第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法
偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数
一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题
对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题
（第六讲）
§2.1 有界弦的自由振动
什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。
定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为
.0 ),(u ),(u 0,
,0u ,0u 0, l,0 ,0
t
0022
222l x x x t t x x
u a t u t t l x x ≤≤==>==><
分析：
1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，
由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。 启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。
由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：
)()(),(t T x X t x u =
的非零解。
将),(t x u 代入方程，可得
)
()
()()()()()()(2'''''
'2
'
'x T a x T x X x X t T x X a t T x X =
?= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。设为λ-，则有
?????=+=+?-==.
0)()(,0)()()()()()( '
'2
'
'2''''x X x X t T a t T x T a x T x X x X λλλ
将边界条件代入),(t x u 得
,0)()()()0(==t T l X t T X
此时，必有
,0)()0(==l X X
这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量 目标：分离变量形式的解)()(),(t T x X t x u =
结果：得到函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程，
.
0)()0(,0)()(''===+l X X x X x X λ
条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的
现在我们求解函数)(x X 满足的常微分方程定解问题。我们发现：方程中含有待定常数λ，定解条件是齐次边界条件，与一般的常微分方程的初值问题不同： 并非对任一的λ，都有既满足齐次方程有满足边界条件的非零解； 只有当λ取某些特定值时，才有既满足方程又满足边界条件的非零解。 有非零解的λ称为该问题的特征值 相应的非零解称特征函数
而)(x X 满足的常微分方程的定解问题称特征值问题。
第二步：求解特征值问题
1) 若0<λ，方程的通解形式为
x
x
Be Ae
x X λλ--
-+=)(
由定解条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。 2) 若0=λ，方程的通解形式为
B Ax x X +=)(
由边界条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。
3) 若0>λ，方程的通解形式为
x B x A x X λλsin cos )(+=
代入边界条件得
??
?
?
?===????==,...3,2,1 ,)(,00sin ,02n l n A l B A πλλ 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数
???
???
?
====,...3,2,1 ,sin )(,...3,2,1 ,)(2n x l n B x X n l
n n n n ππλ 第三步：求特解，并叠加出一般解
求解了特征值问题后，将每特征值n λ代入函数)(t T 满足的方程可得出相应的解
,...3,2,1 ,sin cos
)('
'
=+=n at l
n D at l n C t T n n n ππ 因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的特解
,...)3,2,1( ,sin )sin cos (),(=+=n x l
n at l n D at l n C t x u n n n π
ππ
注：
这样的特解有无穷多个
每个特解都满足齐次方程和齐次边界条件
一般来说，单独任何一个特解不可能恰好满足定解问题的初始条件，即无法
找到n n D C ,满足
)(sin ),(sin
x x l
n l a n D x x l n C n n ψπ
π?π==。 把全部特解叠加起来
,sin )sin cos
(),(1
∑∞
=+=n n n x l
n at l n D at l n C t x u π
ππ 我们知，只要级数收敛，并且二次可微，则),(t x u 也满足齐次边值问题。 下面选择合适的n n D C ,使),(t x u 满足初始条件，即
∑∑∞
=∞
===1
1).(sin ),(sin
n n
n n x x l
n l a n D x x l
n C ψπ
π?π
第四步：运用特征值函数的正交性定叠加系数 事实上，我们知道
???
???
?==?==???∑??∑?∞=∞
=dx l n x a n D dx l n x l C xdx l m x xdx l m x l n l a n D dx l m x xdx l m x l n C l n l n l n l n l n l n 0001
0010sin )(2,sin )(2.sin )(sin sin
,sin )(sin sin πψππ?πψππππ
?ππ
补充内容：f(x)的傅里叶级数
∑∞
=++=10)sin cos (2)(n n n l
x n b l x n a a x f ππ
其中
??
