§6.3常用统计量的分布
一、样本均值的分布
1、单个正态总体下的样本均值的分布
2、两个正态总体下的样本均值的分布
3、非正态总体下的样本均值的近似分布
二、-分布
1、分布定义
2、分布的性质
3、分布的典型模式
4、分布的上α分位点
2
χ2
χ2χ2χ2χ三、t-分布
1、t 分布的定义
2、t(n)的性质
3、t(n)的典型模式
4、t(n)分布的上α分位点
四、F-分布
1、F分布的定义
2、F分布的性质
3、F分布的典型模式
4、F分布的上α分位点
五、正态总体样本均值与样本方差的分布
1、单个正态总体下样本均值与样本方差的分布
2、两个正态总体下样本均值差与样本方差比的分布
)
2.3(1)(1)1()(1
)(1)1()(,,,2,1,)(,
)(,,,1)
1.3(),(~1
1,,,,),,(1.312
2
2121112
212
12
1
212
n n n
X D n X n D X D n n
X E n X n E X E n i X D X E X X X X n
N X n X n
X n X X X X X N X n i i n i i n i i n i i i i n n
i i n
i i n σσμ
μσμσμσμσμ=
?====?========∑∑∑∑∑∑======于是有
相互独立同分布，故与：由于注的正态分布，即
，方差为
服从均值为值的一个样本，则样本均为来自服从正态总体设总体定理本均值的分布
、单个正态总体下的样一、样本均值的分布
"""
这点处。望取值几乎集中在数学期时且当高的集中程度远比总体要
的取值于即倍的方差的的方差却只是
但有相同的数学期望与由上述可知注μμX n X n
X X X X ,,,1
,,:2∞→之间的概率。
到落在均值试求样本的样本中随机抽一容量为在总体例8.538.50,36)3.6,52(1.32
X N 8293
.0)41.1()71.1(05.1528.5005.1528.53}8.538.50{)05.1,52()36
3.6,
52(~361)1.3(,36),3.6,52(~:2
2
36
12
=?Φ?Φ=?
?
?
????Φ????????Φ=<<===∑=X P N N X X n N X i i 故式得
由因解
?
95
.0}1.19.0{,,,,),2.0,1(2.3212最小应为取多大试求样本容量满足不等式
欲使样本均值的样本从中抽取容量为服从正态分布设总体例n P X X X X n N X n ≥<≤"。
最少应取样本容量因此故查表得即故由题设知解16,3664.15,96.12;975.02195.0)2(1
)2(2)2()2(2.019.02.011.1}1.19.0{95.0)
2.0,1(~1:2
1n n n
n n
n n n n X P n
N X n X n i i ≥≥=+≥
Φ?Φ=?Φ?Φ=?
??
????Φ????????Φ=<≤≤=∑=
至少应取多大？
样本容量，试问）内的概率不小于，其样本均值位于区间（的样本，如果要求中抽取容量为从正态总体练习：
n n N 95.04.54.1)6,4.3(2
35
:≥n 答)
4.3()
1,0(~)
()3.3(),(~,),,,(),,,(),,(~),,(~2.322
2
2
1
212
2
2
1
2121212
222
11N n
m
Y X n
m
N Y X Y X Y X Y Y Y X X X Y X N Y N x n n σσμμσσμμσμσμ+
±?±+
±±即
分别为其样本均值，则单随机样本，
的简与为分别来自与相互独立，
与设有两个正态总体定理本均值的分布
、两个正态总体下的样""
的概率。
的绝对值大于的两独立样本均值差的容量分别为试求总体例3.015,10)3,20(3.3N 6744
.0]6628.01[2)]42.0(1[2)]23.0(1[2]1)23.0(2[12103.02103.01}
3.03.0{1}
3.0{1}3.0{)
21
,0()15
3103,0(~)3.3()
15
3
,20(~)103,20(~,,:=?=Φ?=Φ?=?Φ?=?
???????????????Φ????????
