初中数学构造法的归纳整理(保证精品)(最新整理)

构造法深度探索

构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确

的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从

而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．

1构造代数式

初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难

人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的

数学表达式，使问题得以解决．

1.1构造多项式

例 1 三个整数 a、b、c 的和是 6 的倍数．那么，它们的立方和被 6 除，求得到的余数.

1.2构造有理化因式

例2 已知(x + x 2+ 2002)( y + y 2+ 2002) = 2002 .

计算x 2- 3xy - 4 y 2- 6x - 6 y + 58 .

1.3构造对偶式

根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的

关系式，从而解决问题．

例3 已知、是方程x 2-x - 1 = 0 的两根．则4+ 3的值？

1.4构造递推式

数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问

题．例4 实数a, b, x, y 满足ax +by = 3 ，ax 2+by 2= 7 ，ax3+by 3=

16 ，

ax 4+by 4= 42 ，求ax5+by 5

a 2 + 1 a 2 + b

2 a 2 + 4b 2 4a 2 + b 2 2 构造几何图形

如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通

过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．

2.1 构造对称图形

例 5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求u = +

的最小值.

2.2 构造矩形

例 6 已知 a > 0, b > 0 ，求以 ， ， 为三边长的三角形的面积。

2.3 构造圆

例 7 已知 a , b , x , y 为正实数，且 a 2 + b 2 = 1, x 2 + y 2 = 1，求证： ax + by ≤ 1 .

2. 4 构造三角形

例 8 已知方程组满足

?x 2 + xy + 1 y 2 = 25 ? ? ?z 2 + 1 y 2 = 9 ．求 xy+2yz+3xz 的值． ? ? ?x 2 + zx + z 2 = 16

??

b 2 + 4 3 3

b a b a 3b b + 1 b b

例 9 已知正数 a , b , c , A , B , C 满足 A + a = B + b = C + c = k ,求证：

aB + bC + cA < k 2 .

3 构造方程、不等式、函数

3.1 构造二次方程

方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关

知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．

例 10 已知实数 a≠b，且满足(a + 1)2 = 3 - 3(a + 1) ; 3(b + 1) = 3 - (b + 1)2 ,则

b + a 的值为.

例 11．已知 a<0，b>0，且 a 2 + 5a = 1

+ 5 b = 1．则代数式 值为．

3.2 构造不等式

利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．

例 12 设 x,y 是非负整数， x+2y 是 5 的倍数，x+y 是 3 的倍数，且 2x+y ≥ 99．则 7

x+5y 的最小值为 ．

a b

b 2 - 4ac

3.3 构造函数

用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转

化为对函数相关性质的研究．

例 13 已知实数 a < 0, b ≤ 0, c > 0 ,且 = b - 2ac ，求b 2 - 4ac 的最小值.

例 14* 证明：在任意 2013 个互不相同的实数中，总存在两个数 x ，y ，满足：

2012 x - y 1 - xy ≤ (1 + x 2 )(1 + y 2 ) .

4 其他构造

4.1 构造反例

构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式

例 15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：

(1)若 a 2

+ab+c>O ，且 c>1，则 0

(2)若 c>1，且 0O ；

(3)若 0O ，则 c>1．

试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。

4.2 构造特例

例 16 货轮上卸下若干个箱子，其总重量为 10t ，每个箱子的重量不超过 1t ，为了保

证能把这些箱子一次性运走，问至少需要多少辆载重量为 3t 的汽车?

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