双曲函数介绍
在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“co snh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“ar c sinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。射线出原点交双曲线 x^2 - y^2 = 1 于点 (cosinh a,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义
双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
其中，
e是自然对数的底
e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/n! +...
e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是：
e^x=x^0/0! + X^1/1! + X^2/2! + X^3/3! + X^4/4! + X^5/5!...+ x^n/n! +...
如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2 y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
和性质 t > 0 对于所有的 t。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosinh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosinh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
实变双曲函数
y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称。
y=ch(x).定义域：R.值域：[1,+∞）.偶函数.函数图像是悬链线，最低点是（0,1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称。
y=th(x).定义域：R.值域：（-1,1）.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ象限的严格单调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之
间.lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。
y=cth(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支，分别在Ⅰ，Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞，coth(x)=1],lim[x->-∞，coth(x)=-1]。
y=sch(x).定义域：R.值域：（0,1].偶函数.最高点是（0,1），函数在（0,+∞）严格单调递减.x轴是其渐近线.lim[x->；∞，sech(x)]=0.
y=xh(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x|x≠0}.奇函数.函数图像分为两支，分别在Ⅰ，Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.lim[x->；∞，csch(x)]=0.
双曲函数名称的变更：sinh也叫sinh,ch也叫cosinh,th也叫tanh，cth 也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。
定义
双曲正弦：sinh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2
双曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2
性质
解析性：sinhz,chz是全平面的解析函数
周期性：sinhz,chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质
反双曲函数
反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为：
arcsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）]
arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）]
arcth(x) = ln[sqrt（1 - x^2） / （1 - x)] = ln[（1 + x) / （1 - x)] / 2
arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1） / (x - 1）] = ln[(x + 1） / (x - 1）] / 2
arcsch(x) = ± ln[1 + sqrt（1 - x^2） / x]
arcxh(x) = ln[1 - sqrt（1 + x^2） / x]，如果 x < 0
ln[1 + sqrt（1 + x^2） / x]，如果 x > 0
其中，
sqrt 为 square root 的缩写，即平方根
三角函数
双曲函数与三角函数有如下的关系：
* sinh x = -i * sin(i * x)
* cosinh x = cos(i * x)
* tanh x = -i * tan(i * x)
* coth x = i * cot(i * x)
* sech x = sec(i * x)
* csch x = i * csc(i * x)
i 为虚数单位，即 i * i = -1
恒等式
与双曲函数有关的恒等式如下：
ch^2(x) - sinh^2(x) =1
cth^2(x) - xh^2(x)=1
th^2(x) + sch^2(x)=1
加法公式
sinh(x+y) = sinh(x) * cosinh(y) + cosinh(x) * sinh(y)
cosinh(x+y) = cosinh(x) * cosinh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
coth(x+y)=（1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))
减法公式
sinh(x-y) = sinh(x) * cosinh(y) - cosinh(x) * sinh(y)
cosinh(x-y) = cosinh(x) * cosinh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
coth(x-y)=（1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))
二倍角公式
sinh（2x) = 2 * sinh(x) * cosinh(x)
cosinh（2x) = cosinh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosinh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
tanh（2x) = 2tanh(x)/（1+tanh^2(x))
coth（2x) = （1+coth^2(x))/2coth(x)
三倍角公式
sinh（3x)=3sinh(x)+4sinh^3(x)
cosinh（3x)=4cosinh^3(x)-3cosinh(x)
半角公式
cosinh^2(x / 2） = (cosinh(x) + 1） / 2
sinh^2(x / 2） = (cosinh(x) - 1） / 2
tanh(x / 2） = (cosinh(x)-1）/sinh(x)=sinh(x)/(cosinh(x)+1）
coth(x / 2） = sinh(x)/(coth(x)-1）=(coth(x)+1）/sinh(x)
