第二章 插值法

1 第二章 插值方法/* Interpolation */ 2.1 引言  函数逼近 问题的引出：现实应用中常用函数yfx表示某种内在规律的数量关系，但是情况往往是： 1）yfx在某个区间[a,b]存在，有时候是连续的，但是只能通过实验或观

测得到一系列点ix的函数值iy（得到函数表），而无法得到fx的表达式 2）函数表达式已知，但计算复杂（如sinyx，lgyx等）使用不方便，通常也使用函数表。如：三角函数表，对数表，平方根表，立方根表等。 问题：有时需要求不在函数表上的函数值怎么办？ 解决方法：根据所给的yfx的函数表，构造一个简单的函数Px近似替代fx（存在误差！），称为函数逼近。 称Px为逼近函数，fx为被逼近函数。Px通常选择一类比较简单的函数，如代数多项式或分段代数多项式。 函数逼近的方法有很多，例如Taylor级数，Fourier级数，有限元方法、边界

元方法，小波分析等，大学科叫逼近论。 本课程讨论连续函数的逼近，主要介绍插值法。  插值 （interpolation） 已知,,yfxxab的函数表 x 01nxxx

y 01nyyy 2

求：Px使 iiyPx 0,1,2,,in

—— 插值问题

称Px为fx的插值函数；fx为被插值函数；01nxxx

为插值结点；

,ab为插值区间；求插值函数Px

的方法称为插值法。

当Px为多项式时，相应的插值法为多项式插值；Px为分段的多项式，称为分段插值；Px为三角多项式，称为三角插值。 插值法的几何示意图，P14图2.1 多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数的近似函数值，零、极点，导数、积分（第四章 数值积分和数值微分），解微分方程（第五章）、积分方程等。

2.2 拉格朗日插值 2.2.1 插值多项式的存在唯一性 问题：用不同的多项式插值方法得到的插值多项式的形式有可能不同，它们是否等价？（可以转化为相同的标准式？） 答案是肯定的！ 两点确定一条直线（ 一次多项式 ） 三点确定一个抛物线（ 二次多项式 ） 是否n+1点确定一个n次多项式？ 给定n+1个互异的插值点01nxxx

，求符合插值条件iiyPx的次数不

超过n的插值多项式 2012n

nPxaaxaxax

——（标准式） 3

Px

存在且唯一！证明见P14，定理2.1。

可以通过求解方程组得到系数012,,naaaa，从而得到Px的表达式，但是这样做不但计算复杂，且难以得到Px的简单表达式。 当n=20时，在108次/秒的计算机上计算需要几十万年！ 2.2.2 线性插值与抛物插值  线性插值 当n=1时： 已知 xk, xk+1；yk, y k+1， 求线性插值多项式 101()Lxaax 使得：1()kkLxy

且111()kkLxy. 可见，1()Lx是过(,)kkxy和11(,)kkxy的一条直线。

111()kkkkkkyyLxyxxxx







点斜式

11111()kkkkkkkkxxxxLxyyxxxx







两点式

令11kkkkxxlxxx，11kkkkxxlxxx则：111()kkkkLxlxylxy 称klx及1klx为一次插值基函数，或线性插值基函数。 注意：基函数 10ijijijlxij  抛物线插值 当n=2时： 已知xk-1，xk, xk+1；yk-1, yk, y k+1， 求二次插值多项式 2()Lx 使得：211()kkLxy，

2()kkLxy，211()kkLxy。 可见，2()Lx是过11(,)kkxy，(,)kkxy和11(,)kkxy的抛物线。 4

利用基函数法构造 10ijijijlxij





i , j = k-1, k, k+1

因此构造 11111kkkkkkkxxxxlxxxxx



1111kkkkkkkxxxxlxxxxx







11111kkkkkkkxxxxlxxxxx



此时： 21111()kkkkkkLxlxylxylxy

称1klx，klx及1klx为二次插值基函数，或抛物插值基函数。

2.2.3 拉格朗日插值多项式 从n=1和n＝2的情形，可推广到n>1的情形： 只要构造n次插值的基函数满足：

10ijijijlxij





,0,1,2,,ijn 注意：n＋1个节点

然后令n次插值多项式 1()nniiiLxlxy 显然有()niiLxy成立。 每个0ilx有n个根，分别为0111,,,,,iinxxxxx，因此第i个基函数

ilx

可以写成： 01110niiiinijjijlxCxxxxxxxxxxCxx



又： 1iilx，故：01nijiijjCxx 5

因此： 01110111iiniiiiiiiinxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx











这n+1个n次多项式01,,nlxlxlx为节点01,,,nxxx上的n次插值基函数。

n次插值多项式 0()nniiiLxlxy称为拉格朗日插值多项式。 记：101nnxxxxxxx 则：10111niiinxxxxxxxxxxx

于是：101()nnniiinxLxyxxx 问题：如图2.1（P14），插值多项式在插值点上的误差为0，但是在其他位置上的估计误差是未知的。 如何估计出在其他点上的误差限？ 1）如果fx是n次多项式，则fx和()nLx等价，误差为0； 2）如果fx不是n次多项式，如何处理? 为了解决第2）种情况，我们引入差值余项的概念，估计出插值多项式估计误差的上界！

2.2.4 插值余项（ Remainder ） 在[a,b]上用()nLx近似fx，其截断误差()nnRxfxLx，称为插值多项式的余项或插值余项。

定理2.2：关于插值余项的估计（P18） 证明：插值多项式在n+1个插值点上的误差为0，因此 6

0nRx至少有n+1个根，可以写成

10nniniRxKxxxKxx

 ——要求nRx需求Kx

任意固定,0,1,,ixxin（估计x点的误差），构造变量为t的函数 0nniitRtKxtx

—— 此时，Kx为与t无关的常量！

0t有n+2个根，分别为01,,,,nxxxx，故t在[a,b]上有n＋2个零点；

由罗尔定理，t在t的两个零点之间至少有一个零点，故t在[a,b]上有n＋1个零点；（注意：t是对t求导） 同理，t在[a,b]上有n个零点，1nt在[a,b]上有1个零点。 中间步骤：（注意，对t求导！）



1110nnnnniitRtKxtx















11110nnnnnniitftLtKxtx













nLt为n次多项式，故而

1nnLt

为0。因此，

111!nntftnKx



因此记做：111!0nnfnKx

于是：1,,1!nfKxabn且依赖于x。 故：1111!nnnnfRxKxxxn 余项表达式只有在fx的高阶导数存在时才能应用，又因为,ab的具体位置通常不可能给出，因此常计算()nLx逼近fx的截断误差限： 111!nnnMRxxn



， 其中

11maxnnaxbMfx



。