2.3幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质;
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：
引入新知
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方
（4）求算术平方根（5）求－1次方
=，其中x是自变量，α是
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα
常数.
探究新知
1．幂函数的定义
=（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常一般地，形如y xα
数.
如112
3
4
,,y x y x y x -
===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都
是基本初等函数.
2．研究函数的图像
（1）y x = （2）12
y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
.
2
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x
=）；
（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：
1
．证明幂函数()[0,]f x =
+∞上是增函数
证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则
12()()f x f x -=
因12x x -＜0
所以12()()f x f x <
，即()[0,]f x =+∞上是增函数.
思考：
我们知道，若12()
()0,1()
f x y f x f x =><若
得12()()f x f x <，你能否用这种作比的
方法来证明()[0,]
f x=+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质，判断下列两个值的大小
（1）
11
66
2,3（2）
33
22
(1),(0)
x x x
+>（3）
22
244
(4),4
a--
+
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
5．课堂练习
画出
2
3
y x
=的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.
6．归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
作业：P92习题2.3 第2、3 题
幂函数教案
教学设计 一、教学过程： （一）教学内容：幂函数概念的引入。 设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。 师生活动： 教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W 千克，老师总共需要花的钱P是多少？ 教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少？ 教师：回答的非常正确。面积S= 2 a. 下面的 问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了？ 教师：对。正方体的体积V= 3 a。第四个问题，
如果已知一个正方形面积等于S，那么这个正方形边长a等于多 少了？ 教师：非常正确。通过前面对指数幂的学习，根式与分数指数幂是可以相互转换的，所以根号下S就等于S 的二分之一次方。那么我们的边长a=12S。最后一个问题，认真 听，某人s t内骑自行车行进了1KM，那他的平均速度v等于多少？ 教师：回答非常正确。因为我们知道v×t=s 所以v=1 =1t 。好，现在我们一起来观察黑板上这五个具体表达 t 式，我们可以看出第一个表达式中P是W的函数，那第二个表达式了？ 教师：非常好，第三个表达式了？ 教师：第四个表达式了？ 教师：第五个了？ 教师：大家回答得非常正确。如果将上面的函数自变量全用x代替，函数值全用y来代替，那么我们可以得到第一个表达式为。。。。。。 教师：第二个表达式？ 教师：第三个表达式？ 教师：第四个表达式？ 教师: 第五个表达式？ 教师：回答的非常好。那现在请同学们仔细观察老师用x，y写成的这五个函数它们有哪些共同特征。等一下请
