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龙贝格积分公式2

// 龙贝格积分公式（2）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。

#include"stdafx.h"

#include

using namespace std;

#define f(x) (4.0/(1+x*x))//举例函数

#define epsilon 0.0000000001 //精度

#define MAXREPT 10 //迭代次数,到最后仍达不到精度要求,则输出T(m=10).

double Romberg(double aa, double bb)

{

//aa,bb 积分上下限

int m, n;//m控制迭代次数, 而n控制复化梯形积分的分点数. n=2^m

double h, x;

double s, q;

double ep;//精度要求

double *y = new double[MAXREPT];//为节省空间,只需一维数组

//每次循环依次存储Romberg计算表的每行元素,以供计算下一行,算完后更新double p;//p总是指示待计算元素的前一个元素(同一行)

//迭代初值

h = bb - aa;

y[0] = h*(f(aa) + f(bb))/2.0;

m = 1;

n = 1;

ep = epsilon + 1.0;

//迭代计算

while ((ep >= epsilon) && (m < MAXREPT))

{

//复化积分公式求T2n(Romberg计算表中的第一列),n初始为,以后倍增

p = 0.0;

for (int i=0; i

{

x = aa + (i+0.5)*h;

p = p + f(x);

}

p = (y[0] + h*p)/2.0;//求T2n = 1/2(Tn+Hn),用p指示

//求第m行元素,根据Romberg计算表本行的前一个元素(p指示),

//和上一行左上角元素(y[k-1]指示)求得.

s = 1.0;

for (int k=1; k<=m; k++)

{

s = 4.0*s;

q = (s*p - y[k-1])/(s - 1.0);

y[k-1] = p;

p = q;

}

p = fabs(q - y[m-1]);

m = m + 1;

y[m-1] = q;

n = n + n; h = h/2.0;

}

return (q);

}

int main()

{

double a,b;

cout<<"Romberg积分,请输入积分范围a,b:"<

cin>>a>>b;

cout<<"积分结果:"<

system("pause");

return 0;

}

不定积分公式大全

Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数；事实上，())()()('' x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由[]0)()()()()()('2'1' 11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。显然C x F dx x f +=?)()( 例1、求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??? ???-=+-≠++=+1 ln 11 1 1μμμμμ C x C x dx x 2、基本积分表（共24个基本积分公式） 3、不定积分的性质 ①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 例2、求下列不定积分 ①? ?+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11 )2(22

②? ?+=++-= =+--C x C x dx x x dx 21 )21(1 1)21(21 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2222222 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1 csc cot 22 §2、不定积分的换元法一、第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++= +??1 ,1即例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===???)5cos(5 1 sin 51555sin 515sin ②()()()()??+--=+-+? -=---=-+C x C x x d x dx x 8177 72116 12117121)21(212121 ③())20(arctan 111222C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??=+=+?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-=-? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??11,1 即例2、求不定积分 ①( )() () () C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2 32 12 12 212 2 12 2 13 1 11 121112 1 1

积分大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -

14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++

基本积分公式

§5.3基本积分公式重点与难点提示基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有.

是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）

数值分析—龙贝格算法

数值分析实验报告专业：信息与计算科学班级： 10***班学号： 1008060**** 姓名： ******

实验目的：用龙贝格积分算法进行积分计算。算法要求：龙贝格积分利用外推方法，提高了计算精度，加快了收敛速度。 1--4R R R R 1-j 1-j 1-k 1-j k 1-j k j k ，，，，+= ，k=2，3，… 对每一个k ，j 从2做到k ，一直做到|R R 1-k 1-k k k -，，| 小于给定控制精度时停止计算。其中： T R h k 1k =，（复化梯形求积公式），2h 1-k k a -b = 程序代码： #include #include #define M 10 static float a, b, T[M], S[M], C[M], R[M]; float f(float x) { float y; if(0.0 == x) { x = 0.0000001f; } y = (float)1/sqrt(1-x*x); return y; } int p(int n) { int i=0,t=1;

while(t!=n) { t*=2; ++i; } return i; } float t(int n) { float g,h,q=0; if(1==n) { h = (float)fabs(b-a); q = (f(a)+f(b))*h/2; } else { float x = a; g = 0; h = (float)fabs(b-a)*2/n; x = x+h/2; while(x

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：

以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。二不定积分的基本运算法则

法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的．法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ）例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。注其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。注检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。三直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??

不定积分最全公式

常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx d x=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C

5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13.∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14.∫sin(ax)co s(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15.∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20.∫e x dx = e x +C 21. ∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x

常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版

常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

龙贝格算法的matlab实现

作业三——龙贝格算法的matlab实现程序流程图：

程序源代码：文件f.m function fx = f(x) if x == 0 fx = 1; else fx = sin(x) / x; end end 文件longbeige.m clc clear all; format long a=input('请输入你要求得积分的下限:'); b=input('请输入你要求得积分的上限:'); e=input('请输入你要求得积分的结束精度:'); k=input('请输入你要求得积分的最大次数:'); fx=@(x)sin(x)/x; lbg(@f,a,b,k,e) 文件lbg.m function lbg(fx,a,b,k,e) T=zeros(k,k); T(1,1)=(b-a)*(1+fx(b))/2; for i=1:k m=0; for j=1:2^(i-1) m=m+fx(a+(2*j-1)*(b-a)/(2^i)); end T(i+1,1)=0.5*T(i,1)+(b-a)*m/2^i; for n=1:i T(i+1,n+1)=(4^n*T(i+1,n)-T(i,n))/(4^n-1); end if abs(T(i+1,i+1)-T(i,i))<=e & i>=4 break; else ; end end for i=1:k

if T(i,1)==0 j=i; break; else ; end end if j==k error('所求次数不够或不可积') else ; end T=T(1:j-1,1:j-1) disp('所求的积分值为：') disp(T(j-1,1))

