奥数讲座第一讲一般复合应用题
第二讲和差、和倍问题
第三讲差倍、年龄问题
第四讲盈亏问题
第五讲鸡兔同笼问题
第六讲容斥原理
第七讲植树问题
第八讲方阵问题
第九讲平均数问题
第十讲行程问题（一）
第十一讲行程问题（二）
第十二讲数的整除
第十三讲分解质因数
第十四讲求因数个数
第十五讲最大公因数和最小公倍数
第十六讲余数问题
第十七讲周期问题
第十八讲尾数与平方数第十九讲奇偶分析
第二十讲数列
第二十一讲幻方和数阵第二十二讲一笔画
第二十三讲分数应用题第二十四讲比和比例第二十五讲还原问题第二十六讲牛吃草问题
第十六讲余数问题
2009年03月25日星期三下午 10:52
1、已知整数N除以42余12，求N除以21的余数。
12
2、已知整数N除以42余12，求N除以7的余数。
12÷7=1 (5)
3、已知整数N除以42余12，求N+230的和除以42的余数。
242÷42=5 (32)
4、已知整数N除以42余12，求23N除以42的余数。
12×23=276 276÷42=6 (24)
5、已知整数N除以3余2，求N除以12的余数。
2，5，8，11
6、同时被3、5、7除余1的最小三位数是多少？
[3，5，7]+1=106
7、有一堆苹果，按10个装一袋，装到最后少一个；按8个装一袋，或按5个装一袋，总是少1个。这堆苹果至少有多少个？
[10，8，5]－1=39
8、把一些糖果平均分成若干包，如果每包10粒则余9粒，如果每包12粒则余11粒，如果每包15粒则余14粒。这些糖果最少有多少粒？
[10，12，15]－1=59
9、求被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数？
[4，5，6]－3=57
10、某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？
[3，5]－1=14 [3，5]×6-1=89
11、除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是多少？
[5，7]－3=32 [5，7]×2－3=67
最小三位数是：67＋[3，5，7]=172
12一个整数除300、262、205都得到相同的余数，且余数不为0，问：这个整数是几？
300－262=38 262－205=57 （38，57）=19
13、若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数是多少？
6522－5164=1358 4582－2836=1746 （1358，1746）=2×97 除数是97
14、一个数去除50余1，去除60余4，去除80余3，这个数最大是多少？
（49，56，77）=7
15、有一个整数，除1200、1314、1048所得的余数都相同且大于5，问：这个相同的余数是多少？
1200－1048=152 1314－1200=114 1314－1048=266 （152，114，266）=38
1200÷38=31......22 1314÷38=34......22 1048÷38=34 (22)
1200÷19=63......3 1314÷19=69......3 1048÷38=55 (3)
16、号码分别为101、126、173和193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动员打了多少盘？
他们号码被3除分别余2、0、2、1 ，所以号码为126的打得最多，因为他的号码被3整除，无论跟谁打都能达到最多，他共打了2+2+1=5场。
101号与126、173和193共打了：2＋1=3
126号与101、173和193共打了：2＋2＋=5
173号与101、126和193共打了：1＋2=3
193号与101、126和173共打了：1
球盘数最多的运动员126号打了5盘
17、有9个袋子分别装有9、12、14、16、18、21、24、25、28只球，若甲取走若干袋，乙取走若干袋，最后剩下一袋，已知甲取走的球数总和是乙的两倍，剩下的一袋内装有多少只球？
乙1倍，甲2倍，甲乙和是3倍
9个袋子球÷3的余数分别是：0，0，2，1，0，0，0，1，1
剩下的一袋内装的球应该是余数是2的，剩下的一袋内装有14只球
18、一个数除以5余3，除以7余4，除以9余5，这个数最少是多少？
5×3＋3=18 满足前2个条件35×4＋18=158
19、一个数被5除余3，被7除少4，被11除余3，这个数最小是多少？
[5，7，11]＋3=388
20、一个三位数除以9余6，除以4余2，除以5余1，这个三位数最大是多少？
最小的6满足条件，这个三位数最大是：[4，5，9]×5＋6=906
21、一个数A为质数，并且A+20，A+40也都是质数，A是多少？
解因为20，40都是合数，而a+20,a+40又都是质数，所以a≠2.