浅论中专数学的教学策略 发表时间：2014-07-15T17:18:04.060Z 来源：《新疆教育》2014年第2期供稿作者：耿树杰 [导读] 高等数学作为一门重要的基础课程和工具课程,在中职教育中的作用是非常重要的。 河北省邢台现代职业学校耿树杰 摘要：高等数学作为一门重要的基础课程和工具课程,在中职教育中的作用是非常重要的。在认识高等数学在中职学校教学中地位的基础上,分析目前中职学校高等数学教学中存在的问题,并提出相应的教学策略。 关键词：中职学校高等数学教学策略 中职教育的主要任务是培养出既有一定的基础理论又有较强的实践能力的中等专业技术人才。高等数学作为一门重要的基础课程和工具课程，在中职教育中的作用是非常重要的。但是，目前中职学校高等数学教学面临着一些问题，难以满足各方面对高等数学教学提出的越来越高的要求。笔者根据自身多年的一线中职教学实践经验，并结合调查研究，提出目前中职学校高等数学教学存在的一些问题，并给出相应的解决措施。 1、高等数学在中职学校教学中的地位 教育部《全面推进素质教育、深化中职教育教学改革的意见》(教职成[2000]l号文件)明确指出:“中职教育的培养目标是:全面贯彻党的教育方针，转变教育思想，树立以全面素质为基础、以能力为本位的新观念，培养与社会主义现代化建设要求相适应，德智体美等全面发展，具有综合职业能力，在生产、服务、技术和管理第一线工作的高素质劳动者和中初级专门人才。”高等数学是中职学校各种专业课程学习的基础，其教学质量的好坏直接影响中职学生后继课程的学习，直接影响中职学生的学习质量。如何切实搞好中职学校高等数学的教学工作，确保学生数学学习的质量，是每一位中职学校高等数学教师共同面对的课题。 2、中职学校高等数学教学存在的问题 教学系统的4个要素——教师、学生、教学信息和教学媒体是一个有机的整体，均会对教学活动产生影响。笔者将从这4个方面对中职学校高等数学教学存在的问题进行分析。 2.1教师。教师是教学活动的组织者、设计者、合作者，是整个教学过程的主导，教师的素质成为影响教学的关键之一。1)知识结构单一。目前，中职学校的高等数学教师大都出身于师范院校的数学相关专业，掌握了扎实的数学知识和较强的教育教学技能，却缺乏所任教的中职专业知识。高等数学教师的知识结构单一化，无法适应专业化背景下的教学工作，在教学过程中往往无法将数学知识与学生的专业结合起来，从而导致学生知识面狭窄，知识之间不易迁移，不能解决实际问题。2)教学模式陈旧。教师缺少对学生学习的自主性和积极性的关注，“灌输式”“填鸭式”充斥课堂，师生之间基本处于单向传输状态，缺乏情感交流。课堂教学设计缺乏新意，联系学生基础实际和专业实际的教学情境创设不够，缺乏对学生思维能力的培养。“一刀切”的课堂教学很难满足处于不同层次学生的要求，使得学生无法得到全面发展，久而久之，对数学逐渐失去兴趣。 2.2 学生。1)基础薄弱。在我国，高中阶段教育采用普职分流模式，无法升入高中的一些初中毕业生无奈之下选择了中职学校。这些学生数学水平参差不齐，差距较大，普遍基础水平偏低。教师要想在有限的教学时间内完成规定的教学任务，难度较大，教学质量也难以得到保证。2)兴趣丧失。中职生普遍存在这样的想法:到中职学校学习是为了学专业、学技能，毕业后好找工作。在这种想法的主导下，他们对高等数学产生严重的抵触情绪，采取忽视甚至是漠视的态度，提起数学课就头疼，基本上丧失学习数学的信心和兴趣，增加了教学的难度。 2.3教学信息。1)职业特色淡薄。当前，中职学校没有充分发挥其“职业”特色，没有合适的与专业要求相配套的高等数学教材，教学内容没有专业特点，与专业教学严重脱节，这就使得现阶段中职学校高等数学没有发挥其应有的功能。2)专业应用缺失。中职生面临着就业压力，需要具备知识的应用能力和较强的知识迁移能力。然而，目前中职学校高等数学教学仍然是简单的数学概念学习和单调的基本练习，高等数学课和专业课衔接不够紧密，使得学生感受不到学习高等数学的乐趣，无法培养在专业领域内应用高等数学的意识，更无法运用数学的思想和方法去解决实际问题。 2.4教学媒体。部分中职学校教师的教学手段匮乏，除了粉笔、黑板外，没有其他任何的辅助教学媒体，课堂气氛比较沉闷，缺少活力。即使利用辅助媒体，也仅仅是课堂讲义的搬家，考虑不到教学材料的教育性和艺术性。长此以往，师生皆极为倦怠，恶性循环之下，导致教学效率极为低下。 3、中职学校高等数学教学存在问题的对策 3.1树立正确的数学学习观。要从根本上解决上述问题，必须要改变传统的高等数学教学观念，要意识到高等数学是一门基础学科，是学生学习后继专业课程的一个工具。另外，高等数学作为一门基础性、应用性学科，已经渗透到其他学科的各个领域，需要强化对学生的高等数学认知教育，让学生明确学习高等数学的目的，端正学习态度。 3.2提升教师专业素养。教学效果的好与差，同教师素养有很大的关系。教师的素养中，影响最大的是教师的专业素养，具体地说就是与所教学生的专业有关的专业知识。教师只有加强对所任教学生的专业知识的认识，了解并掌握该专业需要的高等数学知识，才能在教学过程中将高等数学知识和专业知识有机地结合起来，体现高等数学的工具性功能。 3.3改革数学教学方法。教师需要认识到教与学是一个有机的整体，需要重视学生在学习过程中的主体地位，积极探索以学生为中心、以技能培养为中心、以就业为中心的教学模式。教师要让学生真正认识到学习高等数学的重要性，调动学生的学习热情和学习兴趣。在教学过程中，教师要尽可能根据不同的需要采取不同的教学方法，如启发式、讨论式等，让学生积极地参与进来，培养学生的综合素质。 3.4实施分层教学。中职学校学生基础普遍较差、数学水平参差不齐。