& 对数概念及性质（二） 一．选择题（共2小题） 1．（2012秋?船营区校级月考）已知函数在内恒 有y＞0，那么a的取值范围是（） A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D． 【考点】对数的概念． 【专题】计算题． 、 【分析】由函数的定义域求出对数真数的范围，根据题意和对数函数的性质，确定底数与“1”的大小，求出a的范围． 【解答】解：令t=2x+1，x∈，则0＜t＜1， ∵在区间内恒有y＞0， ∴0＜a2﹣1＜1，即1＜a2＜2， 解得，． 故选D． 【点评】本题考查了对数型复合函数的问题，即根据定义域先求出真数的范围，再由对数函数的性质求解． 【 2．（2004秋?浦东新区校级期末）若lga=﹣，则关于lga的首数与尾数的叙述中正确的是（） A．首数为﹣3，尾数为B．首数为﹣3，尾数为 C．首数为﹣4，尾数为D．首数为﹣4，尾数为 【考点】对数的概念． 【专题】计算题． 【分析】根据对数的运算规则lgN=lg（a×10n）=lga+lg10n=n+lga，n叫做首数，lga叫做尾数，他是一个纯小数或者0，进行求解，即可得到正确选项． 【解答】解：lga=lg（10﹣4×）=+lg10﹣4=﹣4+，n=﹣4叫做首数，=叫做尾数，他是一个纯小数 故选C． … 【点评】本题主要考查了对数的概念，以及首数和尾数的概念，属于基础题． 二．填空题（共1小题） 3．（2014秋?徐水县校级月考）2008年5月12日，四川汶川发生里氏级特大地震，给人民的生命财产造成巨大损失．里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家
里克特制定的，它同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关．震级M=lgE﹣，其中 E（焦耳）为地震时以地震波的形式释放出的能量．如果里氏级地震释放的能量相当于1颗美国在二战投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于1000 颗广岛原子弹． 【考点】对数的概念． 【分析】根据题中给出的关系式求出级地震释放的能量与级地震释放能量的比即可． 【解答】解：设里氏级、级地震释放的能量分别为E2、E1，则8﹣6=（lgE2﹣lgE1），即lg =3，∴=103=1000．故汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． 故答案为：1000 < 【点评】本题考查的是有关对数函数的实际应用题． 三．解答题（共3小题） 4．当x为何值时，才有意义． 【考点】对数的概念． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据偶次被开方数大于等于零、真数大于零列出不等式组，根据对数的运算求解．【解答】解：要使函数有意义，则， ) 所以，则，即 ， 依次得：，…， 解得， 所以函数的定义域是[，+∞）． 【点评】本题考查对数函数的定义域，以及对数的运算，属于中档题． 5．求下列各式x的取值范围． （1）log（x﹣1）（x+2）； $
函数的应用题 【热点聚焦】 最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等． 【基础知识】 运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法： 1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题； 2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答； 3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题． 根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程： 【课前训练】 1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ） A ．7200×（31）3元 B ．7200×（32）3元 C ．7200×（31）2元 D ．7200×（3 2）2元 2．化学上常用pH 来表示溶液酸碱性的强弱，pH ＝－1g ｛c （H ＋）｝，其中f （H ＋ ）表示溶液中H ＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c （H ＋）＝1×10－5mo l/L ，则这杯胡萝卜汁的pH 是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4％，那么经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f （x ）的图象大致为图中的（ ） 4．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____． 5．某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快；
指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81
与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.
三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.
