第5章 微积分的基本操作
5.1极限
Mathematica 计算极限的命令是Limit 它的使用方法主要有：
Limit[expr,x->x 0] 当x 趋向于x 0时求expr 的极限 Limit[expr,x->x 0,Direction->1] 当x 趋向于x 0时求expr 的左极限 Limit[expr,x->x 0,Direction->-1] 当x 趋向于x 0时求expr 的右极限 趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞ 例如：
1
．求lim 36
x x →∞-In[1]:=Limit[Sqrt[x^2+2]/(3x-6),x->Infinity] Out[1]=
13
2．求22
0sin lim x x
x →
In[2]:=Limit[Sin[x]^2/x^2,x->0] Out[2]=1 3．求0
ln lim x x
x
→+
In[3]:=Limit[Log[x]/x,x->0,Direction->-1] Out[3]= -∞
5.2微分
1.函数的微分
在Mathematica 中，计算函数的微分或导数是非常方便的，命令为D[f,x],表示对x 求函数f 的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种
D[f,x] 计算导数
df dx 或f x
?? D[f,x 1,x 2,…] 计算多重偏导数12n n
f
x x x ????
D[f,{x,n}] 计算n 阶导数n n
d f
dx
D[f,x,NonConstants->{v 1,v 2,…}] 计算导数df
dx
，其中v 1,v 2…依赖于x 例如：
(1) 求函数sinx 的导数 In[1]:=D[Sin[x],x]
Out[1]=Cos[x]
(2) 求函数e x sinx的2阶导数
In[2]:=D[Exp[x]*Sin[x],{x,2}]
Out[2]=2e x Cos[x]
(3) 假设a是常数，对sinax求导
In[3]:=D[Sin[a*x],x]
Out[3]=aCos[ax]
(4) 二元函数f(x,y)=x 2 y+y 2 求f对x,y 的一阶和二阶偏导
In[4]:=f[x_,y_]=x^2*y+y^2
Out[4]= x 2 y+y 2
In[5]:=D[f[x,y],x]
Out[5]=2xy
In[6]:=D[f[x,y],y]
Out[6]=x 2 + 2y
In[7]:=D[f[x,y],x,y]
Out[7]=2x
In[8]:=D[f[x,y],{x,2}]
Out[8]=2y
In[9]:=D[f[x,y],{y,2}]
Out[9]=2
Mathematica可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。
例如：
In[10]:=D[x*g[x],x]
Out[10]=g[x]+xg′[x]
In[11]:=D[x*g[x],{x,4}]
Out[11]=4g (3)[x]+xg (4)[x]
对复合函数求导法则同样可用：
In[12]:=D[g[h[x]],x]
Out[12]=g′[h[x]] h′[x]
如果要得到函数在某一点的导数值，可以把这点代入导数如：
In[13]:=D[Exp[x]*Sin[x],x]/.x->2
Out[13]=e 2 Cos[2]+e 2 Sin[2]
In[14]:=N[%]
Out[14]=3.64392
2.全微分
在Mathematica中，D[f,x]给出f的偏导数，其中假定f中的其他变量与x无关。当f为单变量时，D[f,x]计算f对x的导数。函数Dt[f,x]给出f的全微分形式，并假定f中所有变量依赖于x.下面是Dt命令的常用形及意义
Dt[f] 求全微分df
Dt[f,x] 求f对x的微分
Dt[f,x1,x2,…]求f对x i多重全微分
Dt[f,x,Constants->{c1,c2,….}] 求全微分df，其中c1,c2..是常数
下面我们求x 2 +y 2的偏微分和全微分
In[1]:=D[x^2+y^2,x] Out[1]=2x
In[2]:=Dt[x^2+y^2,x] Out[2]=2x+2yDt[y,x]
可以看出第一种情况y 与x 没有关系，第二种情况y 是x 的函数。再看下列求多项式 x 2 +xy 3+yz 的全微分并假定z 保持不变是常数。
In[3]:=Dt[x^2+x*y^3+y*z,Constants->{z}]
Out[3]=2Dt[x,Constants →{z}]+y 3 Dt[x, Constants →{z}]
+3xy 2 Dt[y,Constants →{z}]+zDt[y, Constants →{z}]
如果y 是x 的函数，那么y 被看成是常数 In[4]:=Dt[x^2+x*y[x]+y[x]*z]
Out[4]=2xDt[x]+Dt[x]y[x]+Dt[z]y[x]+xDt[x]y ′[x]+zDt[x] y ′[x]
5.3计算积分
1.不定积分
在Mathematica 中计算不定积分命令为Integerate[f,x],当然也可使用工具栏直接输入不定积分式。来求函数的不定积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。
例如若求sin sin xdx ?