德莫佛公式
（cosinh(x）±sinh(x))^n=co sinh(nx)±sinh(nx)
双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x) * sinh(y））则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如
三倍角公式
sin（3 * x) = 3 * sin(x) + 4 * sin^3(x)
sinh（3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh^3(x)
导数
（sinh(x))'=cosinh(x)
（cosinh(x))'=sinh(x)
（tanh(x))'=sech^2(x)
（coth(x))'=-csch^2(x)
（sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
（csch(x))'=-csch(x)coth(x)
（arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1）
（arccosinh(x))'=1/sqrt(x^2-1） (x>1）
（arctanh(x))'=1/（1-x^2） (|x|<1）
（arccoth(x))'=1/（1-x^2） (|x|>1）
不定积分
∫sinh(x)dx=co sinh(x)+c
∫co sinh(x)dx=sinh(x)+c
∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c
∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c
∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c
∫tanh(x)dx=ln(co sinh(x))+c
∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c
∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2））+c2
∫csc h(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2）|+c
∫[1/sqrt(x^2+1）]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1））+c
∫[1/sqrt(x^2-1）]dx=sgn(x)arccosinh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1）|+c
（sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)
级数表示
sinh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+...+z^（2k-1）/（2k-1）！+... (z∈C) cosinh(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+...+z^（2k)/（2k)!+... (z∈C)
arcsinh(z)=z-（1/6）z^3+（3/40）z^5-（5/112）z^7+...+(-1）^k[（2k-1）！！/（2k)!!][z^（2k+1）/（2k+1）]+... (|z|<1）
arctanh(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+...+z^（2k-1）/（2k-1）+... (|z|<1）实际应用
双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。
阻尼落体
在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。
解：
小石块遵循的运动方程为
mdv/dt=mg―μv2 ⑻
这是Riccati方程，它可以精确求解。
依标准变换方式，设
v=（m/μ）（z′/z）⑼
代入⑻式，再作化简，有
z'' ―（gμ /m)z=0 ⑽
⑽式的通解是
z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t）⑾
其中，C1和C2是任意常数。
由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为
v（0）=0 ⑿
这等价于
z′（0）=0 ⒀
因此，容易定出
C2=－C1 ⒁
将⒁式代入⑾式，再将⑾式代入⑼式，就可得
满足初始条件的解
v=√mg/μ tanh（√μg/m t) ⒂
我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。
导线电容
真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2，中心线相距为d(d >R1+R2）。试求它们间单位长度的电容。
解：
设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。
我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是：
由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶
极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。
以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z 轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为φ=φ1+φ2
=（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2）
=（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] ⒃
y
P
r2 r1
R2 ―λ +λ R1 x
O
a a
a2 a1
图2：带电导线与其镜像
式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，⒃式便化为φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1）⒄
由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是
φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } ⒅
故偶极线的等势面方程便为
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆
式中
k2 =e4πε0φ/λ ⒇
令
c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21）
则⒆式可化为
（x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22）
这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z 轴上z=c处，其横截面的半径为
R=∣2k/（k2―1）∣a （23）
这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了：
a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24）
R1=∣2k1/（k12―1）∣a （25）
a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26）
R2=∣2k2/（k22―1）∣a （27）
d=a1+a2 （28）
由（24）至（27）式得
a12―R12=a2= a22―R22 （29）
原来两导线表面的方程是