函数应用题 【热点聚焦】 最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等． 【基础知识】 运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法： 1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题； 2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答； 3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题．根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：【课前训练】 1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ） A．7200×（）3元 B．7200×（）3元 C．7200×（）2元 D．7200×（）2元 2．化学上常用pH来表示溶液酸碱性的强弱，pH＝－1g｛c（H ＋）｝，其中f（H＋）表示溶液中H＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c（H ＋）＝1×10－5mo l/L，则这杯胡萝卜汁的pH是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4％，那么经过x 年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为图中的 （ ） ．
4．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____． 5．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快； （2）前三年中产量增长的速度越来越慢； （3）三年后，这种产品停止生产了； （4）第三年后，年产量保持不变． 其中说法正确的是____．
§2.8.1 对数函数 教学目标:1\理解对数函数的概念；2、掌握对数函数的图象和性质；3、培养学生数形结合的意识 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数与指数函数的关系 教学方法：学导式 教学过程： （I ）复习回顾 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数 y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示。 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数。根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x x 2log = 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log = 由反函数概念可知， x y 2log =与指数函数x y 2=互为反函数 这一节，我们来研究指数函数的反函数——对数函数 （Ⅱ）讲授新课 1．对数函数定义：一般地，当0>a 且1≠a 时，函数x y a log =叫做对数函数 这里大家要明确，对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域。即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R 。 由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与 x a y =的图象关于直线x y =对称。因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称 的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。 2、对数函数的图象和性质 图 象
课时检测22 函数的应用举例 一 选择题 1. 据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿，比上年增长7.3%”如果“十·五”期间（2001--2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为 A. 115000亿元 B. 120000亿元 C. 127000亿元 D. 135000亿元 2. 某企业生产一种产品，在1999年由于原材料价格上涨，使每年产品的成本比1998增加了20%，而在2000年和2001年，该企业实行了技术改造，在这两年间产品的成本每年均比上一年减少了10%，那么该企业的产品成本2001年与1998年比较 A. 增加了2.8% B. 增加了8% C. 减少了2.8% D. 减少了4% 3. 某彩电的价格在去年6月降价10%，后经10、11、12三个月连续三次回升到6月降价前的水平，则这三次价格平均回升率是 A. 31019 - B. 3101%9??- ? ??? C. 7109 D. 7101%9??- ? ??? 4. 今年年初小王到银行存入现金m 万元，计划存储五年后取出留给儿子上大学用，如果银行年利率为a ，且以复利方式计息，则到期后得到利息为 A. 5a 万元 B. 5(1)m a +万元 C. 4 (1)m a +万元 D. ()511m a ??+-?? 万元
二填空题 5.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的4 5 ，那么经 过_______年后，剩留的物质是原来的 64 125 。 6.某种商品因技术含量不高，在市场上占有份额逐渐降低，由第一季度的市场占有率10%，到第二季度的占有率为8%，照此速度发展，到第四个季度，其市场占有率为________. 三解答题 7.某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？ 8.有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？ 9.某电脑公司计划出售“星光牌”电脑，该电脑的市价是2800元/台，成本价按市价扣去25%，为扩大营业，公司决定一新价，以便按新价八折优惠销售后仍可获得售价25%的利润，问： （1）新价是多少？ （2）为使公司今年按新价让利销售后的获利总额不低于50000元，则该公司在今年内至少应销售这种电脑多少台？
