三角函数知识点总结
1、任意角：
正角： ；负角： ；零角： ；
2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象
限对应的标号即为n
α
终边所落在的区域．
5、 叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ．
7、弧度制与角度制的换算公式：
8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S=
9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距
离是()
0r r =>，则sin y r α=
，cos x r α=，()tan 0y
x x
α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：．
12、同角三角函数的基本关系：(1) ;
(2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．
()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
()5sin cos 2π
αα??-=
???，cos sin 2παα??
-= ???
． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???
．
口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴
sin 22sin cos ααα
=．(2)
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα
=-=-=-（2
cos 21cos 2
αα+=
，2
1cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．
公式的变形：
()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan ?±=±，
辅助角公式
()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =
A
． 14、函数sin y x =的图象平移变换变成函数()sin y x ω?=A +的图象． 15.函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：
①振幅：A ；②周期：2π
ω
T =
；③频率：12f ωπ
=
=T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?
．
16．图像正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
三角函数题型分类总结
一．求值
1、sin330?= tan690° = o
585sin =
2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12
cos 13
α=
，则sin α= （2）（09北京文）若4
sin ,tan 05
θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12
cot 5
A =-
，则cos A = . (4) α是第三象限角，2
1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ
+=
3、(1) (07陕西) 已知sin α=
则44sin cos αα-= .
(2)（04全国文）设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4
π
α+= .
（3）（06福建）已知3(
,),sin ,25π
απα∈=则tan()4
π
α+= 4（07重庆）下列各式中，值为
2
3
的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+= (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o
o
o
o
+= 。 （3）sin163sin 223sin 253sin313+= 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝
1
5
，则sin 2θ= （2）已知3
sin()45
x π-=，则sin 2x 的值为
(3) 若2tan =α ,则
α
αα
αcos sin cos sin -+=
7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，
，则αcos = tan 2α=
8．（07浙江）已知cos(
)2
2π
?+=
，且||2
π
?<，则tan ?＝
9.若
cos 22
π2sin 4αα=-
?
?- ?
?
?，则cos sin αα+= 10.（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）
A ．0
sin11cos10sin168<< B ．0
sin168sin11cos10<< C ．0
sin11sin168cos10<< D ．0
sin168cos10sin11<< 11．已知53
)2cos(=
-
π
α，则αα22cos sin -的值为 （ ）
A ．257
B ．2516-
C ．259
D ．257-
12．已知sin θ=－
13
12，θ∈（－
2π，0），则cos （θ－4
π
）的值为 （ ）
A ．－2627
B ．2627
C ．－26217
D ．26
2
17
13．已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30°）的值是 （ ）
A ．1
B ．
2
3
C ．0
D ．－1 14．已知sin x －sin y = －32，cos x －cos y = 3
2
，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )的值是 ( ) A ．
5142 B ． －5142 C ．±5142 D ．28
14
5± 15．已知tan160o ＝a ，则sin2000o 的值是 ( ) A.a 1＋a 2 B.－a 1＋a 2 C.11＋a 2 D.－1
1＋a 2
16.()2
tan cot cos x x x += ( )
（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x 17.若02,sin 3απαα≤≤>
，则α的取值范围是： ( )
（Ａ）,32ππ??
??? （Ｂ）,3ππ??
??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32
ππ
??
???
18.已知cos （α-
6π）+sin α=
的值是则)6
7sin(,354π
α- ( ) （A ）-
532 （B ）5
32 (C)-54 (D) 54
19.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （ ）
（A ）
21 （B ）2 （C ）2
1
- （D ）2-
20.0203sin 702cos 10--= A. 1
2
B.
2
C. 2
D.
2
二.最值
1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。
2.①（08全国二）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 。 ②（08上海）函数f (x )＝3sin x +sin(π
2+x )的最大值是
③（09江西）若函数()(1)cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为
3.（08海南）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。
4.（09上海）函数2
2cos sin 2y x x =+的最小值是 . 5．（06年福建）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??
-???
?上的最小值是2-，则ω的最小值等于
6.（08辽宁）设02x π??
∈ ???
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
7.函数f (x )＝3sin x +sin(π
2
+x )的最大值是
8．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ．
6π7 B ．3π C ．6π D ．2
π 9.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最
大值为（ ） A ．1 B
C
D ．2
10．函数
y=sin （
2
πx+θ）cos （
2
π
x+θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是
（ ） A ．4
π B ．2
π C ．3
2π D ．4
3π
11.函数2()sin cos f x x x x
=在区间
,42ππ??????
