一次函数与变换作业
1.把直线y=2x-3向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的直线为 .
2.把直线y=2x-3沿x轴翻折后的直线表达式为；
把直线y=-2x+3沿y轴翻折后的直线表达式为；
3.若把直线y=x-2沿直线x=1翻折，求翻折后的直线解析式.
y=-与x轴所夹锐角是多少度？
4.求直线2
5.直线y=2x绕点O逆时针旋转90°后直线表达式为。
6.直线y=-2x+1绕点O逆时针旋转90°后，求旋转后的直线表达式.
7.已知：直线y=x+3与x轴交于点A.
（1）此直线绕点A顺时针旋转15°，求旋转后的直线表达式.
（2）此直线绕点A逆时针旋转15°，求旋转后的直线表达式.
=x轴交于点P.
8.直线y x
（1）此直线绕点P顺时针旋转15°，求旋转后的直线表达式.
（2）此直线绕点P顺时针旋转30°，求旋转后的直线表达式. .
平移，对称，旋转 一次函数图象的几何变换 【教学目标】 1．熟练掌握一次函数图象经过平移后的函数表达式求解方法． 2．了解一次函数的图象经过简单的旋转、对称的等几何变换后的表达式． 3．培养学生的位置感和推理能力. 【重难点】 重点：求一次函数平移变换后的表达式． 难点：由坐标系中不同的函数图象求相关的几何问题（面积，边长）． 【知识要点】 1．直线b kx y +=向左平移m 个单位得到直线 ，向右平移m 个单位得到直线 ，向上平移m 个单位得到直线 ， 向下平移m 个单位得到直线 ． 2．将直线b kx y +=①关于x 轴对称，得到直线 ； ②关于y 轴对称，得到直线 ． ③关于原点对称，得到直线 ． 3. 111b x k y +=和222b x k y +=，当,,2121b b k k ≠=两直线平行.当121-=?k k 时,两直线垂直. 【典型例题】 例1． （1）求函数3 6-= x y 向上平移4个单位后得到新函数的解析式. （2）直线121+-=x y 向 平移 个单位可得直线521--=x y 。
例2 已知函数25y x =-的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把它向右平移2个单位后与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，求C ，D 两点的坐标. 例3 已知在直角坐标系中，直线y =+x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，作AB 边关于x 轴、y 轴和坐标原点的对称直线，画出图象，并求这四条直线围成的四边形的面积。 例4 如图，已知直线AB 与y 轴、x 轴分别交于点A （0，4）和点B （2，0），将此直线向左平移与x 轴的负半轴和y 轴的负半轴分别交于点C 、点D ，使DB=DC ，求直线CD 的解析式。 例5 已知直线1l ：21y x =-与2l ：122 y x =-+，将1l 向左平移3个单位得3l ，将2l 向下平移
一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.
一次函数与几何图形综合专题思想方法小结： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结： （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． b＞0时，直线与x轴正半轴相交； ②当k，b异号时，即- k b=0时，直线经过原点； 当b=0时，即- k b﹤0时，直线与x轴负半轴相交． 当k，b同号时，即- k ③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0) 当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 121b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③?? ?≠=2 121,b b k k ?y 1与y 2平行； ④???==2 121,b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC (2) 在 OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作 PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：① x
三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数
函数图象变换的四种方 式 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
函数图象变换的四种方式 一，平移变换。 （1）水平平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。 （简记：左加右减，这里的a>0。） （2）上下平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。 （简记：上加下减，这里的a>0） 二，对称变换。 （1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。 所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记：左右翻折) （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。 所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记：上下翻折) （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记：旋转180度) 三，翻折变换。 （1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？ 先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形 （简记：右不动，左对称） （2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？ 先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。 （简记：上不动，下上翻） 四，伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。 （2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
一次函数图象的变换——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。 知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m 个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b)，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用： 例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。 分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。 解：设平移后的直线解析式为y=2x+h 点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1）， 将点（1，-1）代入y=2x+h中得： -1=2×1+h h=-3 所以平移后直线的解析式为y=2x-3 例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。 分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0 , 2 ）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1 , 2 ）。设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k=2不变，以及点（1 , 2 ）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。 解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.
