3.2.1几类不同增长的函数模型
1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销量成一次函数关系，其图 象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
.A 310元 .B 300元 .C 290元 .D 280元
2.甲、乙两人在一次赛跑中从用一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如图所 示，则下列说法正确的是( )
.A 甲比乙先出发 .B 乙比甲跑的路程多 .C 甲、乙两人的速度相同 .D 甲比乙先到达终点 3.下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) .A 50y = .B 1000y x = .C 12x y -= .D 1
ln 1000
y x =
4.若(0,1),x ∈则下列结论正确的是( )
.A 12
2lg x
x x >> .B 12
2lg x
x x >> .C 12
2lg x
x x >> .D 12
lg 2x x x >>
5.
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是( )
.A 2log v t = .B 12
log v t = .C 21
2t v -= .D 22v t =-
6.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
.A 略有盈利 .B 略有亏损 .C 没有盈利也没有亏损 .D
无法判断盈亏情况
7.
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
.A 6升 .B 8升 .C 10升 .D 12升
8.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x 万元(410)x ≤
≤时，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过
2万
元，同时不超过销售利润的
1
2
，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据：lg 20.3,≈ lg30.48,≈lg50.7
≈)( ).A 0.4y x = .B lg 1y x =+ .C 12
y x = .D 1.125x y = ()
万件
9.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：o
C )满足函数关系( 2.71828...kx b y e e +==为
自然对数得底数，,k b 为常数).若该食品在0o
C 的保鲜时间是192小时，在22o C 的保鲜时间是48小
时，则该食品在33
o
C 的保鲜时间是( )
.A 16小时 .B 20小时 .C 24小时 .D 28小时
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在某放射性元素的衰变过程中，其含量M 与时间t (单位：年)满足关系：00()(,kt M t M e M k -=均为非零常数，e 为自然对数得底数).其中0M 为0t
=时该放射性元素的含量，若经过5年衰变后还剩余90%
的含量，则该放射性元素的衰变还剩余40%，至少需要经过(参考数据：ln 0.2 1.61,≈-ln 0.40.92,≈-
ln 0.90.11≈-)( )
.A 40年 .B 41年 .C 42年 .D 43年
11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元.在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05,
≈lg1.30.11,≈lg 20.30≈)( )
.A 2018年 .B 2019年 .C 2020年 .D 2021年
12.某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债券类 稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收 益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的 收益分别是0.125万元和0.5万元(如图).
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式； (2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？最大收益是多
少万元？
3.2.1几类不同增长的函数模型参考答案
1..B 解析：设函数解析式为
(0),y kx b k =+
≠函数图象过点(1,800),(2,1300),
800,21300k b k b +=??+=?解得500
,300k b =??
=?
500300,y x ∴=+∴当0x =时，300,y =故选.B 2..D 解析：由图可知，同样的路程甲用的时间少，说明甲的速度快，所以甲比乙先到达终点.故选.D 3..C 解析：指数函数模型的增长速度最快，故选.C 4..A 解析：在同一坐标系中作出函数
1
2
2,,lg x
y y x y x ===的图
象(如图所示)，观察图象可知，当(0,1)x ∈时，12
2lg x
x x >>，故选.A
5..C 解析：易排除B 、,D 代入一些数据知，选项C 最接近，故选.C
6..B 解析：设该股民购进的这只股票的价格为,a 则经历了n 次涨停后的价格为(110%) 1.1,n
n a a +=?又经
历了n 次跌停后的价格为 1.1(110%)n n
a ?- 1.10.9n n a =??(1.10.9)n a =??0.99n a =?,a <故选.B
7..B 解析：从表格中的数据可知，汽车行驶3560035000600-=千米的耗油量为48升，所以每100千米的耗油量为
48
86
=升.故选.B 8..B 解析：选项B 中，lg 1y x =+在[4,10]上是增函数，当
10x =时，max 2,y =又lg 12
x
x +<
在[4,10]上恒成立(如图)，,故选.B 9..C 解析：由该食品在0
o
C 的保鲜时间是192小时得，192,b e =ln192.b ∴=由该食品在22o C 的保
鲜时间是48小时得，2248,k b
e +=22ln 48,k b ∴+=22ln192ln 48,k ∴+=11
ln .224
k ∴=
? ∴该食品在33o C 的保鲜时间是33k b y e +=11
33ln ln192224
e ?
