4-3三角函数的图象与性质
基础巩固强化
1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.1
3 B ．3 C ．6 D ．9
[答案] C
[解析] 由题意知，π3＝2π
ω·k (k ∈Z )，
∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.
(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向左平移π
6个单位
C ．向右平移π
12个单位
D ．向右平移π
6个单位
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋
π3＝2sin2(x ＋π
6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π
6
个单位得到，故应选B.
2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π
4
)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝
π4
B ．x ＝
π2 C ．x ＝－π
4D ．x ＝－
π2
[答案] C
[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －
π
4
)的图象的对称轴是 x －π4
＝k π＋π2
，k ∈Z ，即x ＝k π＋
3π
4
，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π
4
.
[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． (理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π
3)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π
12 C ．x ＝
π3
D ．x ＝
π6
[答案] A [解析] 令2x ＋
π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π
12
，k ∈Z ， 令k ＝0得x ＝π
12，故选A.
[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π
3
＝π
2
，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π
6)的一个递减区间为( ) A ．(
π6，2π3) B ．(－
π3，π6
) C ．(－
π2，π
2
) D ．(π2，3π
2
)
[答案] A [解析] 由2k π＋
π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得， k π＋π
6
≤x ≤k π＋
2π
3
(k ∈Z )， 令k ＝0得，π6≤x ≤2π
3
，故选A.
(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π
2，π)上单调
递减，则ω的取值范围是( )
A ．[12，5
4]
B ．[12，34]
C ．(0，1
2]
D ．(0,2]
[答案] A
[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．
ω＝2?ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1?(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4
]合题意，排除B ，C.
4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π
4
]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )
A.2
3 B.3
2 C ．2 D ．3
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π
2ω
≤π3
， ∴ω≥32，即ω的最小值为3
2
.
5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A ．ω＝π2，φ＝π
4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝
π4，φ＝5π4
[答案] C
[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π
4
.
令
π4×1＋φ＝π2，得φ＝π
4
，∴选C. (理)函数y ＝
x
sin x
x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )
[答案] C
[解析] 依题意，函数y ＝
x
sin x
，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，
π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝x
sin x
>1，故选C.
6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π
4
)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π
4对称 B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π
2对称 C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π
4对称 D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π
2
对称 [答案] D
[解析] f (x )＝sin ?
???2x ＋
π4＋cos ???
?2x ＋π
4
＝2sin ?
??
?
2x ＋
π2＝2cos2x . 则函数在?
??0，
π2单调递减，其图象关于直线x ＝π
2
对称． (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：
①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝3
2；③若α、
β是第一象限角且α<β，则tan α 4)的一条对称轴 方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋ π3)的图象关于点(π 12 ，0)成中心对称图形． 其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤ [答案] C [解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)?y ＝－sin 2 3x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<3 2 ，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝3 2 ； ③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)， 即tan α 4)的一条对称轴； ⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π 2 ＝1， 所以点( π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π 3 )的对称中心． 综上所述，只有①④正确． [点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1 2，1]，则b －a 的最小值为________． [答案] 2π 3 [解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π 3 ，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π， k ∈Z . 由图象观察知，b －a 的最小值为2π 3 . (理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2， f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2 ，则正数ω的值为________． [答案] 1 [解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋ π 3 )， 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π 2，T ＝2π，所以ω ＝1. 8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π 2 ，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． [答案] －2 [解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π 6 )， ∵x ∈( π 2 ，π)时，原方程有两个不同的实数根， ∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π 2，π)有两个不同的交点，∴－2 9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π 3 )的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－ π 2 ，0]，则x 0＝________. [答案] － π6 [解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π 3 )的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π 3 )＝0， ∵x 0∈[－ π2，0]∴x 0＝－π6 . 