又因为20÷3=6（余2），所以a不是被3除余1的数，否则a+20能被3整除，即为合数，与题意不符。
同理，a不能是被3除余2的数，否则a+40为合数，与题意不符。
因此，a必是能被3整除的数，又且a是质数，所以a=3。
22、元旦到了，老师给幼儿班的小朋友买来了300粒糖果，210块饼干，163个苹果，将它们平均分给每位小朋友，余下的糖果、饼干、苹果的数量之比是1∶3∶2，那么该班的小朋友有多少人?
300-1=299（粒），210-3=207（块），163-2=161（个）．
因为，（299，207，161）=23 所以，该班有23名同学．
23、有四个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是2的倍数；任意三个数的和是3的倍数。如果使得这四个数的和尽可能小，这四个数分别是多少？
由其中任意两个数的和都能被2 整除可知要么全是奇数，要么全是偶数，由任意3 个数的和都是3 的倍数可知，全是3的倍数，如果全是偶数，四数全是6的倍数即可；（0，6，12，18）
如果全是奇数，必须满足任意两数的差是6的倍数。综而言之，只要任意两数的差是6的倍数，即可满足题目要求如：（1，7，13，19 ）（2，8，14，20 ）（3，9，15，21）等.使这4个数的和尽可能少,则取 1,7,13,19
(0一般不考虑)
5、余数问题 知识讲解 一、消去余数 1、出示例1：把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。 蛋糕230块面包345个 蛋糕分到最后余2块，面包分到最后还多3个，这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人？ 这是一道求除数的问题，设除数a。 已知：230÷a=（） (2) 345÷a=（） (3) 如果消去余数，就转化为整除问题。 230－2=228，345－3=342。228，342分别能被a整除，a最大是几呢？ （228，342）==114，最多可以分给114位老人。 如果这个敬老院的老人在50～60人之间，你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗？ 2、写出除数和余数相同，被除数不同的出发算式。 （）÷5=4...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=7...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=12...2 （）÷8=（） (5) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （1）说说你的发现。 22÷5=4…2 22－2=5×4 37÷5=7…2 37－2=5×7 62÷5=12…2 62－2=5×12
219÷23=9…12 357－12=23×9 357÷23=15…12 357－12=23×15 被除数和余数的差是除数的倍数。 37－22=5×3 357－219=138 62－22=5×8 138÷23=6 62－37=5×5 如果两个等式除数和余数相同，被除数之间的差是除数的倍数。 （2）你能再举一些这样的例子吗？ A：被除数分别是43和75，余数都是3，除数是多少？ B：被除数分别是75、51和111，余数相同，除数是多少？ 问题A：因为被除数与余数的差是除数的倍数，因此除数必定是（43－3）和（75－3）的公因数。（40，72）=8，其他的因数还有1，2，4。1，2比余数3小，不可能是除数，因此除数是4或8。 问题B：因为被除数之间的差是除数的倍数，因此除数必定是（75－51），（111－51）的公因数。（24，36，60）=12，其他公因数还有2，3，4，6。 75÷2=37…1，51÷2=25…1，111÷2=55…1。如果除数都是2，那么余数是1。 75÷3=25，51÷3=17，111÷3=37。如果都是3，那么余数是0。 75÷4=18…3，51÷4=12…3，111÷4=27…3， 75÷6=12…3，51÷6=8…3，111÷6=18…3。 如果除数都是4或6，那么余数是3。 3、巩固练习： （1）、用一个数去除47，61，75，结果都余5。这个数是几？ （2）、用一个数去除193余4，除1087则余7。这个数是几？ （3）、69，90，125被一个数n除时，余数相同，试求n的最大值。
余数综合之余数问题解题技巧 4. 同余 （1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b关于m同余， 用式子表示为：a≡b (modm) 余 数的性质 1. 余数小于除数（2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数用式子表示为：如果有a≡b(modm)， 那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b 3. 余数的运算： （1）和的余数等于余数的和 5. 中国剩余定理 逐级满足法 【例1】（★）我爱数学少年数学夏令营试题【例2】(★★) （全国小学数学奥林匹克试题） 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果 把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 1
【例3】（★★★）【例4】(★★★)全国小学数学奥林匹克试题 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六 个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________。 【例5】(★★)【例6】(★★) 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三 个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3 除所得的余数是多少？ 今天是星期四，101000天之后将是星期几？ 2
有余数的除法三年级奥 数 https://www.doczj.com/doc/fa7085596.html,work Information Technology Company.2020YEAR