?+=31
ln ln19224
e ?+=3
21
ln()ln1924
e
+=
3
21
ln[()192]
4
e
?=3
21()1924
=?1192248=?=(小时).,故选.C
10..C 解析：500(5)0.9,k
M M e M -==5ln 0.90.11,k ∴-=≈-0.022.k ∴=由000.4kt M e M -=得
ln 0.40.92,kt -=≈-即0.0220.92,t -≈-0.92
42,0.022
t ≈
≈即该放射性元素的衰变还剩余40%，
至少
需要经过42年，故选.C
11..B 解析：设第*()n n N ∈年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.依题意得
1130(112%)200,n -+>则1lg[130(112%)]lg200,n -+>lg130(1)lg1.12lg 22,n ∴+->+ lg1.32(1)lg1.12lg 22,n ∴++->+0.11(1)0.050.30,n ∴+-?>24
,5
n ∴>
又*,n N ∈ 5.n ∴≥∴第5年(即2019年)该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.故选.B
12.解：(1)设投资债券类产品、股票类产品的收益与投资之间的函数关系式分别为
1()(0),()0).f x k x x g x k x =≥=≥依题意1211
(1) 1.125,(1)0.5,82
f k
g k ======
1
()(0),()0).8f x x x g x x ∴=
≥=≥ (2)设股票类投资x 万元，则债券类投资为(20)x -万元，总收益为y 万元.依题意
(20)()y f x g x =-+208x -=
21
2)3(020).8
x =-+≤≤
∴2=即4x =时，max 3.y =
即股票类投资4万元，债券类投资16万元时获得最大收益，最大收益是3万元.
数学必修一函数模型练习及答案解析 数学函数模型练习及答案解析 1.某工厂在2004年年底制订生产计划，要使2014年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为() A.5110-1 B.4110-1 C.5111-1 D.4111-1 解析：选B.由(1+x)10=4可得x=4110-1. 2.某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则() A.a>b B.a C.a=b D.无法判断 解析：选A.∵b=a(1+10%)(1-10%)=a(1-1100)， ∴b=a×99100，∴b 3.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是() A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 解析：选D.当t=0时，S=0，甲、乙同时出发;甲跑完全程S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点.
4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是 ________. 解析：该函数关系为y=2x，x∈N*. 答案：y=2x(x∈N*) 1.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，设第 一年有100只，则到第七年它们发展到() A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析：选A.由已知第一年有100只，得a=100，将a=100，x=7 代入y=alog2(x+1)，得y=300. 2.马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为() A.1535.5元 B.1440元 C.1620元 D.1562.5元 解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1- 0.2)2=1000，解得a=1562.5元，故选D. 3.为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数 y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是() 解析：选A.当x=1时，y=0.5，且为递增函数. 4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10m3，按每立方米x元收取水费;每月用水超过10m3，超过部分 加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为() A.13m3 B.14m3 C.18m3 D.26m3
几类不同增长的函数模型教学设计 教学设计 2.1 几类不同增长的函数模型 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 ．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． ．恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题． ．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣． 重点难点
教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模 型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 课时 教学过程 第1课时 林大华 导入新 思路1． 一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？ 解：纸对折n次的厚度：f＝0.01?2n，n块砖的厚度：g ＝10n，f≈105，g＝2. 也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解． 思路2． 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新
新知探究 提出问题 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数． 正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数． 某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数． 分别用表格、图象表示上述函数． 指出它们属于哪种函数模型． 讨论它们的单调性． 比较它们的增长差异． 另外还有哪种函数模型与对数函数相关． 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． 总价等于单价与数量的积． 面积等于边长的平方． 由特殊到一般，先求出经过1年、2年… 列表画出函数图象． 引导学生回忆学过的函数模型． 结合函数表格与图象讨论它们的单调性．
3.4.2 函数模型及其应用 课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式. 2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题. 3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型 (1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0) (2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (3)指数函数：y＝a x(a>0且a≠1) (4)对数函数：y＝log a x(a>0且a≠1) (5)幂函数：y＝xα(α∈R) (6)指数型函数：y＝pq x＋r (7)分段函数 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)收集数据； (2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型； (5)检验； (6)用函数模型解释实际问题． 一、填空题 1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________． 4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________． 6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________． 7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元． 8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝a log2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头． 9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 二、解答题 10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
几类不同增长的函数模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 2．若()0,1x ∈，则下列结论正确的是( ) A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．12lg 2x x x >> 3．四人赛跑，假设他们跑过的路程(){}() 1,2,3,4i f x i ∈和时间()1x x >的函数关系分别是()12f x x =，()22f x x =，()32log f x x =，()42x f x =，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A ．()12f x x = B ．()22f x x = C ．()32log f x x = D ．()42x f x = 4．西部某地区实施退耕还林，森林面积在20年内增加了5%，若按此规律，设2016 年的森林面积为m ，从2016年起，经过x 年后森林面积y 与x 的函数关系式为( ) A ． 1.0520mx y = B ．0.05120x y m ??=- ??? C ．()2015%x y m =+ D ．()15%x y m ??=+?? 5．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x ，y 之间的函数关系为( ) A ．1000.9576x y = B.1000.9576 x y = C ．0.9576100x y ??= ??? D ．10010.042x y =- 6．下列函数中在某个区间()0,x +∞内随x 增大而增大速度最快的是（ ） A.100ln y x = B.100y x = C.1e 100 x y = D.1002x y =? 7．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
对多元线性回归模型的各种检验方法 对于形如 u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验： 一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验 在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0 H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对 被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j β?才敢使 用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显 著的线性影响，估计值j β?对我们就没有意义。具体检验 方法如下： （1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；