一次函数 一次函数 图像性质 【培优练习】 1. 在同一直角坐标系中，对于函数：①y=﹣x ﹣1，①y=x+1，①y=﹣x+1，①y=﹣2（x+1）的图象，下列说法正确的是（ ） A ． 通过点（﹣1，0）的是①和① B ． 交点在y 轴上的是①和① C ． 相互平行的是①和① D ． 关于x 轴对称的是①和① 2. 如果点P(a ，b)关于x 轴的对称点p’在第三象限，那么直线y=ax+b 的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 一次函数y=ax+b 在直角坐标系中的图象如图所示，则化简|a+b|﹣|a ﹣b|的结果是（ ） A ． 2a B ． ﹣2a C ． 2b D ． ﹣2b 4. 函数y=kx+|k| （k≠0）在直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
5. 作函数y 1=﹣x+4，y 2=3x ﹣4的图象如图，若y 1＞y 2成立，则x 的取值范围为（ ） A ． x≤2 B ． x ＜2 C ． x ＞2 D ． x≥2 6. 一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；①a ＞0；①当x ＞2时，y 2＞y 1，其 中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7. 下列图象中，不可能是关于x 的一次函数y=mx ﹣（m ﹣3）的图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 设直线kx+(k+1)y ﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k ，则S 1+S 2+…+S 2008= ．
已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2 ()2 3 f π =- ，则(0)f =（ ） （A ）23- (B) 23 (C)－ 12 (D) 1 2 2π 3，于是f(0)【解析】选B.由图象可得最小正周期为 ＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称， 所以f(2π3 ) ＝－f(π2)＝23. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π (D) 2 π 【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4232k ππφπ∴? +=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6 π φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________ 【解析】由图可知， ()544,,2,1255T x πωπ??? = ∴=+ ??? 把代入y=sin 有： 89,510ππ???? +∴= ??? 1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712 f π ?? = ??? 。
【解析】由图象知最小正周期T ＝ 32（445ππ-）＝ 32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4 π时，f （x ）＝0，即2φπ +? 4 3sin(）＝0，可得4 π φ= ，所以，712f π ?? = ? ?? 2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的图象与x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为2 π ，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[ ,]122 x ππ ∈，求()f x 的值域. 【解析】（1）由最低点为2(,2)3 M π -得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2 π ，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126 k π?π∴=- 又(0, ),,()2sin(2)266f x x π ππ ??∈∴= =+故 （2）7[,],2[,]122636x x πππππ ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266 x ππ+= 即2 x π =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移 4π B.向左平移4 π
. 函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种： 一、平移变换 2，在同一坐标系中画出：＝x设f(x)例1 (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图 (2)如图
点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到； y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到； y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到． 小结：
二、对称变换的图象，并观察两个函数图)－xy＝f(x＋1，在同一坐标系中画出y＝f()和x例2设f(x)＝象的关系．1的图象如图所示．＝－x＋x与y＝f(－)＋y解画出＝f(x)＝x1 由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称． 点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 三、翻折变换 例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数1 / 6
. 图象的关系． 解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所 示． 点评要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解如下图所 示． 点评要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可． 小结： 保留x轴上方图象y?f(x)????????y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：
高中数学中的函数图象变换及练习题 ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换： Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐 标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到。f (x )y =f (x )a x ?→y =f (ax ) 1.画出下列函数的图像 （1）)(log 2 1 x y -= （2）x y )21(-= （3）x y 2 log = （4）12-=x y （5）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移 3个单位而得到。 （6）当1>a 时，在同一坐标系中函数x a y -=与x y a log =的图像（ ）
函数图像的四种变换 1．平移变换 左加右减，上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位； ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位； a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位； a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。 （1）对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 （2）中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点（a,b）对称。 3伸缩变换 （1）) (x af y=的图像，可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。 （2）) (ax f y=（a>0）的图像，可以将) (x f y=的横坐标伸长（0
4．翻折变换 （1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。 （2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。 习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像
函数图像的三种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种： 一 、平移变换 函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 1、 沿水平方向左右平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。 函数图象的平移变化可以概括地总结为： （1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 （3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解 例1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 分析 把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。 故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 分析 把已知函数图象向右平移1个单位， 即把其中自变量换成，得.
1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页
6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数
一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。 知识点： 1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。 2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用： 例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。 分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点 解：1、关于x轴对称 设点（x , y ）在直线l上，则点（x , -y ）在直线y=2x+6上。 即：-y=2x+6 y=-2x-6 所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6. 关于直线对称。 2、关于y轴对称 设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。 即：y=2(-x) +6 y=-2x+6 所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.
