香坊区2020－2021学年度上学期教育质量综合评价学业发展水平监测数学学科(九年级) 满分120分，考试时间为120分钟 一、选择题(每题3分，共计30分)
1.在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).
2.反比例函数y ＝k －3x 的图象，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是( )
A.k ＜3
B.k ≤3
C.k ＞3
D.k ≥3 3.由5个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，其主视图是( ).
4.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列式子正确的是( ).
A.cos B ＝c a
B.sin B ＝b c
C.tan B ＝a b
D.tan B ＝b
c
5.把抛物线y ＝x 2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式
为( ).
A.y ＝(x －1)2＋2
B.y ＝(x ＋1)2＋2
C.y ＝(x －1)2－2
D.y ＝(x ＋1)2－2
6.一个质地均匀的骰子，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，挪一枚骰子后，朝上一面的数字出现偶数的概率是( ). A.12 B.13 C.14 D.23
7.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OB ，若∠OBC ＝30°，则∠A 的度数为( ). A.55° B.60° C.65° D.70°
8.抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无法确定
9.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '.若点B '恰好落在BC 边上，且AB '＝CB '，则∠C '的度数为( ). A.18° B.20° C.24° D.28°
10.如图，△ABC 中，D 是AB 边上一点，过点D 作DE //BC 交AC 边于点E ，N 是BC 边上一点，连接AN 交DE 于点M ，则下列结论错误的是( ). A.AM AN ＝ME CN B.AD BD ＝AE CE C.DM BN ＝EM CN D.BD AB ＝DM BN
A
B
C
D
第3题图
A 第7题图
O
B
C
第9题图
C
A
B
C '
B '
第10题图
A
D
B
N
C
E M A B C D 第4题图
A C
B
b a c
二、填空题(每小题3分，共计30分)
11.在平面直角坐标系内，与点P (1，－2)关于原点对称的点的坐标是_______.
12.函数y ＝3
x －2中，自变量x 的取值范围是_______.
13.抛物线y ＝(x －3)2＋2的顶点坐标是_______.
14.如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，BD 是⊙O 的直径，⌒CB ＝⌒
CD ，AB ＝4，AD ＝2，则BC 的长___________.
15.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB 的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60°，A 、C 之间的距离为4米，则自动扶梯的垂直高度BD 的长为__________米.
16.一个扇形的弧长为2π，圆心角为120°，则此扇形的半径长为_________.
17.如图，菱形OABC 的顶点A 、B 、C 在⊙O 上，过点B 作⊙O 的切线交OA 的延长线于点D ，若⊙O 的半径为5，则线段BD 的长为__________.
18.在一个不透明的袋子中装有黑、白小球各2个，这些小球除颜色外无其他区别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为________.
19.△ABC 中，sin ∠ABC ＝5
13，AD 为BC 边上的高，∠CAD ＝45°，BD ＝12，则BC 的长为
_______.
20.如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 边上一点，连接AE ，BN ⊥AE ，垂足为M ，交CD 于点N ，若tan ∠BAE ＝1
2
，MN ＝3，则线段AB 的长为_________.
三、解答题(其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分)
21.(7分)先化简，再求代数式(1－3
x ＋2)÷x 2－12x ＋4
的值，其中x ＝4sin45°－2cos60°.
22.(7分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 和线段CD 的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以AB 为边的菱形ABEF ，点E 和点F 均在小正方形的顶点上，且tan ∠F AB ＝43
. 第20题图
A
B
E
C
N
D M 第17题图
A
O
C
第15题图
B
4m
D C A
60°
30° 第14题图
A
O
C
(2)在图中画出以CD 为边的等腰三角形CDH ，点H 在小正方形的顶点上，且△CDH 的面积为8，连接EH ，直接写出线段EH 的长.
23.(8分)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A 点在反比例函数y ＝k
x (k ＞0)第一
象限的图象上，C 点在x 轴的正半轴上，以OA 、OC 为边作平行四边形OABC ，且OA ＝5，cos ∠ABC ＝3
5.
(1)求k 的值.
(2)过点B 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交反比例函数y ＝k
x (k ＞0)的图象于点E ，若BE ＝2DE ，
求E 点坐标.
24.(8分)已知，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 边上，E 在△ABC 的外部，连接AD 、AE 、CE ，且AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE . (1)如图1，求证：BD ＝CE .
(2)如图2，当∠B ＝45°，∠BAD ＝22.5°时，连接DE 交AC 于点F ，作DG ⊥DE 交AB 于点G ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个顶角为45°的等腰三角形.