对于不同层次水平的学生应设置不同层次的教学目标，开展分层次教学，因材施教，使不同层次的学生各适其所，实现现有差异的发展，提高全体学生的学习积极性。 3.5选取相关的应用性内容。高等数学教学必须实现以实用为目的，寻找合适的切入点，根据所任教专业的特点和需要适当地调整教学内容的侧重点，将高等数学知识与学生的专业知识相互结合与渗透，满足学生学习专业课的需要，获得最佳的教学效果。 3.6运用恰当的信息技术手段。信息化社会中，教师要具备一定的教育技术能力，学会利用多媒体信息技术图文并茂、声像并举、形象直观的特点为学生创设各种情境，调动学生各种感官参与学习，加深对抽象知识的理解，激发学生的学习动机。 总之，中职学校高等数学教学改革势在必行，任重而道远。中职学校的高等数学教师必须正视中职学校高等数学教学的实际情况。
《幂函数》教学设计 授课班级：高一（8）班 一、教学目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式。 2.结合幂函数y x =，2 y x =，3 y x = ，1 y x = ，1 2y x =的图像，掌握它们的性 质。 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小。 4.结合幂函数的图像，培养直观想象的数学素养。 5.借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养。 二、教学重点：常见幂函数的图像与性质。 教学难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。 三、教学方法：启发式、探究式教学法 四、教学辅助：多媒体课件、几何画板 五、教学过程 （一）复习回顾（课前准备） 1.证明：函数()f x =[0,)+∞上是增函数. 2.证明：函数3()f x x =在[0,)+∞上是增函数. （二）创设情景，引入新课 请同学们观察以下几个具体问题，分析归纳这些问题中的函数有什么共同特征？ 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要支付y = 元； 问题2：如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积y = ； 问题3：如果立方体的边长为x ，那么立方体的体积y = ； 问题4：如果一个正方形场地的面积为x ，那么这个正方形的边长y = ； 问题5：如果某人x s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度 y = /km s 。 （三）概念形成
1、幂函数的概念 幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数。 思考：判断一个函数是幂函数的依据是什么？ 答：底数是自变量x 、指数是常数、系数是1。 2．实践理解： 例1：下列函数为幂函数的是( ) A ．42y x = B ．321y x =- C ．2 y x = D ．2y x = 练习：（1） 已知22 ()(1)m f x m x +=+是幂函数，则m = （2）已知幂函数()y f x =的图象过点，求这个函数的解析式。 （四）常见幂函数的图像与性质 请学生在坐标系内画出下列几个熟悉的幂函数：y x =、2y x =、1y x -=的图象。对于3y x =、12 y x =这两个函数，教师在课前让学生证明他们的单调性，课堂上借助计算机《几何画板》软件，演示它们的图象。 合作探究：观察函数y x =、2 y x =、1 y x -=、3 y x =、12 y x =的图象，将发现的结论填入表格内。
2.3幂函数 一．教学目标： 1．知识技能 （1）理解幂函数的概念； （2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法 类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质. 3．情感、态度、价值观 （1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点 重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具 （1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？ （2）以上问题中的函数有什么共同特征？ 让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方 （4）求算术平方根（5）求－1次方 =，其中x是自变量，α是 2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα 常数. 探究新知 1．幂函数的定义 =（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常一般地，形如y xα 数.
