断裂力学与断裂韧性
3.1 概述
断裂是工程构件最危险的一种失效方式，尤其是脆性断裂，它是突然发生的破坏，断裂前没有明显的征兆，这就常常引起灾难性的破坏事故。自从四五十年代之后，脆性断裂的事故明显地增加。例如，大家非常熟悉的巨型豪华客轮－泰坦尼克号，就是在航行中遭遇到冰山撞击，船体发生突然断裂造成了旷世悲剧！
按照传统力学设计，只要求工作应力σ小于许用应力[σ]，即σ<[σ],
就被认为是安全的了。而[σ]，对塑性材料[σ]=σ
s /n，对脆性材料[σ]=σ
b
/n，
其中n为安全系数。经典的强度理论无法解释为什么工作应力远低于材料屈服强度时会发生所谓低应力脆断的现象。原来，传统力学是把材料看成均匀的，没有缺陷的，没有裂纹的理想固体，但是实际的工程材料，在制备、加工及使用过程中，都会产生各种宏观缺陷乃至宏观裂纹。
人们在随后的研究中发现低应力脆断总是和材料内部含有一定尺寸的裂纹相联系的，当裂纹在给定的作用应力下扩展到一临界尺寸时，就会突然破裂。因为传统力学或经典的强度理论解决不了带裂纹构件的断裂问题，断裂力学就应运而生。可以说断裂力学就是研究带裂纹体的力学，它给出了含裂纹体的断裂判据，并提出一个材料固有性能的指标——断裂韧性，用它来比较各种材料的抗断能力。
3.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论
3.2.1 理论断裂强度
金属的理论断裂强度可由原子间结合力的图形算出，如图3-1。图中纵坐标表示原子间结合力，纵轴上方
为吸引力下方为斥力，当两原子间
距为a即点阵常数时，原子处于平
衡位置，原子间的作用力为零。如
金属受拉伸离开平衡位置，位移越
大需克服的引力越大，引力和位移
的关系如以正弦函数关系表示，当
位移达到X
m 时吸力最大以σ
c
表示，
拉力超过此值以后，引力逐渐减小，
在位移达到正弦周期之半时，原子间的作用力为零，即原子的键合已完全破坏，
达到完全分离的程度。可见理论断裂强度即相当于克服最大引力σ
c
。该力和位移的关系为
图中正弦曲线下所包围的面积代表使金属原子完全分离所需的能量。分离后形成两个新表面，表面能为。
可得出。
若以=，=代入，可算出。
3.2.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论
金属的实际断裂强度要比理论计算的断裂强度低得多，粗略言之，至少
低一个数量级，即
。
陶瓷、玻璃的实际断裂强度则更低。
实际断裂强度低的原因是因为材料内部存在有裂纹。玻璃结晶后，由于热应力产生固有的裂纹；陶瓷粉末在压制烧结时也不可避免地残存裂纹。金属结晶是紧密的，并不是先天性地就含有裂纹。金属中含有裂纹来自两方面：一是在制造工艺过程中产生，如锻压和焊接等；一是在受力时由于塑性变形不均匀，当变形受到阻碍(如晶界、第二相等)产生了很大的应力集中，当应力集中达到理论断裂强度，而材料又不能通过塑性变形使应力松弛，这样便开始萌生裂纹。
材料内部含有裂纹对材料强度有多大影响呢?早在20年代格里菲斯(Griffith)首先研究了含裂纹的玻璃强度，并得出断裂应力和裂纹尺寸的关系：
这就是著名的格里菲斯(Griffith)公式，其中是裂纹尺寸。
3.2.3 奥罗万(Orowan)的修正
