平面的基本性质
陈仓高中齐小龙教材分析
这篇案例是在初中平面几何知识的基础上进一步研究平面的基本性质．平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，这节课既是立体几何的开头课，又是基础课，学生对本节内容理解和掌握得如何，是能否学好立体几何的关键之一．这节课的教学重点是平面的基本性质，难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言．
教学目标
1. 在引导学生观察思考生活中的实例、实物模型等的基础上，总结和归纳出平面的基本性质，初步学会用数学的眼光去认识和感受现实的三维空间．
2. 会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题，提高学生的逻辑推理能力．
3. 通过画图和识图，逐步培养学生的空间想象能力，使学生在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念．
任务分析
这节课是立体几何学习的基础，但学生空间立体感还不强．为此，教学时要充分联系生活中的实例，如自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的直尺去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面的关系等．通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力．当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象．
教学设计
一、问题情景
1. 利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的．
2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？
3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一个公共点？
（利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与直尺、有一个脚撑的自行车、矩形硬纸与讲台面及相应的问题．与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活跃课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题）
二、建立模型
1. 探究公理
（1）问题1的探究
教师提出问题，引发学生思考：
如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢？
（把直尺放在物体表面的各个方向上，如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙，就可判断物体表面是平的）
教师点拔：这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法．如果物体表面是平的，把直尺边缘无论如何放在平面上，则边缘与平面都没有缝隙，也就是说，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．由此，可以归纳出公理1．
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（如图14-1）．
这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．这一性质是平面的主要特征．弯曲的面就不是处处具有这种性质．
教师进一步分析：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．把点作为基本元素，直线、平面即为“点的集合”，这样：
点A在直线a上，记作A∈a；
点A在直线a外，记作A a；
点A在平面α内，记作A∈α；
点A在平面α外，记作Aα；
直线a在平面α内，记作aα；
直线a在平面α外，记作aα．
公理1用集合符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则有ａα．
例：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内．
注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”．通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯．
练习：判断下列命题的真假
①如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点．
②过一条直线的平面有无数多个．
③与一个平面没有公共点的直线不存在．
④如果线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a．
（2）问题2的探究
教师提出问题，引发学生思考：
自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？
（因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上，而且为了站稳，前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不共线，因此我们可以推测：过不共线的三点有且只有一个平面）
教师演示：用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点（如图14-2），当把作为平面的硬纸板放在上面时，这张作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，硬纸板所在平面就不能确定了，正如同刚才的发现：过不共线的三点有且只有一个平面．
公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（如图14-3）
公理2也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面．
教师演示课件：在空间给定不共线的三点A，B，C（如图14-4），作直线AB，BC，CA，再在直线BC，CA，AB上分别取动点P，Q，R，作直线AP，BQ，CR，让P，Q，R 分别在直线BC，CA，AB上运动，我们可以看到这些直线“编织”成一个平面．
教师出示问题：试举出一个应用公理2的实例．
（例如，一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）
（3）问题3的探究
教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？
（不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线）
教师点拔：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．这个实例说明了平面具有如下性质．
公理3如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．（如图14-5）
公理3的数学符号语言：
P∈α，P∈βα∩β＝a，P∈a．
教师进一步概括：为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指两个不重合的平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫作这两个平面的交线．由公理３可见，两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线上的每一个点都是两平面的公共点．
练习：判断下列命题的真假．
①如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上．
②两个平面的公共点的集合可能是一条线段．
2. 推出结论
教师明晰：由于两点确定一条直线，根据公理2容易得出如下推论：
推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
已知：点A，直线a，A a．（如图14-6）
求证：过点A和直线a可以确定一个平面．
分析：“确定一个平面”包含两层意思：一是存在，二是唯一．这两层都应证明．
（说明：这个证明可以由教师引导学生一起分析完成，但步骤教师一定要板书）
证明：存在性．
因为A a，在a上任取两点B，C，
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理2）
因为B∈α，C∈α，
所以a∈α．（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面α．唯一性．如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么Ａ∈β，ａβ，
因为B∈ａ，C∈ａ，
所以B∈β，B∈β．（公理1）
故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．
所以平面α和平面β重合．（公理2）
所以经过点A和直线ａ有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．
类似地可以得出下面两个推论：
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图14-7）
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图14-8）
三、解释应用
［例题］
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图14-9）
已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法1：因为AB∩AC＝A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BCα．（公理1）
因此，直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
证法2：因为A直线BC，
所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）
因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．
故ABα，
同理ACα，
所以AB，AC，BC共面．
证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理2）