如112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都 是基本初等函数. 2．研究函数的图像 （1）y x = （2）12 y x = （3）2 y x = （4）1 y x -= （5）3 y x = 一．提问：如何画出以上五个函数图像 引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像. . 2
中职数学教学现状及教学策略研究 发表时间：2016-10-11T16:49:13.563Z 来源：《语言文字学》2016年6月作者：何亚章[导读] 在2015年9月，我们对盐亭职业技术学校近600名学生进行了问卷调查。 四川省盐亭职业技术学校 一、中职数学教学现状调查分析 （一）中职学校学生学习数学情况调查分析我们为了更好的了解现在中职在校学生学习数学的情况。在2015年9月，我们对盐亭职业技术学校近600名学生进行了问卷调查。通过问卷我们了解到我校中职学生在数学学习上主要存在的问题如下：1.学生学习数学的方法存在问题 中职学校学生的数学成绩不高主要存在以下几方面：首先，学生数学成绩不佳的主要原因是初中数学基础薄弱；其次，由于学生个人原因缺乏学习数学的能力，这部分学生只会套用基本的数学运算公式做数学习题，而对一些需要思考来解决的数学题望而却步。最后，还有一部分学生为了应付考试，临时死记硬背一些数学题型，一旦考试题型稍有改动便会束手无策。 2.学生学习数学的自觉性较差 通过多年从事中职数学教学，我发现中职的学生与普高的学生不同。首先，中职学生对于学习缺乏自觉性；其次，缺乏在学习主动探求知识的欲望；最后，一些学生存在作业严重抄袭的情况，一些学生根本不完成作业。我们从问卷中得到如下结果：20.8%的学生能够认真复习完成作业，14.4%的学生根本不完成作业也不复习，其余的则是严重抄袭作业，就业班级这种现在更加严重。（二）中职学校数学教师师资状况调查分析中职学校除了升学班级之外，对于就业班级不存在升学的压力，这部分数学教师普遍存在安逸感。虽然中职数学教师毕业于师范院校数学专业，但是他们习惯于普高的数学教学模式，加上中职学生的数学基础薄弱，需要的教学内容不深，使中职数学教师逐渐缺乏科研意识。通过调查我们还了解到学生对教师存在很多意见，如：教师讲课普通话能力差，教师对学生的关注少，教师没有对学生进行课外辅导。 （三）中职学校数学学科现状调查分析 数学学科在中职学校学生必修课中是最基础的公共课，数学课程的主要任务是让学生掌握数学基础知识，让学生掌握相应的相关技能，数学学科能够为学生学习专业知识奠定基础。然而，由于中职学校学生素质存在差异性，加上中职学校只重视专业课程，导致数学学科课时数量逐渐降低。由于专业课程的课时紧，使很多中职学校缩减数学基础章节的课程教学内容。 二、中职数学教学中存在的问题 （一）中职学校生源质量降低 我国高校的扩大招生，国内兴起了普高热，这样直接影响了中职教育，导致中职学校出现了生源数量的减少以及生源素质下降情况。普高录取分数线与中职学校的录取分数线相比较高，因此，中职学校学生的成绩与普高相比存在明显差异。我们对在校的学生进行调查，其中38%的学生很难完整的写出数学公式，21%的学生对于数学公式的用法不怎么熟练，22%的学生能够熟练的掌握数学公式的用法，其余的学生基本对数学完全不懂。中职学生与普高学生相比他们的数学思维逻辑比较弱，原因由于在小学、初中在数学学习中遇到困难开始逃避，导致他们产生厌学逐渐发展到害怕数学课程。（二）中职数学教师对学生重视不够 我们在调查中还发现，中职数学教师对于在校学生了解不深，由于与学生没有良好的沟通，在数学教学过程中对学生要求严格，教师对学生缺乏表扬多以批评教育为主，让自尊心强的学生缺乏应有的自信心，上课不认真使学生对数学这门学科完全失去兴趣。（三）中职数学教学模式缺乏创新 传统数学教学模式存在教条化、统一化、静态化的教学弊端，缺乏对于学生实践能力的培养，在这样的数学教学模式下，没有充分发挥学生的主观能动性。现阶段中职数学普遍的教学计划主要是按照教学大纲制定的，然后根据教师事先制定好的教学思路进行授课，忽视学生在课堂上的主体地位，没有给学生预留独立思考的时间，学生与老师的交流时间少，直接影响了学生学习数学的积极性。 三、中职数学教学中解决策略 （一）明确中职数学教学目标，体现中职数学学科特色中职数学课程要结合中等职业教育的培养要求进行改革，制定符合生源情况的教学目标。中职数学教学课程的教学要兼顾升学与就业，还要兼顾基础性与工具性，真正体现职业教学的学科特色。中职数学教学要具备针对性、目标性、方向性，作为教师应该将数学课程与专业科学相融合，根据学生兴趣和实际要求，有针对性地加强数学教学课程的设置，激发学生的潜能。让学生在校期间能够利用数学所学的知识帮助他们更好的学习专业知识与专业技能。从而实现以课程整合、技能复合、素质全面的中等职业培养目标。（二）确定启发式教学培养目标，提高学生自主创新的能力首先，在数学教学中我们要依照学生的学习规律，运用科学的引导采取启发式教学的方式，激发学生学习数学的兴趣，通过学生积极的学习与思考，将所学的理论知识与实践相结合。其次，在数学教学教学中教师要根据学生的基础与特点的不同，进行有针对性的教学，使学生能够通过不同方式来掌握数学的基本知识，提高学生自主创新的能力。最后，教师主要明确学生的主体地位，在中职数学教学中，教师通过对学生的了解制定具体的教学目标激发学生学习数学的兴趣。（三）利用课程评价体系，综合评价学生的成绩教师通过观察分析学生在数学学习过程中的具体表现，对学生数学知识的理解能力、应用能力、运算能力、解题思路等进行科学的评价。将评价的结果通过简单的方式进行记录，对比分析找出最恰当的评价方式，激励学生更好的学习数学。新的课程评价策略要多样化，将过程性评价与总结性评价相互结合；教师评价、学生互评以及学生自评相互结合；定性评价与定量评价相互结合。使评价贯穿在整个数学教学过程中，这样才能有效促进中职学生全方位发展。（四）结合项目教学方法，设置课程教学方式