Griffith成功地解释了材料的实际断裂强度远低于其理论强度的原因，定量地说明了裂纹尺寸对断裂强度的影响，但他研究的对象主要是玻璃这类很脆的材料，因此这一实验结果在当时并未引起重视。直到40年代之后，金属的脆性断裂事故不断发生，人们又重新开始审视格里菲斯的断裂理论了。
对于大多数金属材料，虽然裂纹尖端由于应力集中作用，局部应力很高，但是一旦超过材料的屈服强度，就会发生塑性变形。在裂纹尖端有一塑性区，材料的塑性越好强度越低，产生的塑性区尺寸就越大。裂纹扩展必须首先通过塑性区，裂纹扩展功主要耗费在塑性变形上，金属材料和陶瓷的断裂过程不同，主要区别也在这里。由此，奥罗万修正了格里菲斯的断裂公式，得出：
比较奥罗万公式和格里菲斯公式可知,裂纹尖端的曲率半径随的增
加而增大，当=时，奥罗万公式就变成格里菲斯公式。由此可见格里菲斯
公式适用于裂纹尖端曲率半径<,即裂纹尖端只能产生很小的塑性变形，而
当>时，由于裂纹尖端塑性变形较大，控制着裂纹的扩展，这时便要采用奥罗万的修正公式。
3.3 裂纹扩展的能量判据
在Griffith或Orowan的断裂理论中，裂纹扩展的阻力为或者为2( +)。设裂纹扩展单位面积所耗费的能量为R，则R=2(+)。而裂纹扩展的动力，对于上述的Griffith试验情况来说，只来自系统弹性应变能的释放。我们定义
亦即G表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力。因为G是裂纹扩展的动力，当G达到怎样的数值时，裂纹就开始失稳扩展呢?
按照Griffith断裂条件G≥R R=
按照Orowan修正公式G≥R R=2(γ
s =γ
p
)
因为表面能和塑性变形功都是材料常数，它们是材料固有的性能，
令G
1c =或G
1c
=2(+),则有
G
1
≥G
1c
这就是断裂的能量判据。原则上讲，对不同形状的裂纹，其G
是可以计算的，
1
可以测定的。因此可以从能量平衡的角度研究材料的断裂是否而材料的性能G
1c是
发生。
3．4 裂纹尖端的应力场
3.4.1 三种断裂类型
根据裂纹体的受载和变形情况，可将裂纹分为三种类型：
(1)张开型(或称拉伸型)裂纹
外加正应力垂直于裂纹面，在应力作用下裂纹尖端张开，扩展方向和正应力垂直。这种张开型裂纹通常简称I型裂纹。
(2)滑开型(或称剪切型)裂纹
剪切应力平行于裂纹面，裂纹滑开扩展，通常称为Ⅱ型裂纹。如轮齿或花键根部沿切线方向的裂纹引起的断裂，或者一个受扭转的薄壁圆筒上的环形裂纹都属于这种情形。
(3)撕开型裂纹
在切应力作用下，一个裂纹面在另一裂纹面上滑动脱开，裂纹前缘平行于滑动方向，如同撕布一样，这称为撕开型裂纹，也简称Ⅲ型裂纹。
实际工程构件中裂纹形式大多属于I型裂纹，也是最危险的一种裂纹形式，最容易引起低应力脆断。所以我们重点讨论I型裂纹。
3.4.2 I型裂纹尖端的应力场
设一无限大平板中心含有一长为的穿透裂纹，垂直裂纹面方向平板受均匀的拉伸载荷作用。1957年Irwin得出离裂纹尖端为(，)的一点的应力和
位移为
对于薄板平面应力状态，=0,,即只有,,3个应力分量作用在XOY平面内，见图3－2a。
对于厚板平面应变状态，=0，故有=，==0,即尖端附近的应变仅存在,和3个应变分量存在于XOY平面内，见图3－2b。
图3-2 裂纹尖端附近的应力场
以上是裂纹尖端附近一点(,)的应力情况，对于某点的位移则有
平面应力情况下
位移
平面应力情况时，
3.4.3 应力强度因子K1
由上述裂纹尖端应力场可知，如给定裂纹尖端某点的位置时(即距离
