物理建模系列(二)摩擦自锁模型
1．摩擦角
物体在粗糙平面(斜面)上滑动时，所受滑动摩擦力F f和支持力F N的合力F合与F N间的
夹角为θ，如图(a)、(b)所示，由于tan θ＝F f
F N＝μ为常量，所以θ被称为摩擦角．
图(a)图(b)
2．摩擦角的应用
(1)在水平面上，若给物体施加拉力F使之在水平面上滑动，则力跟水平方向的夹角为θ(跟F合垂直)时，拉力F最小，如图(c)．
图(c)图(d)图(e)
(2)当所加推力F与支持力F N反方向间的夹角β≤θ时，无论推力F多大，都不能推动物体在平面(斜面)上运动，这种现象称为摩擦自锁，如图(d)、(e)．
(3)有摩擦力参与的四力平衡问题可通过合成支持力F N和滑动摩擦力F f转化为三力平衡问题，然后根据力的平衡知识求解．
模型一平面上的摩擦自锁
例1拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)．设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ，则下列说法正确的是()
A．当拖把头在地板上匀速移动时推拖把的力F的大小为μmg
sin θ＋μcos θ
B．当拖把头在地板上匀速移动时推拖把的力F的大小为μmg
sin θ－μcos θC．当μ≥tan θ时，无论用多大的力都能推动拖把头
D．当μ 【解析】 以拖把头为研究对象，对其进行受力分析．拖把头受重力mg 、地板的支持力F N 、拖杆对拖把头的推力F 和摩擦力F f .把拖把头看成质点，建立直角坐标系，如图所示．把推力F 沿x 轴方向和y 轴方向分解，根据平衡条件列方程：F sin θ－F f ＝0，F N －F cos θ －mg ＝0，又F f ＝μF N ，联立三式解得F ＝μmg sin θ－μcos θ，所以选项A 错误，B 正确；当 μ≥tan θ时，μcos θ≥sin θ，F sin θ－F f ＝F sin θ－μF cos θ－μmg ＜0，所以无论用多大的力都不能推动拖把头，选项C 错误；当μ＜tan θ时，μcos θ＜sin θ，F sin θ－F f ＝F sin θ－μF cos θ－μmg ＝F (sin θ－μcos θ)－μmg ，如果F (sin θ－μcos θ)－μmg ＞0，能推动拖把头，否则不能推动拖把头，选项D 错误． 【答案】 B 模型二 斜面上的摩擦自锁 例2 如图所示，质量为m 的物体，放在一固定的斜面上，当斜面倾角θ＝30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F 的水平向右的恒力，物体可沿斜面向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现增大斜面倾角θ，当θ增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行．那么( ) A ．物体与斜面间的动摩擦因数为3 2 B ．θ0＝45° C ．θ0＝60° D ．θ0＝30° 【解析】 斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，对物体进行受力分析，如图所示，可知应满足mg sin 30°－μmg cos 30°＝0，解得μ＝ 3 3 ，A 错；物体与斜面间的摩擦角α＝arctan μ＝30°，因此当水平恒力F 与斜面支持力F N 成30°角，即斜面倾角为60°时，无论F 多大，都不能使物体沿斜面上滑，故θ0＝60°，C 对，B 、D 错． 【答案】 C [高考真题] 1．(2016·江苏卷，1)一轻质弹簧原长为8 cm ，在4 N 的拉力作用下伸长了2 cm ，弹簧未超出弹性限度，则该弹簧的劲度系数为( ) A ．40 m/N B ．40 N/m C ．200 m/N D ．200 N/m 【解析】 由胡克定律得劲度系数k ＝F x ＝40.02 N/m ＝200 N/m ，D 项正确． 【答案】 D 2．(2015·山东卷，16)如图，滑块A 置于水平地面上，滑块B 在一水平力作用下紧靠滑块A (A 、B 接触面竖直)，此时A 恰好不滑动，B 刚好不下滑．已知A 与B 间的动摩擦因数为μ1，A 与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A 与B 的质量之比为( ) A.1μ1μ2 B ．1－μ1μ2μ1μ2 C.1＋μ1μ2μ1μ2 D ．2＋μ1μ2μ1μ2 【解析】 对滑块A 、B 整体在水平方向上有F ＝μ2(m A ＋m B )g ；对滑块B 在竖直方向上有μ1F ＝m B g ；联立解得：m A m B ＝1－μ1μ2 μ1μ2 ，选项B 正确． 【答案】 B 3．(2017·课标卷Ⅱ，16)如图，一物块在水平拉力F 的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F 的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动．物块与桌面间的动摩擦因数为( ) A．2－3B． 3 6 C. 3 3D． 3 2 【解析】设物块的质量为m.据平衡条件及摩擦力公式有拉力F水平时，F＝μmg① 拉力F与水平面成60°角时，F cos 60°＝μ(mg－F sin 60°)② 联立①②式解得μ＝ 3 3.故选C. 【答案】 C [名校模拟] 4.(2018·华中师大附中高三质检)把一个月牙状的薄板悬挂起来，静止时如图所示．则薄板的重心可能是图中的() A．A点B．B点 C.C点D．D点 【解析】由二力平衡条件分析可得，物体重心在绳子拉力的延长线上，再由对称知重心必过BD线，因此重心位置是D点．故D项正确． 【答案】 D 5．(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，水平地面上有一车厢，车厢内固定的平台通过相同的弹簧把相同的物块A、B压在竖直侧壁和水平的顶板上，己知A、B与接触面间的动摩擦因数均为μ，车厢静止时，两弹簧长度相同，A恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，现使车厢沿水平方向加速运动，为保证A、B仍相对车厢静止，则() A．速度可能向左，加速度可大于(1＋μ)g B．加速度一定向右，不能超过(1－μ)g C ．加速度一定向左，不能超过μg D ．加速度一定向左，不能超过(1－μ)g 【解析】 静止时，A 恰好不下滑：mg ＝μF ，F ＝mg μ，两弹簧长度相同，对于B 有： F y ＝????mg μ－mg ，μ??? ?mg μ－mg ＝ma ，a ＝(1－μ)g ，故B 正确． 【答案】 B 6．(2018·山东临沂高三上学期期中)如图所示，质量分别为m A 和m B 的物体A 和B 相对静止，以共同的速度沿倾角为θ的固定斜面匀速下滑，则下列说法错误的是( ) A ．A 、 B 之间的动摩擦因数小于B 与斜面之间的动摩擦因数 B ．B 受到的摩擦力的合力大小为m B g sin θ C ．A 受到的静摩擦力的大小为m A g sin θ D ．取走A 物体后，B 物体仍将匀速下滑 【解析】 A 、B 匀速下滑，则B 与斜面间的摩擦力f ＝(m A ＋m B )g sin θ，A 、B 间摩擦情况未知，故A 错；隔离分析B ：f B ＝f －f A ，f A ＝m A g sin θ，故B 受到摩擦力的合力大小为m B g sin θ，A 受到静摩擦力大小为m A g sin θ，B 、C 正确；取走A 物体后，B 物体将匀速下滑，D 正确． 【答案】 A 课时作业(四) [基础小题练] 1．如图所示，小车受到水平向右的弹力作用，与该弹力的有关说法中正确的是( ) A ．弹簧发生拉伸形变 B ．弹簧发生压缩形变 C ．该弹力是小车形变引起的 D ．该弹力的施力物体是小车 【解析】 小车受到水平向右的弹力作用，弹簧发生拉伸形变，该弹力是弹簧形变引起的，该弹力的施力物体是弹簧，选项A 正确，B 、C 、D 错误． 【答案】 A 2．小车上固定一根弹性直杆A ，杆顶固定一个小球B (如右图所示)，现让小车从光滑斜 面上自由下滑，在下图的情况中杆发生了不同的形变，其中正确的是() 【解析】设斜面倾角为θ，小车沿光滑的斜面下滑时的加速度a＝g sin θ，即小球沿斜面方向的合力为mg sin θ，杆只对小球施加了垂直于斜面向上的支持力，故C正确．【答案】 C 3．(2018·江西上饶一模)S1和S2表示劲度系数分别为k1和k2的两根弹簧，k1>k2；a和b 表示质量分别为m a和m b的两个小物块，m a>m b，将弹簧与物块按图示方式悬挂起来，现要求两根弹簧的总长度最大，则应使() A．S1在上，a在上 B．S1在上，b在上 C．S2在上，a在上 D．S2在上，b在上 【解析】上面的弹簧受到的拉力为两个物块的重力之和，劲度系数较小时形变量较大，故上面应是S2，下面的弹簧的形变量由下面的物块的重力决定，为了让形变量最大，应把重的放在下面，即将a物块放在下面，D正确． 【答案】 D 4．(2018·安阳联考)如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连拉力传感器和物体A的细绳保持水平．从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．据此可求() A．A、B之间的最大静摩擦力 B．水平面与B之间的滑动摩擦力 C．A、B之间的动摩擦因数μAB D．B与水平面间的动摩擦因数μ 【解析】当B被拉动后，力传感器才有示数，地面对B的最大静摩擦力为F fm＝kt1，A、B相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则F f AB＝kt2－F fm＝k(t2－t1)，A、B正确；由于A、B的质量未知，则μAB和μ不能求出，C、D错误． 【答案】AB 5．如图所示，重为G的木棒，可绕光滑轴O自由转动，现将棒搁在表面粗糙的小车上，小车原来静止，如果用水平力F拉动小车，则棒受到的摩擦力方向() A．向右B．向左 C．等于零D．都有可能 【解析】由题图可直接判断出木棒相对小车水平向左运动，则棒受到小车给棒的摩擦力方向水平向右． 【答案】 A 6．(2018·长沙高三月考)如图所示，重80 N的物体A放在倾角为30°的粗糙斜面上，有一根原长为10 cm，劲度系数为1 000 N/m的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8 cm，现用一测力计沿斜面向上拉物体，若物体与斜面间最大静摩擦力为25 N，当弹簧的长度仍为8 cm时，测力计读数不可能为() A．10 N B．20 N C.40 N D．60 N 【解析】当物体受到的静摩擦力方向沿斜面向下，且达到最大静摩擦力时，测力计的示数最大，此时 F＋kΔx＝mg sin θ＋F f max 解得F＝45 N，故F不可能超过45 N，选D. 【答案】 D [创新导向练] 7．杂技娱乐——爬竿游戏中的摩擦力问题 (2018·西宁质检)如图所示，节目《激情爬竿》在春晚受到观众的好评．当杂技演员用双手握住固定在竖直方向的竿匀速攀上和匀速下滑时，他所受的摩擦力分别是F f1和F f2，那么() A．F f1向下，F f2向上，且F f1＝F f2 B．F f1向下，F f2向上，且F f1>F f2 C．F f1向上，F f2向上，且F f1＝F f2 D．F f1向上，F f2向下，且F f1＝F f2 【解析】匀速攀上时，杂技演员所受重力与静摩擦力平衡，由平衡条件可知F f1＝G，方向竖直向上，匀速下滑时，其重力与滑动摩擦力平衡，则F f2＝G，方向竖直向上，所以F f1＝F f2.故选项A、B、D错误，C正确． 【答案】 C 8．生活实际——扑克牌蕴含的物理知识 水平桌面上叠放着一副共54张且每一张质量都相等的扑克牌．牌与牌之间的动摩擦因数以及最下面一张牌与桌面之间的动摩擦因数都相等．用手指以竖直向下的力按压第一张牌．并以一定的速度水平移动手指．将第一张牌从牌摞中水平移出(牌与手指之间无滑动)．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则() A．第1张牌受到手指的摩擦力的方向与手指的运动方向相反 B．从第2张牌到第M张牌之间的牌不可能发生相对滑动 C．从第2张牌到第M张牌之间的牌可能发生相对滑动 D．第54张牌受到桌面的摩擦力的方向与手指的运动方向相反 【解析】第1张牌在手指静摩擦力的作用下水平移动，所以摩擦力的方向与手指运动的方向相同，选项A错误；设竖直压力为F N，每张牌的质量为m，第n张牌(2≤n≤54)受上面第n－1张牌的摩擦力最大为F f＝μ[F N＋(n－1)mg]，方向与手指的运动方向相同；受下面第n＋1张牌的摩擦力最大为F f′＝μ(F N＋nmg)，方向与手指的运动方向相反，由于F f 【答案】BD 9．实验科技——用力传感器采集图象并分析图象 在探究静摩擦力变化的规律及滑动摩擦力变化的规律的实验中，特设计了如图甲所示的演示装置，力传感器A与计算机连接，可获得力随时间变化的规律，将力传感器固定在光滑水平桌面上，测力端通过细绳与一滑块相连(调节传感器高度可使细绳水平)，滑块放在较长的小车上，小车一端连接一根轻绳并跨过光滑的轻定滑轮系一只空沙桶(调节滑轮可使桌面上部细绳水平)，整个装置处于静止状态．实验开始时打开传感器同时缓慢向沙桶里倒入 沙子，小车一旦运动起来，立即停止倒沙子，若力传感器采集的图象如图乙，则结合该图象，下列说法正确的是() A．可求出空沙桶的重力 B．可求出滑块与小车之间的滑动摩擦力的大小 C．可求出滑块与小车之间的最大静摩擦力的大小 D．可判断第50秒后小车做匀速直线运动(滑块仍在车上) 【解析】t＝0时刻，传感器显示拉力为2 N，则滑块受到的摩擦力为静摩擦力，大小为2 N，由车与空沙桶受力平衡可知空沙桶的重力也等于2 N，A对；t＝50 s时刻摩擦力达到最大值，即最大静摩擦力为3.5 N，同时小车启动，说明带有沙的沙桶重力等于3.5 N，此时摩擦力立即变为滑动摩擦力，最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，故摩擦力突变为3 N的滑动摩擦力，B、C正确；此后由于沙和沙桶重力3.5 N大于滑动摩擦力3 N，故50 s后小车将加速运动，D错． 【答案】ABC 10．人体生理——低头看手机时颈椎受力情况分析 (2018·山东济宁一模)智能手机的普及使“低头族”应运而生．低头时，颈椎受到的压力会增大(当人体直立时，颈椎所承受的压力等于头部的重力)．现将人体头颈部简化为如图所示的模型：重心在头部的P点，在可绕O转动的颈椎OP(轻杆)的支持力和沿PQ方向肌肉拉力的作用下处于静止．当低头时，若颈椎与竖直方向的夹角为45°，PQ与竖直方向的夹角为53°，此时颈椎受到的压力与直立时颈椎受到压力的比值为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) () A．4 B．5 C.4 2 D．5 2 【解析】 低头时，对头部进行受力分析，如图所示，在水平方向F N sin 45°＝F sin 53°，竖直方向F N cos 45°＝mg ＋F cos 53°，联立解得F N ＝42mg ，直立时，由题意知F ′N ＝mg ，因此 F N F ′N ＝42，所以C 正确，A 、B 、D 错误． 【答案】 C [综合提升练] 11．(2018·山东烟台高三上学期期中)用两根轻绳AC 和BC 悬挂一重物，绳与水平天花板的夹角分别为37°和53°，如图所示．AC 绳能承受的最大拉力为100 N ，BC 绳能承受的最大拉力为200 N ，已知sin 37°＝0.6，g 取10 m/s 2. (1)若重物的质量为5 kg ，则两根绳AC 和BC 上的拉力分别为多大？ (2)为了不使绳子被拉断，所悬挂重物的质量不应超过多大？ 【解析】 (1)由受力分析可知： F AC ＝mg cos 53°＝30 N F BC ＝mg cos 37°＝40 N. (2)经分析可知绳AC 最先达到最大拉力， 当F ＝100 N 时，m ＝F AC g cos 53°＝16.7 kg. 【答案】 (1)30 N 40 N (2)16.7 kg 12．如图所示，斜面倾角为θ＝30°，一个重20 N 的物体在斜面上静止不动．弹簧的劲度系数为k ＝100 N/m ，原长为10 cm ，现在的长度为6 cm. (1)试求物体所受的摩擦力大小和方向． (2)若将这个物体沿斜面上移6 cm ，弹簧仍与物体相连，下端仍固定，物体在斜面上仍静止不动，那么物体受到的摩擦力的大小和方向又如何呢？ 【解析】 (1)设物体所受的摩擦力大小为F f1，方向沿斜面向上，对物体进行受力分析，则有F f1＝mg sin θ－F ，由于F ＝kx 1＝4 N ，故F f1＝20 N ×1 2 －4 N ＝6 N ，方向沿斜面向上． (2)若将物体上移，设物体所受的摩擦力大小为F f2，方向沿斜面向上，则再对物体进行受力分析可得：F f2＝mg sin θ＋F ′， 由于F ′＝kx 2＝100×(0.12－0.10)N ＝2 N ， 故F f2＝20 N ×1 2 ＋2 N ＝12 N ，方向沿斜面向上． 【答案】 (1)6 N 方向沿斜面向上 (2)12 N 方向沿斜面向上
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