第三讲 指数函数、对数函数 一、引言 1．指数函数、对数函数是重要初等函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位． 2．考纲要求：考纲对本专题内容要求为：理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解对数的概念与运算性质；理解指数函数和对数函数的概念和性质，掌握图 象及其特点；了解函数x y a =与log a y x =(0a >且)1a ≠互为反函数，会求简单的 反函数． 3．考情分析：从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题，高考试题对专题内容的考查仍将坚持这种命题方向．因此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理． 二、考点梳理 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于(1,)a n n N * >∈且，则这个数称a 的n 次方 根．即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且. 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ． ②性质： 1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n ． （2）对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数． 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数( 2.71828 )e e =为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln . ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）； 2）01log =a ； 3）1log =a a ； 4）对数恒等式：N a N a =log ． ③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）． ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>= N m m a a a N N m m a 1）1log log =?a b b a ； 2）b m n b a n a m log log = ． 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量． （２）对数函数：把函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量． （３）指数函数和对数函数的性质：
第四章 指、对数函数 一、选择题： 1.函数()1,0≠>=a a a y x 的值域为（ ） A.()+∞∞-, B. [)+∞,0 C.()+∞,0 D. ()0,∞- 2.若函数()()1,0,log ≠>=a a x x f a 在()+∞,0上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.()+∞,1。 B ()1,0 。 C. ()()+∞,11,0U 。 D.()+∞,0 3.当1>a 时，函数x a y -=与x y a log =的图像是：（ ） A.B.C. D. 4.3log ,1log ,33 130 这三个数的大小关系是（ ） A. 3log 1log 33 130>> B.1log 3log 333 10>> C.03 1333log 1log >> D.033 131log 3log >> 5.下列函数在区间()+∞,0内递增的为（ ） A x y ??? ??=21. B.x y 21log = C.1-=x y D.x y 2log = 6.下列等式中成立的是（ ） A.2 2 1551-->?? ? ?? B. 3 2 12121??? ??>≠>y x a a ，下列有四个式子：（1）()y x y x a a +=?log log log （2） ()xy y x a a a log log log =+ （3）()y x y x a a -=log log （4）y x y x a a a a log log log log =-其中正确的个数为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3 8.下列函数中，与函数x y =是同一函数的是（ ） A.2 x y = B.x x y 2 = C. ()2 x y = D.x e y ln = 9.下列函数不表示同一函数的是（ ） A.x y x y lg 2,lg 2== B.x y x y 2log ,2== C. x y x y ==,2 D.x y x y 2log ,2== 10.下列函数的定义域是()+∞,0的是（ ） A.x y 1= B.x y 2= C. x y 2log = D.21x x y += 二、填空题： 1.函数()x y -=2log 3的定义域为，值域是。 2.函数()x y 2.0=的定义域为，值域是。 3.比较大小：（1）5.07.04___4 （2）2.335.0___5.0 （3）8.1log ___6.2log 7.07.0 （4）5.0log ___3.0log 22 （5）1___3log 2 （6）0___3.0log 5.0。 4. （1）____16814 3=? ? ? ??-， （2）=81log 27。 5.=+4lg 25lg 。 6.已知4771.03lg ,3010 .02lg ==，则=12lg 。 7.已知64 1 2= x ，则x 的值为。 三、解答题：
对数函数综合应用 一、单选题(共10道，每道10分) 1.函数在上为减函数，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 2.已知定义在上的偶函数，在x≥0时，，若，则a 的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合 3.已知函数，对任意的，且时，满足 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 4.若函数满足对任意的，当