(, )已知),裂纹尖端某点的应力、位移和应变完全由K
1
决定，如将应力写成一般通式
即可更清楚地看出，裂纹尖端应力应变场的强弱程度完全由K
1决定，因此把K
1
称为应力强度因子。应力强度因子K
1
决定于裂纹的形状和尺寸，也决定于应力
的大小。如对无限大平板内中心含有穿透K
1
=,由此可知线弹性断裂力学并不象传统力学那样，单纯用应力大小来描述裂纹尖端的应力场，而是同时考虑应力与裂纹形状及尺寸的综合影响。
由公式可知，当时，此时裂纹尖端处的应力趋于无穷大，这表明裂纹尖端处应力是奇点，应力场具有r-1/2阶奇异性。有公式还可看出，当
=0，即在裂纹的延长线上
这表明裂纹在xoy平面时，切应力为零，而拉应力最大，所以裂纹容易沿着该平
面扩展。K
1
的国际单位为，英制单位为,其间的换算为1
=1.099。
3.5 断裂韧性和断裂判据
3.5.1 断裂韧性K c和K1c
对于受载的裂纹体，应力强度因子K
1
是描写裂纹尖端应力场强弱程度的力学参量，可以推断当应力增大
时，K
1也逐渐增加，当K
1
达到某
一临界值时，带裂纹的构件就断裂了。这一临界值便称为断裂韧
性K
c 或K
1c
。应当注意，K
1
和K
c
或K
1c
是不同的。
K
1
是受外界条件影响的
反映裂纹尖端应力场强弱程度
的力学度量，它不仅随外加应力和裂纹长度的变化而变化，也和裂纹的形状类型，
以及加载方式有关，但它和材料本身的固有性能无关。而断裂韧性K
c 和K
1c
则是
反映材料阻止裂纹扩展的能力，因此是材料本身的特性。K
c 和K
1c
不同点在于,K
c
是平面应力状态下的断裂韧性，它和板材或试样厚度有关，而当板材厚度增加到
达到平面应变状态时断裂韧性就趋于一稳定的最低值，这时便与板材或试样的厚度无关了，(如图3-3所示)我们称为K
1c
，或平面应变的断裂韧性，它才真正是一材料常数，反映了材料阻止裂纹扩展的能力。
我们通常测定的材料断裂韧性，就是平面应变的断裂韧性K
1c
。而建立的
断裂判据也是以K
1c
为标准的，因为它反映了最危险的平面应变断裂情况。从平面应力向平面应变过渡的板材厚度取决于材料的强度，材料的屈服强度越高，达到平面应变状态的板材厚度越小。
3.5.2 断裂判据
当应力强度因子增大到一临界值，这一临界值在数值上等于材料的平面应变断裂韧性K
1c
时，裂纹就立即失稳扩展，构件就发生脆断。于是，断裂判据便可表达为
K
1=k
1c
这一表达式和材料力学中的失效判据σ=σ
s 或σ=σ
b
是相似的，公式的左端都
是表示外界载荷条件(断裂力学的K
1
还包含裂纹的形状和尺寸)，而公式的右端则表示材料本身的某项固有性能。
3.6 几种常见裂纹的应力强度因子
断裂判据K=K
1c
建立之后，要确定零构件所允许的工作应力和裂纹尺寸，必须从力学上计算应力强度因子和实验上测定材料的断裂韧性。因为应力强度因子值除与工作应力有关外，还与裂纹的形状和位置有关。一般地说，应力强度因
子K
1可表达为K
1
=Yσ(a)1/2,是式中Y为裂纹形状和位置的函数。
(1)对无限大平板中心有穿透裂纹，如图3-4(a)，
(2)对无限大平板，板的一侧有单边裂纹，如图3-4(b)，
(3)对有限宽平板，中心有穿透裂纹，如图3-4(c)，
Y是2a／w的函数，可由图中实线
所示查出。
图3-4 几种形状试样的应力强度因子
的表达式
