上海市长宁区、嘉定区2018届高三数学上学期质量调研（一模）试题
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合}4,3,2,1{=A ，}5,4,2{=B ，则=B A ______________. 2．不等式
01
≤+x x
的解集为___________________. 3．已知54sin =
α，则=??? ?
?
+2cos πα__________.
4．=+-+∞→1
31
3lim 1
n n n _____________. 5．已知球的表面积为π16，则该球的体积为____________. 6. 已知函数x x f a log 1)(+=，)(1
x f
y -=是函数)(x f y =的反函数，若)(1x f y -=的图
像过点)4,2(，则a 的值为_____________.
7．若数列}{n a 为等比数列，且35=a ，则
=-8
37
2
a a a a __________. 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、
b 、
c ，若ac c b a c b a =+-++))((， 则=B ___________.
9．若n
x x ??? ?
?
+12的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的
值为____________.
10．已知函数)(x f 是定义在R 上且周期为4的偶函数．当]4,2[∈x 时，
??? ??
-=23log )(4x x f ，则
??
?
??21f 的值为__________. 11．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*
N ∈n ），若1
1
2)
1(++-=n n n
n a a n b , 则数列}{n b 的前n 项和=n T _______________.
12．若不等式)(22
2x y cx y x -≤-对满足0>>y x 的任意实数x ，y 恒成立，则实数c 的
最大值为_____________.
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“0sin >α”的…（ ）．
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
14．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，
则下列命题一定正确的是……………………………………………………………（ ）． （A ）l 与1l 、2l 都不相交 （B ）l 与1l 、2l 都相交
（C ）l 至多与1l 、2l 中的一条相交 （D ）l 至少与1l 、2l 中的一条相交
15．对任意两个非零的平面向量α和β，定义θβαβα|
|=
?，其中θ为α和β的夹 角．若两个非零的平面向量a 和b 满足：①||||b a ≥；②a 和b 的夹角??
?
?
?∈4,
0πθ； ③b a ?和a b ?的值都在集合?
?????∈=
N n n
x x ,2中．则b a ?的值为…………（ ）
． （A ）25 （B ）23 （C ）1 （D ）2
1
16．已知函数???
????
≤<-≤≤=,
121,22,2
10,2)(x x x x x f 且)()(1x f x f =，))(()(1x f f x f n n -=，
,3,2,1=n …．则满足方程x x f n =)(的根的个数为……………………………（ ）
． （A ）n 2个 （B ）2
2n 个 （C ）n 2个 （D ）)12(2-n
个
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，设长方体1111D C B A ABCD -中，3==BC AB ，41=AA ． （1）求四棱锥ABCD A -1的体积；
（2）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
A
C
D A 1
B 1
1
D 1
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数z 满足2=z ，2z 的虚部为2．
（1）求复数z ；
（2）设2
2
,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2==BD AC m ． （1）设θ=∠BOD ，试将L 表示为θ的函数； （2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知函数x
x
x f -+=22)(． （1）求证：函数)(x f 是偶函数； （2）设R ∈a ，求关于x 的函数)(222
22x af y x x
-+=-在),0[∞+∈x 时的值域)(a g 的
表达式；
（3）若关于x 的不等式12)(-+≤-m x mf x
在),0(∞+∈x 时恒成立，求实数m 的取值
范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列}{n a 满足：11=a ，
4112
1+=+n
n a a ，*
N ∈n ． （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设数列}{n b 的前n 项和为n S ，且满足38162
21
21--+=++n n a S a S n n n n ，试确定1b 的值，使得数列}{n b 为等差数列；
（3）将数列?
??
??
?21n a 中的部分项按原来顺序构成新数列}{n c ，且51=c ，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列}{n c ．
参考答案
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．}4,2{ 2．]0,1(- 3．5
4- 4．
31 5．3
32π 6．4 7．18 8．3
2π
9．1120
10．2
1 11．1)1(1+-+-n n 或???????+-++-为偶数，
为奇数n n n n n n ,1
,1
2 12．422-
二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．A 14．D 15．B 16．C
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）因为⊥A A 1平面ABCD ，所以A A 1就是四棱锥ABCD A -1的高．
9=?=BC AB S ABCD ， ……………………………………………………………（3分）
41=AA ，所以12493
1
3111=??=?=-A A S V ABCD ABCD A ． …………………………（6分）
故四棱锥ABCD A -1的体积为12．
（2）连结D A 1、BD ，因为11B A ∥DC ，且DC B A =11，所以四边 形CD B A 11是平行四边形，所以D A 1∥C B 1．故D BA 1∠或其补角就是
异面直线B A 1与C B 1所成的角． …………………………………（2分） 在△BD A 1中，52121=+=
A A A
B B A ，52121=+=A A AD D A ，
2322=+=
AD AB BD ． ……………………………………………（4分）
所以，25
16
2cos 11221211=?-+=
∠D A B A BD D A B A D BA ． …………………………………（7分） 所以，异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为25
16
arccos ． ……………………………（8分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）设i y x z +=（R ∈y x ,），则???==+,
22,
222xy y x …………………………（3分）
解得??
?==1,1y x 或?
