第九讲：行星运动、太阳与行星间的引力讲义

第九讲：行星运动、太阳与行星间的引力讲义

知识点1、开普勒行星运动定律 （1）开普勒三定律

开普勒中德国天文学家，他通过长期观察与研究，分析整理前人的观察资料和研究成果，提出了天体运动的三条基本规律——开普勒三定律。

第一定律：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等，即：

k T

a =23

，其中a 为半长轴，T 为公转周期，k 是与太阳有关的常数，与行星质量无关。 因为行星的椭圆轨道可以近似地看作圆形轨道，所以在一般情况下，为了方便，经常把行

星的运动当做圆周运动来处理，这样k T

R =23

中，R 不圆周运动的半径，T 为圆周运动的周期。

（2）近日点与远日点：

行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，行星在轨道上运动，在轨道上不同位置距该焦点距离不同，即距太阳的距离不同。距太阳最近的位置称近日点，距太阳最远的位置称远日点，无论是近日点还是远日点，其速度方向都垂直于行星与太阳的连线。由开普勒第二定律可知：行星在近日点速度快，在远日点速度慢，即行星从近日点到远日点的过程是减速过程，而从远日点到近日点的过程是行星的加速过程。

说明：1、多数大行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段能够按圆处理，则： （1）多数大行星绕太阳运动做圆周运动，太阳处在圆心。

（2）对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的线速度大小不变，即行星做匀速圆周运动。 （3）所有行星轨道半径的立方跟它的公转周期的平方的比值都相等。

注意：开普勒行星运动三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动。

2、了解万有引力定律的发现过程、理解太阳与行星间引力大小与太阳质量、行星的质量成正比，与两者距离的平方成反比，太阳与行星的引力方向沿二者的连线。

〖例1〗关于行星的运动，以下说法正确的是： A 、 行星轨道的半长轴越长，自转周期就越大。 B 、 行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大。 C 、 水星的半长轴最短，公转周期最大。

D 、 水星离太阳最近，绕太阳运动的公转周期最短。

〖思路分析〗由k T

R =23

可知，R 越大，T 越大，故B 、D 正确，C 错误；式中的T 是公转周期而

非自转周期，故A 错。 〖答案〗BD 〖总结〗对公式中的各个量一定要把握其物理意义，对一些说法中的关键字要理解准确如R ——半长轴；T ——公转周期。

〖变式训练1〗关于开普勒行星运动的公式k T

R =23

，理解正确的是：

A 、 k 是一个与行星无关的常量。

B 、 R 是代表行星运动的轨道半径。

C 、 T 代表行星运动的自转周期。

D 、 T 代表行星绕太阳运动的公转周期。 〖答案〗A 、D 〖难点精析1〗

〖例2〗哥白尼在《天体运动论》一书中提出“日心体系”宇宙图景，他认为： A 、 宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。

B 、 地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时

还跟地球一起绕太阳运动。

C 、 天空不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象。

D 、 与日距离相比，恒星离地球十分遥远，比日地间距离大得多。 学习了开普勒三定律后，你认为哥白尼的学说中正确的是：

〖思路分析〗受科学发展水平的限制，哥白尼的学说存在两大缺点：（1）把太阳当作宇宙的中心，实际上太阳仅是太阳系的中心天体，而不是宇宙的中心。（2）沿用了行星在圆形轨道上做匀速圆周运动的陈旧观念，实际上行星轨道是椭圆的，行星运动也不是匀速的。故A 、B 错。 〖答案〗CD

〖方法总结〗准确理解开普勒三定律。

〖变式训练2〗下列说法正确的是：

A 、 地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动。

B 、 太阳是静止不动的，地球和其他行星绕太阳运动。

C 、 地球是绕太阳运动的一颗行星。

D 、 日心说和地心说都是错误的。 〖答案〗C

〖难点精析2〗

〖例3〗月球绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天，应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多少高度，人造地球卫星可能随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？

〖思路分析〗月球和人造地球卫星都必须在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的。

设人造地球卫星运动半径为R ，周期为T ，根据开普勒第三定律有：R 3/T 2

=k

同理设月球轨道半径为R /，周期为T /。也有R /3/T /2

=k

由以上两式可得：23T

R = 23T R '' .T=1，T /=27，R /

=60R 地代入得R=6。67R 地，

在赤道平面内离地面高度：H=R-R 地=5。67R 地=5。67×6。4×103

km=3。63×104

km 〖答案〗H=3。63×104

km

〖方法总结〗随地球一起转动，就好像停留在天空中的卫星，通常称为地球同步卫星，它们离地面的高度是一个确定的值，不能随意变动。

〖变式训练3〗两颗行星的质量分别为m 1、m 2。它们绕太阳运转轨道的半长轴分别为R 1，R 2。如果m 1=2m 2， R 1=4R 2。那么它们的运行周期之比T 1：T 2= 。 〖答案〗8：1

