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2019年北京初三数学汇编代数综合

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝mx 2

－4mx ＋4m －2 的顶点为M

（1）顶点M 的坐标为_______ __

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN ∥y 轴且MN = 2

①点N 的坐标为_____________

②过点N 作y 轴的垂线l ，若直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m 的取值范围

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx a =+过点A （-1，0）

（1）求抛物线的对称轴

（2）直线4y x =+与y 轴交于点B ，与该抛物线对称轴交于点C ，如果该抛物线与线段BC 有交点，结合函数的图象，求a 的取值范围

在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844y x ax a =-+-，(1,0),(,0)A N n -

（1）当1a =时

①求抛物线G 与x 轴的交点坐标 ②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围

（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax ax c =++（其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A ()3,0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4

（1）求抛物线的表达式

（2）求CAB ∠的正切值

（3）如果点P 是x 轴上的一点，且ABP CAO ∠=∠，直接写出点P 的坐标

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2

40y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2 （1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)

（2）若抛物线()2

40y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点

若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围

在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B

（1）直接写出点B 的坐标

（2）若抛物线2

y x bx c =-++经过点A ,B ，求抛物线的表达式

（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++经过点A （0，2），B （3，4-）

（1）求该抛物线的函数表达式及对称轴

（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有两个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围

在平面直角坐标系中xoy 中，抛物线()()02212

≠--+=a x a ax y 与y 轴交于点C ，当a=1时，该抛物线与x 轴的两个交点为A ，B （点A 在点B 左侧）

（1）求点A ，B ，C 的坐标

（2）若该抛物线与线段AB 总有两个公共点，结合函数的图像，求a 得取值范围

在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线a ax ax y 342

+-= （1）求抛物线的对称轴

（2）当a >0 时，设抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，若△ABC 为等边三角形，求a 的值

（3）过T （0，t ）（其中21≤≤-t ）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M ，N 两点. 若对于满足条件的任意t 值，线段 MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围

已知抛物线()m x m x y -+-+-=652

（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点

（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 得取值范围

（3）设抛物线()m x m x y -+-+-=652与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线x y -=的对称点

恰好是点M ，求m 的值

在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++-=2

经过点A ，B ，C ，已知A （-1,0）C （0,3）（1）求抛物线的表达式

（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当BCD ?的面积最大时，求点P 的坐标

（3）如图2，抛物线顶点为E ，x EF ⊥轴于F 点，N 是线段EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴上一动点，若090=∠MNC ，

直接写出实数m 的取值范围

在平面直角坐标系xoy 中，抛物线的表达式为m m mx x y 22422

2+-+-=，线段AB 的两个端点分别为A （1,2）B （3,2）

（1）若抛物线经过原点，求出m 的值

（2）求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）

（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图像，求出m 的取值范围

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）经过（1,0），且与y 轴交于点C

（1）直接写出点C 的坐标

（2）求a ,b 的数量关系

（3）点D （t ，3）是抛物线y =ax 2+bx +3上一点（点D 不与点C 重合）

①当t =3时，求抛物线的表达式

②当3

北京市2018年中考数学一模分类汇编代数综合题

代数综合 2018西城一模 26.在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，抛物线的xOy G 2 21(0)y mx mx m m =++-≠y C G 顶点为，直线：． D l 1(0)y mx m m =+-≠（1）当时，画出直线和抛物线，并直接写出直线被抛物线截得的线段长．1m =l G l G （2）随着取值的变化，判断点，是否都在直线上并说明理由． m C D l （3）若直线被抛物线截得的线段长不小于，结合函数的图象，直接写出的取值范围． l G 2 m x

2018石景山一模 26．在平面直角坐标系中，将抛物线（个单位长度后得 xOy 2 1G y mx =+：0m ≠到抛物线，点是抛物线的顶点．2G A 2G （1）直接写出点的坐标； A （2）过点且平行于x 轴的直线l 与抛物线交于，两点． 02G B C ①当时，求抛物线的表达式； =90BAC ∠°2G ②若，直接写出m 的取值范围． 60120BAC <∠<°°

2018平谷一模 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的对称轴为直线x =2． 2 23y x bx =-+-（1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中．12x x <①当时，结合函数图象，求出m 的值； 213x x -=②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，，求m 的取值范围． 44y -≤≤

