6.1算术平方根
预习案：
1、填空：22= 32= 42=
?2 ?2
62= 12= ?=
?5 ?
2、填表：
正数 3 的平方等于 9，我们把正数 3 叫做 9 的算术平方根.
正数 4 的平方等于 16，我们把正数 4 叫做 16 的算术平方根.
正数的平方等于1，我们把正数叫做1 的算术平方根.
正数6 的平方等于，我们把正数6 叫做的算术平方根.
3、算数平方根定义：一般地，如果一个x 的平方等于a ，即
x2=a，那么这个x 叫做a 的算术平方根。
为了书写方便，我们把a 的算术平方根记作。
4、那么求一个算术平方根的方法有那些呢？
①、根据算术平方根的定义，用的方法。②、用
计算器。（不同品牌的计算器按键顺序有所不同，要参考使用说明书。）
5、思考：
①、一个负数有算术平方根吗？为什么？
②、对于一个正数a ，与0 的大小关系是什么？
a
64 0. 25 100 9 25
32 81 81 4 - y
检测案：
1、 求下列各数的算术平方根：
(1) 49 ；
(2)0.0001.
64
2、填空： (1)因为( )2 =64，所以 64 的算术平方根是 ，即 ＝ ； (2)因为(
)2 =0.25，所以 0.25 的算术平方根是 ，即 ＝
；
3、求下列各式的值： (1) 81 ＝
； (2) ＝ ； (3) 1 ＝ ；
(4)
＝ ；
(5) 0. 01 ＝
；
(6) ＝
.
4、（1）81 的算术平方根是 。 （2） 的值是
。
（3） 的算术平方根是
。
5、某数的算术平方根等于它本身,则这个数为
；若某数的算术平
方根为其相反数,则这个数为
。
8、3x-4 为 25 的算术平方根,求 x 的值.
9、已知 9 的算术平方根为 a,b 的绝对值为 4,求 a-b 的值.
10、已知 2a-1 的算术平方根是 3,3a+b-1 的算术平方根是 4,求 a 、b 的值.
11 x - 4 ,求
xy 的算术平方根.
6.1
平方根
预习案：
1、填空：一般地，如果一个 x 的平方等于 a ，即 x 2
= a ，那
么这个 叫做
a 的算术平方根， a 的算术平方根记作 .
2、填空：
(1) 面积为 16 的正方形，边长＝ ＝ ；
(2)面积为 15 的正方形，边长＝ ≈
（精确到 0.01）.
3、填空：
(1)因为 1.72＝2.89，所以 2.89 的算术平方根等于 ，即 ＝
；
(2)因为 1.732＝2.9929，所以 3 的算术平方根约等于 ，即 ≈
.
4、如果一个正数的平方等于 9，这个正数是多少？( )；如果一个
数的平方等于 9，这个数是多少？和算术平方根的概念类似，因为 32=9， 所以我们把 3 叫做 9 的平方根，同时因为(-3)2=9，所以把－3 也叫做 9 的平方根，也就是 3 和－3 都是 9 的平方根。 x 2 16 36 49
1
4
25
4 9
49 100
81 64
x
± 4
现在，你知道什么是算术平方根了吗？ 6、平方根定义：一般地，如果一个数的 等于
a ，那么这个数叫做a 的平方根或
；即，如果 x 2
= a ，则
叫做
的平方根，
2. 89
3
16 记为
x = ；同时我们把求一个数
a 的 的运算，叫
做
。
7、平方根性质： ①、一个正数有 个平方根，它们 互 ；
②、0 的平方根
是
； ③、负数
平方根。
检测案：
1、求下面各数的平方根： (1)100；
(2)0； (3)－4；
解：(1)因为(±10)2 = 100 ，所以 100 的平方根是＋10 和－10； （2） （3）
2、填空： (1)121 的平方根是 ，121 的算术平方根是 ；
(2) 0.36 的平方根是
，0.36 的算术平方根
是
；
(3)
的平方根是 8 和－8，
的算术平方根是 8；
(4) 3 3
3
的平方根是 和- 5 ，
的算术平方根是 .
5
5
3、判断题：对的画“√”，错的画“×”. (1)、0 的平方根是 0； （
）(2)、－5 的平方是 25；
（ ）
(3)、5 是 25 的一个平方根；（ ）(4)、(- 5)2 的算术平方根是－5.
（ ）
5、 16 的值为多少?16 的平方根为多少? 的平方根呢?
5、如果一个正数的一个平方根为 4,则另一个平方根为多少?
a -510 -2a x
2x -5
x -5 y +1
225 49 81
6、有一长方形花坛,长是宽的 4 倍,其面积为 25m2,求长和宽.
7、若= 7 ，则x =，x 的平方根是
8、若一个数a 的平方根等于它本身，数b 的算术平方根也等于它本身，试求a +b 的平方根。
9、若+ 2 =b + 2 ，求a 、b 的值。
10、如果一个正数的两个平方根为a +1 和2a - 7 ，请你求出这个正数若= 7 ，则x =，x 的平方根是.
