. 知道指数函数y=a
x 与对数
函数y log a x (a 0且 a 1) 叫做对数函数。
二、对数函数的图像和性质：
a 0a1
图像
性质
定义域：0,
值域：R
过点1,0 ，即当x 1 时，y 0
x (0,1)时，y 0；x (1, )
时，
y0
x (0,1)时，y 0；x (1, )时，
y 0
在0, 上是增函数在0, 上是减函数
比较对数值的大小，常见题型有以下几类：
对
数
函
数
索并了解对数函数的单调性与特殊点
.
2、掌握对数函数的性质，并能应
用对数函数解决实际中的问题
1
例 1 ： 求下列函数的定义域： (1) y lg(2 x) ； 1
(2) y ＝
；
log 3(3x 2)
解析： (1) 由题意得 lg(2 － x )≥ 0， 即 2－ x ≥ 1，∴ x ≤ 1， 则 y lg(2 x) 的定义域为 { x | x ≤ 1} ． 1
(2) 欲使
y ＝ 有意义，
log 3(3x 2)
3x － 2>0
应有 log 3(3x － 2)≠ 0，∴ .
3x － 2≠1 解得
x >2，且 x ≠ 1.
3
2
答案： (1) { x | x ≤ 1}． (2) { x |
x > ，且 x ≠ 1.} ． 3 练习 1 ： (2014 ～ 2015 学年浙江舟山中学高一上学期期中测试
) 函数 f ( x ) ＝
4－ x 2的
1 、比较同底数对数值的大小： 利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类 讨论；
2、比较同真数对数值的大小： 可利用函数图像进行比较；
3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小： 可选取中间量如：
“ 1”、 “ 0”等进行比较。
log a f x log a g x 与
f
f x x
g x
同解。
0 a 1时，
log a f x log a g x 与
f f
x x
0g x
同解。
五、对数方程常见的可解类型有：
形如
log a f x log a g x a 0且 a 1, f x 0, g x 0 的方程， 化成 f x g x
求 解；
形如 F log a x 0的方程，用换元法解；
形如 log f x g x c 的方程，化成指数式 f x c
g x 求解 指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
类型一 求函数的定义域 a 1时，
2
定义域为 _____________
答案： ( － 1,0) ∪ (0,2]
2
练习 2：
(2014·江西理， 2) 函数 f (x )＝ ln( x － x )的定义域为
( )
A ． (0,1)
B ． [0,1]
C ． ( －∞， 0) ∪ (1 ，＋∞ )
D ． ( －∞， 0] ∪
[1 ，＋∞ )
答案 : C
类型二 应用对数函数的性质比较数的大小
例 2： 比较下列各组中两个数的大小：
(1)log 23.4 和 log 28.5； (2)log 0.5 3.8 和 log 0.52； 解析： (1) ∵ y ＝ log 2x 在 x ∈ (0，＋∞ )上为增函数，且 3.4<8.5 ，∴ log
23.4 (2) ∵ y ＝ log 0.5x 在 x ∈ (0，＋∞ ) 上为减函数，且 3.8>2 ，∴ log 0.5 3.8 答案： (1)log 23.4 练习 1 ： 设 a ＝ log 32， b ＝ log 5 2， c ＝ log 23，则 ( ) A ． a >c >b B ． b >c >a C ． c >b >a D ． c >a >b 答案： D 练习 2： (2014 ·天津文， 4) 设 a ＝ log 2π ， b ＝ log 1 π ， c ＝ π － 2 ，则 ( ) A ． a >b >c C ． a >c >b 答案： C 类型三 与对数函数有关的图象问题 例 3： 函数 y ＝ log 1 | x | 的大致图象是 ( ) 2 B ． b >a > c 解析：当x＝ 1 时，y＝ log 1 1 ＝ 0，排除A； 2 x＝ 2 时，y＝ log 1 2 ＝－1 ，排除B、 C、故选D． 答案 : D 练习 1：函数f(x)＝ ln( x2＋1)的图象大致是( ) 练习2：已知a>0且a≠ 1，函数y＝ a x与y＝log a(－x) 的图象可能是下图中的( 例4：求函数y＝ 2x＋ 1（x<0）的反函数． 解析: 由y＝ 2x＋ 1 ，得 2x＝y－ 1 ， ∴ x＝ log 2（y－ 1），∴ y＝ log 2（x－ 1）． 又∵x<0，∴0<2x<1，∴1<2x＋ 1<2， ∴所求函数的反函数为y＝ log 2（x－ 1）（1< x<2）． x 1 答案：y＝x－1(x≠－1)． x＋ 1 练习2：函数y＝x＋ 2，x∈ R的反函数为( ) A．x＝ 2－y B．x＝y－ 2 答案：y＝ log 2(x－ 1)(1< x<2) ． 1＋x 练习 1 ：求函数y＝的反函数． 1－x C．y＝ 2－x，x∈ R 答案 : D D．y＝x－ 2，x∈ R 类型五互为反函数的图象间的关系 例 5: 函数y＝f (x)的图象经过第三、四象限，则y＝f－2( x)的图象经过( ) A．第一、二象限B．第二、三象限 C．第三、四象限D．第一、四象限 解析：因为第三、四象限关于y＝x 对称的象限为第三、二象限，故y＝f －1(x) 的图象经过第二、 三象限． 