2018怀柔一模 26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． (1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标； (3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线 m x y += 2 1 与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．

初三(下册)数学知识点详解

初三（下册）数学各章节重要知识点总结二次函数 1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0) 2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点. 3. y=ax2(a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2(a≠0); 这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax2 (a≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0). 4. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： 5. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系： (1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下； (2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过； c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过； (3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧； b=0 <=> 对称轴是y轴； (4) Δ＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点； Δ=0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）； Δ＜0 <=> 抛物线与x轴无交点. 6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法. 8．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k. 9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x0,y0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -x0)2+ y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式） 10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移

人教版九年级数学知识点总结

第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。

说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根

2017北京中考一模代数综合题型汇总

代数综合题型汇总 1.（2017年西城一模）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数5)12(2-++-=m x m mx y 5)12(2-++-=m x m mx y 的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是-6≤y ≤4-n ，求n 的值； ③将此二次函数图像平移，使平移后的图像经过原点O . 设平移后的图像对应的函数表达式为k h x a y +-=2)(，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围. 2.（2017年通州一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222+-+-=m m mx x y 的顶点为D.线段AB 的两个端点分别为A （-3，m ），B （1，m ）. （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围.

l 3．（2017大兴一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 – 2mx + m 2 – 1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）（1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的代数式表示）；（2）求线段AB 的长；（3）抛物线与y 轴交于点C （点C 不与原点O 重合），若△OAC 的面积始终小于△ABC 的面积，求m 的取值范围 4.（2017年房山一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C. （1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线n nx nx y 542 +-= (n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题）（4 （陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

(完整版)人教版初中数学知识点汇总

人教版初中数学知识点总结目录七年级数学（上）知识点(1) 第一章有理数(1) 第二章整式的加减(3) 第三章一元一次方程(4) 第四章图形的认识初步(5) 七年级数学（下）知识点(6) 第五章相交线与平行线(6) 第六章平面直角坐标系(8) 第七章三角形(9) 第八章二元一次方程组(12) 第九章不等式与不等式组(13) 第十章数据的收集、整理与描述(13) 八年级数学（上）知识点(14) 第十一章全等三角形(14) 第十二章轴对称(15) 第十三章实数(16) 第十四章一次函数(17) 第十五章整式的乘除与分解因式(18) 八年级数学（下）知识点(19) 第十六章分式(19) 第十七章反比例函数(20) 第十八章勾股定理(21) 第十九章四边形(22) 第二十章数据的分析(23) 九年级数学（上）知识点(24) 第二十一章二次根式(24) 第二十二章一元二次根式(25) 第二十三章旋转(26) 第二十四章圆(27)

第二十五章概率(28) 九年级数学（下）知识点(30) 第二十六章二次函数(30) 第二十七章相似(32) 第二十八章锐角三角函数(33) 第二十九章投影与视图(34) 1 七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ①??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

2018年北京市中考数学一模分类26题代数综合

2018年北京市中考数学一模分类——26题代数综合题东26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a 的值；（2）①求抛物线的对称轴； ②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．西26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221y mx mx m =++- (m ≠0)与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线l ：1y mx m =+-(m ≠0) ．（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长；（2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由；（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于．．．2．，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.

海26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2 2y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ， 2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =， ①当m b =时，求1x ，2x 的值； ②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是．朝26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2 440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . （1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围. 丰26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 43y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻

初三下册数学知识点

初三下册数学知识点 1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax bx c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式 y=ax∧2; bx c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x m)∧2 k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2 k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax ∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2) (y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3) (y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b -4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式)

求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b ;)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b ;-4ac=0时，P在x轴上。开口 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a|a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a当a与b异号时(即ab0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a

人教版初三数学复习提纲-知识点

初三数学应知应会的知识点一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ；其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=>有两个不等的实根； Δ=0<=>有两个相等的实根； Δ＜0 <=>无实根；Δ≥0 <=>有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2a c 4b b x ) 1(212122 ,1= -=+-±-=，； ※ 5．当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2 -4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数?a b -= 0且Δ≥0?b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数?a c =1且Δ≥0?a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根?a c = 0且a b -≠0?c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ?a c = 0且a b -= 0?c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ?a c =0?c=0；（6）两根异号 ?a c ＜0 ?a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值?a c ＜0且a b -＞0?a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值?a c ＜0且a b -＜0?a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ?a c ＞0，a b -＞0且Δ≥0?a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ?a c ＞0，a b -＜0且Δ≥0?a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0. 6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解. ax 2 +bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2 +bx+c=??? ? ?? ----???? ? ?-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式： x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）： (1) 第一年为 a ,第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： . 0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法