10．(文)(2011·北京文)已知函数f(x)＝4cos x sin(x＋π 6 )－1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[－π 6 ， π 4 ]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f(x)＝4cos x sin(x＋π 6 )－1 ＝4cos x( 3 2 sin x＋ 1 2 cos x)－1 ＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x ＝2sin(2x＋π 6 )． 所以f(x)的最小正周期为π. (2)因为－π 6 ≤x≤ π 4 ，所以－ π 6 ≤2x＋ π 6 ≤ 2π 3 . 于是，当2x＋π 6 ＝ π 2 ，即x＝ π 6 时，f(x)取得最大值2； 当2x＋π 6 ＝－ π 6 ，即x＝－ π 6 时，f(x)取得最小值－1. (理)(2011·天津南开中学月考)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，3cos x)，函数 f(x)＝a·b＋ 3 2 . (1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x≤π 2 时，求函数f(x)的值域． [解析] (1)f(x)＝sin x cos x－3cos2x＋ 3 2 ＝1 2 sin2x－ 3 2 (cos2x＋1)＋ 3 2 ＝1 2 sin2x－ 3 2 cos2x＝sin(2x－ π 3 )， 所以f(x)的最小正周期为π. 令sin(2x－π 3 )＝0，得2x－ π 3 ＝kπ， ∴x＝kπ 2 ＋ π 6 ，k∈Z. 故所求对称中心的坐标为(kπ 2 ＋ π 6 ，0)(k∈Z)． (2)∵0≤x ≤ π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3 . ∴－ 32x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－3 2 ，1]. 能力拓展提升 11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin x x <π) 的图象大致是( ) [答案] B [解析] y ＝sin x ·|cos x sin x | ＝????? cos x ，0 π 2 0，x ＝ π2－cos x ，π2 . (理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π 2)，y ＝f (x )的部分 图象如图，则f (π 24 )＝( ) A．2＋ 3 B. 3 C. 3 3 D．2－ 3 [答案] B [解析] 由图可知：T＝2×(3 8 π－ π 8 )＝ π 2 ， ∴ω＝π T ＝2， 又∵图象过点(3 8 π，0)， ∴A·tan(2×3 8 π＋φ)＝A·tan( 3 4 π＋φ)＝0， ∴φ＝π 4 . 又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π 4 ＝A＝1， ∴f(x)＝tan(2x＋π 4 )， ∴f(π 24 )＝tan(2× π 24 ＋ π 4 ) ＝tan(π 12 ＋ π 4 )＝tan π 3 ＝ 3. 12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( ) A ．98π B. 197 2 C ．99π D ．100π [答案] C [解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2π ω≥1，∴ ω≤99π，故选C. (理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ????π 2的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2 个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] C [解析] ∵y ＝sin ????π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ????π 2x 的周期T ＝4， ∴t ≥7 4 T ＝7，故选C. 13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π 2 ))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π 12 对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点(π 4 ，0)对称； ②图象关于点(π 3 ，0)对称； ③在[0，π 6 上是增函数； ④在[－ π 6 ，0]上是增函数中， 所有正确结论的编号为________． [答案] ②④ [解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π 12 对称，∴2× π12＋φ＝π2，∴φ＝π3 ， ∴f (x )＝sin(2x ＋ π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π 3 )＝0， 故②正确；由2k π－ π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π 12 ，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π 12 ，故③错，④正确，∴正确结论为②④. (理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： ①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π 2 ，0]上单调递减． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④ [解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f ( π 2＋2π)＝ π2＋2π≠π 2 ， ∴②假；∵f ( π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π 2 )≠0，∴③假；设0≤x 1 f x 1f x 2＝x 1x 2· sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1) 2 ]上为增 函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－ π 2 ，0]上为减函数，∴④真． 14．函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋3 2. (1)求函数f (x )的最大值和最小值； (2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)由???? ? f 0＝2，f π3＝12＋3 2 ， 得????? 2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋3 2 .解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π 4 )＋1， ∵－1≤sin(2x ＋ π 4 )≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2. (2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋ π4＝sin(2β＋π 4 )． ∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4 )，且α≠β， ∴2α＋ π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π 4 )， ∴α＋β＝ π4或α＋β＝5π 4 ，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π 2 －x )． (1)若α∈[0，π]，且sin2α＝1 3，求f (α)的值； (2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝1 3＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]， ∴α∈(0， π 2 )，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2 ＝1＋2sin α·cos α＝43， 得sin α＋cos α＝ 233，∴f (α)＝2 3 3. (2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π 4 )，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0， π 4 ]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n . (1)求角B 的大小； (2)设f (x )＝cos ?? ?? ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间 [0， π 2 ]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B . 由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B . 又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π 3 . (2)由题知f (x )＝cos(ωx － π 6 )＋sin ωx ＝ 32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π 6 )， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)， 当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π 6 ]， sin(2x ＋ π6∈[－1 2 ，1]． 因此，当2x ＋ π6＝π2，即x ＝π 6 时，f (x )取得最大值 3. 当2x ＋ π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32 . 16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2 x . (1)求f (x )的单调递减区间； (2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π 6 ， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π 2 k ∈Z ) 得k π＋ π6≤x ≤k π＋2π3 (k ∈Z )， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π 3 ](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6＝0得2x ＋π 6 ＝k π(k ∈Z )， 即x ＝ k π 2 － π 12 (k ∈Z )， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π 12 ，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋ π6)＝2sin(2β＋π 6 )， 又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋ π6＋(2β＋π 6 )＝2k π＋π(k ∈Z )， 即α＋β＝k π＋π 3 (k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3. (理 ) (2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin( π3＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π 2 .y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )． (1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π 3，求A 的值． [解析] (1)由题意得，T ＝ 2π π3 ＝6， 因为P (1，A )在y ＝A sin(π 3x ＋φ)的图象上， 所以sin( π 3 ＋φ)＝1. 又因为0<φ< π2，所以φ＝π6 . (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )， 由题意可知π3x 0＋π6＝3π 2，得x 0＝4， 所以Q (4，－A )． 连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2 3 π，由余弦定理得， cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2 ＝－1 2， 解得A 2 ＝3 又A >0，所以A ＝ 3. 1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6 处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( ) A ．[－π，－5π 6 ] B ．[－5π6，－π 6] C ．[－ π 3 ，0] D ．[－ π 6 ，0] [答案] D [解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π 3 ，∴f (x )＝A sin(x － π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π 6 ，令k ＝0得－π 6 ≤x ≤0，故选D. 2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ? ???ωx ＋ π4(ω>0)的图象向右平移π 4 个单位长度后，与函数y ＝sin ? ?? ? ωx ＋ π3的图象重合，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.112 D.233 [答案] D [解析] y ＝sin ? ?? ?ωx ＋ π4 y ＝sin ??????ω????x －π4＋π4＝sin ??? ?ωx ＋π 3， ∴ π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －1 3 (k ∈Z )， 又∵ω>0，∴ωmin ＝23 3 . 3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πx R 图象上相邻的一个最大值点与一 个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D [解析] f (x )的周期T ＝ 2π π R ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D. 4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( ) A ．x ＝π B ．x ＝7π 8 C ．x ＝ π4 D ．x ＝ π2 [答案] B [解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π 4 )． 由2x － π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π 8 令k ＝1得x ＝7π 8 B. 5. (2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( ) A ．10 B ．8 C.87 D.47 [答案] B [分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解． [解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝ 2π π ＝2，tan α＝ AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋ 3 21－12× 3 2＝8，∴选B. 6．对任意x 1，x 2∈? ???0， π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2 x 2 ，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1 D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B [解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1 x 1 的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线 斜率，1＋sin x 2 x 2 的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1 1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B. 7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝? ?? ?? sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数； ②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝ 5π 4 ＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π π2＋2k π(k ∈Z )时，0 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④ [解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确． 8．已知函数f (x )＝3sin(2x － π6)＋2sin 2 (x －π12 )(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝ 3sin(2x － π6)＋1－cos2(x －π 12 )＝2?? ?? ?? 