第三讲有余数的除法 在有余数的除法中：（1）余数必须小于除数；（2）被除数=商ⅹ除数+余数。 例1.□÷6=8……□，要使余数最大，被除数应填几？ 练习题（1）□÷□=8……15，要使除数最小，被除数应填几？ （2）当余数最大时，被除数是多少？ （）÷4=7……（） 例2.算式 28÷（）=（）……4，除数和商各是多少？ 练习题 （1）下列算式中，除数和商各是多少（2）下列算式中，除数和商各是多少37÷（）=（）......7 22÷（）=（） (4) 例3.算式（）÷7=（）……（），商和余数相同，被除数可以是哪些数？
练习题 （1）下列算式中，商和余数相同，被除数可以是哪些数？ （）÷6=（）……（） （2）下列算式中，商和余数相同，被除数可以是哪些数？ （）÷5=（）……（） 例4，在（）÷（）=7……（）中，被除数最小是几？ 练习题 （1）在（）÷（）=32……4中，被除数最小是几？ （2）在（）÷（）=17……5中，被除数最小是几？ 例5.有一串珠子，按“1白4黑”的顺序排列，那么第24颗珠子是什么颜色？第81颗呢？ 练习题 （1）有一串珠子，按“2白3黑”的顺序排列，第27颗珠子是什么颜色？第88颗呢？
（2）一列数：3,6,92,3,6,9,2…，第30个数是几？第41个数呢？ 家庭作业 1.下面算式中，两个方框内应填什么数才能使这道整数除法题的余数最大？（）÷5=10……（） 2.下列算式中，要使余数最大，被除数是几？ （）÷6=7……（）（）÷12=10……（） 3.下列算式中，除数最小是几被除数最小是几 （）÷（）=14......5 （）÷（）=22 (3) 4.一堆梨，其总数不到50个，如果把这堆梨平均分给7个人后还剩余3个，那么这堆梨最多有多少个？ 5.在字母序列ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBA…中，第1992个字母是哪个字母？ 家庭作业 1.下面算式中，两个方框内应填什么数才能使这道整数除法题的余数最大？（）÷5=10……（） 2.下列算式中，要使余数最大，被除数是几？
第二十一讲余数的性质与计算 37』桂除的 余数足多少？我知沽玳，余数昂7! ^ 1 这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数. 一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0
当r 0 时，我们称a 能被b 整除； 当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）* 商；商=（被除数-余数）十除数. 余数小于除数． 理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被 除数和除数各是多少？ 「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？ 练习1． 甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数． 我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除 特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法： 1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数； 一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数； 一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数； 2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数； 一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法． （3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如 果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．
带余数的除法 月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦 古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。 两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系： 被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。 例题集合 例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？ 练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？ 例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？
练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？ 例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？ 练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。 例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？ 练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？
例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？ 练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多 少个？ 课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。