???====??--l l n l l
n n dx l x
n x f l b n dx l x n x f l a )
2,1,0(,sin )(1)2,1,0(,cos )(1 ππ
总结：利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤： 第一步：分离变量
这一步所以能够实现，先决条件使偏微分方程和边界条件都是齐次的。而分离变量的结果是得到含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条件，即特征值问题； 第二步：求解特征值问题；
第三步：求出全部特解，并进一步叠加出一般解（形式解）； 第四步：利用特征函数的正交性确定叠加系数。
（第七讲）
严格来说，上面得到的还是形式解，对于具体问题，还必须验证：
1) 这样得到的),(t x u 是否满足偏微分方程，换句话说，级数解是否可以逐项求二阶导数；
2) 是否满足边界条件，即是否连续； 3) 确定系数时，逐项积分是否合理。
关于上三个问题，都涉及到级数解的收敛性，由于系数n n D C ,都是由
)( )(x x ψ?决定的，因而)( )(x x ψ?的性质就决定了上三个问题的回答。可以证明
若 )(x ?三次可微，)( x ψ二次可微，0)()0()()0()()0(''''======l l l ψψ????，则问题解存在，且此解可用上面的级数形式给出（见复旦大学《数学物理方程》）。
从理论上讲，分离变量法之所以成功，要取决于下列几个条件： 1) 特征值问题有解；
2) 定解问题的解一定可以按照特征值函数展开，也既是说，特征值函数是完备
的；
3) 特征值函数一定具有正交性。 以后适当回答这些问题。
解的物理意义 先看特解
x
l
n t A x l
n at l n D at l n C t x u n n n n n n π
θωπππsin )cos( sin )sin cos
(),(-=+=
其中n
n n n
n C D l a
n D C A arctan , ,n n 2
2==+=θπω。 ),(t x u n 代表一个驻波
驻波：频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。波
在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。
x l
n A n π
sin
表示弦上各点的振幅分布 n ω是振动的固有频率，称为弦的固有频率或特征（本征）频率 n θ为初相位，由初始条件决定
在n m n
lm
x lm a n ,...2,1,0 ,==
=即ππ的各点上，
振动振幅恒为零，称为波节（节点），包含两个端点共有1+n 个节点
在1,...2,1,0 21
2l ,212－＋即＋n m n
m x m l a n ===ππ的各点上，振幅绝对值恒为最大，称为波峰（腹点），共有n 个
满足定解问题的级数解则是这些驻波的叠加，因此也称分离变量法为驻波法
就两端点固定的弦来说，固有频率中有一最小值，即l a
πω=1，称为基频，其他频率
都是其倍数，称为倍频。
实际例子：
● 弦的基频决定了声音的音调。在弦乐器中，当弦的质料一定时，可以通
过改变弦的绷紧程度，调解1ω的大小。
● n n D C ,的相对大小，决定了声音的频谱分布，即决定了音色。
● 和数∑+][2
22n n D C n 与弦的能量成正比，决定了声音的强度。
分离变量法举例
例题 1. 有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为
1000
)
10()(x x x -=?，求弦作微小横振动的位移。
解：设位移为),(t x u ，它的定解问题
.100 ,0u ,1000
)
10(u 0,
,0u ,0u 0, ,010 ,0
t
010022
222≤≤=-=
>==><
u a t u t t x x
的解。给定100002=a ，显然，这个问题的傅立叶级数解可由
sin )sin cos
(),(1∑∞
=+=n n n x l
n at l n D at l n C t x u πππ 给出，其系数为
?????=-=-===??为奇数。，当为偶数，当n 54
n
0, )cos 1(52
sin 5000)10(sin )(2,
03
3331000π
ππ
π
π?n n n xdx
l
n x x dx x l n x l C D l n n
因此，所求的解为
10)12(sin )12(10cos 12154
),(03
3∑∞
=+++=
n x n t n n t x u π
ππ）（
例题2. 解定解问题
.0 ,0u ,2u 0,
,0x u
,0u 0, ,0 ,0
t
2002
2
222l x lx x t t l x x u a t u t t l
x x ≤≤=-=>=??=><
解：运用分离变量可得
)()(,0)()('
'2''=+=+x X x X t T a t T λλ
将边界条件代入可得
.0)( ,0)0('==l X X
相应的特征值问题
.