时，，则实数a的取值范围是( ) A.a＞1 B. C.0 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 6.设函数，给出下列命题： ①函数的值域是； ②函数有最小值； ③当a=0时，函数为偶函数； ④若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4．正确的命题是( ) A.①③④ B.②③ C.②④ D.①③ 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 7.已知函数，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 8.设函数，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合 9.已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是( ) 题型一 指数、对数的运算 1．指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 例1 (1)化简：2 932 -? (2)计算：2log 32－log 3 329＋log 38－5log 325. 解 (1)原式＝2239533222(2) (10)10-?÷ ＝2－1×103×5 210-＝2－1×1 210＝102 . (2)原式＝log 34－log 3329 ＋log 38－52log 35 ＝log 3??? ?4×932×8－5log 95 ＝log 39－9＝2－9＝－7. 跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________． 答案 111 解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23 ＝lg 2lg 3×lg 3lg 2 ＝1， ∴原式＝314422?＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 题型二 数的大小比较 数的大小比较常用方法： (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法． (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小． 例2 比较下列各组数的大小： (1)40.9,80.48，????12－1.5； (2)log 20.4，log 30.4，log 40.4. 解 (1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，??? ?12－1.5＝21.5， ∵y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴40.9>????12－1.5>80.48. (2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44 高中数学对数函数及其应用练习题(含答案) 数学必修1(苏教版) 2.3对数函数 2．3.2对数函数及其应用 前面我们提到了放射性物质经过的时间x(年)与物质剩留量y 的关系式x＝log0.84y，对于每一个给定的y值，都有唯一的x值与之对应，因此，把它可看做x是y的函数，那么得到的这个新函数叫什么函数呢？ 基础巩固 1．函数f(x)＝11－x＋lg(x＋1)的定义域是() A．(－，－1) B．(1，＋) C．(－1,1)(1，＋) D．(－，＋) 解析：x＋10，1－xx－1且x1. 答案：C 2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为() A．(0，＋) B．[0，＋) C．[1，＋) D．(1，＋) 解析：∵3x0，3x＋11，故log2(3x＋1)0. 答案：A 3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则() A．ab B．ba C．ac D．bc 解析：∵0log531，(log53)2log53log541，而log451. 答案：D 4．函数y＝1＋ln(x－1)(x1)的反函数是() A．y＝ex＋1－1(x B．y＝ex－1＋1(x0) C．y＝ex＋1－1(xR) D．y＝ex－1＋1(xR) 解析：y＝1＋ln(x－1)ln(x－1)＝y－1x－1＝ey－1，将x，y 互换得y＝ex－1＋1(xR)． 答案：D 5．若loga3logb30，则() A．0b B．a1 C．0a D．b1 答案：D 6．(2019上海卷)函数y＝log2(x＋2)的定义域是________．解析：x＋2x－2. 答案：(－2，＋) 7．若函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________． 解析：∵x[－1,1]，122.即f(x)的定义域为12，2，由12log2x2可得：24. 答案：[2，4] 8．f(x)＝loga(x＋1)(a0且a1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于________． 第四单元指数函数与对数函数 一教学要求 1.理解有理数指数幂的概念，掌握幂的运算法则 . 1 2.了解幂函数的概念，了解幂函数 y=x,y=x2，y=x3，y= x 2，y=x-1， y=x-2的图 像 . 3.理解指数函数的概念、图像和性质 . 4.理解对数的概念（包括常用对数、自然对数），了解对数的运算法则 . 5.了解对数函数的概念、图像和性质 . 6.了解指数函数和对数函数的实际应用 . 7.通过幂与对数的计算，培养学生计算工具使用技能；结合生活、生产实例， 讲授指数函数、对数函数模型，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力 . 二教材分析和教学建议 （一）编写思想 1.通过温故知新完成由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广 .让学生体验推 广的过程，培养学生的数学思维方式 . 2.