(4)对有限宽平板，板的两侧有双边裂纹，如图3-4(c)，其K
1
，Y也是2a/w的函数，但由图中虚线所查出。
(5)对有限宽平板，板的一侧有单边裂纹，如图3-4(f)，，Y 也是a/w的函数，其函数曲线可按图3-4(f)查找。
(6)对圆柱形试样上有环形裂纹，如图3-4(d),试样外径为D,d为试样净截面直径，D-d/2为缺口和引发的疲劳裂纹长度。
,Y为D/d的函数，已作出图解，可由图3-4(d)查出。应该指出，圆柱试样带环形裂纹，在裂纹尖端附近存在三向应力，不存在
无应力的自由表面。即使试样尺寸较小，也能满足平面应变条件，因此可用这种试样，测定材料的断裂韧性。
(7)对三点弯曲试样，在缺口尖端引发疲劳裂纹，如图3－
4(e),,Y是a／w的函数，可由图中所示的曲线查出。用三点弯曲试样是测定材料断裂韧性的简便方法。
(8)对无限大体内的椭圆形裂纹，如图3－4(h)和图3－4(j)中所示。椭
的表达式圆上任一点P的位置由角而定，椭圆的长半轴为c，短半轴为a，K
P
为
，可由图3－4(h)中查出。椭式中之Q为裂纹形状系数，取决于a/2c及σ/σ
ys
圆裂纹上各处的应力强度因子是不同的，在短半轴上最大，在长半轴上最小。圆形裂纹是椭圆裂纹的特殊情况，这时，，
。
(9)当板厚为无限大，表面有半椭圆的裂纹时，也如图3－4(h),实际上这是工程结构件最常见的缺陷形式，例如压力容器与管道，其脆性破坏大多是从表面缺陷处开始的。但表面裂纹与穿透裂纹不同，它是一个三维问题而不是一个二维问题，这在数学上处理起来非常困难，所以目前只有近似解法。
，Q值仍由图3－4(h)所示曲线中查得。
3.7 裂纹尖端的塑性区
根据线弹性力学，由公式，当，，但实际上对一般金属材料，当应力超过材料的屈服强度，将发生塑性变形，在裂纹尖端将出现塑性区。讨论塑性区的大小是有意义的。一方面这是因为断裂是裂纹的扩展过程，裂纹扩展所需的能量主要是消耗于塑性变形功，材料的塑性区尺寸大，消耗的塑性变形功也越大，材料的断裂韧性K
1c
相应地也就越大。另一方面，由于我们是根据线弹性断裂力学来讨论裂纹尖端的应力应变场的，当塑性区尺寸过大时，线弹性断裂理论是否适用就成了问题。因此我们必须讨论不同应力状态的塑性区以及塑性区尺寸决定于哪些因素。
由屈服准则，材料在三向应力状态下的屈服条件为
式中σ
1、σ
2
和σ
3
为主应力，σ
s
为材料的屈服强度。
将主应力公式代入Von Mises 屈服准则中，便可得到裂纹尖端塑性区的边界方程，即
对于厚板，表面是平面应力状态，而心部则为平面应变状态。
对平面应力状态，=0，，=0，代入Mises 屈服条件，可得
σys=σs
对平面应变状态，同样有，但，如代入Mises屈服准则，整理后可得
如以代入，可得平面应变状态下，
σys=3σs
以上是根据Mises屈服判据推导的结果，如用Tresca判据也会得出同样的结论。但实际上平面应变状态下的有效屈服强度并没有这么大，对具有环形缺口的圆柱形试样进行拉伸试验，所得到的σ
ys
为
用其他试验方法测得的塑性约束系数(σ
ys /σ
s
)也大致为1.5-2.0。因此，最常用
的塑性区公式，其尺寸的表达式为
(平面应力)
(平面应变)
必须记住塑性区尺寸r
0正比例于K
1
的平方，当K
1
增加r
也增加，但反比于材料
屈服强度的平方，材料的屈服强度越高，塑性区的尺寸越小，从而其断裂韧性也越低.