定积分的基本公式

第三讲定积分的基本公式【教学内容】 1．变上限积分函数 2．牛顿－莱布尼兹公式【教学目标】 1．掌握变上限积分函数 2．掌握牛顿－莱布尼兹公式【教学重点与难点】牛顿－莱布尼兹公式【教学过程】一、引例一物体作变速直线运动时，其速度)(t v v =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S ： dt t v S b a ? = )( 另一方面，如果物体运动时的路程函数)(t S S =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程 S 等于函数)(t S S =在],[b a 上的增量 )()(a S b S - 同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的， ∴ dt t v S b a ? = )()()(a S b S -= ∵ )()(/ t v t S = ∴ ? ? = = b a b a dt t S dt t v S )()(/)()(a S b S -= 二、变上限积分函数 1．定义：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么对于区间],[b a 上的任一点x 来说，)(x f 在区间],[x a 上仍连续，所以函数)(x f 在],[x a 上的定积分 ? x a dx x f )( 存在。也就是说，对于每一个确定的x 值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限x 的函数，此函数定义在区间],[b a 上，把它叫做变上限积分函数，记为)(x Φ。即 )()()()(b x a dt t f dx x f x x a x a ≤≤==Φ?? 2．定理1 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，则变上限积分函数 )()()(b x a dt t f x x a ≤≤=Φ? 是函数)(x f y =的原函数，即

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv

附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

定积分基本公式

定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节微积分基本公式一、变上限的定积分设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.

例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ；解这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.

定积分常用公式

定积分常用公式二、基本积分表(188页1—15，205页16—24) (1) (k是常数) kdxkxC,，, ,，1x,(2) xdxC,，,(1)u,,,,，1 1(3) dxxC,，ln||,x dx(4) ,，arlxCtan2,1，x dx(5) ,，arcsinxC,21,x (6)cossinxdxxC,， , (7)sincosxdxxC,,， , 1(8) dxxC,，tan2,cosx 1(9) dxxC,,，cot2,sinx sectansecxxdxxC,，(10) , csccotcscxxdxxC,,，(11) , xxedxeC,，(12) , xax(13)， (0,1)aa,,且adxC,，,lna shxdxchxC,，(14) , chxdxshxC,，(15) , 11x(16) dxarcC,，tan22,axaa， 1 11xa,(17) dxC,，ln||22,xaaxa,，2 1x(18) dxarcC,，sin,22aax, 122(19) dxxaxC,，，，ln(),22ax， dx22(20) ,，,，ln||xxaC,22xa,

(21)tanln|cos|xdxxC,,， , (22)cotln|sin|xdxxC,， , )secln|sectan|xdxxxC,，， (23, cscln|csccot|xdxxxC,,，(24) , 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把换成仍成立，是以为自变量的函数。 xuux 3、复习三角函数公式: 1cos2，x22222， sincos1,tan1sec,sin22sincos,xxxxxxx，,，,,cosx,2 1cos2,x2。 sinx,2 fxxdxfxdx[()]'()[()](),,,,,注:由，此步为凑微分过程，所以第一,, 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 2 小结: 1常用凑微分公式积分类型换元公式11.f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b)(a,0)u,ax，b,,a u,x11,2.f(x)xdx,f(x)d(x)(,0),,,,,,,,,1u,lnx3.f(lnx),dx,f(lnx)d(lnx), ,x 4..f(e),edx,f(e)dexxxxu,ex,,第 1一5.f(a),adx,f(a)daxxxx,,lnau,ax换 6.f(sinx),cosxdx,f(sinx)dsinxu,sinx元,, u,cosx积7.f(cosx),sinxdx,,f(cosx)dcosx,,分 28.f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanxu,tanx,,法 u,cotx29.f(cotx)cscxdx,,f(cotx)dcotx,,

不定积分最全公式

不定积分最全公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2)dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e|cos(x)|+C = log e|sec(x)|+C

5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11. ∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12. ∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13. ∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14. ∫sin(ax)cos(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15. ∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16. ∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17. ∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18. ∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19. ∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20. ∫e x dx = e x +C 21. ∫a dx = a log |x| (a 为常数) x

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

定积分公式

二、基本积分表（188页1—15，205页16—24）（1）kdx kx C =+? （k 是常数）（2）1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）2 1 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a = +?，(0,1)a a >≠且（14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?

（17）2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =++? （20） ln |x C =++? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += ， 2 1cos 2sin 2 x x -= 。注：由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

常用微积分公式大全

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常用微积分公式基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.

常用的求导和定积分公式

一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则

若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数）（2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+?