Mathematica 就无能为力： In[1]:=Integrate[Sin[Sin[x]],x] Out[1]=
sin[sin[x]]dx ?
但对于一些手工计算相当复杂的不定积分，MatheMatica 还是能轻易求得，例如求
In[2]:=
Out[2]=
11
积分变量的形式也可以是一函数，例如： In[3]:=Sin[Sin[x]]dSin[x]?
Out[3]= -Cos[Sin[x]]
输入命令也可求得正确结果： In[4]:=Integrate[Sin[Sin[x]],Sin[x]] Out[4]= -Cos[Sin[x]]
对于在函数中出现的除积分变量外的函数，统统当作常数处理，请看下面例子： In[5]:=2
(a*x +b*x+c)dx ?
Out[5]=23
bx ax cx++23
2.定积分
定积分的求解主要命令是Integrate[f,{x,min,max}]， 或者使用工具栏输入也可以。例如求
4
24
ax x e dx -?
In[6]:=Integrate[x^2Exp[ax],{x,-4,4}]
Out[6]=ax
128e 3
显然这条命令也可以求广义积分，例如求4
2
1
(-2)
dx x ?
： In[7]:=Integrate[1/(x-2)^2,{x,0,4}] Out[7]=∞
求无穷积也可以，例如
41
1
dx x
+∞
?
： In[8]:=Integrate[1/x^4,{x,1,Infinity}] Out[8]=
13
如果广义积分发散也能给出结果，例如： In[9]:=Integrate[1/x^2,{x,-1,1}] Out[9]= ∞
如果无法判定敛散性，就用给出一个提示，例如： In[10]:=Integrate[1/x,{x,0,2}] Integrate ::idiv : Integral of 1
x
does not converge on {0,2}. Out[10]=
2
1d x
x ?
如果广义积分敛散性与某个符号的取值有关，它也能给出在不同情况下的积分结果。例如
1
1
p
dx x +∞
?
： In[11]:=Integrate[1/x^p,{x,1,Infinity}] Out[11]=If[Re[p]>1,
1-1+p
,Integrate[x –
p ,{x,1,∞},Assumptions →Re[p]≤1]] 结果的意义是当p >1时，积分值为
1
-1+p
,否则不收敛。在Integrate 中可加两个参数Assumptions 和 GenerateConditions 例如上例中，只要用Assumptions->{Re[p]>1}就可以得到收敛情况的解：
In[12]:=Integrate[1/x^p,{x,1,Infinity},Assumptions->{Re[p]>1}]
Out[12]=
1-1+p
3.数值积分
数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法，它可以给出一个近似解。特别是对于用Integrate 命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用。
它的命令格式为：
Nintegrate[f,{x,a,b}] 在[a,b]上求f 数值积分
Nintegrate[f,{x,a,x 1,x 2,…,b}] 以x 1,x 2….为分割求[a,b]上的数值积分 Nintegrate[f,{x,a,b},MaxRecursion->n] 求数值积分时指定迭代次数n
下面我们求Sinsinx 在[0,π]上的积分值，由于这个函数的不定积分求不出，因此使用Integrate 命令无法得到具体结果，但可以用数值积分求：
In[13]:=Nintegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,Pi}] Out[13]=1.78649
在[-1，1]上，显然x=0点是一个无穷间断点。因此若要求其数值积分，必须在其中插入点0。
In[14]:=NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]],{x,-1,1}]
Nintegrate ::inum :
Integrand
is not numerical at {x} = {0.}.
-1,1}]
In[15]:=NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]],{x,-1,0,1}] Out[15]=4.