3.8 塑性区及应力强度因子的
修正
如右图，照线弹性断裂力学
，其应力分布为虚线
DC，当弹性应力超过材料的有效屈
服强度σys，便产生塑性变形，使应
力重新分布。当塑性区一经产生并
且修正之后，原来裂纹尖端的应力分布已经改变。在图3-5中，原来的应力分布为DBC 线，现改变为BEF 线。这时便产生了一个问题：线弹性力学是否还适用？在什么条件下才能近似的运用？此时的应力强度因子该如何计算？从图中可以看出塑性区修正后，应力强度因子增大了，在距离裂纹尖端为r 处，σy *大于σy 。 欧文(Irwin)认为，如果裂纹尖端塑性区尺寸远小于裂纹尺寸，大致说来,，这时称为小范围屈服。在这种情况下，只要将线弹性断裂力学得出的公式稍加修正，就可以获得工程上可以接受的结果。基于这种想法，欧文(Irwin)提出等效模型概念。
因为裂纹尖端的弹性应力超过材料的屈服强度之后，便产生应力松弛。应力松弛可以有两种方式，一种是通过塑性变形，上面讲的使塑性区扩大便是这种方式。另一种方式则是通过裂纹扩展，当裂纹扩展了一小段距离后，同样可使裂纹尖端的应力集中得以松弛。既然这两种应力松弛的方式是等效的，为了计算K 值，可以设想裂纹的长度增加了，由原来的长度a 增加到a ′=a+r y ，而裂纹尖
端的原点由O 点移动了r y 的距离达到了O ′点。这一模型就称之为Irwin 等效模
型，而a ′=a+r y 就称为等效裂纹长度。
对于这个等效裂纹长度来说，如仍以无限宽平板中心具有穿透裂纹为例，
其应力强度因子应该为
而裂纹线上的应力分量则为
如图3-6，式中r ′为以裂纹尖端的
原点在O ′的坐标，即。
因为塑性区和应力强度因子是紧密相关的，塑性区修正了，应力强度因子K 1′已不是原来的K 1了，也要跟着修正，通常用逐次逼近法。计算过程如下：
(1)等效应力强度因子K′，对于无限宽平板中心穿透裂纹
(平面应力)
(平面应变)
(2)将上述的r
y 代人得出第一次修正的K
1
′，r
y
公式中的K
1
已不是原始的
K
1
值，而是K′
(平面应力)
(平面应变)
综上所述，对无限宽平板中心有穿透裂纹的情况来说，为保证小范围屈服，线弹性断裂力学的有效，其塑性区尺寸和裂纹长度相比，要小于1/10，或者工作应力与材料屈服强度相比，要小于1/2，这时应力强度因子的相对误差小于7％，在工程允许的精度范围。对于常用的三点弯曲试样或紧凑拉伸试样，这时的才能保证K的近似解，其相对误差小于7％。
3.9 G1和K1的关系
我们讲了两种断裂判据，一种是G=G
1c ，另一种是K=K
1c
，前者是从能量平
衡的观点来讨论断裂，而后者则是从裂纹尖端应力场的角度来讨论断裂的。这两个公式的右端都是反映材料固有性能的材料常数，是材料的断裂韧性值。从研究
断裂的历史看，早在1921年Griffith就已从能量平衡的观点来考虑断裂的问题了，而采用应力强度因子的概念，是直到1957年才由Irwin正式提出的。
经过讨论和公式推导，我们可得：
G
1=K
1
2/E (平面应力)
G
1=K
1
2/E′ (平面应变)
上面给出了这两种断裂判据，即一个是从系统能量变化的角度阐述的G 判据，另一个则是从裂纹尖端应力场来表示的K判据，这两者完全是等效的，且有可互相换算的关系。似乎在应用中随便那一种都是可以的，但是在实际应用中用K判据更方便一些。这是因为对于各种裂纹的应力强度因子计算在断裂力学中已积累了很多的资料，现已编有应力强度因子手册，多数情况可从手册中查出K
的表达式，而G的计算则资料甚少。另一方面，K
1c 和G
1c
虽然都是材料固有的性
能，但从实验测定来说,K
1c
更容易些，因此多数材料在各种热处理状态下所给出
的是K
1c
的实验数据。这是K判据相对于G判据的两个优点。但是，G判据的物理意义更加明确，便于接受，所以两者既是统一的，由各有利弊。
3.10 影响断裂韧性的因素
如能提高断裂韧性，就能提高材料的抗脆断能力。因此必须了解断裂韧性是受那些因素控制的。影响断裂韧性的高低，有外部因素如板材或构件截面的尺寸，服役条件下的温度和应变速率等，而内部因素则有材料的强度，材料的合金成分和内部组织。
3.10.1 外部因素
材料的断裂韧性随着板材或构件截面尺寸的增加而逐渐减小，最后趋于