（2） 计算统计量 )?(?)?()(?j j j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11?)?(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ （3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ； （4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝 0H ；反之，无法拒绝0H 。 t 检验方法的关键是统计量 )?(?j j j Se t βββ-=必须服从已 知的t 分布函数。什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）： （1） 随机抽样性。我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，
第五课时§4.2.3函数模型的应用实例（Ⅲ） 一、教学目标 1、知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法：体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观：深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学法与教法：1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。2、教法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg）
3．2.2函数模型的应用实例 课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式. 2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题. 3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型 (1)一次函数：y＝______________________ (2)二次函数：y＝______________________ (3)指数函数：y＝______________________ (4)对数函数：y＝______________________ (5)幂函数：y＝________________________ (6)指数型函数：y＝pq x＋r (7)分段函数 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)________________； (2)________________； (3)________________； (4)________________； (5)______； (6)__________________________．
一、选择题 1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示： A．75 B．100 C．150 D．200 2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是() A．310元B．300元 C．290元D．280元 3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是() A．减少7.84% B．增加7.84% C．减少9.5% D．不增不减 4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年
几类不同增长的函数模型（1） 一、教学目标 （一）知识目标： 1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义. 3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题. （二）能力目标：初步培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力。（三）情感目标：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情. 二、教学重难点 （一）重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. （二）难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、活动设计 1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型. 2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势. 四、教学过程 一、创设情景，引入新课 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子? 指数函数、对数函数、幂函数等等. 当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）二、讲解新课 例题剖析 【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》 【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其应用》》希望对你的学习有帮助！ 【篇一】 【内容】建立函数模型刻画现实问题 【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。
同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 【教学目标】 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程. (2)了解函数模型的广泛应用 (3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力 (4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度 【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用 【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其应用》》希望对你的学习有帮助！ 建立函数模型刻画现实问题 函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始
数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程. (2)了解函数模型的广泛应用 (3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力 (4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度 了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用 建立函数模型刻画现实问题中数据的处理 通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本
控制系统的数学模型及传递函数 2-1 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当时，，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：
所以， 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：， 令t-a=τ,则有上式=
人教版数学必修① 3.2 函数模型及其应用 【课时安排】第4 课时 【教学对象】高一学生 【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。 【教学目标】 知识与技能 （1）初步理解数学模型、数学建模两个概念； （2）掌握框图2——数学建模的过程。 过程与方法 （1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法； 情感态度价值观 （1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程； （2）感受数学的实用价值，增强应用意识； （3）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】框图2——数学建模的过程。 【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。 【教学方法】引导探究、讨论交流。 教学手段】计算机、PPT、几何画板。
教学过程设计】、教学流程设计
1： 教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图 （五）最优解的探究：预计时间7 分钟 我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深 度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的 横截面积。 如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方 案进行设计，结果又如何呢？ 教 师将 学生 分成 五个 小 组， 并巡 视指 导学 生解 决问 题。 由于 缺少 导数 工 学生 动手探 究各自 的设计 方案 1、让 学生经 历数学 建模中 的优化 过程； 2、培 养学生 的探究 意识。 数学建模过程：预计时间2 分钟引导 分析 讲解 听讲 思考 这一实 际问题 的解决 过程， 概括出 数学建 模的基 本过 程，以 实现由 具体到 抽象的 升华。
“几类不同增长的函数模型”的教学设计与反思 台州市第一中学蒋茵 一、教学内容与内容解析 几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容 .它比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差 异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（y = x：y = 2、，y=log X）的增长差异；（3）将结2 论推广到一般的指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异 其中（1）为第一课时的内容，（2）、（ 3）为第二课时的内容. 学生在本节内容学习之前，己经有了指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，在这里进一步 研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幕函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异，同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中 二、教学目标与目标解析 1.教学目标： （1）借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异. （2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 （3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格），并借助信息技术解决一些实际问题. （4）在实际问题解决过程中，体会数学的作用与价值，形成分析问题、解决问题的能力. 2.教学目标解析： 目标（1）、（2）是教学的重点，落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证.