指数函数是中职数学学习中新引进的第一个基本初等函数，因此，教材先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图像的绘制、指数函数的基本性质，作了完整的介绍 . 3.教材从具体问题引进对数概念，由求指数的逆运算引入对数运算，并研究对数运算的性质 . 4.对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础展开的 .对数函数的研 究过程也同指数函数的研究过程一样，目的是让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识 . 5.专设一节研究指数函数、对数函数的应用 . 本单元教学的重点是指数函数与对数函数的概念、图像及其单调性 . 本单元教学的难点是分数指数幂的概念、对数的概念，以及指数函数、对数函数单调性的应用 . （二）课时分配 本单元教学约需 12课时，分配如下 （仅供参考 ）： 4. 1 有理数指数幂 约 1 课时 4. 2 实数指数幂及其运算法则 约 1 课时 4. 3 幂函数 约 1 课时 4. 4 指数函数的图像与性质 约 3 课时 4. 5 对数 约 2 课时 4. 6 对数函数的图像与性质 约 2 课时 4. 7 指数函数、对数函数的应用 归纳与总结 约 1 课时 约 1 课 （ 三 ） 内容分析与教学建议 4.1 有理数指数幂 1. 指数概念是由相同因式相乘发展而来的， 回顾指数运算的发展过程， 对学生学好这部 分知识是十分必要的 . 2. 讲解整数指数，是由正整数指数的意义及运算法则引入零指数、负整数指数的概念 3. 在讲分数指数之前， 先介绍方根的概念， 在方根的定义和整数指数运算法则的基础上， 引入正分数指数和负分数指数的概念，这里要让学生多做些练习，以掌握这个新的概念 . 1. 整数指数幂的运算性质， 对于分数指数幂也同样适用 .为此教材给出了如下运 算性质： r s r+s a ·a = a （a>0，r, s ∈Q ）， r s rs （a ） = a （a> 0，r,s ∈Q ）， r r r （a ·b ） r =a b r （a ，b>0， r ∈ Q ）. 需要学生注意的是括号中限制条件的变化 .当指数从整数指数推广到了有理数指数后， 教学中，建议让学生用自己的语言叙述指数运算的三条性质 . 2. 考虑到中职生的实际情况，教材只指出了“可以把有理数指数幂推广到无理数指数 幂”，并未通过“用有理数逼近无理数”的思想引进无理数指数幂 . 3. 在教学中要加强计算工具的使用， 要让学生切实掌握利用计算器计算实数指数 一、选择题： 1.函数()1,0≠>=a a a y x 的值域为（ ） A.()+∞∞-, B. [)+∞,0 C.()+∞,0 D. ()0,∞- 2.若函数()()1,0,log ≠>=a a x x f a 在()+∞,0上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.()+∞,1。 B ()1,0 。 C. ()()+∞,11,0U 。 D.()+∞,0 3.当1>a 时，函数x a y -=与x y a log =的图像是：（ ） A. B. C. D. 4.3log ,1log ,33 130 这三个数的大小关系是（ ） A. 3 log 1log 33 130>> B. 1 log 3log 333 10>> C. 03 1333log 1log >> D.033 131log 3log >> 5.下列函数在区间()+∞,0内递增的为（ ） A x y ??? ??=21. B.x y 21log = C.1-=x y D.x y 2log = 6.下列等式中成立的是（ ） A.2 2 1551-->? ? ? ?? B. 3 2 12121??? ??>≠>y x a a ，下列有四个式子：（1）()y x y x a a +=?log log log （2） ()xy y x a a a log log log =+ （3）()y x y x a a -=log log （4）y x y x a a a a log log log log =-其中正 确的个数为（ ） A. 0 8.下列函数中，与函数x y =是同一函数的是（ ） A.2 x y = B.x x y 2 = C. ()2 x y = D.x e y ln = 9.下列函数不表示同一函数的是（ ） A. x y x y lg 2,lg 2== B. x y x y 2log ,2== C. x y x y ==,2 D.x y x y 2log ,2== 10.下列函数的定义域是()+∞,0的是（ ） 指数函数与对数函数 ●知识网络 ●范题精讲 一、指数及对数运算 【例1】 (1)已知2 12 1-+x x =3,求 3 2 222 32 3++++-- x x x x 的值； (2)已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求 y x 的值. (1)分析:由分数指数幂运算性质可求得2 32 3- +x x 和x 2+x －2 的值. 解:∵2 12 1- +x x =3， ∴)(3)(2 12 13 2 12 12 32 3x x x x x x +-+=+-- =33－3×3=18. x 2+x －2=(x +x － 1)2－2=［(22 12 1)-+x x －2］2－2=(32－2)2－2=47. ∴原式= 5 2 347218=++. (2)分析:注意x 、y 的取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 的关系式. 解:由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ), 则(x +y )(2x +3y )=12xy . (2x －y )(x －3y )=0, 即2x =y 或x =3y . 故 21=y x 或y x =3. 评注:条件代数式的求值问题包括以下三个方面:(1)若条件简单,结论复杂,可从化简结论入手用上条件;(2)若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化成结论的形式;(3)若条件与结论的复杂程度相差无几时,可同时对它们进行化简,直到找出它们之间的联系为止. 对于齐次方程的化简,也可在方程两边同除以某一齐次项,把方程转化成要求的代数式为未知数的方程的形式. 第四单元 指数函数与对数函数 一 教学要求 1.理解有理数指数幂的概念，掌握幂的运算法则. 2.