一稳定的最低值，即平面应变断裂韧性K
1c
。这是一个从平面应力向平面应变的转化过程。
断裂韧性随温度的变化关系和冲击韧性的变化相类似。随着温度的降低，断裂韧性可以有一急剧降低的温度范围，低于此温度范围，断裂韧性趋于一数值很低的下平台，温度再降低也不大改变了。
应变速率的影响和温度的影响相似。增加应变速率和降低温度的影响是一致的。
3.10.2 内部因素
作为材料内部成分与组织因素的综合，材料强度是一宏观表现。从力学上而不是冶金学的角度，人们更是首先从材料的强度变化来探讨断裂韧性的高
低。人们只要知道材料强度是多
少，就可大致推断材料的断裂韧
性是多少。图3-7表示了
AISI4340(40CrNiMo)钢的断裂韧
性和经淬火、回火热处理成不同
屈服强度后的相互关系。注意到
断裂韧性是随材料强度的降低而
不断升高的。这一试验结果是有
代表性的，大多数低合金钢均有
此变化规律。即使像马氏体时效
钢(18Ni)也是如此，只不过同样
强度下断裂韧性值较高些而已。
细化晶粒是提高低、中强度钢低温断裂韧性的有效措施之一。Hahn和Rosenfied提出了一个材料断裂韧性、屈服强度和晶粒尺寸间关系的经验计算公式(对铁素体-珠光体钢，指的是铁素体晶粒；对经过淬火回火组织，则指的是原始奥氏体晶粒尺寸。)
式中Q为塑性约束系数为2.5-3.0。当低碳钢发生应变硬化时，可以假定a值约为20m-1/2。为在一定温度和应变速率下的屈服强度。
在个别情况下。曾发现对高强度钢AISI4340,4130,进行1200。C 的超高温淬火，断裂韧性至少较正常淬火时的值高出50%以上，但其冲击韧性却大为降低，这不能简单地归结为晶粒大小的影响，也不能改变晶粒大小的断裂韧性的影响一般规律。
夹杂物与第二相的尺寸及间距对断裂韧性的影响也很显著。第二相的尺寸越小，质点间距越大，断裂韧性就越高。Cox和Low曾对比了18Ni的马氏体时效钢与AISI4340，发现在同强度下马氏体时效钢较钢4340(40CrNiMo)的韧性高得多。究其原因，在电镜下，钢4340先在大夹杂物MnS处萌生空穴，然后与较小尺寸的渗碳体产生的小空穴相连，这样的微孔聚合构成了扩展裂纹。而18Ni 在时效过程中析出的金属间化合物要比渗碳体尺寸小一个数量级，这样小的颗粒是不易在基体的界面上萌生空穴的。第二相质点间距越大，空穴的长大与聚合越困难，在电镜下观察到的韧窝越大且越深，这表示消耗的变形功越大。Prist对0.45C-Ni-Cr-Mo-V得出了一个半径经验公式
式中σ*为一常数等于2000MPa，即为第二相间距。
3.10.3 K1c与其它力学性能的关系
K
1c
的测试与常规的力学性能测试相比，要复杂些，因此人们总是希望从
已知的常规力学性能数据，能预测出K
1c 来。为了解K
1c
的本质，K
1c
是否为材料独
立的力学性能指标，必须寻找K
1c
和其它基本力学性能间的关系。
对产生滑移的穿晶解理断裂，一般认为K
1c 是与在—定特征距离l
*内达
到了解理断裂应力σ
f
*有关，而特征距离决定于材料的组织参数。
对于韧性断裂，一般认为，在一临界距离l
*的范围内其应变达到了某一临界应变值就发生断裂。
第二节材料的韧性及断裂力学简介 一、低应力脆断及材料的韧性 人们在对船舶的脆断、无缝输气钢管的脆断裂缝、铁桥的脆断倒塌、飞机因脆断而失事、石油、电站设备因脆断而发生重大事故的分析中，发现了一些它们的共同特点： 1.通常发生脆断时的宏观应力很低，按强度设计是安全的； 2.脆断事故通常发生在比较低的工作温度环境下； 3.脆断从应力集中处开始，裂纹源通常在结构或材料的缺陷处，如缺口、裂纹、夹杂等； 4.厚截面、高应变速率促进脆断。 由此，人们发现了传统设计思想和材料的性能指标在强度设计上的不足，试图提出新的性能指标和安全判据，找到防止脆断的新的设计方法。 传统的强度设计所依据的性能指标主要为弹性模量E、屈服极限σs、抗拉强度σb，而塑性指标延伸率δ和面收缩率φ在设计中只是参考数据，通常还会考虑应力集中现象，即使如此，设计的安全判据仍不足以防止脆断的发生，这说明材料的强度、塑性、弹性这些性能指标还不能完全反映材料抵抗脆断的发生。