对无穷积分，也可求数值积分，例如： In[16]:=Nintegrate[Exp[-x^2],{x,0,Infinity}] Out[16]=0.886227
5.4多变量函数的微分
下面是计算多变量函数的偏导数及全微分的命令与单变量基本相同，通过分析下面的例子我们可以我们可以轻松掌握。
( 1 ) D[f,x 1, x 2 ,…, x n ]计算偏导数12n n
f
x x x ????
下面是实际的例子：
求函数sin(xy 2)对x 的偏导数： In[1]:=D[Sin[x*y^2],x] Out[1]=y 2 Cos[xy 2 ]
求函数sin(xy 2)对x 的二阶偏导数：
In[2]:=D[Sin[x*y^2],x,x]
Out[2]= -y 4 Sin[xy 2 ]
上述命令也可写成如下形式：
In[3]:=D[Sin[x*y^2],{x,2}]
Out[3]= -y 4 Sin[xy 2 ]
求函数sin(xy 2)对x的二阶对y的一阶混合偏导数：In[4]:=D[Sin[x*y^2],x,x,y]
Out[4]= -2x y 5 Cos[xy 2] - 4y 3Sin[xy 2]
上述命令也可写成如下形式：
In[5]:=D[Sin[x*y^2],{x,2},y]
Out[5]= -2x y 5 Cos[xy 2] - 4y 3Sin[xy 2]
( 2) D[f,x,NonConstants->{c1 ,c 2,…}]，
f
x
?
?
中c i依赖于x
下面是实际的例子：
In[6]:=D[x^2+y^2,x,NonConstants->{y}] Out[6]=2x+2yD[y,x,NonConstants→{y}]
注意：D[y,x,NonConstants→{y}]表示
y
x
?
?
，其中y是x的函数。
( 3 ) Dt[f] 计算全微分df
下面是实际的例子：
计算d(x 2 y 3)
In[7]:=Dt[x^2*y^3]
Out[7]=2xy 3 Dt[x]+3x 2 y 2 Dt[y] 其中Dt[x]为dx，Dt[y]为dy
定义z为一个二元函数，求z的全微分，并提出Dt[x]和Dt[y]：
In[8]:=z=x^3*y+x^2*y^2-3x*y^2;Collect[Dt[z],{Dt[x],Dt[y]}]
Out[8]=(3x 2 y -3y 2 +2xy 2 )Dt[x]+(x 3 – 6xy+2x 2 y)Dt[y]
将上式表示成的标准形式：
In[9]:=%/.{Dt[x]->dx,Dt[y]->dy}
Out[9]= dy(x 3 – 6xy+2x 2 y)+ dx(3x 2 y -3y 2 +2xy 2 )
求z对x的导数：
In[10]:=Dt[z,x]
Out[10]=3x 2 y -3y 2 +2xy 2 +x 3 Dt[y,x] -6xyDt[y,x]+2x 2 yDt[y,x]
因为Mathematica不知道y是否为x的函数，所以保留Dt[y,x]。用置换运算将Dt[y,x]置换成0即可求得z对x的导数：
In[11]:=Dt[z,x]/.Dt[y,x]->0
Out[11]=3x 2 y -3y 2 +2xy 2
( 4) 求隐函数的导数
下面是实际的例子：
求隐函数5y 2 + siny= x 2的导数：
In[12]:=Dt[5*y^2+Sin[y]==x^2,x]
Out[12]=10yDt[y,x]+Cos[y]Dt[y,x]==2x
In[13]:=Solve[%,Dt[y,x]]
Out[13]={{Dt[y,x]→
2x
10y+Cos[y]
}}
( 5 ) Dt[f,x,Constants->{c 1 ,c 2 ,…}]计算全微分df , 其中c i 是常数 下面是实际的例子：
In[14]:= Dt[x^2+y^2+z^2,x,Constants->{z}] Out[14]=2x+2yDt[y,x,Constants →{z}]
( 6 ) Dt[f, x 1, x 2 ,…, x n ]计算f 对x i 的多重全微分 下面是实际的例子：
In[15]:= z=x^3*y+x^2*y^2-3x*y^2; In[16]:=Dt[z,x,y]
Out[16]=3x 2 – 6y + 4xy + 6xyDt[x,y] + 2y 2 Dt[x,y] – 6xDt[y,x] + 2x 2 Dt[y,x]
+ 3x 2 Dt[x,y]Dt[y,x] – 6yDt[x,y]Dt[y,x] + 4xyDt[x,y]Dt[y,x]
5.5多变量函数的积分 (重积分)
多变量函数的积分类似于一元函数的积分,可以利用Integrate 函数来完成。命令如下： Integrate[f,{x,a,b},{y,c,d},…{z,m,n}] 计算重积分
(,,,)b d
n
a
c
m
f x y z dz dydx ??