一、指数函数 1．形如(0,0)x y a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞． 2.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点(0,1)． 3.当1a >时，函数x y a =单调性为在R 上时增函数； 当01a <<时，函数x y a =单调性是在R 上是减函数． 二、对数函数 1． 对数定义： 一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。 2. 对数的性质： （1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a = 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N ②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ， log e N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N = 要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求 对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。 三、幂函数 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是
§3.3 幂函数 【学习要求】 1.了解幂函数的概念. 2.会画幂函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x － 1,y ＝x 的图象. 3.理解幂函数的性质. 【学法指导】 类比研究指数函数、对数函数的过程与方法,通过五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性,体验由特殊到一般、由具体到抽象的学习方法,进一步渗透数形结合与类比的思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.幂函数的定义:一般地,形如y ＝x α (α∈R)的函数称为幂函数,其中 α 为常数. 2.幂函数的性质:(1)所有的幂函数在 (0,＋∞) 上都有定义,并且图象都过点 (1,1) ; (2)若α>0,则幂函数的图象通过 原点 ,并且在区间 [0,＋∞) 上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸; (3)如果α<0,则幂函数在区间 (0,＋∞) 上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于＋∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 我们知道对于N ＝a b ,N 随b 的变化而变化,我们建立了指数函数y ＝a x ;如果a 一定,b 随N 的变化而变化,我们建立了对数函数y ＝log a x.设想:如果b 一定,N 随a 的变化而变化,是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题. 探究点一 幂函数的概念 问题1：函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝1 x 分别是哪种类型的函数？ 答：分别是一次函数,二次函数,反比例函数. 问题2这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？ 答：幂的底数是自变量,指数是常数,一般形式为y ＝x α. 问题3 函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝1 x 都是幂函数.怎样定义幂函数？ 答：幂函数的定义:一般地,形如y ＝x α (α∈R)的函数叫做幂函数,其中α是常数. 问题4判断一个函数是幂函数的标准是什么？ 答：幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x, 指数为一常数这三个条件时,才是幂函数.如: y ＝3x 2, y ＝(2x)3, y ＝????x 2 4 都不是幂函数. 例1在函数y ＝1 x 2,y ＝2x 2,y ＝x 2＋x,y ＝1中,幂函数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ∵y ＝1x 2＝x － 2,所以是幂函数;y ＝2x 2由于出现系数2,因此不是幂函数;y ＝x 2＋x 是两项和的形式,不是幂函数; 常函数y ＝1不是幂函数. 小结：只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子,才是幂函数,否则就不是. 跟踪训练1已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－ 1＋2n －3是定义域为R 的幂函数,求m,n 的值. 解：由题意得m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0 解得m ＝－3,n ＝3 2 . 探究点二 幂函数的图象和性质 导引为了研究幂函数的性质,如下图,在同一坐标系内作出函数 (1)y ＝x; (2)y ＝x 1 2 ; (3)y ＝x 2; (4)y ＝x － 1; (5)y ＝x 3的图象,思考 下列问题: 问题1你能从这五个具体的函数图象中,发现什么规律？ 答：(1)所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸; (3)如果α<0,则幂函数在区间(0,＋∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于＋∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 问题2函数y ＝x 2与y ＝x 1 2 在第一象限的图象有什么关系？出现这种关系的原因是什么？ 答：函数y ＝x 2与y ＝x 12 在第一象限的图象关于直线y ＝x 对称,因为y ＝x 2与y ＝x 1 2 互为反函数.