落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景，并通过层层递进的问题串，让学生在不断观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题、解决问题的能力，实现目标（4）. 目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标，教学时通过学生自主探究，相互 交流，教师适时提问引导，合作完成.另外利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幕函数的增长差异.还使学生接触到更多的数学知识和思想方法 三、教学问题诊断分析
函数模型及应用 一、选择题 1、某人在2005年9月1日到银行存入一年期a元，若每到第二年的这一天取出，再连 本带利存入银行（假设银行本息为r%），则到2010年9月1日他可取出回款（） A、a(1＋r%)6（元） B、a(1＋x%)5（元） C、a＋6(1＋r%)a（元） D、a＋5(1＋r%)a（元） 2、如图，纵向表示行走距离d，横向表示行走时间t，下列四图中，哪一种表示先快后 慢的行走方法。（） 3、往外地寄信，每封不超过20克，付邮费0.80元，超过20克不超过40克付邮费1.60 元，依次类推，每增加20克，增加付费0.80元，如果某人寄出一封质量为72克的信，则他应付邮费（） A、3.20元 B、2.90元 C、2.80元 D、2.40元 4、某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（）
A 、10% B 、9% C 、11% D 、1119 % 5、建造一个容积为8米3 ，深为2米的长方体无盖水池，如池底和池壁的造价分别为120元/米2 和80元/米，则总造价与一底连长x 的函数关系式为（ ） A 、4320()y x x =+ B 、4 320()480y x x =++ C 、4 160()y x x =+ D 、4160()240y x x =++ 二、填空题 1、已知气压P （百帕）与海拔高度h(米)的关系式为3000 71000()100 h P =，则海拔6000米处的的气压为 。 2、某商品零售价从2004年比2005年上涨25%，欲控制2006年比2004年只上涨10%，则2006年要比2005年应降低 。C 3、在△ABC 中，AB ＝10，AB 边长的高CD ＝6，EF 四边形EFGH 为内接矩形，则矩形EFGH 的最大 面积为 。AHDGB 4、某企业年产量第二年增长率为r%，第三年增长率为R%，则这两年的平均增长率为 。 5、拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[]m ＋1)给出（其中m ＞0，[]m 是大于或等于m 的最小整数），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为 。 三、解答题 1、1982年我国人均收入255美元，到2002年人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则年平均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2022年人均收入至少达到多少美元？ 2、有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品可获利润分别为p 、q （单位：万元），它 们与注入资金的关系分别为15p x = ，q =3万元资金投入经营两种商品，为了获取最大利润，对两种商品该如何分配？
由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统 内部描述 SISO ? ??+=+=du cx y bu Ax x & 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()()()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++L L ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ 对上式取拉氏反变换，则 ? ??++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x Λ&，于是有
?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 221Λ&M && 写成矩阵形式 式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。 则输出方程 121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--Λ 写成矩阵形式 ??????? ? ????????=--n n m m x x x x b b b b y 12101 1][M Λ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。 在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。 例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。 4 2383)()(2 3++++=s s s s s U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即
《3.2.2 函数模型的应用实例》测试题 一、选择题 1.某种细胞在正常培养过程中，时刻(单位：分)与细胞数(单位：个)的部分数据如下： 02060140 根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻最接近于( ) A.200 B.220 C.240 D.260 考查目的：考查观察分析能力、函数建模能力和运用指数函数的性质解决实际问题的能力. 答案：A. 解析：由表中数据可以看出，与的函数关系式为.令，则，而，∴繁殖到1000个细胞时，时刻最接近200分，故答案应选A. 2.(2011北京)据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间(单位：分钟)为 (为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么的值分别是( ). A.75，25 B.75，16 C.60， 25 D.60，16 考查目的：考查读题审题能力和分段函数模型的应用能力.