?
Nintegrate[f,{x,a,b},{y,c,d},…{z,m,n}] 数值积分或重积分的数值解 下面是具体的例子： 计算重积分
21
1dxdy x y ++??
In[1]:=
21
dxdy x +y+1??
Out[1]=2+y]
我们也可以直接输入Integrate 命令进行积分，但要注意x 与y 的顺序： In[2]:=Integrate[1/(x^2+y+1),y,x]
Out[2]= 2+y]
计算二重积分
220
()a
b
x y dxdy +??
：
In[3]:= Integrate[x^2+y^2,{x,0,a},{y,0,b}]
Out[3]=22
1ab(a +b )3
y 的积分限也可以是x 的函数：
In[4]:= Integrate[x^2+y^2,{x,0,a},{y,0,x^2}]
Out[4]=57
a a +521
以下是数值积分的例子：
在重积分中，无法求出某个变量的积分值，会求出可积的部分，再输出运算结果。 In[5]:= Integrate[Sqrt[x+y],{x,0,2},{y,0,Sqrt[x+2]}]
Out[5]=
1
960
(7692–4622 1/ 4–-4602 3/ 4–2430Log[3]+1215Log[1+22 1/ 4])
将上式转换成数值解：
In[6]:=N[%]
Out[6]=4.65557
直接利用NIntegrate 命令求解，也可以得到相同的答案：
In[7]:= NIntegrate[Sqrt[x+y],{x,0,2},{y,0,Sqrt[x+2]}] Out[7]=4.65557
以下是一个三重积分
2
24
2x -??：
In[8]:=Off[Nintegrate::slwcon];Nintegrate[Sqrt[x^2+z^2],{x,-2,2},{y,x^2,4},{z,-Sqrt[y-x^2],Sqrt[y-x^2]}]
Out[8]=26.8083
注意：命令Off[Nintegrate::slwcon]的作用是不显示提示信息。
《微积分》复习及解题技巧 第一章 函数 一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2 二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示） 对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0 ④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1 在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。 典型例题：《综合练习》第二大题之1 补充：求y=x x 212-+的定义域。（答案：2 12<≤ -x ） 三、判断函数的奇偶性： 典型例题：《综合练习》第一大题之3、4
第二章 极限与连续 求极限主要根据： 1、常见的极限： 2、利用连续函数： 初等函数在其定义域上都连续。 例： 3、求极限 的思路： 可考虑以下9种可能： ①0 0型不定式（用罗彼塔法则） ② 2 0C =0 ③∞ 0=0 ④01 C =∞ ⑤21C C ⑥∞ 1C =0 ⑦ 0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞ ∞ 型不定 式（用罗彼塔法则） 1sin lim 0 =→x x x e x x x =??? ? ?+∞→11lim )0(01 lim >=∞→αα x x ) ()(0 lim 0 x f x f x x =→11 lim 1 =→x x 1) () (lim =→x g x f x α?? ???∞ ≠=→)0(0 )(11lim 常数C C x f x α?? ???∞ ≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 ：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37： 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。 例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，
lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ， 其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→
大学各种微积分公式 考务论坛-考巴精修版 关于高等数学计算中涉及的数学公式(集) 一、 (如果系数不是0) 二、重要公式(1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)3 、以下常见等价无穷小关系() 四、导数的四种算法 五、基本导数公式 (1)(2)(4)(5)(6)(7)(9)(10)(11)(13)(14)(16)(18)(6 、高阶导数算法) (1) (2) (3) (4)七的N阶导数公式、基本初等函数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 8 、微分公式和微分算法 (1)(2)(4)(5)(6)(7)(9)(10)(11)(13)(14)(9 、微分算法) (1) (2) (3) (4)十、基本积分公式 (1) (2) (3) (5) (6) (7) (9) (10) (11 、下列常用的微分方程 积分变换公式12 、补充了以下积分公式 十三、零件公式积分 (1)形式，秩序，形式，秩序，(2)形式，秩序，形式，秩序，(3)形式，秩序。第二代换积分法中的14 、三角代换公式 (1) (2) (3) 特殊角度的[三角函数值] (1)(2) (3)(4)(5) (1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)不存在(5)(1)不存在
(2)(3)(4)(5)不存在15 、三角函数公式 1. 2角求和公式 2.双角度公式 3.半角公式 4.和微分积公式 5.乘积和差公式 6.通用公式 7.平方关系 8.倒数关系 9.商关系 十六、几个常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程； , 2.齐次微分方程: 3.一阶线性非齐次微分方程；解为:
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+
15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?
