二0一一年日照初中学业考试 数 学 试 题
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．第1～8小题每小题得3分，第9～12小题每小题得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1．(-2)2的算术平方根是
（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2
2．下列等式一定成立的是
（A ） a 2+a 3=a 5 （B ）（a +b ）2=a 2+b 2
（C ）（2ab 2）3=6a 3b 6 （D ）（x -a ）（x -b ）=x 2-（a +b ）x +ab 3． 如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°，45A ∠=°，那么E ∠ 的大小为
（A ）70° （B ）80° （C ）90° （D ）100°
4．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有
（A ）54盏 （B ）55盏 （C ）56盏 （D ）57盏
5．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为
6．若不等式2x ＜4
的解都能使关于x 的一次不等
式（a -1）x ＜a +5成立，则a 的取值范围是
（A ）1＜a ≤7 （B ）a ≤7 （C ） a ＜1或a ≥7 （D ）a =7
7． 以平行四边形ABCD 的顶点A 为原点，直线AD 为x 轴建立直角坐标系，已知B 、D 点的坐标分别为（1,3），（4,0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C 点平移后相应的点的坐标是
（A ）（3，3） （B ）（5,3） （C ）（3,5） （D ）（5,5）
8．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为
（A ）
41 （B ）163 （C ）43 （D ）8
3 9．在平面直角坐标系中，已知直线y =-4
3
x +3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C （0，n ）是y 轴上一点．把坐标
平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C 的坐标是 （A ）（0，
43） （B ）（0，3
4
） （C ）（0,3） （D ）（0,4） 切，记作cot A =
a
b
．则下10．在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余列关系式中不成立．．．
的是 （A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1
11．已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为
b
a ab
+的是
12． 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在
（A ）第502个正方形的左下角 （B ）第502个正方形的右下角 （C ）第503个正方形的左上角 （D ）第503个正方形的右下角
数 学 试 题
第Ⅱ卷（非选择题 共80分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
题号 二
三
总 分
18 19 20 21 22 23 24 得分
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13．计算sin30°﹣2-= ．
14． 如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 ．
15．已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(=0，那么x 2011-y 2011= ． 16．正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，
得 分
评 卷 人
且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形ABCN
的面积最大．
17．如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ： ①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1； ④a -2b +c ＞0． 其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
三、解答题：本大题共7小题，共60分．解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18. （本题满分6分）
化简，求值： 11
1(1122
2+---÷-+-m m m m m m ） ，
其中m =3．
19．（本题满分8分）
卫生部修订的《公共场所卫生管理条例实施细则》从今年5月1日开始正式实施，这意味着“室内公共场所禁止吸烟”新规正式生效.为配合该项新规的落实，某校组织了部分同学在“城阳社区”开展了“你最支持哪种戒烟方式”的问卷调查，并将调查结果整理后分别制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整．
请你根据统计图解答下列问
题：
（1）这次调查中同学们一共调查了多少人？ （2）请你把两种统计图补充完整； (3)求以上五种戒烟方式人数的众数．
20．（本题满分8分）
得 分
评 卷 人
得 分
评 卷 人
得 分
评 卷 人
为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．
得分评卷人
21．（本题满分9分
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
求证：（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2＝AB·AD．
得分评卷人
22．（本题满分9分）
某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
空调机电冰箱
甲连锁店200 170
乙连锁店160 150
设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
23．（本题满分10分）
如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线
上的一点，且CE ＝CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC ； （2）若点M 在DE 上，且DC=DM ， 求证： ME=BD ．
24．（本题满分10分）
如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =
x
k
相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，-2），点A 在第一象限内， 且t an ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在， 请你说明理由．