经过对众多脆断事故的分析和研究，人们提出了一个便于反映材料抗脆断能力的新的性能指标——韧性，从使脆性材料和韧性材料断裂所消耗的能量不同，归纳出韧性的定义为：所谓韧性是材料从变形到断裂过程中吸收能量的太小，它是材料强度和塑性的综合反映。 例如图l-2为球墨铸铁和低碳钢的拉伸曲线，可以用拉伸曲线下的面积来表示材料的韧性，即 图中可见，虽然球墨铸铁的抗拉强度σb比低碳钢高，但其断裂时的塑性应变εp确远较低碳钢小，综合起来看，低碳钢的韧性高。 图1-2 球铁和低碳钢拉伸曲线表示的韧性 材料的韧性可用实验的方法测试和判定。应用较早和较广泛的是缺口冲击试验，这种方法已经规范化。具体方法是将图1-3所示的缺口试样用专用冲击试验机施加冲击载荷，使试 样断裂，用冲击过程中吸收的功除以断口面积，所得即为材料的冲击韧性，以αk表示，单位为J/cm^2。目前国际上多用夏氏V型缺口试样，我国多用U型缺口试样。由于缺口冲击
2007断裂力学考试试题 B 卷答案 一、简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分） 1、（1）数学分析法:复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（3）实验标定法：柔度标定法；（4）实验应力分析法：光弹性法. 2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力θσ为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值max ()θσ达到临界时,裂纹开始扩展. 3、应变能密度:r S W = ，其中S 为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场密度切的强弱程度。 4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。 5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。 二、推导题（本大题10分） D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。 积分路径：塑性区边界。 AB 上：平行于1x ，有s T dx ds dx σ===212,,0 BD 上：平行于1x ，有s T dx ds dx σ-===212,,0 5分 δ σσσσΓ s D A s D B s B A s BD A B i i v v v v dx x u T dx x u T ds x u T Wdx J =+=+-=??-??-=??-=???)()(1 122112212 5分 三、计算题（本大题共3小题，每小题20分，总计60分） 1、利用叠加原理:微段→集中力qdx →dK = Ⅰ ?0 a K =?Ⅰ 10分 A
令cos cos x a a θθ==,cos dx a d θθ= ?111sin () 10 cos 22(cos a a a a a K d a θθθ--==Ⅰ 当整个表面受均布载荷时,1a a →. ?12()a a K -==Ⅰ 10分 2、边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==. b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内 0,0y xy στ== c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时 Z = 又Z 应为2b 的周期函数 ?sin z Z πσ= 10分 采用新坐标:z a ξ=- ?sin ()a Z π σξ+= 当0ξ→时,sin ,cos 1222b b b π π π ξξξ== ?sin ()sin cos cos sin 22222a a a b b b b b π π π π π ξξξ+=+ cos sin 222a a b b b π π π ξ= + 222 2[sin ()]( )cos 2 cos sin (sin )2222222a a a a a b b b b b b b π π π π π π π ξξξ+=++