??Φ?=≤?≤??=≤??=>?=+?Y X P Y X P Y X P N N Y X N Y N X Y X 所求概率式得
由则
为设两独立样本均值分别解
。试计算与体分别取自两个独立总和设样本练习}11{),2,20(~),2,10(~,,,,,,,:
2
25211021?>?Y X P N Y N X Y X Y Y Y X X X ""8186
.0:答限定理可证。
注：本定理利用中心极即
较大时，近似得有
的一个样本，当为来自总体方差为
望为为任意总体，其数学期设定理均值的近似分布
、非正态总体下的样本)
6.3()1,0(~)5.3(),(~,,,,)(,)(3.332
212
N n
X n
N X n X X X X X D X E X n σμ
σ
μσμ?=="
95
.0}1.0{,,,,)(,)(4.32
≥
多大时试问样本均值为的样本为的容量任取方差的期望若总体例385
,
96.11.0975
.0)1.0(95.01)1.0(295.01.0}1.0{),,
(,)5.3(:2
≥≥≥Φ≥?Φ≥???????
???
N X 即查表知得
故
近似服从正态分布式由解σμ
σμσ
μ
的值。
试求若
为其样本均值的样本一容量为从中取出方差的期望设一总体练习λλ01.0},,200,5.8)(,80)(:
2
=≥==P X X D X E X 4
.81:=λ答。
分布，记为的服从自由度为则称的概率密度为
若随机变量定义分布定义
、分布二、)(~)7.3(000221
)(1.312
22
1222
2
n X n X x x e x n x f X x n n
χχχχ???
????≤>??????Γ=???
有关。
状与的密度图形如下，其形。
分布的分布实际上为参数是注n n n n n )(21,221,2)(:2
2
χχ??
?
???ΓΓ）
（）分布性质得
，（由且相互独立，
设具有可加性分布对参数）（的数字特征
）（分布的性质、2112
22
2122
2221212122
2
22
~)(~),(~)(22)]([)]([)(12n n n n n n n n D n n E n ++Γ==χχχβαχχχχχχχχχ
x
10
20
30
。
分布的服从自由度为，则随机变量
正态分布准相互独立，且都服从标若随机变量定理分布的典型模式
、)()
8.3()1,0(,,,4.332
2
1
2
2212
n n X N X X X n
i i
n
n χχχχ∑=="1
)(2)
()(}{)(,00
)(,0}{)(),1,0(,,,,,2,1:2
2
212
?Φ=?Φ?Φ=≤≤?=≥=≤≤==z z z z X z P z F z z F z z X P z F X N X X X n
i X i i i i i i n i 时当时当的分布函数为
令相互独立同因的分布
先求证""
)
(~,)
1(~,1)7.3(0
002121)(2)(2
2
2
22
12
2
2
2
2
2
2
2
n X X X n X X z z e
z
z z z f X n i i z i i χχχχπ
+++??
???≤>=?Φ=?"即得
的可加性分布对参数再由即
分布的服从自由度为式易知比较的概率密度为
故并确定自由度。
分布服从使
求系数的简单随机样本是来自总体设例,)()()(,,,,)2,0(),,,(5.32
2
98762
5432
212
921χX X X X C X X X b X X a X c b a N X X X ++++++++="
10
/1,12/1,8/1,3,)3(~16128)1(~16)1(~12)
1,0(~12
)
1(~8)1,0(~8)16,0()2222,0(~)
12,0()222,0(~)
8,0()22,0(~),2,0(,,,,:2
2
2
98762
5432
212
2
98762
2
5435
4322
212
1222298762
2
2
5432
2
212921====????
??++++??????+++??????+?
?
????+++?
?
????++++?????