了解幂函数的概念，了解幂函数y =x ,y =x 2，y =x 3，y = x 21，y =x -1，y =x -2的图像. 3.理解指数函数的概念、图像和性质. 4.理解对数的概念(包括常用对数、自然对数)，了解对数的运算法则. 5.了解对数函数的概念、图像和性质. 6.了解指数函数和对数函数的实际应用. 7.通过幂与对数的计算，培养学生计算工具使用技能；结合生活、生产实例，讲授指数函数、对数函数模型，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力. 二 教材分析和教学建议 (一) 编写思想 1.通过温故知新完成由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广.让学生体验推广的过程，培养学生的数学思维方式. 2.指数函数是中职数学学习中新引进的第一个基本初等函数，因此，教材先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图像的绘制、指数函数的基本性质，作了完整的介绍. 3.教材从具体问题引进对数概念，由求指数的逆运算引入对数运算，并研究对数运算的性质. 4.对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础展开的.对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样，目的是让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识. 5.专设一节研究指数函数、对数函数的应用. 本单元教学的重点是指数函数与对数函数的概念、图像及其单调性. 本单元教学的难点是分数指数幂的概念、对数的概念，以及指数函数、对数函数单调性的应用. (二) 课时分配 本单元教学约需12课时，分配如下(仅供参考)： 对数概念及性质（二） 一．选择题（共2小题） 1．（2012秋?船营区校级月考）已知函数在内恒 有y＞0，那么a的取值范围是（） A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D． 【考点】对数的概念． 【专题】计算题． 【分析】由函数的定义域求出对数真数的范围，根据题意和对数函数的性质，确定底数与“1”的大小，求出a的范围． 【解答】解：令t=2x+1，x∈，则0＜t＜1， ' ∵在区间内恒有y＞0， ∴0＜a2﹣1＜1，即1＜a2＜2， 解得，． 故选D． 【点评】本题考查了对数型复合函数的问题，即根据定义域先求出真数的范围，再由对数函数的性质求解． 2． （2004秋?浦东新区校级期末）若lga=﹣，则关于lga的首数与尾数的叙述中正确的是（）A．首数为﹣3，尾数为B．首数为﹣3，尾数为 C．首数为﹣4，尾数为D．首数为﹣4，尾数为 【考点】对数的概念． } 【专题】计算题． 【分析】根据对数的运算规则lgN=lg（a×10n）=lga+lg10n=n+lga，n叫做首数，lga叫做 尾数，他是一个纯小数或者0，进行求解，即可得到正确选项． 【解答】解：lga=lg（10﹣4×）=+lg10﹣4=﹣4+，n=﹣4叫做首数，=叫做尾数，他是一个纯小数 故选C． 【点评】本题主要考查了对数的概念，以及首数和尾数的概念，属于基础题． 二．填空题（共1小题） 3．（2014秋?徐水县校级月考）2008年5月12日，四川汶川发生里氏级特大地震，给人民的生命财产造成巨大损失．里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特制定的，它同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关．震级M=lgE﹣，其中 E（焦耳）为地震时以地震波的形式释放出的能量．如果里氏级地震释放的能量相当于1颗 图1 函数应用题 【热点聚焦】 最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等． 【基础知识】 运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法： 1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题； 2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答； 3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题． } 根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程： 【课前训练】 1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ） A ．7200×（ 31）3元 B ．7200×（32）3元 C ．7200×（31）2元 D ．7200×（3 2 ）2元 2．化学上常用pH 来表示溶液酸碱性的强弱，pH ＝－1g ｛c （H ＋ ）｝，其中f （H ＋ ）表示溶液中H ＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c （H ＋ ）＝1×10－5 mo l/L ，则这杯胡萝卜汁的pH 是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长％，那么经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f （x ）的图象大致为图中的（ ） } ． 4．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____． 5．某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快； （2）前三年中产量增长的速度越来越慢； （3）三年后，这种产品停止生产了； （4）第三年后，年产量保持不变． ' 其中说法正确的是____． 【试题精析】 【例1】(2007年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH . (1) 求证：四边形EFGH 是正方形； (2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省 $指、对数函数典型例题
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