因为A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1）
同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面．
思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？
（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）
［练习］
1. 三角形、梯形是平面图形吗？
2. 已知：平面α外有一个△ABC，并且△ABC三条边所在的直线分别与平面α交于三个点P，Q，R．求证P，Q，R三点共线．
四、拓展延伸
1. 四条直线两两相交且不过同一点，这四条直线是否一定共面？
2. 两个平面最多可以把空间分成几个部分？三个平面呢？四个平面呢？
点评
这篇案例在教师指导下，从现实生活中选择和确定问题进行研究，以类似科学家探究的方式使学生主动地解决问题，获取知识，应用知识，并在探究过程中充分利用模型、进行数学实验等多种渠道．在问题探究的过程中，学生的空间想象能力、动手能力、解题能力等得到了提高．
这篇案例充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生参与到问题的探究中，让学生成为“演员”，变成主角，成为解决问题的决策者，而教师只是充当配角．这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题．
平面的基本性质(一) 教学目的： 1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2理解平面的无限延展性 3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性 教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用 9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 教学过程： 一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形 当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？ 二、讲解新课： 1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
§1.2.1平面的基本性质 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）借助生活中的实物，学生对平面产生感性的认识； （2）掌握平面的表示法，认识水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 通过师生的共同讨论，学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：（1）平面的概念及表示； （2）平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 （1）学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 （2）教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、授课类型：新授课 五、教学过程 （一）创设引入情景 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗？ 平面的含义是什么呢？ （二）建立模型 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中，怎样画直线？一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平 放置的平面画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长”。（如图）： 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D C B A α β β
1.2.1节平面的基本性质（一） 学习目标: 初步了解平面的概念；了解平面的基本性质（公理3 1 ）；能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题． 重点难点: 正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质. 一、课前预习 1. 直线的特征：______,________,_________ 直线的画法： 直线的表示方法：平面的特征：______,________,________ 平面的画法 平面的表示方法： 2．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：点与直线的位置关系： 点与平面的位置关系： 直线与平面的位置关系： 3．平面的基本性质： 公理1：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为： 公理2：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为： 公理3：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为：
二、课堂研讨 例1. 按照给出的要求，完成两个相交平面作图，线段AB 是两个平面的交线 例2．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 A 1C 1，A 1 B 1，B 1 C 1，分别记作γβα,,，试用适当的符号填空． 111____,___)4(BB B A ==γββα γβα________,______,_____)5(11111B A BB B A 例3.已知：Q BC R AC P AB ABC =?=?=??αααα,，外，在平面 求证：P,Q,R 三点共线。 ,_______)1(1αA α_______1B ,_______)2(1γB γ_______1C ,_______)3(1βA β_______1D P A B C R Q α
1.2.1 平面的基本性质 一、填空题 1．下列命题： ①书桌面是平面； ②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m，宽是20 m； ④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为________． 2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条． 4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)． ①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β； ②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN； ③A∈α，A∈β?α∩β＝A； ④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合． 5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号) ①两条直线；②一点和一直线； ③一个三角形；④三个点． 6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个． 7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上． (1)AD/∈α，a?α________． (2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________． (3)a?α，a∩α＝A________． (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________． 8．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________． 9．下列四个命题： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面； ④在空间两两相交的三条直线必共面． 其中正确命题的序号是________． 二、解答题 10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
平面的基本性质（一） 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的． 1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法． 3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法． 4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述． （二）能力训练点 1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力． 3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．
1．2.1平面的基本性质 基础巩固 知识点一平面的概念及符号表示 1．下列说法中，正确的有________(填序号)． ①一个平面长4 m，宽2 m； ②2个平面重叠在一起比一个平面厚； ③一个平面的面积是25 cm2； ④一条直线的长度比一个平面的长度大； ⑤圆和平行四边形都可以表示平面． 解析：根据平面定义，前4个说法均不正确，⑤正确． 答案：⑤ 2．点M在直线a上，且直线a在平面α内，可记为________． 解析：点、线、面的关系采用集合中的符号来记． 答案：M∈a?α 3．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CDα，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F AB. 由题意画图形如下：