二０一一年初中学业考试数学试题参考答案及评分标准
4分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
D
B
B
C
A
D
A
B
D
C
C
二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
13．2
3
； 14．如：x 2-5x +1=0； 15．-2； 16．2; 17．①③． 三、解答题：(本大题共7小题, 共60分)
18．(本题满分6分)
得 分
评 卷 人
得 分
评 卷 人
解：原式=1)
1()1)(1(1
1222+--+-÷-+-m m m m m m m
=1
11
)1)(1()1(22+--+?+--m m m m m m ……………………………2分
=
m m m m m -+?+-2
111 =m
m m --21
=
)1(1--m m m =m
1
．………………………………………………5分
∴当m =3时，原式=
3
3
3
1=
．………………………………6分 19．(本题满分8分)
解：（1）这次调查中同学们调查的总人数为20÷10%=200（人）；………2分 （2）统计图如图（扇形图与统计图各2分）； …………………6分
（3）以上五种戒烟方式人数的众数是20． …………………8分
20．(本题满分8分)
解：（1）设每年市政府投资的增长率为x ， …………………………… 1分
根据题意，得：2+2（1+x ）+2（1+x ）2=9.5，
整
理
，
得
：
x 2+3x -1.75=0， ……………………………
…………………3分
解之，得：x =
2
75
.1493?+±-，
∴x 1=0.5 x 2=-0.35（舍去），…………………………………………5分 答：每年市政府投资的增长率为50%；…………………………………6分 （2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷
388
2
=（万平方米）．………8分 21．(本题满分9分)
证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°，
即∠ACD +∠ACO =90°．…① …………………………………………2分 ∵OC=OA ，∴∠ACO =∠CAO ，
∴∠AOC =180°-2∠ACO ，即21
∠AOC +∠ACO =90°. …②……………4分
由①，②，得：∠ACD -2
1
∠AOC =0，即∠AOC =2∠ACD ；………………5分
（2）如图，连接BC ．
∵AB 是直径，∴∠ACB =90°．……………6分
在Rt △ACD 与△Rt ACD 中，
∵∠AOC =2∠B ，∴∠B =∠ACD ，
∴△ACD ∽△ABC ，………………………8分 ∴AC
AD AB AC =，即AC 2=AB ·AD ． ………9分 22．（本题满分9分）
解:(1)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x )台,
调配给乙连锁店空调机(40-x )台,电冰箱(x -10)台，……………1分 则y =200x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10)，
即y =20x +16800．………………………………………………2分
∵ ???????≥-≥-≥-≥,
010,040,070,0x x x x
∴10≤x ≤40． ……………………………3分 ∴y =20x +168009 (10≤x ≤40); ………………………………4分 (2)按题意知：y =（200-a ）x +170(70-x )+160(40-x )+150（x -10），
即y =（20-a ）x +16800． ………………………………………5分 ∵200-a ＞170，∴a ＜30． ………………………………………6分
当0＜a ＜20时，x =40，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台； 当a =20时，x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润相同；
当20＜a ＜30时，x =10，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台； …………………………………9分 23．（本题满分10分）
证明：（1）在等腰直角△ABC 中，
∵∠CAD =∠CBD =15o ，
∴∠BAD =∠ABD =45o -15o =30o ， ∴BD=AD ，∴△BDC ≌△ADC ，
∴∠DCA =∠DCB =45o ．………………2分 由∠BDM =∠ABD+∠BAD =30o +30o =60o ， ∠EDC=∠DAC +∠DCA =15o +45o =60o ， ∴∠BDM =∠EDC ，
∴DE 平分∠BDC ； ……………4分 （2）如图，连接MC ，
∵DC=DM ，且∠MDC =60°，
∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ．
又∵∠EMC =180°-∠DMC =180°-60°=120°， ∠ADC =180°-∠MDC =180°-60°=120°，
∴∠EMC =∠ADC ． …………………………7分 又∵CE=CA ，
∴∠DAC =∠CEM =15°，∴△ADC ≌△EMC ， ………………………9分 ∴ME=AD=DB ． ………………………………10分 24．（本题满分10分）
解：（1）把点B （-2，-2）的坐标，代入y =
x
k ， 得：-2=
2
-k
，∴k =4． 即双曲线的解析式为：y =
x
4
． ………………………………2分 设A 点的坐标为（m ，n ）。∵A 点在双曲线上，∴mn =4．…①
又∵tan ∠AOx =4，∴
n
m
=4， 即m =4n ．…② 又①，②，得：n 2=1,∴n =±1.
∵A 点在第一象限，∴n =1,m =4 ， ∴A 点的坐标为（1，4）
把A 、B 点的坐标代入y=ax 2
+b x ，得：?
??-=-+=b a b a 242,
4解得a =1，b =3；
∴抛物线的解析式为：y=x 2+3x ；…………………………………………4分
（2）∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标y =4，
代入y=x 2+3x ，得方程x 2+3x-4=0，解得x 1=-4，x 2=1（舍去）．
∴C 点的坐标为（-4，4），且AC =5，……………………………………6分 又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积=
2
1×5×6=15 ； ……………………7分 （3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积. 过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ．
因为直线AB 相应的一次函数是：y =2x +2，且C 点的坐标为（-4，4），CD ∥AB ， 所以直线CD 相应的一次函数是：y =2x +12.……………………………9分
解方程组???+=+=,
122,32x y x x y 得???==,18,
3y x 所以点D 的坐标是（3，18）…10分