空间点、直线、平面之间的位置关系
1．(2019·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则( )
A．平面α内存在直线与l异面
B．平面α内存在唯一一条直线与l平行
C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直
D．平面α内的直线与l都相交
解析：选A 当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF 的位置关系是( )
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
解析：选A 由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，
从而四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，
故A1B与EF相交．
3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B 直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.
4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四
棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )
A．不存在
B．只有1个
C．恰有4个
D．有无数多个
解析：选D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，
而这样的平面α有无数多个．
5．在空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果EF ，GH 相交于点P ，那么( )
A ．点P 必在直线AC 上
B ．点P 必在直线BD 上
C ．点P 必在平面DBC 内
D ．点P 必在平面ABC 外
解析：选A 如图，因为EF ?平面ABC ，而GH ?平面ADC ，且EF 和GH 相交于点P ，所以点P 在两平面的交线上，因为AC 是两平面的交线，所以点P 必在直线AC 上．
6.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面又与CC 1共面
的棱有________条．
解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平
行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有
5条．
答案：5
7．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为侧棱PC ，PB 的中点，则EF 与平面PAD 的位置关系为________，平面AEF 与平面ABCD 的交线是________．
解析：由题易知EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，故EF ∥平面PAD ，因为EF ∥AD ，所以E ，F ，A ，D 四点共面，所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线．
答案：平行 AD
8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的
中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23
，有以下四个结论．
①EF 与GH 平行；
②EF 与GH 异面；
③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；
④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．
其中正确结论的序号为________．
解析：如图所示．连接EH ，FG ，
依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，
故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．
因为EH ＝12BD ，FG ＝23
BD ，故EH ≠FG ， 所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上， 故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，
所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，
又AC 是这两个平面的交线，
所以点M 一定在直线AC 上．
答案：④
9.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．
(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；
(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)AM 和CN 共面，理由如下：
连接MN ，A 1C 1，AC .
∵M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，
∴MN ∥A 1C 1.
又∵A 1A 綊C 1C ，
∴四边形A 1ACC 1为平行四边形，
∴A 1C 1∥AC ，∴MN ∥AC ，
∴AM 和CN 在同一平面内．
(2)D 1B 和CC 1是异面直线．
理由如下：
假设D 1B 与CC 1不是异面直线，
则存在平面α，使D 1B ?平面α，CC 1?平面α，
∴D 1，B ，C ，C 1∈α，与ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体矛盾，
∴假设不成立，∴D 1B 与CC 1是异面直线．
10.如图所示，四边形ABEF 和四边形ABCD 都是梯形，BC 綊12
AD ，BE
綊12
FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；
(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？说明理由．
解：(1)证明：因为FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12
AD ，
又因为BC 綊12
AD ，所以GH 綊BC ， 所以四边形BCHG 是平行四边形．
(2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下：
法一：由BE 綊12
AF ，G 为FA 中点知BE 綊GF ， 所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，
所以EF 与CH 共面．
又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．
法二：延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′(图略)．
因为BE 綊12
AF ，所以B 为MA 的中点． 因为BC 綊12
AD ，所以B 为M ′A 的中点． 所以M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， 所以C ，D ，F ，E 四点共面．