??-=-=.1,
1y x ………………………………………………………（5分） 所以i 1+=z 或i 1--=z ． ……………………………………………………………（6分） （2）由（1）知，i 1+=z 时，i 22=z ，i 12
-=-z z ， …………………………（1分） 所以，)1,1(A ，)2,0(B ，)1,1(-C ， ………………………………………（2分） 1=?ABC S ． …………………………………………………………（4分）
当i 1--=z 时，i 22
=z ，i 312
--=-z z ， ……………………………………（5分）
所以，)1,1(--A ，)2,0(B ，)3,1(--C ， ……………………………………（6分）
1=?ABC S ． ……………………………………………………………（8分）
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）θcos 2=
AO ， θ
sin 2
=BO ． ………………………………（２分） θθθθθθcos sin )cos (sin 2sin 2cos 2+=+=
+=BO AO L ，??
?
??∈2,0πθ． …………（6分）
（2）设??? ??+=
+=4sin 2cos sin πθθθx ，??
?
??∈2,0πθ，则]2,1(∈x ，……（2分）
所以，21cos sin 2-=x θθ，此时1
4)(2-=x x
x L ． ………………………………（4分）
任取1x 、]2,
1(2∈x ，且21x x <，)
1)(1()
1(41414)()(2
221212122221121--+=---=
-x x x x x x x x x x x L x L ， 因为1x 、]2,
1(2∈x ，且21x x <，所以0)1)(1(2
221>--x x ，0)1(42121>+x x x x ，
故0)()(21>-x L x L ，即)(x L 在]2,1(∈x 时是减函数，所以24min =L ．……（7分）
L 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过24m ，否则，铁棒无法通过．也
就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为24m ． …………………………（8分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） （1）函数)(x f 的定义域为R ， 对任意R ∈x ，)(22
)(x f x f x x
=+=--，
所以，函数)(x f 是偶函数． ………………………………………………（4分） （2）2)22(2)22()22(222222-+-+=+-+=----x x x x x x x x
a a y ，………………（1分）
令t x
x
=+-2
2，因为0≥x ，所以12≥x ，故2≥t ，
原函数可化为222
--=at t y ，),2[∞+∈t ，
2)(22222---=--=a a t at t y 图像的对称轴为直线a t =，
当2≤a 时，函数222
--=at t y 在),2[∞+∈t 时是增函数，
值域为),42[∞+-a ； …………………………………………………………（3分） 当2>a 时，函数222--=at t y 在],2[a t ∈时是减函数，在),[∞+∈a t 时是增函数，值域为),2[2
∞+--a ． ……………………………………………………………（5分）
综上，??
?>∞+--≤∞+-=.
2,),2[,2,),42[)(2
a a a a a g
（3）由12
)(-+≤-m x mf x
，得12]1)([-≤--x x f m ， …………………………（1分）
当0>x 时，12>x ，所以22
2)(>+=-x
x
x f ，所以011)(>>-x f ，
所以，x
x x x x x x x f m 21221122121)(122-+-=-+-=--≤---恒成立．……………………………（3分）
令x
t 21-=，则0 11 1)1(21221222-+=+-=+-=-+-t t t t t t t t x x x ， 由0 t t ，所以311-≤-+t t ，01 1131<-+≤-t t ． ………………（6分） 所以，31-≤m ，即m 的取值范围为??? ? ? -∞-31,． …………………………………（7分） 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）因为 41 12 1+=+n n a a ，所以411221+=+n n a a ， 所以数列? ?? ???21n a 是首项为1，公差为4的等差数列． ………………………………（2分） 所以， 34)1(411 2-=-+=n n a n ，又由题意，0>n a ， 所以3 41-= n a n （* N ∈n ）． …………………………………………（4分） （2）由 3816221 21--+=++n n a S a S n n n n ，得)14)(34()14()34(1+-++=-+n n S n S n n n ， 故 134141=--++n S n S n n ，即数列? ?????-34n S n 是首项为1b ，公差为1的等差数列，……（2分） 所以， )1(3 41-+=-n b n S n ，令2=n ，3，得5412+=b b ，13413+=b b ． 若}{n b 为等差数列，则3122b b b +=，解得11=b ． ………………………………（4分） 当11=b 时，n n S n 342 -=，78-=n b n ，}{n b 为等差数列． 所以，当11=b 时，数列}{n b 为等差数列． …………………………………………（6分） （3） 3412 -=n a n ，* N ∈n ，先证数列155-?=n n c 满足题意，即证此数列中的任何一项都是数列? ?? ?? ?21n a 中的项． ………………………………………………………（2分） 令345 51 -=?-m n ，则只需证*N ∈m 即可． ……………………………………（3分） 此时，1)5551(15 15143512+++++=+--=+=-n n n m ，故*N ∈m ． …………（6分） 所以，此数列}{n c 中的第n 项是数列? ???? ?21n a 中的第1)5551(1 2+++++-n 项．…（7分） （也可以用数学归纳法证明35+n 能被4整除，证明如下） ① 当1=n 时，835=+n ，能被4整除； ……………………………………（4分） ② 假设当k n =（*N ∈k ）时结论成立，即35+k 能被4整除， 那么当1+=k n 时，12)35(535 1 -+=++k k ， 因为35+k 与12都能被4整除，所以351 ++k 也能被4整除， 即1+=k n 时，结论也成立． ……………………………………（6分） 由①、②知，当*N ∈n 时，35+n 能被4整除． ……………………………………（7分） 因此，以5为首项，5，25，…，k 5，…为公比的无穷等比数列均满足题意，命题得证． …………………………（8分） （注：还可由3)14(35++=+n n ，用二项展开式证明能被4整除）
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