答案：D. 解析：由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然 满足第一个分段函数，即，∴，，∴，故答案应选D. 3.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长8%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2009年翻两番的年份大约是( ).(，，，) A.2018年 B.2025年 C.2027 年 D.2028年 考查目的：考查增长率问题和指数、对数的相互转化及其运算. 答案：C. 解析：设2009年总值为，经过年翻两番，则，∴，∴，故答案应选C. 二、填空题 4.某商品零售价2012年比2011年上涨了25%，欲控制该商品零售价2013年比2011年只上涨10%，则2013年应比2012年降价________%. 考查目的：考查读题审题能力、增长率问题解决能力和函数思想. 答案：12. 解析：设该商品零售价2011年为元，2013年应比2012年降价，则2012年零售价为
3.2.2 几类不同增长的函数模型 （一）教学目标 1．知识与技能 利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识. 2．进程与方法 在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力. 3．情感、态度与价值观 在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣. （二）教学重点与难点 重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养. （三）教学方法 尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策. （四）教学过程 回顾复习 择，这三种方案的回报如下： 元； 元； . 三种方案所得回报的增长情况
再作三个函数的图象 在第1~3天，方案一最多；在第天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二
观察图象发现，在区间[10，1000] 上，模型y=0.25x，y=1.002x的图 象都有一部分在直线y=5的上方， 只有模型y=log7x+1的图象始终 y=5的下方，这说明只有按模 . 所以该模型不符合要求； 时，是否有 2 变化的数据如下表
．中学数学建模的主要步骤
例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小. 【解析】设单位购买x 台影碟机， 在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用 280020,(118)440,(18)x x x y x x ?-≤≤=?>? 在乙商场购买，费用y = 600x . （1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x ∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x ∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x ∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买. 【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题. 例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a 2 1x + b ，y = ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？ 【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型. 由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）. （1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有?? ?=+=+2.123.13b a b a ，解得? ??==11 .0b a 所以得y =0.1x +1. 因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
第八章 统计回归模型 回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数. 回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等. 回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归. 一、多项式回归 (1) 一元多项式回归 一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10. 如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归. 1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下： p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值. [p,S]=polyfit(x,y,m) S 是一个矩阵，用来估计预测误差. 2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval 实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y . [Y ,DELTA]=polyval(p,X,S) p ，S 为polyfit 的输出，DELTA 为误差估计.在线性回归模型中，Y ±DELTA 以50%的概率包含函数在X 处的真值. 3. 模型预测的置信区间用polyconf 实现，其具体调用格式如下： [Y ,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA ，alpha 缺省时为0.05. 4. 交互式画图工具polytool ，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)； 用m 次多项式拟合x ，y 的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05. 例1 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s . 解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据
《自动控制原理》实验指导书 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 2013年4月
目录 实验一典型系统的时域响应和稳定性分析 (1) 实验二用MATLAB建立传递函数模型 (5) 实验三利用MATLAB进行时域分析 (13) 实验四线性定常控制系统的稳定分析 (25) 实验五利用MATLAB绘制系统根轨迹 (29) 实验六线性系统的频域分析 (37) 实验七基于MATLAB控制系统频域法串联校正设计 (51) 附录1 MATLAB简介 (58) 附录2 SIMULINK简介 (67)
实验一典型系统的时域响应和稳定性分析 一、实验目的 1．研究二阶系统的特征参量(ξ、ωn) 对过渡过程的影响。 2．研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。 3．熟悉Routh判据，用Routh判据对三阶系统进行稳定性分析。 二、实验设备 PC机一台，TD-ACC+教学实验系统一套。 三、实验原理及内容 1．典型的二阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：如图1-1所示。 图1-1 (2) 对应的模拟电路图：如图1-2所示。 图1-2 (3) 理论分析 系统开环传递函数为：G(s)=? 开环增益：K=? 先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电阻R的理论值，再将理论值应用于模拟
电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性，应与理论分析基本吻合。在此实验中由图1-2，可以确地1-1中的参数。 0?T =， 1?T =，1?K = ?K ?= 系统闭环传递函数为：()?W s = 其中自然振荡角频率：?n ω=；阻尼比：?ζ=。 2．典型的三阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：如图1-3所示。 图1-3 (2) 模拟电路图：如图1-4所示。 图1-4 (3) 理论分析 系统的开环传函为:()()?G s H s = 系统的特征方程为:1()()0G s H s +=。 (4) 实验内容 实验前由Routh 判断得Routh 行列式为： S 3 S 2 S 1 S 0 为了保证系统稳定，第一列各值应为正数，因此可以确定