余数问题 例1：被除数、除数、商和余数之和是2143，已知商事33，余数是52，求被除数和除数。 拓展1：有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数和是25，这个自然数是多少？ 例2：一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 拓展2：在1~200这200个自然数中，被3除或被7除都余2的数有多少个？ 例3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，a加b的和除以7余几？ 拓展3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a 大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？ 例4：有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，这个数是多少？ 例5：整数11111----111（2004个1）被6除余数是几？ 1、2100除以一个两位数得到的余数是56，那么这个两位数是（）。 2、在整数除法里，余数比除数小，那么从4到50的各整数除以4，余数是2的整数有（）个。 3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个数至少是（）。
4、清照小学鼓号队同学在操场上列队，已知人数在90~110人之间，排成3列没有剩余，排成5列不足2人，排成7列不足4人，共用（）人参加列队。 5、一个四位数2a75除以11后所得余数是1，那么a=（）。 6、用一个整数去除312、231、123、得到的3个余数之和是41，这个数是（）。 7、在1~400整数中，被3、5、7除都余2的数有（）个。 8、100个7组成一个一百位数，被13除后余数是（），商的各位数字之和是（）。 9、71427和19的积被7除余（）。 10、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3，而余数恰好相同，原题中的除数是（）。11、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，这个自然数最大是（）。 12、1991和1769除以某一个自然数n，余数分别是2和1，那么n最小是（）。 13、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数的差得4289，男孩（）岁，父亲（）岁。 14甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，都是上5余1，乙数是（）。
三年级余数问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
奥林匹克数学……余数问题 【知识要点】1、在整数除法运算中，分为“能整除”和“不能整除”两种情况， 不能整除就产生余数。 2、被除数、除数、商、余数之间的基本数量关系是： 被除数=除数×商＋余数；除数=（被除数－余数）÷商； 3、在有余数的除法里，余数必须比除数小。 【尝试探索】 1、如图，算出第20个图形是什么？ ○△△□□□○△△□□□○△△…… 2、把38 …… 3、按下面的方法摆64个三角形，有多少个白色的？ △△▲▲△▲△△▲▲△▲△△…… 4、“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2005个数字是什么？ 5、甲、乙、丙、丁四人按顺序发扑克牌。问第38张牌在谁的手中？第27张呢？第52张呢？ 6、甲、乙、丙、丁四人按顺序发扑克牌。当丙拿到第8张牌时，已经发出去了几张牌？ 7、“从小爱数学从小爱数学从小爱数学……”依次排列，第68个字是什么？ 8、李老师有1～54号卡片，依次发给，小红、王林、张华、陈丽、马强5个人，第45号卡片应发给谁？最后一张应发给谁？ 9、9个小朋友站成一圈报数。第一个人（第1号）报1，第2个人（第2号） 报2……这样循环报下去。问第100号是谁报的？第117号呢？第150号呢？ 10、有同样大小的红、白、黑三种珠子，共180个。按3个红的，2个白的，1个黑的顺序排列。红珠共有几个？第68个珠子是什么颜色？ 11、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的，后1个白的，再3个黑的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？ ○○◎□□□○○◎□□□…… 12、有一列数；7、0、2、5、3、7、0、2、5、3、……（1）第87个数是多少？（2）这87个数相加的和是多少？ 13、红红在桌上摆了一排硬币，按一枚5分，两枚2分和一枚1分的顺序排列， 共放29枚硬币。问；（1）最后一枚硬币是几分的？（2）三种硬币各有几枚？（3）29枚硬币共多少钱？ 14、2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？ 15、2001年8月1日是星期三，问8月28日是星期几？ 16、2001年6月1日是星期五，问9月1日是星期几？ 17、三年一班第一小组有一些同学，3个人一数还多1人，4个人一数也多1人，这个小组最少有多少个同学？ 18、南山小学的女教师每5人一数就多3人，每8人一数也多3人；男教师每2人一数多1人，每7人一数也多1人，南山小学最少有多少名教师？
五年级奥数第讲尾数和 余数 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
第2讲尾数和余数 一、知识要点 自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】（1）9×9×9×……×9（51个9相乘）积的个位数是几？ （2）0.3×0.3×0.3×……0.3（204个0.3相乘）×25×25×25×……×25（1001个25）的个位数字是几？ 练习1： （1）61×61×61×……×61（2001个61相乘）积的尾数是几？ （2）（31×36）×（31×36）×……×（31×36）（共50个）积的尾数是几？ （3）0.7×0.7×0.7×……×0.7（2002个0.7）×0.6×0.6×0.6×……×0.6（2002个0.6）积的尾数是多少？ 【例题2】3×3×3×……3（2006个3相乘）+4×4×4×……4（2007个4相乘）的尾数是几？ 练习2： （1）5×5×5×......5（2000个5相乘）+6×6×6×......6（2001个6相乘）+7×7×7× (7) （2002个7相乘）的尾数是几？ （2）52×52×52×……52（33个52相乘）-32×32×32×……32（29个32相乘）的尾数是几？ 【例题3】444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？ 练习3：当商是整数时，余数各是几？ （1）666……6（50个6）÷4（2）888……8（80个8）÷7 （3）444……4（1000个4）÷74（4）111……1（1000个1）÷5 【例题4】有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？ 练习4： （1）有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10.从第三个数七，每个数恰好是前面两个数的和。在这一串数种，第1991个数被3除，所得的余数是几？ （2）一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3，依次类推。这列数左起第1996个数被5除余
第三讲余数问题 一、知识概要 （1）被除数÷除数＝商……余数（余数一定要小于除数）被除数＝除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷商＝除数。 （2）一个数被9除的余数叫做这个数的“九余数”（或“弃九数”）。求一个数的九余数，就是求这个数各个数位上数字之和的九余数。 例如：求345÷9的余数，就用（3＋4＋5）÷9＝12÷9＝1……3， 可知345÷9的余数是3。 （3）如果整数a和b被几除，得到的余数是相同的，那么，我们僦称a和b“同余”。 同余性质有：⑴若a和b同余，c和d同余，则a±c和b±d同余；⑵若a和b 同余，c和d同余，则a×c和b×d同余。 二、典型例题精讲 1、△□□□□□△□□□□□△□□……这列图形的第310个图是什么图形？ 识题技巧：这个图形的排列规律是：“△□□□□□”6个为一组依次循环。 求出310的余数，找到排列在第“余数”位的那个图形即是。 解：310÷6＝51（组）……4（个） 答：这个图形的第310个图是□。 2、哪些数除以7结果的商和余数都相同？ 识题技巧：把原题写成□÷7＝□……□的形式，因为“余一定小于除数”， 所以，余数有（7-1）种可能。（根据“知识概要”<1>可解答）解：如表所示。
答：这些数是8、16、24、32、40、48。 3、积的个位是数字几？ 个 19933333 识题技巧：3＝3 （1个3） 3×3＝9 （2个3） 3×3×3＝27 （3个3） 3×3×3×3＝81 （4个3） 3×3×3×3×3＝243 （5个3） 3×3×3×3×3×3＝729 （6个3） ………………… 从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而按“3、9、7、 1”依次循环。因此，这个题是个“余数问题”。 解：199÷4＝49（组）…………3（个），（3个3相乘积的个位为7）。 答：积的个位数字是7。 4、去年（200年）的“元旦”是星期二，那么今年（2003年）的“元旦节”是星期？ 识题技巧：<1>“元旦”即1月1日，从2002年元月1日到2003年元月1日共有 （365＋1）天，即366天。 <2>星期是7天为一个周期。<3>按本题的意思，星期的排列规律是： 星期二、星期三…………星期一。 解：366÷7＝52（个周期）…………2（天）（排在第2的是星期三） 答：2003年的“元旦节”是期三。 5、计算2731596÷7284，并用“九余数”法验算。 识题技巧：“九余数”就是把某一个数的各个数位上的数字加起来，所得的和再除 以9而得到的余数。［也可以这样做：把各个数位上的数加起来之后， 如果和仍然还是两位以上的数，那么再继续把和的各个数位的数字加 起来，直到和是一位数，这个“一位数”即是“九余数”。］ 解： 验算： 96 36420 36516 50988 54639 21852 2731596 375 7284 33(和) 21 15 15 6(余数) 3 × 6 6 18 9 6 ＝ 0 ＋ 6 2731596÷7284＝375 (96)
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
五年级奥数__尾数和 余数
第6讲尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。 （2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。 练习3： 1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ 2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
余数问题 【求余数】 （1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题） 一组，就可得到331组，尚余4个6。 而6666÷7=952……2。所以，原式的余数是2。 例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。 （《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。 9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。 7×3=21，21÷9=2……3。 所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。 例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。 （1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。 要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。 但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。