〖综合拓展〗本节主要学习了开普勒三定律。开普勒三定律同样适用于地球上的人造卫星，所有人造卫星的轨道半长轴的三次方跟卫星绕地球运转周期的二次方的比值都相等，即

k T

a =23

，其中a 为轨道半长轴，T 为卫星运行周期，k 是一个与卫星无关的常量（与地球的质量有关）。

〖例4〗我国已成功进行了“神舟”飞船系列航天实践，飞船在回收过程必须有一个变轨过程。飞船沿半径R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A

〖思路分析〗椭圆轨道半长轴：r=R 0+2

R

根据开普勒第三定律：

23

T

R

=2

30)2(T R R '

+ 解得：T /

=T 23

0)2(R

R R

t=

2

T ' =R

R

R R T

R R 42)(00++

〖答案〗t=

R

R

R R T

R R 42)(00++

〖方法总结〗开普勒第三定律对于围绕某一中心天体运转的其他天体都适用，如：大行星木星

周围有4个卫星，这4个卫星的运转周期与转动半径的关系同样适用k T

a =23

，（k 与4个卫星

无关，只与木星质量有关）

〖活学活练〗 〖基础达标〗

1、 提示行星运动规律的天文学家是：

A 、第谷

B 、哥白尼

C 、牛顿

D 、开普勒 2、关于天体运动，下列说法正确的是：

A 、 天体的运动地面上的运动所遵循的规律是不同的。

B 、 天体的运动是最完美、最各谐的匀速圆周运动。

C 、 太阳东升西落，所以太阳绕地球运动。

D 、太阳系的所有行星都围绕太阳运动。

3、设行星绕恒星的运动轨道是椭圆，轨道半长轴的三次方与运行周期T 的平方之比为常数，即

23

T

R =k ，则k 的大小： A 、 只与行星质量有关。 B 、 只与恒星质量有关。

C 、 与恒星及行星的质量都有关。

D 、与恒星的质量及行星的速度有关。

4、关于开普勒行星运动的公式23

T

R =k ，以下理解正确的是：

A 、 k 是一个与行星质量无关的常数。

B 、 若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R 地，周期为T 地；月球绕地球运转轨道的半长轴为 R 月，周期为T 月，则

2

3

地

地T R =

2

3

月

月T R 。

C 、 T 表示行星运动的自转周期。

D 、T 表示行星运动的公转周期。

5、绕太阳运行的行星的椭圆轨道半长轴与它的周期关系是

2

1

3

1T R =k 1，卫星绕地球做椭圆轨道运

行时，其轨道的半长轴与它的周期关系是

2

2

3

2T R =k 2，则k 1与k 2的关系是：

A 、k 1>k 2

B 、k 1

C 、k 1=k 2

D 、无法确定

6、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是： A 、 所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动。 B 、 行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处。 C 、 离太阳越近的行星运动周期越长。

D 、所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

7、关于开普勒第三定律的公式23

T

R =k ，下列说法正确的是：

A 、 公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星。

B 、 公式只适用于宇宙中所有围绕星球运行的行星（或卫星）

C 、 式中的k 值，对所有行星或卫星都相等。

D 、围绕不同星球运行的行星（或卫星），其k 值不同。

8、从天文望远镜中观察到银河系中有两颗行星绕某恒星运行，两行星的轨道均为椭圆，观察测量到它们的运转周期之比为8：1，则它们椭圆轨道的半长轴之比为：

A 、 2：1

B 、4：1

C 、8：1

D 、1：4

9、宇宙飞船围绕太阳在近似圆形的轨道上运动，若轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运转的周期是：

A 、3年

B 、9年

C 、27年

D 、81年

10、地球绕太阳运行的轨道半长轴为1。5×1011

m ，周期365天；月球绕地球运行的轨道半长轴

为3。82×108

m ，周期为27。3天，则对于所有绕太阳运行的行星，23

T

R = ；

对于所有绕地球运行的卫星，23

T

R = ；

11、某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1/3，则此卫星运行的周期大约束是：

A 、1——4天

B 、4——8天

C 、8——16天

D 、16——20天

12、目前的航天飞机的飞行轨道都是近地轨道，一般在地球上空300——700km 飞行，绕地球飞行一周的时间为90min 左右，这样，航天飞机里的宇航员在24h 内可以见到的日落日出的次数应为：

A 、0．38

B 、1

C 、2.7

D 、16

13、天文学家观察到哈雷慧星的周期约为75年，离太阳最近的距离是8。9×1010

m ，但它离太

阳最远的距离不能被测出，试根据开普勒定律计算这个最远距离？（k=3。33×1018m 3/s 2

）

14、地球到太阳的距离是水星到太阳距离的2。6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比是多少？（设地球和水星绕太阳运转的轨道为圆）