平方根复习课
检测案
1、（1）若x + 2 有意义，求x 的取值范围。
（2）若没有意义，求x 的取值范围。
2、已知+ =0，求2x+7y 的值。
3、求下列各数的平方根
（1）324 （2）(-7)2（3）(2a-3b)2（4）
4、求下列各式的值
（1）（2）-
（3）±（4）
16
x
0.64
2x - 6 4
5、已知 有意义，化简∣x -1∣-∣3-x∣
6、解方程
（1）(x -1)2
=36
（2）(x -2)2
- 49 =0
6.2 立方根导学案
预习案：
1、平方根是如何定义的 ? 平方根有哪些性质?
2、问题：要制作一种容积为27m 3 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的
边长应该是
3、思考：(1)
的立方等于-8？
(2)如果上面问题中正方体的体积为5m 3 ，正方体的边长又该是
4、立方根的概念：一般地，如果一个数的
等于
a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。即，如果 x 3
= a ，那么
叫做
的立方
根。记为
x = 。
5、开立方：我们把求一个数的
的运算叫做开立方，
与开立方互为逆运算。 6、立方根的性质
(-9)2
①、正数的立方根是数，负数的立方根是数，0 的立方根
是.
②、思考：每一个数都有立方根吗？一个数有几个立方根呢？
③、平方根与立方根有什么不同？
7、思考：
在立方根的表示中，根指数 3 能否与平方根的表示一样，把 3 省略不写呢？
检测案：
1、判断正误:
（1）、25 的立方根是 5；
（）
（2）、互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；
（）
（3）、任何数的立方根只有一个；
（）
（4）、如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是 1；
（）
（5）、如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零；( ）
（6）、一个数的立方根不是正数就是负数；
（）
3
2 10
27
(3-k ) 3
1+ 2
3 8
（7） 、–64 没有立方根；
（
）
2、求下列各式的值：
（1） 3
64 ；
（2）
（3）
3、求满足下列各式的未知数 x ： （1） x 3
= 0.008
（2） x 3
= 64000
4、已知 x - 2 的平方根是±4 ， 2x - y +12 的立方根是 4，求(x + y )x + y 的值.
5、填空
（1） 一个数的平方等于 64，那么这个数的立方根是
。 （2） 若3 7 - m ＞0，则 m 的取值为
。 3
3
（3）要使
=3-k,那么 k 的取值为 。
（4）解下列方程
①
x 3 = 512 ②
64x 3 -125 = 0
6.3 实数导学案（第 1 课时）
预习案：
1、填空：（有理数的两种分类）
有理数
3
有理数
2、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， - 3 5 ， 47 8 ， 9 ， 11 ，
5 11 9 9 3、①、任何一个有理数都可以写成
小数或
小数的形式。
②、反过来，任何 小数或
小数也都是有理数。
③、 小数叫做无理数。（前面已经学过的= 3.14159265 也是无理
数） ④、
和
统称为实数。
4、请举出一些无理数：
5、①、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的 表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示
，有些表示
；当从有理数扩充
到实数以后，实数与数轴上的点就是 的，即每一个实数都可以用数轴上的 来表示；反过来，数轴上的
都是表示一个实数。 ② 、数a 的相反数是
，这里a 表示任意
。
一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是它
的
；0 的绝对值是
。
8、思考: 实数的大小比较在数轴上是如何体现的？
检测案：
1、把下列各数分别填入相应的集合里：
， ，-3.141， ， 22 - 7 ， - 3
2 ，0.1010010001…，1.414，-
0.020202…， - 3 7 8 3 8 7
2
5 3 - 8 2
3 3
正有理数{ …} 负有理数{ …} 正无理数{ …} 负无理数{
…} 2、下列实数中是无理数的为（
） A. 0
B.
-3.5
C. D.
3、- 的相反数是 ，绝对值是
；
4、绝对值等于 的数是 ， - 7 的平方是
； 5、比较大小： 3.14
1.7
1.4 2
6、求绝对值： =
； -
= ； - 3.14 = 。
7、下列各数中，是无理数的是（ ） A. -1.732
B. 1.414
C. D. 3.14
8、已知四个命题，正确的有（
）
⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数 ⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个
a
3、若实数a 满足 a = -1
，则（
） A. a > 0 B. a < 0
C. a ≥ 0
D. a ≤ 0
6.3 实数导学案（第 2 课时）
预习案：
9 3 3
3 ? 7 ?2
? ? 8 ?