3、关于直线x=5对称（作图） 由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10 所以点C （-x+10, y） 设点（x,y）在直线l上， 则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。 即：y=2（-x+10）+6 y=-2x+26 所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26. 总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。 关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题 中分析的方法去求对称点。 练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称， 求k、b的值。 答案：1、y=-5x-3;y=x+2 分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在
高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点： ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A
(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图 象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习 1． 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01)， ，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析： 题型1：三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换？
函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下 3 种： 一、平移变换 例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出： (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1 和y＝f(x)－1 的图象，并观察三个函数图象的关 系．解(1)如图 (2)如图 点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到； y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长度得到； y＝f(x)＋1 的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1 个单位长度得到； y＝f(x)－1 的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1 个单位长度得到． 小结： 二、对称变换 例2 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解画出y＝f(x)＝x＋1 与y＝f(－x)＝－x＋1 的图象如图所示． 由图象可得函数y＝x＋1 与y＝－x＋1 的图象关于y 轴对 称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y 轴 对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x 轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 三、翻折变换 例 3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数
将x 轴下方图象翻折上去 并作其关于y 轴对称的图象 图象的关系． 解 y ＝f (x )的图象如图 1 所示，y ＝|f (x )|的图象如图 2 所示． 点评 要得到 y ＝|f (x )|的图象，把 y ＝f (x )的图象中 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方，其余部分不变． 例 4 设 f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出 y ＝f (x )和 y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解 如下图所示． 点评 要得到 y ＝f (|x |)的图象，先把 y ＝f (x )图象在 y 轴左方的部分去掉，然后把 y 轴右边的对称图象补到左方即可． 小结： y = f (x ) ??保?留x ?轴上?方图?象?→ y ＝|f (x )|. y = f (x ) ???保留?y 轴右?侧?图象??→ y ＝f (|x |). 如图： 四 函数图象自身的对称性 1. 函数 y = f (x ) 的图象关于直 x = a + b 对称? f (a + x ) = f (b - x ) ? f (a + b - x ) = f (x ) 2 2. 函数 y = f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称? 2b - f (x ) = f (2a - x ) ? f (x ) = 2b - f (2a - x ) ? f (a + x ) + f (a - x ) = 2b 3.若 f (x ) = - f (-x ) ，则 f (x ) 的图象关于原点对称，若 f (x ) = f (-x ) ，则 f (x ) 的图象 关于 y 轴对称。 基础训练 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 x ∈(0，＋∞)时，函数 y ＝|f (x )|与 y ＝f (|x |)的图象相同. ( × ) y y=f(|x|) a o b c x y y=|f(x)| a o b c x y y=f(x) a o b c x
一、新课引入： 师：前面我们学习了正弦函数y=sinx的图象和性质，请同学说出它的定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间？ 生：定义域：R，值域：[-1，1]，奇函数，单增区间：[]单减区间： [] 师：回答的很好，那么形如函数的定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间又如何呢？ （一片茫然，没有学生回答） 师：大家别着急，今天我们就要来学习它们的图象和性质，并通过它们的图象和性质进一步来探究它们的图象与y=sinx图象会有什么样的关系． 二、动手实验： 下面请大家用图形计算器在同一坐标系分别输入以下几组三角函数的图象，并观察每一组图象的定义域、值域、周期、单调区间及其再观察每一组图象相互之间的关系、特点，然后进行小组讨论、交流． 第一组： 第二组： 第三组： （教师巡视，同时指导学生注意输入中经常出现的几个问题：窗口调节、弧度与度的单位转换、及其如何利用在同一坐标系同时画图和利用功能键进行追踪和如何利用其它键进行的放大等等．） 三、师生交流： 师：从下列第一组图1，你有什么体会？
图1 师：的定义域、值域、周期分别是多少？ 生：的定义域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：应该与y=sinx的一样还是 师：不错，那么呢？ 生：的定义域x∈R，值域：y∈［－，］，周期： 师：很好，那么它们三者之间的图象有什么关系呢？ 生：好象它们之间有一定的伸缩关系 师：能不能再说得具体一点吗？ 生：伸缩倍数是不是与2和有关呢？ 师：大家探究和分析的很好，是不是这样呢？不过别着急．下面请大家先看大屏幕几何画板的动画演示 （老师心喜：他们能够说出“伸缩”二字，而且发现与2和有关，只是猜想不知是否正确，此时，利用动画演示有助于验证他们的猜想）