R1：（x―a1）2+y2= R12 （30）
R2：（x+a2）2+y2= R22 （31）
利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为
x2+y2+ a2= 2a1 x （32）
x2+y2+ a2= ―2a2 x （33）
利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为
φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34）
φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35）
于是两导线的电势差便为
U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36）
用已知的量消去未知数，可以得出
U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1]（37）
最后得出原来两导线为l一段的电容为
C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/
2R1R2]2―1] （38）
单位长度的电容为
c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22）/ 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39）
利用反两曲余弦关系式
archx= In[（x+√x2―1）] （40）
对本题的精确解表示作简洁表示
c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41）
最后一式可以在一般手册上查到。
粒子运动
一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为x=（W0/qE）[cosinh（qEy/p0c）―1] （42）
式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。
解：
带有电荷量q的粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为
dp/dt=q（E+v×B）（43）
式中v是粒子的速度，p是粒子的动量
p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44）
本题运动方程的分量表示式为
dpx=qE
dpy=0
dpz=0 （45）
解之，有
px =qEt+C1
py = C2
pz = C3 （46）
代入t=0时初始条件
px（0）=0
py（0）= p0
pz（0）= 0 （47）
定出积分常数后，可知
px=qEt
py= p0
pz= 0 （48）
粒子的能量为
W=mc2
=√p2c2+m02c4
=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4
=√q2E2 c2t2+W02 （49）
因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （50）
积分得
x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt
= [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （51）
又由（48）式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （52）
积分得
y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt
=（p0c /qE）arsinh（qEct/W0）（53）
或（qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c）（54）
在（51）式和（54）式中消去t，有
x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55）
利用恒等变换公式
cosinh2x―sinh2x=1 （56）
（55）式可以写成
x=（W0/qE）[cosinh2（qEy/ p0c）－1 ] （57）
（57）式是一种悬链线。
图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹
讨论：
因双曲余弦泰勒级数展开式是
cosinh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+ (58)
当v/c →0时，保留前2项，得
x=（qE/2m v02）y2 （59）
（59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c<<1，这也是牛顿力学的适用范围。
非线性方程
如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为
ux+uux+βuxxx=0 （60）[2]
它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。
解：
考虑其行波解
u（x，t）=φ（ξ）（61）
其中，
ξ=kx－ωt+ξ0 （62）
KdV方程成为
－ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63）
记
f=1/（cosinhξ+r），g=sinhξ/（cosinhξ+r）（64）
尝试
φ=a0+a1f+a2g （65）
注意存在关系式
df/dξ=－fg
dg/dξ=1－g2－rg
g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66）
将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组
－6βk3b1（r2－1）2=0,
－6βk3a1（r2－1）=0,
－2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0,
－k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0,
b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0,
ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0,
－b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67）
用计算机代数系统Maple对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0
时的一个非平凡精确解
φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（cosinhξ+1）=0 （68）
其中，k、ω、ξ0为任意常数。
（68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6 k2，ω=βk3）。
图4：KdV方程的孤波解
从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。
悬链线
形如y=a cosinh(x/a)(a为常数）的函数的图象又叫悬链线，可以由柔软的绳子得到，有点象抛物线，但其实两者差距很大.据说莱布尼兹（Leibniz）于1690年最先解出悬链线方程，惠更斯（Huygens）和伯努利兄弟（Jacob Bernoulli,Johann Bernoulli）随其后.惠更斯在1691年把悬链线命名为catenary. 悬链线与抛物线有这样的关系：悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹.悬链线的顶点的渐开线是曳物线（tractrix).这条曳物线的渐进线称为悬链线的准线，悬链线绕准线旋转形成的曲面叫做悬链面.