0)( ,0)0(,0)()('
''===+l X X x X x X λ
重复前面的解法，知当0>λ时，特征值问题有解，此时通解形式为
x B x A x X λλsin cos )(+=
代入边界条件得
??
???=???
??+==????==,...)2,1,0( ,212,
00cos ,02
n l n A l B A πλλλ 从而求得一系列特征值和特征函数
,...)
2,1,0( ,21
2sin )(,...)
2,1,0( ,2122
=+==???
??+=n x l
n B x X n l n n n n ππλ
与这些特征值相对应得0)()(2
'
'=+t T a t T λ的通解表示为
at l
n D at l n C t T n n n 2)12(sin 2)12(cos )('
'
ππ+++= 于是，所求定解问题的形式解可表示为
,2)12(sin )2)12(sin 2)12(cos
(),(0
∑∞
=++++=n n n x l
n at l n D at l n C t x u πππ 利用初始条件确定其中的系数得
,
)12(322)12(sin )2(20
3
32
02ππ+-=+-==?n l xdx l n lx x l C D l n n
故所求的解为
,2)12(sin 2)12(cos )
12(132),(03
3
2
∑∞
=+++-
=n x l n at l n n l t x u π
ππ
（第八讲）
§2.2 有限杆上的热传导
定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题：
.0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002
2
2l x x t x u
t x x u a t u t l
x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===?
仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得
?????=+=+?-==.
0)()(,0)()()
()()()( 2
'
'22'2
2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ
从而可得通解
x B x A x X ββsin cos )(+=
由边界条件知
.0)()(,0)0('=+=l hX l X X
从而
??
???-=?=+=.tan 0sin cos ,
0h l l h l A βββββ 令
αγ
γαβγ=?-
==tan 1
,hl l
上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根
,,21n γγγ
于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...)(n ,2
2
2==
l
n n
γβ
及相应的特征函数
x B x X n n n βsin )(=
再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得
t a n n n e A t T 2
2)(β-=，
从而我们得到满足边界条件的一组特解
x e
C t x u n t
a n n n ββsin ),(22-=
由于方程和边界条件是齐次的，所以
∑∞
=-=1
sin ),(2
2n n t a n x e C t x u n ββ
仍满足此方程和边界条件。
下面研究一下其是否满足初始条件。
)(sin 1
x x C
n n n
?β=∑∞
=
可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即
?≠=l
m n
xdx x 0
n m ,0sin sin ββ
证明：
)
)((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( )
(2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(21sin sin 00=+---
=+-+---+=++-
--=--+-=??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n
m n m n m n m n l
m n m n l
m n l
l l l l
l l
l dx
x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ
完成。
令
?=l
n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ
于是，
?=
l
n
n
n xdx x L C 0
sin )(1β
?
从而得到定解问题得解
?∑=
=∞
=-l n
n
n n n t
a n xdx
x L C x e
C t x u n 0
1sin )(1,
sin ),(22β
?ββ。
§2.3 圆域内的二维Laplace 方程的定解问题
平面极坐标),(θρ和直角坐标),(y x 的关系是
.sin ,cos θρθρ==y x
由此可得
dy
dx d dy dx d y x ρ
θρθθθθρθθρcos sin ,
sin cos ,
sin cos +-=+=+= 即是
,cos ,sin ,sin ,cos ρ
θθθρρ
θθθρ=??=??-=??=??y y x x
由复合函数求导法则，可得
,cos sin ,sin cos θ
ρθρθθθ
ρρθ
ρθρθθθρρ??+??=????+????=????
-??=????+????=??y y y x x x 进一步，可得
2
2
22
1)(1θρρρρρ??+
????=?
在此基础上，还可以得到柱坐标系下的Laplace 算符
(第九讲)
考虑圆域内的稳定问题：
???
?