上的最大值是
( )A.1
C.
3
2
12.求函数24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
三.单调性
1.（04天津）函数]),0[()26
sin(2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.
A. ]3,
0[π
B. ]127,12[ππ
C. ]6
5,3[π
π D. ],65[ππ 2.函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ）
A ．ππ??- ?44??，
B ．3ππ?? ?44??
，
C ．3π??π ?2??
，
D ．32π??
π
?2??
，
3.函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 （ ） A ．5[,]6ππ--
B ．5[,]66ππ--
C ．[,0]3π-
D ．[,0]6
π
- 4．（07天津卷） 设函数()sin ()3f x x x π?
?
=+
∈ ???
R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ??
?
???，上是增函数
B ．在区间2π?
?
-π-????
，
上是减函数 C ．在区间34
ππ??????
，上是增函数
D ．在区间536
ππ??????
，上是减函数
5.函数2
2cos y x =的一个单调增区间是 ( ) A ．(,)44ππ
-
B ．(0,)2π
C ．3(,)44
ππ
D ．(,)2ππ
6．若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4
π)= f (x -4
π)，则f (x)的解析式可以是
（ ）
A ．f (x)=cosx
B ．f (x)=cos(2x 2
π
+) C ．f (x)=sin(4x 2
π
+
) D ．f (x) =cos6x
四.周期性
1．（07江苏卷）下列函数中，周期为
2
π
的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4
x
y = D ．cos 4y x
=
2.（08江苏）()cos 6f x x πω??
=-
??
?
的最小正周期为
5
π
，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2
sin |x
y =的最小正周期是（ ）.
4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .
（2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.（1）函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是
(2)（09江西文）函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 (3). （08广东）函数()(sin cos )sin f x x x x =-的最小正周期是 ． (4)（04年北京卷.理9）函数x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小正周期是 . 6.(09年广东文)函数1)4
(cos 22
--
=π
x y 是 ( )
A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为
2
π的奇函数 D. 最小正周期为2π
的偶函数
7.（浙江卷2）函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 .
8．函数21
()cos (0)3
f x x =->的周期与函数()tan 2x
g x =的周期相等，则
等于（ ）
(A )2 (B )1 (C )12 ( D )1
4
五.对称性
1.（08安徽）函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 （ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
2．下列函数中，图象关于直线3
π
=x 对称的是 （ ）
A )32sin(π
-
=x y B )62sin(π-=x y C )6
2sin(π
+=x y D )62sin(π+=x y
3．（07福建）函数πsin 23y x ?
?
=+
??
?
的图象 （ ） Ａ．关于点π
03
?? ???
，对称
Ｂ．关于直线π
4
x =
对称
Ｃ．关于点π
04
?? ???
，对称
Ｄ．关于直线π
3
x =
对称 4.（09全国）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(
,0)3
π
中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π
5．已知函数y=2sinwx 的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为3
2π
，则w 的值为
（ ）A ．3 B ．23 C ．3
2
D ．
3
1
六.图象平移与变换
1.（08福建）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2
π
个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为
2.（08天津）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 3.(09山东)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数
解析式是
4.(09湖南)将函数y=sinx 的图象向左平移?(0 ≤?＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π
-的
图象，则?等于 5．要得到函数)4
2sin(π
-
=x y 的图象，需将函数x y 2sin =的图象向 平移 个单位
6 （2）（全国一8）为得到函数πcos 23y x ??
=+ ??
?
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 向 平移 个单位 （3）为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移
个单位长度
7.（2009天津卷文）已知函数)0,)(4
sin()(>∈+
=w R x wx x f π
的最小正周期为π，将)
(x f y =的图像向左平移||?个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则?的一个值是
A
2π B 83π C 4π D 8
π
8.将函数 y = 3 cos x －sin x 的图象向左平移 m （m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，
则 m 的最小正值是 （ ）
A. π6
B. π
3
C.
2π3 D. 5π
6
11．将函数y=f （x ）sinx 的图象向右平移
4
π
个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin 2
x 的图象，则f （x
）
是
（ ）A ．cosx B ．2cosx C ．Sinx D ．2sinx 七.图象 1．（07宁夏、海南卷）函数πsin 23y x ??=-
??
?在区间ππ2??
????
，的简图是 （ ）
2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数
])20[)(2
32cos(ππ
，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数
是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=
（ ）
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 1/3 4．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）
（A ）sin 6y x π??=+
??? （B ）sin 26y x π?