15、太阳系中的大行星均在各自的椭圆轨道上绕太阳运动，设它伞兵轨道为圆形，若有两颗行星的轨道半径之经为R1：R2=2：1，它们的质量比为M1：M2=4：1，则它们绕太阳运动的周期之比T1：T2为多少？

〖能力提升〗

1、地球绕太阳运行的轨道半长轴是1。49×1011m，周期为365天；月球绕地球运行轨道半长轴

为3。8×108m，周期为27。3天，则太阳系的开普勒常量k为多大？对于绕地球运动的卫星来说，开普勒常量k/又是多大？

2、法国天文学会近日宣布，地球与火星之间最短距离将在今年8月27日出现，这是7。3万年

来两行星最“亲近”的一次，木星是九大行星中体积最大的行星，天文观测已经探明木星和火星绕太阳运动的平均轨道半径分别为7。78×1011m和1。08×1011m，它们的质量分别为1899。4×1024kg和4。87×1024kg，那么木星运动的周期是火星运动周期的多少倍？

3、世界上第一颗人造地球卫星的轨道长轴比第二颗短8000km，第一颗卫星绕地球运转的周期

为96。2min，求：（1）第一颗人造卫星轨道的长轴？（2）第二颗人造卫星绕地球运转的周期？已知地球质量M=5。098×1024kg。

4、1687年，牛顿正式提出了万有引力定律，他是在行星的椭圆轨道可近似看成圆轨道的前提下，由开普勒第三定律推导出：行星和太阳间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比，进而得出了万有引力定律，请你写出牛顿的论证过程。〖基础达标答案〗

1、D

2、D

3、B

4、AD

5、A

6、D

7、BD

8、B

9、C

10、3。33×1018m3/s2；9。86×1012m3/s2 11、B 12、D

13、解析：设哈雷慧星离太阳最远的距离为r1，最近的距离为r2=8。9×1010m，则轨道半长轴

R= r1+r2/2 根据开普勒第三定律

2

3

T

R

=k，有：

2

3

2

1

)

2

(

T

r

r+

=k，将r2=8。9×1010m，T=75×365×24×3600，k=3。33×1018m3/s2代入上式得r1=5。213×1012m。

〖答案〗r1=5。213×1012m。

14、解析：本题中知道地球和水星绕太阳运行的半径关系，由开普勒第三定律可以确定出它们绕行的周期关系，再由圆周运动的周期公式将速度之比求出。

设地球绕太阳运转周期为T1，水星绕太阳运转周期为T2，

根据开普勒第三定律有

2

1

3

1

T

R

=

2

2

3

2

T

R

①

因地球和水星绕太阳做匀速圆周运动，故有T1=

1

1

2

v

R

π

②

T2=

2

2

2

v

R

π

③

由以上①②③式可得：v1：v 2=

1

2

R

R

=

13

5

〖答案〗

13

5

15、解析：据开普勒第三定律：

2

1

3

1

T

R

=

2

2

3

2

T

R

得T1：T2=

3

2

3

1

R

R

=22

〖答案〗22

〖能力提升答案〗

1、 由k=23T

R 代入数据得太阳系的开普勒常量k=3。33×1018m 3/s 2

，同理可得地球的开普勒常量

k=9。86×1012m 3

/s 2

2、设木星和火星的周期分别为T 1和T 2，轨道半径分别为R 1和R 2，由开普勒第三定律得：

2

1

3

1T R =

2

2

3

2T R

所以T 1：T 2=3

2

3

1R R =19。3 3、解析：由开普勒第三定律可知，所有人造地球卫星的32

R T 都相等。可以设想有一颗靠近地球

表面绕地球做匀速圆周运动的卫星，设法求出它们的32

R

T 的值，再用它联系第一颗、第二颗人

造地球卫星，

设想有一颗靠近地球表面的做匀速圆周运动的人造卫星，则有：

2224T

R

m R GMm π=。因而有：k= 32R

T =GM 2

4π

设第一颗人造地球卫星的长轴为a ，第二颗人造地球卫星的周期为T 2，则有：

k=321)2(a T =322)40002

(+a

T ，代入数据后得a=1。47×107

m ，T 2=104。6min

4、解析：设质量为m 的行星围绕质量为M 的太阳做线速度为v 、周期为T 、轨道半径为R 的匀速圆周运动，因太阳对行星的引力应行星所受的向心力，故：

F=R mv 2 =2

22

2

)(4R m

T R π。 根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，

即23

T

R =k 其中k 是一个与行星无关的常量。所以： F=2

24R

km π 又根据牛顿第三定律，行星吸引太阳的力跟太阳吸引行星的力，大小相等且具有相同的性质，则这个引力既然与行星的质量成正比，当然也应和太阳的质量成正比，应有：F ∝

2

R Mm

.