?=≤+=?=+., ,02
02220222f u y x u y x ρρ 其在极坐标下的表示形式：
.
20 ),(),(,20 , ,01)(1002
22πθθθρπθρρθ
ρρρρρ≤≤=≤≤<=??+????f u u
u 因圆域内温度不可能为无限，尤其是在圆盘中心点的温度应该有限，并且
)2,( ),(πθρθρ+和表示同一点，故而我们有下约束
).
2,(),(,),0(πθρθρθ+=+∞
下面用分离变量法求解该问题。令).()(),(θρθρΦ=R u 代入极坐标下方程可
得：
,0)()(1
)()(1
)()('''2
''=Φ+
Φ+
Φθρρ
θρρθρR R R
,)
()()()()('''''2λθθρρρρρ=ΦΦ-=+?R R R
从而可得常微分方程
.
0)()(,
0'
''''2=Φ+Φ=-+θλθλρρR R R
由有限性及周期边界条件知
)2()(πθθ+Φ=Φ，+∞<|)0(|R
从而得定解问题
).
2()(,0)()(''πθθθλθ+Φ=Φ=Φ+Φ
求解：
① 0<λ时，通解为
θ
λθ
λθ--
-+=ΦBe Ae
)(
由周期边界条件可得 .0,0==B A 从而0)(≡Φθ，不可取。 ②0=λ时，通解为
B A +=Φθθ)(
由周期边界条件可得,0=A B 任意，说明0=λ为一特征值，相应得特征函数为
1)(=Φθ。
③0>λ时，通解为
,sin cos )(θλθλθB A +=Φ
因以π2为周期，所以有,2n =λ 从而可得特征值
1,2,3,...n ,2==n n λ
特征函数为
,sin cos )(θθθn B n A n n n +=Φ
接下来，求特解，并叠加出一般解。由Euler 方程
.0)(0'''2=-?=-+R d dR d d R R R λρ
ρρρ
λρρ 若令dt
d
d d =ρρ
，即ρln =t ，则上方程可写为 .02
2=-R dt R
d λ 故①
0=λ时，通解
,ln 00000ρd c t d c R +=+=
②2n =λ时，通解为
.n n n n nt n nt n n d c e d e c R --+=+=ρρ
为保证+∞<|)0(|R ，所以可得 ,2,1,0 ,0==n d n ，即
,2,1,0,==n c R n n n ρ
从而，满足齐次方程和周期条件及有限性的解可以表示为级数
,)sin cos (2),(1
∑∞
=++=n n n n n b n a a u θθρθρ
最后，为了确定系数，我们利用边界条件可得
∑∞
=++=1
)sin cos (2)(0n n n n n b n a a f θθρθ
运用性质
n,m ,0cos cos ,0sin sin
,0sin cos ,0cos ,0sin 20
20
20
20
20≠=====??
???π
π
π
ππ
mxdx nx mxdx nx nxdx nx nxdx nxdx
从而可得
.
sin )(1
,cos )(1
,)(1
20
0200
20
0?
?
?
=
==π
π
π
θθθπ
ρθθθπρ
θθπd n f b d n f a d f a n n n n 因而，我们有
?
∑?∑∑∞=∞=∞=-+=
++=++=π
π
θρρπ
θθρρπ
θθρθρ20
10
201010])(cos )(21)[(1
])sin sin cos (cos )(21)[(1
)
sin cos (2),(dt
t n t f dt n nt n nt t f n b n a a u n n
n n
n n n n
利用下面的求和公式
1|| ,)(cos 21121 )
(2121 )(cos 212
2
)
(1
)(1
<+---=++=-+--∞=-∞=∑∑k k
t n k k e e k t n k t in n t in n n n
θθθθ
所以，
.
,20 ,)cos(2)(21
),(02020202
20ρρπθρθρρρρρπ
θρπ
<≤≤+---=
?dt t t f u
称此表达式为圆域内的Poisson 公式，它的作用是把解写成积分形式，便于作理
论上的研究。
例题 解下列定解问题：
.