初中数学代数几何解题技巧

如何用好题目中的条件暗示有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，如图1。图1 （1）求B、A两点的坐标；（2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD。求D点的坐标。解析：（1）容易求得，A（0，1）。（2）如图2，图2 ∵，A（0，1）， ∴OB=，OA=1。 ∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30° ∵把△AOB以直线AB为轴翻折， ∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC。 ∴△OBC是等边三角形以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可分别求得D的坐标为（0，0），。反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标分别为B（，0），A（0，1），实质上暗示着Rt△AOB中，OA=1，OB=，即暗示着∠OBA=30°，为解第（2）小题做了很好的铺垫。

【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3。图3 （1）求三解形ABC的面积。（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。解析：（1）容易求得：A（，0），B（0，1）， ∴。（2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形BOP的面积为，故不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数。图4 （3）如图4，①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：，和第（3）小题的条件可得： ∴， ∵，

2020-2021学年北京市各区中考数学二模《代数》综合考点题汇总含答案

最新北京市各区初三数学二模代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ： 25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x 轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；（3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422a x a -=-=． ∵抛物线1 C 的顶点在 x 轴上，∴它的顶点为（2， 0）．……………………………………………………1分 ∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-． ∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ， ∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分 ∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ， ∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分 ∵m n - =(5)t -+2(54)t t --+- 269t t =-+ 2(3)0t =-≥， ∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点， ∴点E 应在线段BD 上． ∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方，

初三数学上下册的学习知识点总结计划与重点难点总结计划.docx

----- 初三数学知识整理与重点难点总结第21 章二次根式知识框图理解并掌握下列结论：（1）是非负数；（2）；（3）； I.二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0 时，√ a 表示 a 的算数平方根 ,√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥ 0）是一个非负数。 II.二次根式√ā 的简单性质和几何意义 1）a≥0; √ā≥0[双重非负性] 2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3)√(a^2+b^2) 表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。

IV. 二次根式的乘法和除法 1运算法则 √a·√ b= √ab（ a≥ 0，b≥0） -1- ----

√a/b= √a/√ b（a≥ 0，b>0 ）二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。 V.二次根式的加法和减法 1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化分母有理化有两种方法 I.分母是单项式如:√a/ √b= √a×√ b/√b×√ b=√ ab/b

人教版初中数学知识点总结总复习

人教版初中数学知识点总结总复习 Prepared on 22 November 2020

一、考试指导思想初中毕业数学学业考试是依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）进行的义务教育阶段数学学科的终结性考试。考试要有利于全面贯彻国家教育方针，推进素质教育；有利于体现九年义务教育的性质，全面提高教育质量；有利于数学课程改革，培养学生的创新精神和实践能力；有利于减轻学生过重的课业负担，促进学生生动、活泼、主动地学习。数学学业考试命题应当根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题，面向全体学生，使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能正常表现自己的学习状况。学业考试要求公正、客观、全面、准确地评价学生通过初中教育阶段的数学学习所获得的发展状况。数学学业考试要重视对学生学习数学的结果与过程的评价，重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，重视对学生数学认识水平的评价；学业考试试卷要有效发挥选择题、填空题、计算（求解）题、证明题、开放性问题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题及其它各种题型的功能，试题设计必须与其评价的目标相一致，加强对学生思维水平与思维特征的考查，使试题的解答过程体现《数学课程标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、猜测、验证、推理等等。二、考试内容和要求（一）考试内容数学学业考试应以《数学课程标准》所规定的四大学习领域，即数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用的内容为依据，主要考查基础知识、基本技能、基本体验和基本思想。 1．关注基础知识与基本技能了解数的意义，理解数和代数运算的算理和算法，能够合理地进行基本运算与估算；能够在实际情境中有效地使用代数运算、代数模型及相关概念解决问题。能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能够对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。正确理解数据的含义，能够结合实际需要有效地表达数据特征，会根据数据结果做合理的预测；了解概率的涵义，能够借助概率模型或通过设计活动解释事件发生的概率。有条件的地区还应当考查学生能否借助计算器进行较复杂的运算和从事数学规律的探究活动。 2.关注“数学活动过程” 包括数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究的意识、能力和信心等。也包括能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的语言有条理地表达数学的思考过程。 3．关注“数学思考”