断裂力学习题 一、问答题 1、什么是裂纹？ 2、试述线弹性断裂力学的平面问题的解题思路。 3、断裂力学的任务是什么？ 4、试述可用于处理线弹性条件下裂纹体的断裂力学问题两种方法： 5、试述I 型裂纹双向拉伸问题中的边界条件，如何根据该边界条件确定一复变函数，并由此构成应力函数，最后写出问题的解。 6、什么是应力场强度因子K1？什么是材料的断裂韧度K1C？对比单向拉伸条件下的应力及断裂强度极限b，，说明K1与K1C 的区别与联系？ 7、在什么条件下应力强度因子K 的计算可以用叠加原理 8、试说明为什么裂纹顶端的塑性区尺寸平面应变状态比平面应力状态小？ 9、试说明应力松驰对裂纹顶端塑性区尺寸有何影响。 10、K 准则可以解决哪些问题？ 11、何谓应力强度因子断裂准则？线弹性断裂力学的断裂准则与材料力学的强度条件有何不同？ 12、确定K 的常用方法有哪些？ 13、什么叫裂纹扩展能量释放率？什么叫裂纹扩展阻力？ 14、从裂纹扩展过程中的能量变化关系说明裂纹处于不稳定平衡的条件是什么？ 15、什么是格里菲斯裂纹？试述格氏理论。 16、奥罗万是如何对格里菲斯理论进行修正的？ 17、裂纹对材料强度有何影响？ 18、裂纹按其力学特征可分为哪几类？试分别述其受力特征 19、什么叫塑性功率？ 20什么是G 准则？ 21、线弹性断裂力学的适用范围。 22、“小范围屈服”指的是什么情况？线弹性断裂力学的理论公式能否应用？如何应用？ 23、什么是Airry 应力函数？什么是韦斯特加德( Westergaard)应力函数？写出
Westergaard应力函数的形式，并证明其满足双调和方程。
断裂力学与断裂韧性 3.1 概述 断裂是工程构件最危险的一种失效方式，尤其是脆性断裂，它是突然发生的破坏，断裂前没有明显的征兆，这就常常引起灾难性的破坏事故。自从四五十年代之后，脆性断裂的事故明显地增加。例如，大家非常熟悉的巨型豪华客轮－泰坦尼克号，就是在航行中遭遇到冰山撞击，船体发生突然断裂造成了旷世悲剧！ 按照传统力学设计，只要求工作应力σ小于许用应力[σ]，即σ<[σ], 就被认为是安全的了。而[σ]，对塑性材料[σ]=σ s /n，对脆性材料[σ]=σ b /n， 其中n为安全系数。经典的强度理论无法解释为什么工作应力远低于材料屈服强度时会发生所谓低应力脆断的现象。原来，传统力学是把材料看成均匀的，没有缺陷的，没有裂纹的理想固体，但是实际的工程材料，在制备、加工及使用过程中，都会产生各种宏观缺陷乃至宏观裂纹。 人们在随后的研究中发现低应力脆断总是和材料内部含有一定尺寸的裂纹相联系的，当裂纹在给定的作用应力下扩展到一临界尺寸时，就会突然破裂。因为传统力学或经典的强度理论解决不了带裂纹构件的断裂问题，断裂力学就应运而生。可以说断裂力学就是研究带裂纹体的力学，它给出了含裂纹体的断裂判据，并提出一个材料固有性能的指标——断裂韧性，用它来比较各种材料的抗断能力。 3.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论 3.2.1 理论断裂强度
金属的理论断裂强度可由原子间结合力的图形算出，如图3-1。图中纵坐标表示原子间结合力，纵轴上方 为吸引力下方为斥力，当两原子间 距为a即点阵常数时，原子处于平 衡位置，原子间的作用力为零。如 金属受拉伸离开平衡位置，位移越 大需克服的引力越大，引力和位移 的关系如以正弦函数关系表示，当 位移达到X m 时吸力最大以σ c 表示， 拉力超过此值以后，引力逐渐减小， 在位移达到正弦周期之半时，原子间的作用力为零，即原子的键合已完全破坏， 达到完全分离的程度。可见理论断裂强度即相当于克服最大引力σ c 。该力和位移的关系为 图中正弦曲线下所包围的面积代表使金属原子完全分离所需的能量。分离后形成两个新表面，表面能为。 可得出。 若以=，=代入，可算出。 3.2.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论 金属的实际断裂强度要比理论计算的断裂强度低得多，粗略言之，至少 低一个数量级，即 。 陶瓷、玻璃的实际断裂强度则更低。