?++=++++++=++++=++c b a n X X X X X X X X X X X X X X X X X N X X X X X N X X N N X X X X N N X X X N N X X N X X X 分布服从即所以同理从而
故且同正态分布相互独立由于解χχχχχ"
f(x)y
)
(2
n αχα
分布。
服从使随机变量试确定常数令
从中抽取样本服从标准正态分布设随机变量练习2
2
2212
21221,)()(,,,,),1,0(:χCY C X X X X X X Y X X X N X n n n n n +++++=++")
()()()
9.3()}()({,102.342
2
2
2
2
如图所示分位点。分布的上为的称满足条件
，对于给定的正数定义分位点
分布的上、αχχα
χχαααχααn n n n P =>< C 1 := 答 4855 .34)1100645.12 1)50(2206 .67)1100645.121)50()1,0() 10.3() 122 1)()(45452379 .15)26(885 .38)26(9.3)(12 295.02 205 .02 22 2 2 295 .0205.02 2 =?+?≈=?+≈?+≈>≤==（（例如分位点。 的上为其中（的近似值为分位点分布的上极限定理，可得时，由中心，对于分布表一般只列到：注例如分布表以供查阅。）式，造成为困难，故根据（用它计算概率较的密度比较复杂，直接：由于注χχαχαχχχααααN z n z n n x x n n x x n 的值。 试求若 服从标准正态分布、设随机变量）（）（）（）（、查表求出下列各值练习λλχ χχ χ05.0}2{)1,0(2) 48(4) 48(3)30(2)30(1 1: 2 295 .0205 .0295 .02 05.0=>X P N X 68 .728195.3248865.643493.182773.4311:=λ、）；（）；（）；（）、（答 其密度函数图形如图。 记作分布，的服从自由度为则称的密度函数为若随机变量定义分布的定义 、分布三、), (~) 11.3() (1221)(3.312 12n t X t n X x n x n n n x f X t t n +∞< ? ????Γ??????+Γ=?+?πx ) n ;x (t ∞=n 10=n 5=n 1 =n 0 ) 13.3(2 )]([0 )]([)(3) 12.3(21)(lim )(2)()1,0() ()()(1 )(22 )(2?= == =??∞→n n n t D n t E n t e x f n t n t N x f x f y n t n t x n t n 分布的数字特征 ）（分布，即的极限分布为标准正态）（。点较标准正态曲线较高曲线的峰顶要低，两端分布密度密度曲线十分相近，但且与标准正态分布轴对称，即有分布的密度曲线关于）（的性质 、π 。 分布，记为的服从自由度为相互独立，则随机变量 与且设定理的典型模式 、)(~)14.3(),(~),1,0(~5.3)(32 n t T t n n Y X T Y X n x Y N X n t = 分布。 服从，使统计量 试求常数来自总体样本服从标准正态分布设总体例t X X X X X C C X X X X N X 25 2 42 321521) (,),,,(),1,0(6.3+++" 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 中考数学总复习：.统计与概率 考点1 . 统计的方法――普查与抽样调查： 1）普查：为一特定目的而对所有考察对象做的全面调查叫普查； 2）抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象做的调查叫抽样调查。 说明： 1）下列的情形常采用抽样调查： ①当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时； ②当调查具有破坏性，不允许普查时。 2）抽样调查的要求：①抽查的样本要有代表性；②抽查的样本不能太少。 考点2 与统计有关的概念： 1）总体：所要考查的对象的全体叫总体； 2）样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本中个体的数目叫做样本容量。使总体的每一个个体有同等的机会被选中，这样的样本称为简单随机样本； 3）个体：总体中每一个考查的对象叫做个体； 4）频数：统计时，每个对象出现的次数叫频数，频数之和等于总数； 5）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值叫频率，频率之和等于1。 注意：考查对象不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项数量指标。 考点3 统计图表： 1）扇形统计图是用圆代表总体，圆中各个扇形分别代表总体中不同部分的统计图，它可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量； 2）条形统计图能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化，复合条形图的描述对象是多组数据； 3）折形统计图可以反映数据的变化趋势； 4）频数分布表和频数分布直方图，能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况。 说明：绘制频数分布直方图的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数（当数据在100个以内时，一般取5～12组）；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数,绘制频数分布直观图； 考点4 数据的代表：反映数据集中趋势的特征数 1）平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数称为这组数据的平均数； ①算术平均数：一般地，如果n 个数321,,x x x …，n x ， 那么n x x x x x n ++++= 321叫做这n 个数的平均数； ②加权平均数：一般地，如果n 个数321,,x x x …，n x 中，11f x 出现次，22f x 出现次，…， k x 出现k f 次（+++321 f f f …n f +＝n ），那么n f x f x f x f x x k k ++++= 332211 叫做321,,x x x …，个数的加权平均数这n x n ，其中、、、321f f f …k f 、叫做 321,,x x x …，k x 的权； 2）中位数：将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数，就是这组数据的中位数； 3）众数：一组数据出现中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 概率初步 重点 1.感受可能型 2.频率的稳定性 3.等可能事件的概率 4.游戏的公平性 难点 1.判断随机事件可能性的大小 2.运用频率来估计某一事件的概率 3.按要求设计游戏 一.必然事件、不可能事件与随机事件的概念 1.必然事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2.不可能事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3.随机事件：在一定条件下进行重复试验时，有写事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为随机事件。 学习小目标 知识点讲解 重要总结： 1. 随机事件的发生是不能确定的，带有偶然性。 2. 在现实生活中，存在着大量的随机事件因此研究随机事件显的尤为重要，因为随机事件中有的发生的可能性大一些，有的可能性小一些，所以准确判断气可能性的大小有利于人们做出合理的决策。 3. 