知识点二平面基本性质三条公理 4．平面α、β有公共点A，则α、β有________个公共点． 解析：根据公理2. 答案：无数 5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D ，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过点________． 解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上． 答案：C和D 6．空间任意四点可以确定________个平面． 解析：若四点共线，可确定无数个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面． 答案：1个或4个或无数． 知识点三平面基本性质三条推论 7．下列命题说法正确的是________(填序号)． ①空间中不同三点确定一个平面； ②空间中两两相交的三条直线确定一个平面； ③一条直线和一个点能确定一个平面； ④梯形一定是平面图形．
1.2.1 平面的基本性质与推论 典题精讲 例1根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系. 图1-2-1-4 图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 思路解析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出. 答案：图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为: α∩β=AB,aα,bβ,a∥AB,b∥AB. 图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B MN,C MN. 绿色通道：熟练掌握图形、文字、符号三者之间的相互转化是学习立体几何的基本要求之一.要正确解决此类问题需要从两个方面入手:一是从观察图形方面,可以联想图形对应的实物情形;二是正确理解对应符号的含义,可以结合集合的含义加以理解. 变式训练1(1)观察下面的三个图形,说出它们有何异同; (2)用虚线画出图1-2-1-5(4)正方体和图1-2-1-5(5)三棱锥中被遮挡的棱,完成图形. 图1-2-1-5 思路解析：要注意不同侧面观察出的结果是不同的,可以结合实物加以理解. 答案：(1)图(1)可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图；图(2)是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图(3)是MN凹在里面的一个空间图形的直观图. (2)补充后如图1-2-1-6: 图1-2-1-6
资源信息表
（3）平面及其基本性质 ——三个公理三个推论的应用 上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析 本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课 的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个 公理三个推论进行证明. 公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线. 它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公 共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公 共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是 这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把 空间问题转化为平面问题的条件. 二、教学目标设计
理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点 利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题 四、教学流程设计 五、教学过程设计 （一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α? C 、AB α? D 、AB C α?= 2）判断 ①若直线a 与平面α有公共点，则称a α?. （×）
②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形. B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形. C 、三条互相平行的直线一定共面. D 、梯形是平面图形. 4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分. （二）证明 1、共面问题 例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上. 证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ?=?=?=?= l 3 l 2 B C l 1 A
立体几何平面的基本性质 一、知识点： 1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等 3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形 符号语言 文字语言（读法） 图形 符号语言 文字语言（读法） A a A a ∈点A 在直线a 上 a α a α? 直线a 在平面α内 A a A a ?点A 不在直线a 上 a αa α=?I 直线a 与平面α无公共点 A αA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点A A αA α?点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点 l αβ=I 平面α、β相交于直线l α?a （平面α外的直线a ）表示a α=?I （a αP ）或a A α=I 4 平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈????∈?． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式：A l A ααββ∈??=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． B A α
第7课时平面的基本性质（三） 教学目标： 使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。 教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。 教学过程： 一、复习回顾： 三个公理及推论；各个公理及推论的作用。 二、新课讨论： 例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面. ［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”. 分析：两两相交，是说每两条直线都相交. 此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？ ［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）. ［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？ ［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内. ［师］生丁所述有道理吗？ ［生］有道理，完全正确. ［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程. 证明：∵AB、AC相交， ∴AB、AC确定一个平面，设为α ∵B∈AB,C∈AC ∴B∈α，C∈α ∴BC α 因此AB、AC、BC都在平面α内. 即AB、AC、BC共面. 注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行. ［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？ ［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.
§1.2.1 平面的基本性质(2) 教学目标： 1．了解推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象． 2．初步学习立体几何中的证明． 教学重点： 三个推论的理解和应用． 教学难点： 推论的正确理解和正确应用． 教学过程： 1．复习引入 复习：回顾平面的基本性质的三个公理：公理1、公理2、公理3． 问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么， ○ 1一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ○ 2两条相交直线呢？ ○ 3两条平行直线呢？ 为什么？ 推论1： 推论2： 推论3： 3．例题讲解 例1．已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈?，求证：直线,,AD BD CD 共面。 练习：（1）求证：两两相交且不过同一点的三条直线共面。 （2）已知：平面AB D ∩平面BCD=BD ，AE AB = CH BC = 13 ,AF AD = CG CD = 12 求证：BD 、EF 、GH 共点。 例2．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。 A B C D l α A B C D E H F G
变式：若l α β=，,A B α∈，C β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。 4．练习 (1)若空间三个平面两两相交，则它们的交线有 条； (2)四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有 个； (3)给出下列四个命题：○1若空间四点不共面，则其中无三点共线；○2若直线l 上有一点在平面α外，则l 在α外；○3若直线,,a b c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面；○4两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是__________． (4)在正方体1111ABCD A B C D -中，○ 11AA 与1CC 能够确定一个平面？ ○2点1,,B C D 能否确定一个平面？ ○3画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线； ○4P 为棱BC 的中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与正方体表面的交线。 A 1A 1B 1C A C B A D C C 1 D 1 B 1 A 1