49 64 1、运算律回顾
①、用字母表示有理数的加法交换律和结合律
②、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
③、有理数的混合运算顺序
2、①、数 a 的相反数是 ；
②、一个正实数的绝对值是它 ；一个负实数的绝对值是它的
；0 的绝对值是 。
3、实数之间不仅可以进行 运算，而且正数及 0 可以进行
运算，任意一个实数可以进行
运算。在
进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质 等
。
4、计算下列各式的值：
（1）
( - 2 ) -
（2） 3 + 2
(
)
4
（3） + ? （4）
-
- 7
5、思考： 两个无理数的和、差、积、商还是无理数吗？举例说明。
检测案：
144 3
0.001 0.01 3 2 3
a 2
- 6a + 9 2 2 2 17 ( 17 - a )
2
10 11- 2
1111- 22 111111- 222 11111111- 2222
1、a 、b 是实数，下列命题正确的是（
）
A. a ≠ b ，则a 2 ≠ b 2
B. 若a 2
> b 2
，则a > b
C. 若 a > b ，则a > b
D. 若 a > b
，则a 2 > b 2
2、如果a + = 3 成立，那么实数a 的取值范围是（
）
A. a ≤ 0
B. a ≤ 3
C. a ≥ -3
D. a ≥ 3
3、计算（1）、 + (精确到 0.01) （2）
、 3 ? (保留 3 个有效数字)
( -1)
2
（3）、2 - 3 （4） - + 2 （5）
4、当a > 17 时， - a =
，
=
5、已知a 、b 、c 在数轴上如图，化简 - a + b + + b + c
b
a
O
c
6、 10 在两个连续整数a 和b 之间，即a < < b ，那么
a = 、b
=
；
7、计算下列各题
(1) （2） (3) (4)
解得(1)：3 (2)：33 (3)：333 (4)：3333
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？ 根据这个规律填空：
5 2 2 3 2 a 2 (c - a )2
a 2 3
- a ? ? = 3 3
3 个3
预习案：
1、乘方 ←?
、、、、、
??→ 开方
实数复习导学案
? 开?
平?方→ 平方根 ? 开?
立?方
→
立方根
实数 2、定义
算术平方根的定义： 平方根的定义： 平方根的性质： 立方根的定义： 立方根的性质： 无理数的定义： 实数的定义：
实数与
上的点是一一对应的。
3、几个基本公式：（注意字母 a 的取值范围）
( a )2 = ；
= ； =
；
(3 a )3 = ； =
。 4、分类：
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 实数?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
1 11 11-
2 2 2 2n 个1
n 个2
3 a 3
64 11 a
2
3 a 3
(m -n )2 3 (n -m )3
5、思考：
实数运算中那两种运算属于互逆运算？
检测案：
1、—8 是 的平方根；
64 的平方根是
；
=
；
—64 的立方根是
； =
；
9 的平方根是
。
2、大于- 而小于 的所有整数为
3、若a < 0 ，求
+ 的值；
4、若m < n ，求
+
的值；
5、判断
①.实数不是有理数就是无理数。 （ ） ②.无限小数都是无理数。 （ ） ③.无理数都是无限小数。
（
）
9 17
2 4 9
3 8
4 - x 3 2 2 + 3 2 ④.带根号的数都是无理数。 （ ） ⑤.两个无理数之和一定是无理数。（
）
⑥.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示
有理数。 （
）
⑦.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。 （ ）
6、下列各数中，有理数为 ；无理数
为
。
，， - 5 ， ， 2
， ，0， - ， - ，0.3737737773…
7、 x 取何值时，下列各式有意义
（1） ：
；（2） 3
4 + x ：
；（3）
： 。
8、解方程
2x + 1
x - 2
（1） 9(3 - y )2 = 4 （2） 27(x + 3)3
+ 125 = 0
（3） - 2 + - -
9、已知 ≈ 1.732 ， ≈ 5.477 ， 求（1） ≈
；（2） ≈
；
（3）0.03 的平方根约为 ；（4）若
。
≈ 54.77 ，则 x =
3
2 20
3 5 3
3 30 300 0.3 x
(x - 2)2
16 3 m 3 5 2x -1 1- 2x 10、已知 ≈ 1.442 ， ≈ 3.107 ， 3 300 ≈ 6.694 ， 求（1） ≈
；（2）3000 的立方根约
为 ；
（3） 11、若 12、已知a 、 ≈ 31.07 ，则 x =
。
= 2 - x ，则 x 的取值范围是
。
b 、
c 位置如图所示，
试化简 ：
（1） - a - b + c - a （2）
a +
b -
c + b - 2c +
13、已知5 +
。
11 的小数部分为m , 5 -
的小数部分为n ，则m + n = 14、下列说法正确的是(
)
A 、 的平方根是± 4
B 、-
表示 6 的算术平方根的相反数 C 、 任何数都有平方根 D 、- a 2 一定没有平方根 15、若- = ，则m =
16、若 x + x = 0 ，则 x 的取值范围是
； 3 (4 - x )3
则 x 的取值范围是
。
= 4 - x ，
17、已知 y = 1+ + ，求2x + 3y 的平方根。
3 3 3 30 3
0.3 3 x a 2 (b - c )2
(b - a )2
11 6
18、已知等腰三角形的两边长a,b满足2a - 3b + 5 +(2a + 3b -13)2 = 0 ，求三角形的周。
19、如果一个数的平方根是a +1 和2a - 7 ，求这个数.
a -4
20、已知3 -a +=a ，求a 的值。