一般情况下，随机事件发生的可能性有大有小。 注意：有些随机事件发生的机会很大，但不是必然发生，有些随机事件发生的机会很小， 典例精讲 例1.下列事件中，是必然事件的是（B） A．明天早上会下雨 B．任意一个三角形，它的内角和等于180° C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放“老白谈天” 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：A、明天早上会下雨是随机事件，故本选项错误； B、任意一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件，故本选项正确； C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故本选项错误； D、打开电视机，正在播放“老白谈天”是随机事件，故本选项错误； 故选：B． 例 2.硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是（C） A．正面向上B．正面不向上 C．正面或反面向上D．正面和反面都不向上 【分析】分别确定各个事件的概率即可确定大小． 【解答】解：A、正面向上的可能性为； B、正面不向上的可能性为； C、正面向上或反面向上的可能性为1； D、正面和反面都不向上的可能性为0， 故选：C． 解析：解决这类可能性大小的问题，通常根据部分在整体中所占的百分比的大小来判断，应灵活掌握该方法。 概率统计讲义 一．近5年全国卷高考题回顾 1.（2012?新课标 第11题） 将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 2.（2012?新课标 第18题）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式． 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差； （ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． （1）当时， ， 当 时， ， 得：() *∈?? ?≥≤-=N n n n n y 16 ,8015 ,8010 （2）（ⅰ）X 可取60，70，80。 ， X 的分布列为 ， 。 （ⅱ）购进17枝时，当天的利润为76.4 > 76，从利润角度看，故应购进17枝。 而此时 ，说明购17支在利润相差不大的情况下，其波动较大，故购16支也可。 3.（2013 新课标 第3题）为了解某地区中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理抽样方法是( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 4.（2013 新课标 第19题）.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任 取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作 2016中考统计与概率专题复习 知识重现 一、数据的收集 总体、个体、样本、样本容量的概念 二、数据的处理 中位数、众数、平均数、极差、方差、标准差、频数、频率 方法点拨：严格按照定义进行计算，特别是中位数的计算，要注意数据的个数是奇数还是偶数，众数可能不止一个。 三、统计图表 （1）条形图显示每组中的具体数据 （2）扇形图能显示部分在总体中所占百分比 （3）折线图能显示数据的变化趋势 （4）直方图能显示数据的分布情况 方法点拨：在解决由多种统计图共同组成的题目时，解题关键是结合各种统计图，将题目中用到的信息找出来，同时注意各种统计图的互补性。 四、事件及随机事件的概率 1、不可能事件、必然事件和随机事件的定义 2、概率的意义 3、大量重复试验时，可以用频率估计概率 五、求随机事件概率的方法 1.运用列举法（列表、画树状图）计算简单事件发生的概率 2.解决一些实际问题（游戏中的概率、概率与函数等知识相结合） 易错题归纳 1、某班团支部统计了该班甲、乙、丙、丁四名同学在5月份“书香校园”活动中的课外阅读时间，他们平均每天课外阅读时间x与方差s2如下表所示，你认为表现最好的是【】． 甲乙丙丁 x 1.2 1.5 1.5 1.2 s20.2 0.3 0.1 0.1 A．甲B．乙C．丙D．丁 2、希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是【 】 A ．被调查的学生有200人 B ．被调查的学生中喜欢教师职业的有40人 C ．被调查的学生中喜欢其他职业的占40% D ．扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72° 3、（2015湖北武汉3分）对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分共4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是【 】 A ．2.25 B ．2.5 C ．2.95 D ．3 4、下列说法正确的是【 】 A ．要了解全市居民对环境的保护意识，采用全面调查的方式 B ．若甲组数据的方差S 2甲 =0.1，乙组数据的方差S 2乙 =0.2，则甲组数据比乙组稳定 C ．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上 D ．若某彩票“中奖概率为1%”，则购买100张彩票就一定会中奖一次 5、四张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任 意抽取一张，卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为【 】 A.43 B.1 C.21 D.4 1 第25章概率初步 25.3 用频率估计概率 学习要求 1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程． 2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法． 知识点一：利用频率估计概率 例1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（） 试验种子数n（粒）50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 发芽频率 A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据5批次种子粒数从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95． 【解答】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95， ∴估计种子发芽的概率为0.95． 故选C． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 变式1．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（） 实验次数100 200 300 500 800 1000 2000 频率0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断． 【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意； C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意； D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意， 故选B． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 变式2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（） 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 摸到白球的频率 A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6 C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200 第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0 0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0 高中数学统计与统计案例概率知识点 统计与统计案例概率（文科） 知识点 1．抽样调查 (1)抽样调查 通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行______，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出______，这就是抽样调查． (2)总体和样本 调查对象的称为总______体，被抽取的称为样______本． (3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点： ①______ ②节约人力、物力和财力． 2．简单随机抽样 (1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率． (2)通常采用的简单随机抽样的方法：_____ 3．分层抽样 (1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按______(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机 械抽样． 5．统计图表 统计图表是______数据的重要工具，常用的统计图表有______ 6．数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数． 平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______ (2)样本方差 标准差s ＝ 1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， 其中x n 是样本数据的第n 项，n 是，______x 是______ 标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的______．通常用样本方差估计总体方差，当______时，样本方差很接近总体方差． 7．用样本估计总体 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是______，另一种______． (2)在频率分布直方图中，纵轴表示，______数据落在各小组内的频率用______表示，各小长方形的面积总和等于.______ (3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图． (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且______，方便表示与比较． 概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是 不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……} 知识点一：随机事件 【1】下列事件中，是确定事件的是（ ） A 、打雷后会下雨 B 、明天是睛天 C 、1小时等于60分钟 D 、下雨后有彩虹 【2】下列事件是必然事件的是（ ）． A 、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6 B 、抛一枚硬币，正面朝上 C 、3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D 、打开电视，正在播放动画片 【3】下列事件中，不可能事件是（ ） A 、掷一枚六个面分别刻有1-6数码的均匀正方体骰子，向上一面的点数是“5” B 、任意选择某个电视频道，正好在播放动画片 C 、肥皂泡会破碎 D 、边长分别为3、4、5的三角形不是直角三角形 【4】“是实数, ”这一事件是（ ） A 、必然事件 B 、不确定事件 C 、不可能事件 D 、随机事件 知识点二：随机事件的概率 【5】下列说法不正确的是 A 、某种彩票中奖的概率是11000 ，买1000张该种彩票一定会中奖 B 、了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 C 、若甲组数据的标准差S 甲=0.31乙组数据的标准差S 乙=0.25则乙组数据比甲组数据稳定 D 、在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件 【6】某市气象局预报称：“明天本市的降水概率为70%。”这句话指的是（ ） A 、明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B 、明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 C 、明天本市一定下雨 D 、明天本市下雨的可能性为70% 频率与概率： 在n 次试验中，时间A 发生的频数m 满足n m ≤≤0，进而可知当n m 稳定到常数P 时，有10≤≤P 。 必然事件：P=1 不可能事件：P=0 【7】从下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是 【8】如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．若每边每段绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为 a ||0a ≥ 考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率： 专题18 概率初步 一、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 二、随机事件发生的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 三、概率的意义与表示方法 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率 m n 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。 2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P 四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率 (1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1 (2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1概率的值 不可能发生必然发生 事件发生的可能性越来越大 五、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 六、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 【例1】(2019?上海)一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是． 