2019-2020年高中数学必修2平面的基本性质(1) 教学目标 （1）了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法； （2）初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化； （3）了解平面的基本性质：公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题． 教学重点 平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质． 教学难点 平面的基本性质及其简单应用． 教学过程 一、问题情境 1．情境：广阔的草原、平静的湖面、长方体的底面、侧面都给我们以平面的形象。 2．问题：在数学世界中，平面到底是什么样的一个概念呢？ 二、学生活动 将平面的概念与直线的概念加以对照，以加深对平面概念的理解。 三、建构数学 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。 思考：①一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成几部分？ ②演示：将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在平面与桌面有多少个公 共点呢？为什么？ 2．平面的画法及其表示方法： ①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍。 ②一般用一个希腊字母、、----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面，平面等。 3．图形语言、符号语言、文字语言的相互转化：
4．平面的基本性质： 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 推理模式：．如图示： 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内。模式：． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。 说明：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。 推理模式：且。如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。如图示： 说明：过不共线三点的平面通常记作“平面”。 推理模式： ,, ,, ,, A B C A B C A B C αα β ? ? ∈? ? ? ∈? 不共线 与重合。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合。 四、数学运用 1．例题： 例1．将下列文字语言转化为符号语言，图形语言：（1）点在平面内，但不在平面内；
第6课时平面的基本性质（二） 教学目标： 使学生进一步掌握平面的画法、表示方法；会用集合符号语言推证简单命题；掌握确定平面的依据。 教学重点：公理的理解与运用。 教学难点：用符号语言推证简单命题。 教学过程： 一、复习巩固： 1、复习公理1、2； 2、将下列命题改写成语言叙述，并判断它们是否正确： ⑴当A∈α，B?α时，线段AB?α； ⑵A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α； ⑶A∈α，A∈β，A∈а，则а=α∩β。 3、如图，△ABC的两边AB、AC分别与平面α交于点D、 E，R若直线BC与平面α交于点F，请画出F的位置。 二、新课讲解： 1、公理3及三个推论： （1）问题：经过一点有几个平面？经过二点、三点、四点？……。（注意“经过”的意思），四边形一定是平面图形吗？ （2）由上述讨论，归纳出 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（或叙述为：不共线的三点确定一个平面）。 强调：⑴“不共线”，⑵这个公理是确定一个平面的依据。 过A、B、C三点的平面又可记为“平面ABC”。 （3）推论： 推论一：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。 从“存在性”和“唯一性”两方面口述证明本推理的正确性，以及和公理3的关系。证明：（1）存在性 点A是直线a外的一点，在a上任取两点B、C，根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有一个平面，设为平面α。 因为点B、C都在平面α内，所以根据公理1，直线a在平面α内，即平面α是经过直线a和点A的平面。 （2）唯一性（反证法） 假设过直线a和点A还有另一个平面β，因为点B、C在直线a上，所以点B、C在平面β内，即不共线的三点A、B、C在平面β内，这样过不共线的三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾，所以过直线a和点A只有一个平面。 由（1）、（2）可知，命题成立。 说明：唯一性问题一般可以用反证法。
1 / 1 §1.2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质与推论 一、基础过关 1． 下列图形中，不一定是平面图形的是 ( ) A ．三角形 B ．菱形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形 2． 空间中，可以确定一个平面的条件是 ( ) A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．一个三角形 D ．三个点 3． 已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 ( ) A ．1条或2条 B ．2条或3条 C ．1条或3条 D ．1条或2条或3条 4． 给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________． 5． 已知α∩β＝m ，a ?α，b ?β，a∩b ＝A ，则直线m 与A 的位置关系用集合符号表示为________． 6． 如图，梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB>CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出 平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由． 7． 空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于 一点． 二、能力提升 8． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 9． 已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是 ( ) A ．A ∈ a ，A ∈ β， B ∈ a ，B ∈ β ? a ? β B ．M ∈ α，M ∈ β，N ∈ α，N ∈ β ? α ∩ β＝MN C ．A ∈ α，A ∈ β ? α ∩ β ＝ A D ．A 、B 、M ∈ α，A 、B 、M ∈ β，且A 、B 、M 不共线?α、β重合 10．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________． 11．如图所示，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ，BC ，DC ，AD(或延长线)分别与平面α相交于E ，F ，G ，H ，求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 三、探究与拓展 12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点． 求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；2)E 、C 、D 1、F 四点共面．
平面的基本性质 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.了解平面基本性质的3个推论, 了解它们各 自的作用. 2.能运用平面的基本性质解决一些简单的问 题. 【课堂互动】 自学评价 1．推论１： . 已知： 求证： 解答：见书22页推论１ 2．推论２： 已知： 求证： 听课随笔
３．推论３： 符号表示： 仿推论1、推论2的证明方法进行证明。 【精典范例】 一、如何证明共面问题． 例1：已知: 如图A ∈l , B ∈l , C ∈l , D l , 求证: 直线AD 、BD 、CD 共面. 解答：见书22页例１ 思维点拔： 简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂ 例2.如图: 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, P 为棱BB 1的中点, 画出由A 1 , C 1 , P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线. 解答：见书2３页例２ 追踪训练一 证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内． 已知： A B D C l α C A 1
求证： 证明： （１）如图，设直线a,b ，c 相交于点 Ｏ，直线d 和a,b ，c 分别交于M,N,P 直线d 和点Ｏ确定平面α，证法如例１ (2) 设直线a,b ，c, d M,N,P,Q,R,G ∵直线a 和b 确定平面α ∴a ∩c=N,b ∩c=Q ∵N,Q 都在平面α内 ∴直线c 平面α，同理直线d 平面α ∴直线a,b ，c, d 共面于α 【选修延伸】 如图, 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E 、F AC ∩BD=P , A 1C 1∩EF=Q , 求证: (1) D 、B 、F 、E 四点共面’ (2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点, 则P 、Q 、R 证明略 C A 1M N o P d α a c b N G P α d c M a b R