?=- ???
（C ）cos 43y x π??=- ??? （D ）cos 26y x π?
?=- ??
?
5.（2009江苏卷）函数sin()y A x ω?=+（,,A ω?为常数，
0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则
ω= .
6.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像
y
x
1 1- 2π-
3π
-O
6
π
π
y
x
1
1- 2π-
3π-O 6
π
π y
x
1 1-
2π
-
3
π
O 6π-π
y
x
π 2
π-
6π-1 O
1
- 3
π
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
如图所示，则
712
f π??
= ???
。 7．(2010·天津)下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间???
?－π6，5π
6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点 A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
B ．向左平移π
3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
D ．向左平移π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
8．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ????2x ＋π
6的图象 A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π
4个长度单位
C ．向左平移π2个长度单位
D ．向右平移π
2个长度单位
9．(2010·重庆)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示，则
A ．ω＝1，φ＝π6
B ．ω＝1，φ＝－π
6
C ．ω＝2，φ＝π
6
D ．ω＝2，φ＝－π
6
10．已知函数y ＝sin ????x －π12cos ????x －π
12，则下列判断正确的是 A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是????π12，0 B ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是????π12，0 C ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是????
π6，0 D ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是???
?π6，0
11．如果函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π
8对称，则实数a 的值为 ( )
A.2 B ．－2 C ．1 D ．－1
12．(2010·福建)已知函数f (x )＝3sin ????ωx －π
6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈???
?0，π
2，则f (x )的取值范围是________． 13．设函数y ＝cos 1
2πx 的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，….则A 50
的坐标是________．
14．把函数y ＝cos ????x ＋π
3的图象向左平移m 个单位(m >0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．
15．定义集合A ，B 的积A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }．已知集合M ＝{x |0≤x ≤2π}，N ＝{y |cos x ≤y ≤1}，则M ×N 所对应的图形的面积为________．
16.若方程3sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上有两个不同的实数解x 1、x 2，求a 的取值范围，并求x 1＋x 2的值．
17．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点M ????
π3，12.
(1)求f (x )的解析式；
(2)已知α，β∈????0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝12
13
，求f (α－β)的值． 18．(2010·山东)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－1
2sin ????π2
＋φ(0<φ<π)，其图象过点????π6，12. (1)求φ的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的
图象，求函数g (x )在????0，π4上的最大值和最小值． 九..综合
1. （04年天津）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2
,
0[π
∈x 时，x x f sin )(=，则)3
5(
π
f 的值为
2．(04年广东)函数f(x)22sin sin 4
4
f x x x ππ
=+--（）（）（）
是
A ．周期为π的偶函数
B ．周期为π的奇函数
C ． 周期为2π的偶函数
D ．.周期为2π的奇函数
3．（ 09四川）已知函数))(2
sin()(R x x x f ∈-
=π
，下面结论错误．．
的是 A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，
2
π
］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数 4．(07安徽卷) 函数)3
2sin(3)(π
-
=x x f 的图象为C , 如下结论中正确的是
①图象C 关于直线π12
11
=
x 对称; ②图象C 关于点)0,32(π对称;
③函数12
5,12()(π
π-在区间x f )内是增函数;
④由x y 2sin 3=的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C.
5.（08广东卷）已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
6.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2
32cos(ππ
，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数
是（ ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 7．若α是第三象限角，且cos
2
α
<0，则
2
α是
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
8．已知函数()2sin()f x x ω?=+对任意x 都有()()66
f x f x π
π+=-，则()6f π
等于
A 、2或0
B 、2-或2
C 、0
D 、2-或0 十.解答题
6.（2009福建卷文）已知函数()sin(),f x x ω?=+其中0ω>，||2
π
?<
（I ）若cos
cos,sin
sin 0,4
4
π
π
??3-=求?的值；
（Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π
，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。
7.已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω??
=++ ??
?
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
??????
，上的取值范围．
8.知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 9.已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域 10.已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π （Ⅰ求f （
8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.
11.已知向量)cos ,sin 3(x x a = ，)cos ,(cos x x b = ，记函数b a x f
?=)(。
（1）求函数)(x f 的最小正周期；
（2）求函数)(x f 的最大值，并求此时x 的值。
12（04年重庆卷.文理17）求函数x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=的最小正周期和最小值；并写出该函数在],0[π的单调递增区间.
14.（2009陕西卷文） 已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02
A π
ω?>><<）
的周期为π，且图象上一个最低点为2(
,2)3
M π
-.