答案： B 练习 1: 已知f(x)＝2x＋b 的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图象经过点Q(5,2) ，则b＝ 答案： 1 练习 2: 已知函数y＝f(x) 与y＝e x互为反函数，函数y＝g(x) 的图象与y＝f(x) 的图象关于x 轴对称，若g( a) ＝ 1，则实数 a 的值为 ( ) 1 A．－ e B．－ e C．1D． e e 答案： C 2 (2014 ～ 2015 学年度武汉二中龙泉中学高一上学 期期中测试 ) 函数f(x) ＝log 1x 3 的定义 域为 ( ) A． (3 ，＋∞)B． [3 ，＋ ∞) C． (3,4] D． (－∞， 4] 答案： C 域为 ( ) A ． ( －∞，＋∞) B ． ( － 1,5) C ． (5 ，＋∞) D ． ( －∞，－ 1) 答案： A 5、 ．函数 y ＝ 1 － x － 1( x ≥ 2) 的反函数为 ( ) A ． y ＝ ( x － 1) 2 ＋ 1( x ≥ 1) C ． y ＝ ( x － 1) 2＋ 1( x ≤ 1) 答案 : D 6、函数 y ＝ f (x )的 图象过点 (1,3) A ． (1,2) C ． (1,3) 答案 : D 基础巩固 1．已知 a >0且 a ≠ 1，函数 y ＝ a 3与 y ＝ log a (－ x ) 的图象可能是下图中的 ( ) x 1 C ． y ＝ 2 ＋ 2x 答案： D 3．函数 y ＝ x ＋ 2， x ∈ R 的反函数为 ( ) 2 B ． y ＝ ( x － 1) 2 － 1( x ≥ 0) D ． y ＝ ( x － 1) 2＋ 1( x ≤ 0) D ． (3,1) 答案： B 2． (2015·广东理， 3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( ) A ． y ＝ 1＋ x 2 B ． y ＝ x ＋ x x D ． y ＝ x A．x＝2－y B．x＝y－ 2 C．y＝2－x，x∈ R D．y＝x－2，x∈R 答案： D 4．已知函数y＝f (x) 与y＝ e x互为反函数，函数y ＝g( x)的图象与y＝f (x)的图象关于x轴对称， 若g( a) ＝ 1 ，则实数 a 的值为 ( ) 1 A．－e B．－ e C．1D． e e 答案： C 5．(2014 ～ 2015 学年度重庆一中高一上学期期中测试)函数y＝ log 2(4x－x2) 的递增区间为 答案 : (0,2] 能力提升 答案： B 答案： A 8. 已知函数f(x)＝log a(x－k)的图象过点 (4,0) ，而且其反函数 f－1(x) 的图象过点 (1,7) ，则 f(x)是 ( ) A ． 增 函 数 B ． 减 函 数 C ． 奇 函 D ． 偶 函 答案： A 9 ． (202015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测 6． (2014 ～ 2015 学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试 ) 函数f (x) ＝ 3x2 1－x lg(2 ＋ 5x－ 3x2) A． 1 3， B． 1 3， C．2， 13 D． 13 7． (2015·湖南文， 8)设函数f(x)＝ ln(1 x) － ln(1 x)，则f(x) 是 ( ) A．奇函数，且在(0,1) 上是增函数B．奇函数，且在(0,1) 上是减函数 C．偶函数，且在(0,1) 上是增函数D．偶函数，且在(0,1) 上是减函数 log 2x x 3x x 1 f[f(4)] ＝ 答案： 9 10.已知函数f( x) ＝ log a(2 －x)( a>1) ． (1)求函数f (x) 的定义域、值域； (2)求函数f (x) 的反函数f－ 1(x)； (3)判断f－1( x)的单调性． 答案： (1) 要使函数f(x) 有意 义，需满足2－x>0，即x<2， 故原函数的定义域为( －∞， 2) ，值域为R. (4)由y＝log a(2 －x) 得， 2－x＝a y， 即x＝2－a y. ∴ f－1(x)＝ 2－a x(x∈ R)． (5)f－1(x)在 R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈ R且x1 ∵ f－1( x2) －f －1(x1) ＝ 2－ax2－ 2＋ax1＝ax1 ax2， ∵ a>1，x1 ∴ f－1( x2)< f－1( x1) ， ∴ y＝f －1(x) 在 R上是减函数． 教学主管签字：课程顾问签字： 2、 (2014 ～ 2015 学年度北京市丰台二中高一上学 期期中测试 )设 a>1，函数f(x)＝ log a x在区间 1 [ a, 2a] 上的最大值与最小值之差为2，则 a等于 ( ) A． 4 B． 2 2 C． 2 D． 2 答案： A 3、 (2014·北京理，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋ 1 B．y ＝( x－ 1) 2 3 4 C．y＝2－x D．y ＝log 0.5 (x＋1) 答案： A 4、 (2014 ～ 2015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上 学期期中测试 ) 函数 y＝ lg( x2－ 4x－ 5) 的值
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