所以，最多能选出77个。 【同余问题】 例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_____。 （全国第一届“华杯赛”初赛试题） 讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。 不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。 例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题） 讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。 例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有______个桃子。 （哈尔滨市小学数学竞赛试题） 讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。 加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。 因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。 例4 在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题）
第6讲尾数和余数 令狐采学 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数： 210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30， 2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……× （12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4
三年级奥数练习 把一些书平均分给几个小朋友，要使小朋友分得的本数最多，这本书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小。 解决这类应用题的关键是先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。 在有余数的除法中，要记住： 1、余数必须小于除数； 2、被除数＝商×除数＋余数 练习题：（整数范围内） 1、（）÷6＝8……（），被除数最大是几？ 2、（）÷（）＝8……1中，被除数最小是几？ 3、（）÷4＝7……（），被除数最大是几？ 4、（）÷（）＝3……2中，被除数最小是几？ 5、（）÷8＝3……（），被除数最小是几？ 6、（）÷（）＝4……4中，被除数最小是几？ 7、28÷（）＝（）……4中，除数最大是几？ 8、（）÷7＝（）……（）中，商和余数相等，被除数最大是几？ 9、（）÷（）＝（）……4中，商和余数相等，被除数最小是几？ 10、149除以一个两位数，余数是5，这个两位数是多少？ 11、一个三位数除以15，商和余数相等，请写出符合条件的最小的三位数。 12、有一个除法算式，它的余数是9，除数和商相等，被除数最小是几？ ★例2：算式□÷6＝□……□中，不告诉你被除数，商是多少，你能写出它的余数有哪几个吗？ ◇我试试： 1、算式□÷7＝□……□中，你能写出它的余数有哪几个吗？
2、算式□÷9＝5……□中，被除数最大是几？最小是几？ 3、算式□÷□＝13……8中，除数最小是几？被除数最小是几？ ★例3：23÷□＝□……5中，除数和商各是多少？ 1、27÷□＝□……3中，除数和商各是多少？ 2、□÷8＝5……□中，被除数和余数各是多少？ 3、在一道有余数的除法中，商是最小的两位数，除数是最大的一位数，被除数和余数最大是多少？最小是多少？ 一、填空： 1、下面算式中的余数可能是几？ □÷5＝□……□（） □÷6＝□……□（） □÷7＝□……□（） 2、要使商和余数相同，被除数是哪些数？ □÷9＝□……□（） □÷6＝□……□（） 3、下列算式中除数和商各是几？ 18÷□＝□……4除数（），商（） 33÷□＝□……3除数（），商（） 35÷□＝□……8除数（），商（） 二、判断题： 1、在算式□÷6＝8……□中，余数最大是5。（） 2、在算式23÷□＝□……5中，除数可能是3，商可能是6。（） 3、某一个数除以5，所得的商与余数相同，这个数只可能是6。（） 4、在算式□÷□＝25……3中，除数最小是4，被除数最小是103。（） 三、解决问题： 1、算式□÷5＝□……□中，不告诉被除数、商是几，你能写出它的余数吗？ 2、一道余数的除法算式中，除数是9，商是100，被除数最大是多少？ 3、有一堆围棋子，按“二黑三白”排列起来●●○○○●●○○○……，想一想，第21个棋子是白子还是黑子？第53
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 3.除以99,余数是______. 分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19. 4.求下列各式的余数： (1)2461×135×6047÷11 (2)19992000÷7 分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 . 【第二篇】 (小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够
分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加 分水果 分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240- 2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306 恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313— 7=306(个) ,(238,306)=34(人) . 【第三篇】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有 1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 【第四篇】 1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的 余数都是3,求a和b的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 2.除以99的余数是______. 分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19. 【第五篇】
小学奥数精讲：余数与同余问题 一、问题引入 我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被2 整除可以分为偶数和奇数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被 2 整除（除以 2 余 1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我们以除以 3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。 二、知识总结 1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。 【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。着重掌握除以 3、4、8、9、16 的余数求法即可。 ①求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0； ②求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数； ③求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数； ④求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数； ⑤求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以6 的余数为a，若该余数不 原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3； ⑥求除以 7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差 除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来， 就重复此过程； ⑦求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数； ⑧求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数；
1、下列算式中的余数可能是多少？ （1）□÷8=□……□（3）□÷7=10……□ （2）□÷6=8……□（4）□÷12=□……□ 2、下列算式中，余数最大是多少？最小是多少？ （1）□÷9=□……□（3）□÷5=□……□ 3、下列算式中，不相同的余数有哪些？写在（）里。 （1）15÷7=□……□（）（3）14÷5=□……□（）4、下列算式中，不相同的除数有哪些？写在（）里。 （2）18÷□=□……7（）（4）5÷□=□……5（）5、要使商和余数相同，被除数是哪些数？ （1）□÷7=□……□（2）□÷6=□……□（3）□÷9=□……□6、下列算式中，商和余数相同，被除数有多少个？ （1）□÷8=□……□（2）□÷5=□……□（3）□÷16=□……□7、下列算式中，被除数最大是多少？最小是多少？ （1）□÷4=12……□（2）□÷6=5……□ （3）□÷8=13……□（4）□÷9=12……□ 7、要使余数最大，被除数是多少？ （1）□÷6=7……□（2）□÷12=10……□ （3）□÷4=15……□（4）□÷8=32……□
1、下列算式中，除数最小是多少？ （1）□÷□=□......24 （2）□÷□=□ (19) 2、要使除数最小，被除数是多少？ （1）□÷□=25......3 （2）□÷□=16 (4) （3）□÷□=17......6 （4）□÷□=20 (7) 3、下列算式中，除数最小是多少？被除数最小是多少？ （1）□÷□=14......5 （2）□÷□=22 (3) 4、下列算式中，除数和商分别是多少？ （1）25÷□=□......5 （2）29÷□=□ (4) 5、如果“456÷□”的商是两位数（可以有余数），除数最小是几？最大是几？ 小测试：（比比谁最棒！） 1、要使除数最小，被除数是多少？ （1）□÷□=27......5 （2）□÷□=18 (2) 2、算式□÷7=□……□中，商和余数相同，被除数有哪些？把所有的算式 写出来。 3、算式□÷8=19……□中，被除数最大是多少？最小是多少？写出算式。 最大：□÷8=19……□最小：□÷8=19……□ 4、算式□÷□=14……7中，除数最小是多少？被除数最小是多少？ 5、算式32÷□=□……6，除数和商各是多？你能写出哪些算式？ 6、□里可以填多少？ 5□÷□=8……□4□÷□=6……□3□÷□=4……□
第四讲 余数问题 知识点： 1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有105 2、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。例如： 3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。例如： 4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。例如： 5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。 例如： 一、例题讲解 例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。 例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？ 例4、整数1111…111除以6的余数是几？ 2012个1
例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？ 二、拓展训练 1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？ 2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？ 3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？ 4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。这个数多少？