20 ,cos ),(,20 , ,01)(1002
22πθθθρπθρρθ
ρρρρρ≤≤=≤≤<=??+????A u u
u 解：利用公式可知，.0 ,)1(,0,0
1=≠==
n n b n a A
a ρ 所以θρρ
θρcos ),(0
A u =
。
（第十讲）
Laplace 变换法
定义：函数)(t f 当0≥t 时有定义，当s 属于某区间内时广义积分?∞
-0)(dt e t f st 收
敛，则由此积分确定的函数?∞
-=0
)()(dt e t f s F st 称为)(t f 的Laplace 变换。记
))}(({)(s t f L s F =，同时把)(t f 称为)(s F 的逆Laplace 变换，记为)}({)(1s F L t f -=。
性质：
1． 线性性质：a ，b 为常数，则对)(t f ，)(t g 的拉氏变换同时存在的s 有
)}({)}({)}()({t g bL t f aL t bg t af L +=+
2． 若 )},({)(t y L s Y =则)(})({a s Y e t y L at -=
3． 微分性质：设)(t f 在区间),0[+∞上连续，其导数是分段连续的，且存在常数
M ，T ,σ，使得 t Me t f σ≤)(，对于T t ≥。则对任σ≥s ，拉氏变换)}
({'t f L 存在，且 )0()}({)}({'
f t f sL t f L -=。 更一般的形式 )0()0()0()}({)}({)1('21)
(------=n n n n n f f s f s t f L s t f
L
4． 积分性质：设)(t f 在区间),0[+∞上连续，其导数是分段连续的，且存在常数
M ，T ,σ，使得
t Me t f σ≤)(，对于T t ≥。则对任σ≥s ，则有
??==
t t
dx x f s
s F L s s F dx x f L 00
)(})
({)(})({或
5． 设)(t f 在区间),0[+∞上连续，其导数是分段连续的，且存在常数M ，T ,σ，
使得 t Me t f σ≤)(，对于T t ≥，)()}({s F t f L =。则对任σ≥s ，则有
)()}({'s F t tf L =-，更一般的是)()1()}({')(s F t f t L n n n -=
6． 设)(t f 在区间),0[+∞上分段连续的，且存在常数M ，T ,σ，使得 t Me t f σ≤)(，
对于T t ≥，且t t f t )(lim 0+→存在，则对任σ≥s ，?+∞=s dx x F t
t f L )(})
({
7． 卷积性质：设)(t f ，)(t g 在区间),0[+∞上分段连续的，且存在常数M ，T ,σ，
使得 t Me t f σ≤)(，t
Me t g σ≤)(则对任σ≥s ，卷积?-=t
dx x g x t f g f 0
)()(*的
拉氏变换存在且)}({)}({}*{t g L t f L g f L ?=
8． 平移性质：若)}({t f L 对σ≥s 存在，则对于a s +≥σ，则
)()}()({s F e t f a t H L as -=-
其中???≥<=0. t ,1,0 ,0)(t t H 为Heavivide 函数。
一些常见函数的Laplace 变换：
1）a s e L at -=1
}{;
2) 1!
}{+=n n s
n t L ;
3) 2
2}{sin w s w
wt L +=; 4) 2
2}{cos w
s s
wt L +=; 5) 2
222)(}cos {;)(}sin {w
a s a s wt e L w a s w wt e
L at
at
+++=++=
--; 6) 2)(1}{a s te
L at
+=
-
7) 1
)
(!