中职数学教学策略初探 发表时间：2020-04-02T08:43:27.720Z 来源：《当代教育家》2020年3期作者：王文佳 [导读] 由于新形势下的教学改革，使得每位毕业的初中生都能够接受到高中教育，但是其中一部分同学却由于没有达到理想的成绩而成为了中职学生。 诸暨技师学院 311800 摘要：由于新形势下的教学改革，使得每位毕业的初中生都能够接受到高中教育，但是其中一部分同学却由于没有达到理想的成绩而成为了中职学生。对于这一部分同学们来说，因为他们的基础较差，如果想要让他们接受到更好的数学教育，那么就应该首先建立明确的学习目标，找到适合自己的学习方法，这样才能推进职业教育的发展，培养同学们的综合素质。 关键词：中职数学；数学教学；策略探究 引言： 对于中职学校的同学们来说，他们由于进入学校的初衷各不相同，因此学习数学的基础与能力也参差不齐，甚至可以说他们大部分同学都是问题学生。因此，在教学过程当中就应该减少同学们对老师的依赖性，让他们能够真正的爱上数学这一学科，在以后的学习过程中成功的化被动为主动。虽然职高数学的难度已经相比普通高中数学有了较大幅度的降低，但是由于数学特有的逻辑性和抽象性导致同学们在学习的过程当中仍然感觉到十分困难。根据这一现状，教师就应该针对同学们之间存在的个体性差异而制定不同的教学方法，只有提高课堂教学的有效性，才能够使同学们提升对于数学学习的兴趣，构建合理教学策略的同时，提升同学们的认知水平，使同学们多多参与课堂活动。 一、利用创设情境的方法，激发同学们的学习兴趣 当下，无论学习还是对于同学们的教学都并非一日之功，而对于中职的学生们来说，最重要的一点就是提升他们对于数学学习的兴趣，因为兴趣是最好的老师。因此，在教学的起始阶段，教师就应该通过课前导学给同学们一个精彩的起点，这样才能真正吸引他们的注意力，让他们在充满好奇心的情况下进行主动的探索和学习。因此就可以在课堂教学的过程当中引入情境创设，在课堂上激起同学们浓厚的学习兴趣，利用这种新奇的教学方法可以更加切合学生实际，激起他们对于理论知识的感知。如果能够在上课过程当中将理论知识与实际生活进行有机的整合，那么就能够利用同学们熟悉的场景，就地取材，然后他们在生活当中也学会深入观察和展开想象，了解到数学对于实际生活的实用性，对课堂教学也可以起到显著的效果。 例如，在学习点到直线距离公式这一课时，教师就可以利用丰富多彩的多媒体技术为同学们创设情景，因为多媒体技术不同于其他的教学方法，多媒体可以利用视频或者图片的方式将所学的内容更加具体的展现出来。这样就可以充分的调动同学们视觉和听觉，在抛出问题之前，成功的吸引同学们的注意力，激发同学们学习兴趣的同时，也能够创设更加积极的学习氛围，引发同学们展开广泛的讨论，进而引出本节课的学习内容。 利用课堂导入的方法可以贴切又生动的将生活实例融入教学课堂，不仅能够让同学们感受到数学的魅力，还能够加强数学知识的生活化，只有能够让同学们将学习到的知识运用在实际生活当中做到学以致用，才能够在以后的学习中学会举一反三，掌握更加合理的学习方法。 二、算法探究层层递进 为了能够让教学的内容更加符合同学们的实际能力，教师就应该在日常的教学当中学会观察学生，根据每位同学的差异而制定不同的教学模式，而在教学的过程当中，教师也应该学会渐进的传递知识，只有循序渐进，才能够让同学们加深对于所学理论知识的理解，真正的将所学的内容内化为自己的能力。职高的同学们对于坐标系和方程等等已经有了初步的认识，因此在进行进一步的教学之前就应该先让同学们学会温故而知新，这样才能使学习数学的思维更加成熟。但是由于大部分的同学都具有较差的基础，如果想让他们更好的进行知识迁移和拓展，那么教师就应该在课堂上充分尊重同学们的主体性，不应该只是运用一味的灌输式教学模式，更多的是进行正确的引导，这样不仅能够让同学们明白数学各个章节之间存在的层层递进关系，还能拉近师生之间的距离，更好的提升同学们的思维能力。 例如，在学习有关直线方程这一课时，教师就可以在课前为同学们设定相应的教学任务，让同学们讨论等式当中存在的未知数都应该怎样求得，在同学们得出相应的结论之后，教师再进行进一步的引导，这种教学方式不仅能够使同学们得出正确的结论，还能够让他们在探索的过程当中体验到解决问题的成就感，顺其自然地完成本节课的理论知识学习。 三、培养学生良好的学习习惯 在数学的学习过程中，如果同学们可以根据已有的知识和经验构建起属于自己的理论知识体系，那么就可以不断地丰富和建立新的认知结构，形成属于自己的知识网络。而完成这一目标的前提，就是需要同学们具有良好的学习习惯，只有在教师的指导下发现自己所学内
中职数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 4．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 6.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2- =处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若 []q p a b x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 7.一元二次方程的实根分布 8充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 9.函数的单调性 (1)任取 []2121,,,x x b a x x ≠∈那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 10.如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 11．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函