第13讲概率初步 温故知新 轴对称 （一）轴对称的定义 （1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。 （2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 （二）轴对称的性质 （1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。 （2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 （3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。 智慧乐园 大家都有过夹娃娃的经历吗?你觉得什么情况下 夹到娃娃的可能性会更大?与小伙伴进行讨论 知识要点一 。 感受可能性 （一）确定事件与不确定事件 1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2、不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3、确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 4、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称随机事件。 5、 ?? ?? ?? ? ? 必然事件 确定事件 事件不可能事件不确定事件 ?典例分析 例1、下列事件不是随机事件的是（） A．投两枚骰子，面朝上的点数之积为7 B．连续摸了两次彩票，均中大奖 C．投两枚硬币，朝上的面均为正面D．NBA运动员连续投篮两次均未进 例2、袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（）A．这个球一定是黑球B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球D．事先能确定摸到什么颜色的球 例3、“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（） A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件 例4、下列事件属于随机事件的有（） ①当室外温度低于﹣10℃时，将一碗清水放在室外会结冰； ②经过城市中某有交通信号灯的路口，遇到红灯； ③今年春节会下雪； ④5，4，9的三根木条组成三角形． A．②B．②④C．②③D．①④ 2019版中考数学复习 第八章 统计与概率讲义 考点1 调查的方式 1、 全面调查：为了一定目的而对所有对象进行的调查称全面调查。 2、 抽样调查：人们从总体中抽取一些对象进行调查，这种调查称为抽样调查。 考点2 总体、个体与样本 1、 要考察对象的整体称为总体，而组成总体的每一个对象称为个体，从总体中抽取的实际调查对象叫做总体的 一个样本，样本中所包括的数量叫做样本容量。 2、 用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越准确。 数据的代表 概念 特性 算术平均数 对于n 个数，，…，其中平均数= 大 小 与 每 个 数 据 有 关 描 述 一 组 数 据 集 中 趋 势 加 权 平 均 数 =(，其中，…分别表示 出现的次数。或= ， 其中 表示数据的个数， 分别表示每 个数据的权重。 中 位 数 （1）将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；（2）如果数据的个数偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 唯一 众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 不唯一 极差 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。 描述一组 数据的波 动情况 方差 ，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 考点4 频数与频率 1、 频数：对总的数据按某种标准进行分组，落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 2、 频率：每个小组的频数与数据总数的比值叫做这组数据的频率，即频率=，频率反映了各组频数的 大小在总数中所占的份量，频率之和等于1。 统计图名称 特点 条形统计图 反映每个项目的具体个数 概率统计练习题 一、填空题 1、已知P(A)=P(B)=P(C)=25.0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15.0，则A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为 0.45 。 2、设A 、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A ∣B )=0.6，则P(A ∪B)= 0.88 。 3、设X 、Y 相互独立，X ~)3,0(U ,Y 的概率密度为???? ?>=-其它,00 ,41)(41x e x f x ，则 (253)E X Y -+= -14 ，(234)D X Y -+= 147 。 4、设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的概率为 0.875 . 5、已知()3E X =，()D X =2，由切比雪夫不等式估计概率(34)P X -≥≤ 0.125 。 6、设(100,0.2)X B ，则概率(P 20-X )4≤≈ 0.68 ()84.0)1(=Φ。 7.设X 的分布函数 ?????≥-<=1 ,1 11, 0)(2 x x x x F ，则=)(X E 2 8.已知随机变量X ~ ),(2 σμN ，且)1()5(,5.0)2(-Φ=≥=≥X P X P ，则=μ2，=2σ9 。 9. 已知()0.6P A =，()0.8P B =，则()P AB 的最大值为0.6，最小值为0.4 。 10、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有 )(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。 11、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5， 则Z ～ N(-2, 25) 。 12、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 13、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 14、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。 15、设（X ，Y ）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b 使 {}1=+-=b aX Y P ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。 16、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51，则密码能被译 出的概率是 2/3。 【考点链接】 1．__________________叫确定事件，________________叫不确定事件（或随机事件），__________________叫做必然事件，概率为_______，____________叫做不可能事件.概率为。 2． ___________ ___________叫概率.概率计算公式为 3．求概率的方法： （1）利用概率的定义直接求概率； （2）用树形图和________________求概率； （3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率． 