}{+-+=
n at n a s n e t L 8) 2
2222222)(2}sin {;)(}cos {w s sw
wt t L w s w s wt t L +=+-= 9) ;}{cosh ;}{sinh 2
222a s s
at L a s a at L -=-=
§2.4 非齐次方程的解法
分离变量法成功的关键是：方程和边界条件都是齐次的。
若方程非齐次的，边界条件为齐次的，能否运用分离变量法？若能，如何求解？
下面以弦的强迫振动为例，来讨论非齐次方程的解法。
问题模型：两端固定的弦，受强迫力作用产生振动现象。其定解问题如下：
.0 ),(t
u
),(u 0,
,0u u 0, l,0 ),,(0
0022
222l x x x t t x t x f x
u a t u t t l x x ≤≤=??=>==><<=??-??====ψ? （1） 此情况下，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，因此，振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动。 启发：可设解为
),(),(),(t x W t x V t x U +=
其中),(t x V 表示仅强迫振动的位移，满足
.0 ,0t V
,0V 0,
,0V V 0, l,0 ),,(0
0022
222l x t t x t x f x
V a t V t t l x x ≤≤=??=>==><<=??-??==== （2） 而),(t x W 表示纯初始状态引起的振动位移，满足
.0 ),(t
W
),(W 0,
,0W W 0, l,0 ,00
0022
222l x x x t t x W x
u a t W t t l x x ≤≤=??=>==><<=??-??====ψ? （3）
注：不难验证，只要),(t x V 为（2）的解，),(t x W 为（3）的解，则),(),(),(t x W t x V t x U +=必为（1）的解。
问题（3）由分离变量法很容易求解，因此（2）的求解是关键。下面讨论如何求解纯强迫振动问题的解。 思路：类似于线性非齐次常微分方程中常用的常数变易法（补充线性非齐次常微分方程的求解），希望问题（2）的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形由相应的齐次方程通过分离变量所得的特征值问题的特征函数所决定，既解有形式：（运用对应齐次问题的特解的线性组合去构造非齐次问题的特解）
<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类
一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+
第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)
由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
七、分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2． 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵， A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为 Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称
第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想 以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=， 特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为 24130λλ++=， 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--， 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=， 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-， 这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为 2440λλ++=，
分离变量法例题 例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。求导体板间的电势。 解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。因此，本定解问题： 20??= ( x > 0，0 < y < d ) (1) 0x ?→∞= (2) 00y ? == (x > 0) (3) 0y d ?== (x > 0) (4) 00x ??== (0 < y < d ) (5) (2)的条件是我们通常的选择。实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。 因本问题为二维问题，(),x y ??=。(1)在直角坐标系中可写成： 2222 0x y ????+=?? 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。令 (,)()()x y X x Y y ?= 将其带入上式得： 2222d d 0d d X Y Y X x y += 将x 变量项和y 变量项整理为： 22221d 1d d d X Y X Y x y =- 上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。这样，我们就将变量分离了。在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板 y = d
对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。即： 222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3) 式中k 为实数常数，称为分离常数。为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。上式可分为两个微分方程： 2221d d X k X x = 2221d d Y k Y y =- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为： kx kx X Ae Be -=+ sin()cos()Y C ky D ky =+ 若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。式中A 、B 、C 、D 为积分常数，由边界条件确定。这样，我们得到： [][sin()cos()]kx kx Ae Be C ky D ky ?-=++ 由边界条件(2)，我们得到A = 0及k > 0。这就是为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2的原因。它可使电势φ在x 方向单调地增加或单调地减少而不是振荡。由边界条件(3)，我们得到D = 0。而边界条件(4)给出： sin()0kd = 由此式及条件k > 0，我们得到： ,1,2,3,n k n d π==? 我们不取n = 0的原因是因为它给出的是零解。因此，我们得到对应n 值的电势解： (,)sin(),1,2,3,n x d n n n x y B e y n d ππ?-==? 其中C 已并入B n 。因拉普拉斯方程是线性方程，任何解的线性叠加也是方程的解。因此，我们将所有n 值的解叠加起来得到了更为一般的解： 1(,)sin()n x d n n n x y B e y d ππ?∞-==∑ 式中B n 为常数。此解满足边界条件(2)、(3)、(4)。由边界条件(5)， 我们有 01sin( )n n n B y d π?∞==∑ 上式是一在[0，d ]区间展开的正弦傅里叶级数，其系数B n 为：