人教版初中数学代数式知识点

人教版初中数学代数式知识点一、选择题 1．下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，按此规律排列下去，第n 个图形中五角星的个数为（） A ．31n - B ．3n C ．31n + D ．32n + 【答案】C 【解析】【分析】根据前4个图形中五角星的个数得到规律，即可列式得到答案. 【详解】观察图形可知：第1个图形中一共是4个五角星，即4311=?+，第2个图形中一共是7个五角星，即7321=?+，第3个图形中一共是10个五角星，即10331=?+，第4个图形中一共是13个五角星，即13341=?+， L ，按此规律排列下去，第n 个图形中一共有五角星的个数为31n +，故选：C. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，观察图形得到五角星的个数的变化规律并运用解题是关键. 2．下列各计算中，正确的是( ) A ．2323a a a += B ．326a a a ?= C ．824a a a ÷= D ．326()a a = 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则【详解】解：A 、不是同类项，无法进行合并计算； B 、同底数幂乘法，底数不变，指数相加，原式=5a ； C 、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，原式=6a ； D 、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式=6a . 【点睛】

本题主要考查的就是同底数幂的计算法则.在运用同底数幂的计算的时候首先必须将各幂的底数化成相同，然后再利用公式来进行计算得出答案.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则，底数不变，指数相乘.在进行逆运算的时候很多同学容易用错，例如：m n m n a a a +=+等等. 3．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、、299、2100，若250＝a ，用含a 的式子表示这组数的和是（） A ．2a 2－2a B ．2a 2－2a －2 C ．2a 2－a D ．2a 2＋a 【答案】C 【解析】【分析】由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，得出规律：2+22+23+…+2n =2n+1-2，那么250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【详解】解：∵2+22=23-2； 2+22+23=24-2； 2+22+23+24=25-2； … ∴2+22+23+…+2n =2n+1-2， ∴250+251+252+…+299+2100 =（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+ (249) =（2101-2）-（250-2） =2101-250， ∵250=a ， ∴2101=（250）2?2=2a 2， ∴原式=2a 2-a ．故选：C ．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n =2n+1-2． 4．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（）

北京各区2019届初三数学期末汇编-代数综合题

2019九上代数综合题 2019昌平 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝mx 2－4mx ＋4m －2 的顶点为M . （1）顶点M 的坐标为_______ __. （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN ∥y 轴且MN = 2. ①点N 的坐标为_____________； ②过点N 作y 轴的垂线l ，若直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m 的取值范围. 2019朝阳 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 (12)2y ax a x =+--(0)a ≠与y 轴交于点C .当1a =时，抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）若该抛物线与线段AB 总有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.

2019大兴 26．已知抛物线2 56y x m x m =--+-+（）. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线256y x m x m =--+-+（）与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值. 2019东城 26 . 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的表达式为2 2 2422y x mx m m =-+-+，线段AB 的两个端点分别为A （1，2），B （3，2） (1) 若抛物线经过原点，求出m 的值； (2)求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）； (3)若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围.

九年级数学下册重要知识点总结

初三数学下册重要知识点总结第25章概率 1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别 2、概率注意：（1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映. （2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同. 3、求概率的方法（1）用列举法求概率（列表法、画树形图法）（2）用频率估计概率：一方面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同. 第26章二次函数 1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0) 4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法. 5．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k. 6．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. 8. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： 9. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系： (1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下； (2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过； c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过； (3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧； b=0 <=> 对称轴是y轴； (4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac =0 <=> 抛物线与x 轴有一个交点（即相切）； b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.

人教版初三数学知识点总结87881

初三知识整理全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节：第21章二次根式第22章一元二次方程第23章旋转第24章圆第25 章概率初步本册书内容分析如下：第21章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：（1）是一个非负数；（2）≥0）；（3） (a≥0)．注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)， (a≥0，b>0)，并运用它们进行二次根式的化简。

“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。第22章一元二次方程学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。（1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。（3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。

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2019年北京初三数学汇编 代数综合

北京市2018年中考数学一模分类汇编 代数综合题