32sin ????2x －π6－12cos ????2x －π6＋1 ＝2sin(2x － π 3 )＋1. 所以最小正周期为T ＝π. (2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3＝1，得出x ＝k π＋5π 12(k ∈Z )，∴x 值的集 合为{x |x ＝k π＋ 5π 12 ，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等． 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=， 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 三角函数专题训练 19．（本小题满分12分） 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且， （Ⅰ）若sin sin A B +=6，求A ； （Ⅱ）若ABC ?的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围． 17．（本小题共12分） 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示． （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==．记()n m x f ?= （I ）若32f ()α=，求23 cos()πα-的值； （Ⅱ）在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足 ()2cos cos a c B b C -=，若13f (A )+= ，试判断?ABC 的形状． 17、海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。（假设游船匀速行驶） （1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）（5分） （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。（7分） 19．解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且， 所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =， 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a 三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ， 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 高一数学第一次月考试题 一． 选择题（每题５分，共６０分） １．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π ２．0sin300＝（ ） A ．1 2 B ． 32 C ．－12 D ．－32 ３．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) ４．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α ＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 D ．－2316 ５．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．4 5π= x ６．将函数y ＝sin(x －π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π 3个单位，得到的图象 对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin(12x －π 2) C ．y ＝sin(12x －π 6 ) D ．y ＝sin(2x －π 6 ) ７．已知α是第二象限角，且4tan =-3 α，则( ) A ．4sin =-5α B ．4sin =5α C ．3cos =5α D ．4cos =-5 α ８．已知3 cos +=25πθ?? ???，且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ，则tan θ＝( ) A ．43 B ．－43 C ．34 D ．－34 ９．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< π 2 )的部分图象如 第一部分三角函数公式 2两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα2cosβ-sinα2sinβ cos(α-β)=cosα2cosβ+sinα2sinβ sin(α±β)=sinα2cosβ±cosα2sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα2tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα2tanβ) 2和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2积化和差公式： sinα2cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα2sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα2cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα2sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 2倍角公式： sin(2α)=2sinα2cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) csc(2α)=1/2*secα2cscα 2三倍角公式： sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα2sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα2cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+ α)tan(π/3-α) 高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理 1角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ① 终边为一射线的角的集合： x|x 2k ② 终边为一直线的角的集合： xx k 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式：1 aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，1为弧长 (2) 扇形的面积公式 :S 1 -IR R 为圆弧的半径，1为弧长。 2 (3) 三角函数定义： 角 中边上任意一点P 为(x,y)，设|OP| r 则： sin — ,cos r x J r tan y r=寸孑圧 x 女口：公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明 (4)特殊角的三角函数值 ③两射线介定的区域上的角的集合: x2k ④两直线介定的区域上的角的集合： x k x k ,k Z ? k 360', k Z ,k Z = | ，k Z ； 反过来，角 的终边上到原点的距离为 r 的点P 的坐标可写为：P r cos ,r sin 4 x 4 4 sin cos tan - -si n + cos -ta n - + si n -cos -ta n + -si n -cos + tan 2 . -si n + cos -ta n 2k + + si n + cos + tan sin con tan 2 + cos + sin + cot 2 + cos -si n -cot 3 2 -cos -si n + cot 3_ 2 -cos + sin -cot 三角函数值等于 的同名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符 号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 的异名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符号； 即:函数名改变，符号看象限： sin x 比如 cos 一 x 4 cos x cos x sin 一 (6)三角函数线：(判断正负、比较大小，解方程或不等式等) 如图，角 的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边0P 于点T ，贝U (7)同角三角函数关系式： ③ 平方关系：sin 2 a cos 2 a 1 ①倒数关系： tan acota 1 ②商数关系: tana ^ina cosa (8)诱导公试 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质 ①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A
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