析:UM={2,4,6}. 答案:A 3.已知集合U=R,集合M={x |x2-40},则UM=() A.{x|-22} B.{x|-22}
C.{x|x-2或x2} D.{x|x-2或x2} 解析:∵M={x|x2-40}={x|-22}, UM={x|x-2或x2}. 答案:C 4.设集合A={x||x-a|1,xR},B={x||x-b|2,xR},若AB,则实数a、b必满足() A.|a+b| B.|a+b|3 C.|a-b| D.|a-b|3 解析:A={x|a-1a+1},B={x|xb-2或xb+2},∵AB,a +1b-2或a-1b+2,即a-b-3或a-b3,即|a-b|3. 答案:D 5.下列命题正确的序号为________. ①空集无子集; ②任何一个集合至少有两个子集; ③空集是任何集合的真子集; ④U(UA)=A. 解析:空集只有它本身一个子集,它没有真子集,而一个集合的补集的补集是它本身. 答案:④ 6.若全集U={xR|x24},A={xR||x+1|1},则UA=________. 解析:U={x|-22},A={x|-20},
典型例题一 例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线 1 l、 2 l的方程,从代数计算中寻找解答.解法一:圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O,半径3 = r. 设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d,则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d. 如图,在圆心 1 O同侧,与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点, 这两个交点符合题意. 又1 2 3= - = -d r. ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x,且与之距离为1的直线和圆的交点. 设所求直线为0 4 3= + +m y x,则1 4 3 11 2 2 = + + = m d, ∴5 11± = + m,即6 - = m,或16 - = m,也即 6 4 3 1 = - +y x l:,或0 16 4 3 2 = - +y x l:. 设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O:的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d,则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d,1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d. ∴ 1 l与 1 O相切,与圆 1 O有一个公共点; 2 l与圆 1 O相交,与圆 1 O有两个公共点.即符合 题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解: