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本书根据最新复试要求并结合历年复试经验对该题型进行了整理编写，涵盖了这一复试科目该题型常考及重点复试试题并给出了参考答案，针对性强，由于复试复习时间短，时间紧张建议直接背诵记忆，考研复试首选资料。
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一、2020年天津大学信号系统与通信原理考研复试核心题库之通信原理证明题精编
1．设二进制随机脉冲序列由与组成，出现的概率为p，出现的概率（1-p）。证明：
如果
（与t无关）
且0＜k＜1，则脉冲序列将无离散谱。
【答案】已知
则有
将上式两边做傅里叶变换，得
其中，和分别为和的傅里叶变换。
令，得到
将上式代入二进制随机脉冲序列的功率谱密度表达式中，显然离散谱部分将为0。
2．双极性NRZ码在抽样时刻的电平取值为+A或-A，分别对应1码和0码；信源发送1码和0码的概率分别为和，其概率密度服从判决器输入端噪声功率为的正态分布。证明：在基带传输系统中，信源发送1码和0码为等概率时，判决器的最佳判决电平为零。
【答案】信源发送1码和0码的概率分别为，其概率密度服从判决器输入端噪声概率为的正态分布，设最佳判决门限为，则基带传输系统的平均误比特率为
由，可以得到，最佳门限为
所以，当时，，即判决器的最佳判决电平为零。
3．设和是随机二进制序列的码元波形。它们的出现概率分别是P和（1-P）。试证明：若
，式中，k为常数，且0＜k＜1，则此序列中将无离散谱。
【答案】若，与t无关，且0＜k＜1，则有
即
所以稳态波为
即。所以无离散谱。得证！
4．试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。
【答案】设基带调制信号为，载波为，则经调幅后，有
已调信号的功率
因为调制信号为余弦波，设，故。则：
载波功率为
边带功率为
因此。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。
5．试证明单边带信号不能采用平方变换法提取相干载波。
【答案】单边带信号
平方后
对单边带信号，要求m（t）中无直流；根据希尔伯特变换性质，中也无直流。因而上式第2项中的系数中无直流，该项中不存在分量：第3项中的系数亦无直流，该项中也不存在分量。
6．试证明对于单极性基带波形，其最佳门限电平为
最小误码率（“1”和“0”等概出现时）
【答案】对于单极性基带信号，在一个码元持续时间内，抽样判决器输入端得到的波形
可表示为
其中为均值为0,方差为的高斯噪声。发送“1”时，x（t）的一维概率密度为
而发送“0”时,x（t）的一维概率密度为
令判决门限为，则将“1”错判为“0”的概率为
将“0”错判为“1”的概率为
设发送“1”和“0”码的概率分别为p（1）和p（0）,则系统总的误码率为
令，可求得最佳门限电平，即
解得
若p（0）=p（1）=1/2，则。此时，系统误码率为
7．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每一个脉冲的持续时间为，脉冲幅度取的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有广义平稳性，试证：（1）自相关函数
（2）功率谱密度。
【答案】（1）由题意，设是随机二进制信号的一个样本函数，如图所示。
因为脉冲幅度取的概率相等，所以的数学期望为
令是任意选取的两个时刻：
①当时，和在不同的脉冲间隔内，和相互独立，所以此时
②当时，和有可能在同一脉冲间隔内，也有可能不在同一脉冲间隔内，这取决于随机起始时间，如图所示，（b）图和在同一脉冲间隔内，（c）图和不在同一脉冲间隔内。
图
（a）随机二进制信号的样本函数和在同一脉冲间隔内；和不在同一脉冲间隔内设和不在同一脉冲间隔为事件A，由于可能取内任何值，当时，在同一脉冲间隔内的概率为
一般情况下，。
相应地，和在同一脉冲间隔为事件的概率为
于是，此随机二进制信号的自相关函数为
因为A表示事件和不在同一脉冲间隔，所以
而
所以
综上所述，可得到的自相关函数的完整表示式为
（2）取的傅里叶变换，即得到此随机二进制信号的功率谱密度为
证毕。