2.1.1平面的教学设计 一、教材分析 本节课选自人教版《数学》必修二的2.1.1平面第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。 二、设计思想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题串为导向设计教学情境，以“平面及其基本定理”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 三、教学目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标： 【知识目标】 （1）掌握平面的概念、画法、表示方法； （2）通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面； （3）准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进行共面、共线、共点问题的证明。 【能力目标】 （1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力； （2）通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。 【情感目标】 让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高学生的学习兴趣。 四、教学的重点难点 重点：1、平面的概念及表示方法。 2、平面的基本性质，注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。难点：平面基本性质的掌握与运用。 五、教法与学法 本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。因此， 1、教法上应注意： （1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动了学生主动参与的积极性； （2）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体表现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰地思维、严谨的推理，并 成功地完成书面表达； （3）采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质，以及运用计算机多媒体等教学手段，是学生更容易地理解教学内容。
教学资料范本 【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2 编辑：__________________ 时间：__________________ 1.2.1 平面的基本性质
1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点) 2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理1平面的概念及表示 阅读教材P 21～P 22 公理2以上部分内容，完成下列问题． 1．概念 平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的． 图1－2－1 2．表示 (1)图形表示 平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)． (2)字母表示 平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等． 3．点、线、面位置关系的符号表示 位置关系符号表示 点P在直线AB上P∈AB
点C 不在直线AB 上 C ?AB 点M 在平面AC 内 M ∈平面AC 点A 1不在平面AC 内 A 1?平面AC 直线AB 与直线BC 交于点B AB ∩BC ＝B 直线AB 在平面AC 内 AB ?平面AC 直线AA 1不在平面AC 内 AA 1?平面AC 如果直线a ?平面α，直线b ?平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号) ①l ?α；②l ?α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ?α，b ?α， ∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ?α.故填①. 【答案】 ① 教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 用符号表示为： ? ?? A∈αB∈α?AB ?α. (2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 用符号表示为： ? ?? P∈αP∈β?α∩β＝l 且P ∈l . (3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论 (1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
平面的基本性质及推论 一 教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程： （一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 1、直线与平面的位置关系 2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈, 点A 在平面α内,记作α∈A , 直线a 在平面α内,记作α?a （二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =?βα. （三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四） 问题： (1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内? (2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? (3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页 练习A 、B 小结： 本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题. 2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题. 3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 课后作业：略 平面的基本性质及推论 二 教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用 教学过程：
人教版高中数学 平面的基本性质与推论 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用； 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 会判断异面直线、掌握异面直线的求法； 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系． 一、平面 1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象． 平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法： (1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面： 画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被 遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图） 3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言 空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直 线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示 α B A β α A B α β α βB A A β αB
点、线、面的基本位置关系如下表所示： b A = a α? α=? A α= l β= 二、平面的基本性质 1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： A AB B ααα∈? ???∈? ． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α? 公理1的作用：①判定直线是否在平面内； ②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面． 2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式： A A l A ααββ∈? ?∈=?∈? 如图示： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈ 公理2的作用： (1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．
蓬街私立中学课堂教学教案
教 师 活 动 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式： A A l A ααββ∈? ?∈=?∈? 如图示： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈ 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． 指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线) 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ? ? ∈???∈? 不共线与β重合 或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚 公理3及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法． 22平面图形与空间图形的概念 如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 教 师 活 动