第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求∞ ∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；
⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分 一、本章提要 1.基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
大一（上） 微积分 知识点 第一章 函数 一、A ?B=?,则A 、B 是分离的。 二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。 A-B={x|x ∈A 且x ?B}（属于前者，不属于后者） 三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。 四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对?x ∈A,?y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。 五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同 六、求反函数：反解互换 七、关于函数的奇偶性，要注意： 1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数； 2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； 3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。 第二章 极限与连续 一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。 二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。 三、无穷小量的几个性质： 1、limf(x)=0，则 2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f 3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0= 4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0 四、无穷小量与无穷大量的关系： ①若 y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y 1是无穷大量。
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
《高等数学复习》详细教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x （连续性的概念）
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
微积分复习提纲 一、多元函数微分学及其应用 1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分df 或者梯度函数f ①多元显函数的偏导数，见P16 例1---例3，P24习题1 ②多元抽象函数的偏导数，见P28 例5---例7，P36 习题3 ③高阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4 ④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数 ①“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7 ②抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8 ③由方程组()()???==0,,0,,z y x G z y x F 确定的隐函数???==)()(x z z x y y 的导数dx dz dx dy ,，（直接法：在方 程两端同时对x 求导，求导过程中把z y ,都看做是x 的函数，然后解方程组即可）， 见P35例14，P37习题9 ④由方程组()()???==0,,,0,,,v u y x G v u y x F 确定的隐函数???==),() ,(y x v v y x u u 的偏导数（直接法） 见P37习题9 3、多元函数微分学的几何应用 ①空间曲线?? ? ??===)()()(x z x y t x ωφ?在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程， 见P46 例1，例2， P50习题1、2 ②空间曲线()()???==0,,0 ,,z y x G z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程 见P46 例3， P50习题2 ③曲面()0,,=z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切平面方程与法线方程 见P46 例5，例6， P50习题3 4、方向导数与梯度 二、多元函数积分学及其应用 1、二重积分的计算 步骤：1）画出积分区域D ， 2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分 3）化二重积分为二次积分 4）做两次定积分，计算此积分的值 注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运 算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan()1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴.2,,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan ,, 1.y u u v x v == =+ 例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案： 1.（-∞ +∞）, (, )2 2 π π - , ,04 π
微積分公式
希臘字母 (Greek Alphabets) 倒數關係: sin ?csc ?=1; tan ?cot ?=1; cos ?sec ?=1 商數關係: tan ?= θθcos sin ; cot ?= θ θ sin cos 平方關係: cos 2?+ sin 2?=1; tan 2?+ 1= sec 2?; 1+ cot 2?= csc 2? 順位低 順位高 ; ? 順位高d 順位低 ;
1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 101 2 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十億 1 000 000 106 mega M 百萬 1 000 103 kilo K 千 100 102 hecto H 百 10 101 deca D 十 0.1 10-1 deci d 分，十分之一 0.01 10-2 centi c 厘（或寫作「厘」），百分之一 0.001 10-3 milli m 毫，千分之一 0.000 001 10-6 micro ? 微，百萬分之一 0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十億分之一 0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一 0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飛（或作「費」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿 0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y
微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则
《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解： 2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 36272 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)12(lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2(lim +>-求 解：令] 2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2 /300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令 ) ln(cos )1ln(1 ln ,)(cos 2)1ln(1 2 x x t x t x += =+ 2 /100 21 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设 )('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求 1 )()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） ?≠=-0,)ln(cos )(2x x x x f
高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π