2.3幂函数教学设计 教材分析： 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。 教学目标 知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想. 过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析 情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。 重难点 重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质 难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律 教学方法与手段 借助多媒体，探究+反思+总结 教学基本流程 从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→应用举例和课堂练习→小结与作业 教学过程设计： （一）实例观察，引入新课 (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里 p是w的函数；
中职数学基础知识汇总 预备知识： 1.完全平方和（差）公式： (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b)2 =a 2 -2ab+b 2 2.平方差公式： a 2 -b 2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式： a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、N +（正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“í” “”“=”“í/”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）{|}A B x x A x B =挝 且：A 与B 的公共元素组成的集合 （2）{|}A B x x A x B =挝 或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次） 。 （3）A C U ：U 中元素去掉 A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：= ()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B = 6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件:p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论 如果p ?q ，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件. 如果p ?q ，那么p 是q 的充要条件 第二章 不等式 1. 不等式的基本性质：（略） 注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！！ （3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式： （1）ab b a 22 2 ≥+，当且仅当b a =时，等号成立。 （2）),(2+∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。 （3） 注： 2 b a +（算术平均数）≥a b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：
浅议信息技术下的中职数学教学策略 摘要：众所周知，数学是一门逻辑性和抽象性较强的学科，也是中职教育的重 点和难点。当前很多中职学生认为学习数学有一定难度，再加上数学教师采取的 教学方法过于单一沉闷，长此以往必然会消磨学生学习数学的兴趣，进而影响数 学的教学效率。信息技术的出现无疑会改变传统教学方式，有利于中职数学课堂 朝着多元化方向发展，在激发学生学习兴趣的同时提高教学质量。对此，本文则 从改变传统数学教学观念、开展多元课堂教学模式以及发挥信息技术多种功能等 方面分析种信息技术背景下中职数学教学策略，望给予数学教师提供教学参考。 关键词：中职数学信息技术教学策略 数学学科属于一门基础知识学科，研究空间、变化、结构、信息、数量等概念，在形成人们认识世界的思想态度和完善人的教育活动以及推动社会发展等方 面有着积极的促进作用。信息技术的出现无疑为中职数学课堂教学提供最佳途径，进一步提高数学教学效率。 一、改变传统数学教学观念激发学生学习兴趣 很多学科都十分强调培养学生核心素养和关键能力，从而更好地满足社会发 展需求。中职数学也毫不例外，应结合学生实际情况寻求可以激发学生学习兴趣 的教学方式。中职数学教师应改变传统教学理念和教学方式，充分借助几何画板 或课件等形式让学生开展数学实验。通过实验教学增强学生动手操作能力，启发 思维，引导学生学会探究、观察、猜想和推理，在数学知识的再发现和再创造中 理解和体验数学，对未来综合发展有着重要的现实意义。在数学实验中应用几何 画板可以帮助学生在动态中对结构关系和数量变化关系进行观察和探索，从传统 的听数学转为做数学。运用图形求解一元二次不等式的解，教师可让学生运用几 何画板开展实验，即通过鼠标推动一元二次函数图形观察图形形态的实时变化， 学生可以直观清晰地看到一元二次函数坐标轴和图形之间的关系，并能从图形中 得出一元二次不等式的解决方法，这样完全打破了以往教师占据课堂主体地位的 教学方式，学生也能多方面掌握不等式求解知识。此外还可借助信息技术和专业 课和数学课程相整合，尤其数学课程具有较强的工具性特点且和专业知识结合也 十分紧密。在专业课中普遍会运用数学知识分析和解决实际问题， 正因为数学学科的特点，以致于在学习数学中会涉及较多计算和验算过程。 