25.(10分)某商店第一次用600元购进一款中性笔若干支，第二次又用750元购进该款中性笔，但这次每支中性笔的进价比第一次多1元，所购进的中性笔数量与第一次相同. (1)求第一次每支中性笔的进价是多少元？
(2)若要求这两次购进的中性笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于450元，求每支中性笔售价至少是多少元？
第23题图
B A
O
C D x
y
E 图1
A
B
D C
E
A
B
D
C
E
F
G 图2
第22题图 A B
C D
26.(10分)已知，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 相交于点E ，⌒BC ＝⌒
BD . (1)如图1，求证：AB ⊥CD ；
(2)如图2，F 是⌒
AD 上一点，连接CF 、OC ，若CO 平分∠FCD ，求证：CF ＝CD ；
(3)如图3，在(2)的条件下，CF 与AB 相交于点H ，连接DF 、EF ，延长FE 交⊙O 于点G ，若∠EFD ＝45°，△COH 的面积为30，求GE 的长.
27.(10分)已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y
＝1
3x ＋2与x 轴负半轴交于
点A ，与y 轴正半轴交于点B ，抛物线y ＝2
3
x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点.
(1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，P 是第三象限对称轴右侧的抛物线上一点，连接P A 、PB ，若△P AB 的面积为16，求∠PBO 的正切值；
(3)如图3，在(2)的条件下，作∠ABP 的平分线交抛物线于点C ，作CK ⊥x 轴，垂足为K ，CK 交AP 于点R ，N 是BP 上一点(N 不与B 、P 重合)，连接NR ，延长NR 交直线AB 于点M ，连接CM 、CN ，若CM ＝CN ，求M 点坐标.
R 图1
B
A
O y x
B A
O y x
P
B A O y x
P
K C
M
N 图2
图3
图1 A C B D O E A C B
D O
E F
A
C D O E F H G 图2 图3
数学学科(九年级)参考答案及评分标准
一、选择题1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D. 二、填空题：
11.(－1，2);12.x ≠2;13.(3，2);14.10;15.23;16.3;17.53;18.1
4;19.7或17;20.25;
三、解答题
21.原式＝(x ＋2x ＋2 －3
x ＋2)?2(x ＋2)(x ＋1)(x －1)............2分
＝x －1x ＋2 ?2(x ＋2)(x ＋1)(x －1)......1分 ＝
2
x ＋1
……1分 ∵x ＝＝4×
22－2×1
2
＝22－1……1分 ∴原式＝222－1＋1＝12＝2
2……1分
22.
(1)正确画图.........3分；(2) 正确画图.........3分；EH ＝ 5 .........1分
23.(1)作AK ⊥OC ，垂足为K ，∵四边形OABC 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠AOC ………1分
∵cos ∠ABC ＝35, ∴cos ∠AOC ＝35,在Rt △AOK 中，cos ∠AOC ＝OK OA ＝3
5,
∵OA ＝5，∴OK ＝3……1分
AK ＝OA 2－OK 2＝4，∴A 点坐标为(3，4)……1分， 把(3，4)代入y ＝k x ，4＝k
3，k ＝12……1分
(2)∵CD=OK=3，BC=OA=5，∴BD=BC 2－CD 2=4， ∵BE=2DE ，∴BE=83，DE=4
3，
设E(a, 43),代入y ＝12x ，43＝12a ，a=9, ∴E(9, 4
3
).
24.(1)∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAD=∠CAE ，又∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，
∴BD=CE.
(2) △BDG, △CEF, △ADF, △ACD. 25.
(1)设第一次的进价是x 元，
A
B
C
D
F
E
H
600x =750x+1
,∴x=4, 经检验x=4是原方程的解. 答：略
(2)设售价至少为y 元,(6004+750
5)y -600-750≥450，解得y ≥6.
答：略
26.(1)∵⌒BC =⌒
BD ，AB 为直径，∴AB ⊥CD.
(2)过O 作OK ⊥CF 于K ，∵CO 平分∠FCD ，OK ⊥CF ，OE ⊥CD ，∴OK= OE ，∴CF=CD. (3)HE=HF ，设CE=n ，EH=m,CH=2n -m,在Rt △CEH 中，∴n 2＋m 2＝(2n －m )2,∴n ＝4
3m (1)
分
CE ＝43m ,CH ＝53m ,CK ＝CE ＝43m ，KH ＝1
3m ，设OE ＝x ，∵CO 平分∠FCD ，OK ⊥CF 于K .
OE ⊥CD 于E ，∴OK ＝OE ＝x ，OH ＝m －x ，在Rt △OKH 中，KH 2＋OK 2＝OH 2，∴(1
3m )2＋
x 2＝(m -x)2, ∴x ＝49m , ∴OK ＝49m ,∵△COH 的面积为30，∴12×53m ×4
9m ＝30,
∴ m ＝9或m ＝－9(舍)，∴CE ＝4
3
m ＝12……1分
∵∠OCK=α, ∠OKC=90°, ∴COK=90°-α,∵∠COK ＝∠D, ∵CF ＝CF ，∴∠CGE ＝∠D , ∴∠CGE ＝∠COK . ∴tan ∠CGE ＝tan ∠COK ＝CK
OK
＝3.