4．判断某个游戏是否公平，评判的根据是概率的大小，解答这类问题，实质是预测参与游戏各方赢得概率的大小。 【典型例题】 1. 在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红 球的概率是． 2．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机 摸出一个球，它是白球的概率为2 3 ，则n ． 3．下列事件是必然事件的是（） A．打开电视机，正在播放动画片 B．2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军 C．某彩票中奖率是1％，买100张一定会中奖 D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球 4．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 5．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）A．12 B．9 C．4 D．3 6．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（） A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 7．某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是（） A．1 6 B. 1 5 C. 1 4 D． 1 3 8．在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖 金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖, 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再 翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这 位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A．1 5 B． 2 9 C． 1 4 D． 5 18 例1 小明、小华用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，?梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，?抽出的牌不放回． （1）若小明恰好抽到了黑桃4． （第4题） 高中数学统计与概率知识点归纳(全) 高中数学统计与概率知识点（文） 一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。 二、众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 三、二、.中位数:一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数) 四、三 .众数、中位数及平均数的求法。 五、①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 五.平均数、中位数与众数的异同： ⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响； ⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。 六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？ 思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是： 七、简单随即抽样的含义 12|||||| n x x x x x x n -+-++-L 222 12()()()n x x x x x x s n -+-++-= L 1 概率初步 知识点睛 1. 事件 必然事件 确定事件 不可能事件 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 2. 概率 （1）对于一个随机事件 A ，我们刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P (A)． 注：0≤P (A)≤1，P (A)表示的是事件 A 发生的可能性大小， 当 A 为必然事件时，P (A)=1；当 A 为不可能事件时，P (A)=0． 事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0． （2）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那 么事件 A 发生的概率 P (A)= m ． n （3）用列举法求事件的概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．常使用列表法和画树状图两种方法列举事件所有可能出现的结果． ①用列表法求概率适用于求涉及两步试验的随机事件发生的概率； ②当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法来求事件的概率很有效． 3. 频率与概率 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定 性．因此，可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． 事件 2 精讲精练 1. 下列事件中，必然事件是（ ） A ．抛掷 1 个均匀的骰子，出现 6 点向上 B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C ．366 人中至少有 2 人的生日相同 D ．实数的绝对值是非负数 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A ．画一个三角形，其内角和为 361° B ．任意做一个矩形，其对角线相等 C ．任取一个实数，其与相反数之和为 0 D ．外观相同的 10 件同种产品中有 2 件是不合格产品，现从中抽取一件为合格品 3. 下列说法中，正确的是（ ） A ．不可能事件发生的概率为 0 B ．随机事件发生的概率是 1 2 C ．概率很小的事件不可能发生 D ．抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定是 50 次 4. 下列说法正确的是（ ） A ．袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球， 从中随机抽出一个球，一定是红球 B ．天气预报“明天降水概率为 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C ．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1 000 张，一定会中奖 D ．连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第 6 次仍然可能正面朝上 5. 小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，E ， F 分别是矩形 ABCD 的两边 AD ，BC 上的点，EF ∥AB ，M ， N 是 EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率 为 ． A E D B F C《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
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