多数学生对繁琐的计算步骤都较为抗拒。以函数一课为例，教师就可引导学生运 用Excel中附带的函数计算功能解决问题，这种方式不仅可以加快学生求解问题 的速度，更能有效扩展数学课堂容量。 二、开展多元课堂教学模式突破数学重点难点 大部分数学内容都较为抽象，如果教师一味地为学生传授知识，十分容易使 学生感到烦闷枯燥，长期以往必然会丧失学习数学的兴趣。对此教师可充分应用Flash、PPT等软件制作数学课件，以新颖的形式和整洁的版面激发学生的学习兴趣，充实课堂教学信息量，提高教学效率的同时增强学生自学能力。以“指数与对数函数”一课为例，数学教师在传统过程中只在黑板上演示教材中的重点图形，但对于中职学生而言，基础知识较为薄弱，面对抽象性和逻辑性较强的数学知识自 然会感觉到困难。对此，教师可以引入微课模式，即将该章节所有重点和难点录 制成10~15min小视频，视频中可以明确展示指数函数和对数函数的图像和知识点，这样学生就能在清晰直观的视频中掌握知识，更能激发学习兴趣。与此同时，中职数学教师在以往教学中惯性运用口述形式讲述和数学有关的小故事，这种方
《幂函数》教案 教学目标 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函 数的图象和性质． 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 教学过程 环节 教学内容设计 师生双边互动 创设情境 组织探究 尝试练习 巩固反思 作业回馈 课外活动 问题引入． 幂函数的图象和性质． 幂函数性质的初步应用． 复述幂函数的图象规律及性质． 幂函数性质的初步应用． 利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律．
创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列 问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4） 开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx y= 的函数，其中x是自变量，是α常数． 生：独立思考完成引 例． 师：引导学生分析归纳 概括得出结论． 师生：共同辨析这种新 函数与指数函数的异 同． 组织探究 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 α x y=) (R a∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y=；（2）2 1 x y=；（3）2x y=； （4）1- =x y；（5）3x y=． [解] ○1列表（略） ○2图象 师：说明： 幂函数的定义来 自于实践，它同指数函 数、对数函数一样，也 是基本初等函数，同样 也是一种“形式定义” 的函数，引导学生注意 辨析． 生：利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象，观察所 图象，体会幂函数的变 化规律． 师：引导学生应用画函 数的性质画图象，如： 定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画 图象易犯的错误． 环节教学内容设计师生双边互动
指数函数与对数函数 一、实数指数幂 1、实数指数幂：如果x n =a （n ∈N +且n ＞1），则称x 为a 的n 次方根。当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a 的n 次方根只有一个，记作n a 。当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，分别记作n a ，－n a 。它们可以写成±n a 的形式。负数没有 （填“奇”或“偶”）次方根。 例：填空： （1）、（38）3= ；（38-）3= 。 （2）33 8= ；33)8(-= 。 （3）、44 5= ；44)5(-= 。 巩固练习： 1、将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）3 2a （2）5 3-b （b ≠0） 2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1）5 2 a （2）3 5 1 a （a ≠0） 3、求下列幂的值： （1）、（-5）0； （2）、（a-b ）0； (3)、2-1； （4）、（47）4。 2、实数指数幂的运算法则 ①、β α a a ?＝β α+a ②、βαa a ＝β α-a ③、β α)(a ＝αβ a ④、α )(ab ＝α α b a ? ⑤、α)(b a ＝αα b a 例1：求下列各式的值： ⑴、2 1100 ⑵、3 2 8- ⑶3 23 188? 例2：化简下列各式： ⑴、3a a ⑵、633333??
巩固练习：1、求下列各式的值： ⑴、4 33 162 ?- ⑵、4482? ⑶553 25.042 ??- 2、化简下列各式： ⑴2 )3(-x ⑵232)(-y x ⑶203 53 2a a a a ???-（a ≠0） 二、幂函数 1、幂函数：形如α x y =（α∈Ｒ，α≠0）的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数。 例1、判断下列函数是否是幂函数： ⑴、y ＝4x ⑵、y ＝3 -x ⑶、y ＝2 1 x ⑷、y ＝x 2 ⑸、s ＝4t ⑹、y ＝x x ++2) 1( ⑺、y ＝2 x +2x+1 巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域： ⑴、y ＝x ；⑵、y ＝2 1x ；⑶y ＝1 -x ； ⑷y ＝2 x ；⑸y ＝41-x 。 o x 1 1 y y ＝x y=x -1 y=x 2