∵DG ＝DG ，∴∠EFD ＝∠ECG =45°，∵EM ⊥CG 于M . ∴CM =EM ＝
2
2
CE ＝6 2. ∵tan ∠CGE=EM
MG =3, ∴EM=3MG, ∴MG=22，在Rt △EMG 中EG=EM 2＋MG 2=4.5...1 分
分
27.(1)解：如图1，∵直线y ＝1
3x ＋2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，∴A (－
6，0)，B (0，2)……1分.
把A (－6，0)， B (0，2)代入y=23x 2+bx+c,解得b ＝133, c ＝2,∴y ＝23x 2＋13
3x ＋2……1分
(2)解：如图2，作PD ⊥x 轴，垂足为F ，交AB 于点D ，作BG ⊥PD 交PD 延长线于点G ，作PE ⊥y 轴垂足为E ，设P 点坐标为(t ，23 t 2＋133t ＋2)，∴D (t ，13 t ＋2)，∴PD ＝13t ＋2－(2
3 t 2
＋133t ＋2)=-2
3
t 2－4t ......1分. ∵A (－6，0)，∴OA ＝6.∵BG ⊥PD 于G ，PD ⊥x 轴于F ，∴∠G ＝∠GF O ＝90°，∵∠AOB =90°，∴四边形OBGF 为矩形，∴OF ＝BG ，S △ABP ＝S △ADP ＋S △BDP =12PD ?AF+12PD ?BG ＝1
2PD (AF ＋
BG )＝12PD (AF ＋OF )＝12PD ?OA ＝12×6(-2
3
t 2－4t )＝－2t 2－12t …………1分
∵△P AB 的面积为16. ∴－2t 2－12t ＝16，解得t ＝－2或t ＝－4.抛物线的对称轴为x ＝-13
4，
∵P 在对称轴右侧，∴t ＝－2，∴P (－2，－4)，∵PE ⊥y 轴于E ， ∴∠PEO=90°，∵∠PFO=∠AOE=90°，∴四边形PEOF 是矩形， ∴PE ＝OF ＝2，OE ＝4，∵B (0，2)，∴O B ＝2，∴BE ＝6， ∴tan ∠PBO=PE BE =1
3
…………1分
(3)解：如图3，连接AC 、CP ，作PE ⊥y 轴于点E ，CH ⊥BE 于点H ，MQ //PB 交P A 延长线于点Q ，∵tan ∠BAO =OB OA =1
3
＝tan ∠PBO .
∴∠PBO=∠BAO,∵BC 平分∠ABP,∴∠A BC=∠PBC, ∵∠BAO+∠ABO=90°，∴2∠PBO+2∠PBC=90°,
∴CH ⊥BE 于点H ，∴∠CBO ＝∠BCH ＝45°，∴B H ＝CH ，设C 点坐标为(m ，23 m 2＋13
3m
＋2),∴CH ＝－m ，BH ＝－23 m 2-133m ，∴－23 m 2-13
3m ＝－m ，解得m ＝0(含)或m ＝－5，∴
C (－5，－3)……1分
∵CK ⊥x 轴于点K ，A (－6，0)，C (－5，－3)，∴AK ＝1，CK ＝3，tan ∠ACK ＝AK CK ＝1
3＝tan
∠B AO ，
∴∠BAO=∠ACK,∵CK ⊥x 轴于点K,∴∠AKC=90°,∠ACK+∠CAK=90°，∴∠BAO+∠CAK=90°，
∴∠CAB=∠MAC=90°………1分，
∵PB=PE 2＋BE 2=210，AB=OA 2＋OB 2=210，
∴PB=AB,∵∠ABC=∠PBC,BC=BC ，∴△ABC ≌△PBC,∴ AC=PC,∠CPB=∠CAB=90° ∵CM ＝CN ，∴∠CPB ＝∠MAC ＝90°.∴△ACM ≌△PCN ，∴AM=PN ，…………1分. ∵AB ＝PB ，∴∠B AP=∠BP A ，∵MQ //PB ，∴∠BP A ＝∠Q ，∴∠BAP=∠QAM=∠Q ， ∴MQ=AM ，∵AM ＝PN ，∴M Q =PN ，∴∠QRM ＝∠PRN ，∠BP A ＝∠Q ，∴△QRM ≌△PRN ，∴MR=NR ，∵CM=CN ，∴CR ⊥MN ，∴∠CRM=∠CKA=90°，∴MN//x 轴……1分
设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋n ，把A (－6，0)，P (－2，－4)代入，得k=-1,n=-6,∴y=-x -6,∴R(-5,-1).
∵MN //x 轴，∴M 点纵坐标为－1，把y ＝－1代入y ＝13x ＋2，－1＝1
3x ＋2，x ＝－9，
∴M 点坐标为(－9，－1)……1分
B
A
O y x
B A
O y x
P K C
M
N Q H E