数学证明
设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m，受力分析有：Tsinθ=mg；Tcosθ=H，
tanθ=dy/dx=mg/H，mg=ρs，，其中s是右段AB绳子的长度，ρ是绳子
线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H；利用弧长公式ds=√（1+dy^2/dx^2）*dx；所以s=∫√（1+dy^2/dx^2）*dx; 所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√（1+dy^2/dx^2）*dx/H;.....⑴ 对于⑴设p=dy/dx微分处理得
p'=ρ/H*√（1+p^2）......⑵ p'=dp/dx; 对⑵分离常量求积分∫dp/√（1+p^2）=∫ρ/H*dx 得ln[p+√（1+p^2）]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲正弦）=ρx/H+C 当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0；整理得asinhp=ρx/H 另祥解：（ln[p+√（1+p^2）]=ρx/H）；p=sinh（ρx/H) （1+p^2=e^（2ρx/H)-2pe^（ρx/H)+p^2）；（p=[e^（ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx）；y=ch （ρx/H)* H / ρ（y=H/（2ρ）*[e^（ρx/H)+e^(-ρx/H)]）；令a=H/ρ：y=a*cosinh (x/a) （y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/⑵= a*co sinh(x/a））。
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα
诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。 编辑本段其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系 sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式
双曲函数 王希 对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题的回答不太满意，故在此重新撰文。尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。 除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。 我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。 一、发展历史 双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。 时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。 一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。 18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。 19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。 二、函数定义 在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。如图所示：
在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。 同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图： 具体的定义为 ， ， 。 三、函数性质 和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。
三、单位冲激偶信号 冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。 t t t d ) (d )(δδ= ' （1.3-16） 式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(?lim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(? t δ的导数)(?t δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为 )2(1)2(1)(?τδττδτδ--+='t t t 当0→τ时，)(? t δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。 （a ） （b ） 图1.3-11 冲激偶函数 设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分 () ()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'- -=-=-'????∞ ∞-∞∞-∞∞-∞ ∞-∞ ∞-δδδδδ
利用冲激函数的抽样性质，从上式得 )(d )()(00t x t t t t x '-=-'?∞ ∞-δ （1.3-17） 该式称为)(t δ'的抽样性质。 采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得 )()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18） 注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。再来考虑)(t δ'的对称性。 t ττt -==-'τδδd ) (d )( 由于)(t δ为偶对称函数，则有 )(d )(d )(t t t t δδδ'-=-=-' （1.3-19） 可见，)(t δ'为奇对称函数。故 ?∞ ∞-='0d )(t t δ 当然，令式（1.3-17）中的1)(=t x ，也可得上式结果 。
双曲函数的作用 双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 Sinh_cosh_tanh 双曲正弦 sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1） 双曲余弦 ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2） 双曲正切 th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3） 双曲余切 cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4） 双曲正割 sech z ＝1/ch z （5） 双曲余割 csch z ＝1/sh z （6） 其中，指数函数（exponential Csch_sech_coth function）可由无穷级数定义 e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7) 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。 定义 在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。 因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。 射线出原点交双曲线 x2 ? y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2 cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2 tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)] sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)] csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)] 其中， e是自然对数的底 e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +... e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是: e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +... 如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 ? y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式 cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 和性质 t > 0 对于所有的 t。 双曲函数是带有复周期 2πi 的周期函数。 参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数sinhx是奇函数，就是说-sinhx=sinh-x且sinh0=0。 实变双曲函数图像的基本性质 y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称.
双曲函数 双曲函数 在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推目录 定义 介绍 双曲函数 实变双曲函数 复变双曲函数 1、定义 2、性质 反双曲函数 三角函数 恒等式 加法公式 减法公式 二倍角公式 半角公式 三倍角公式 导数 不定积分 级数表示 实际应用 1、阻尼落体 2、导线电容 3、粒子运动 4、非线性方程 悬链线 数学证明 参考文献 展开 定义 介绍
实变双曲函数 复变双曲函数 1、定义 2、性质 反双曲函数 三角函数 恒等式 加法公式 减法公式 二倍角公式 半角公式 三倍角公式 导数 不定积分 级数表示 实际应用 1、阻尼落体 2、导线电容 3、粒子运动 4、非线性方程 悬链线 数学证明 参考文献 展开 编辑本段定义 双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 Sinh_cosh_tanh 双曲正弦 sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴ 双曲余弦 ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵ 双曲正切 th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶
cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷ 双曲正割 sch z =1/ch z ⑸ 双曲余割 xh(z) =1/sh z ⑹ 其中，指数函数（exponential Csch_sech_coth function）可由无穷级数定义 e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… ⑺ 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为arsh z、arch z、arth z 等。 编辑本段介绍 在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。 射线出原点交双曲线x^2 y^2 = 1 于点(cosha,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义 双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求围的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习x b ax y +=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与 x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表 示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是 奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3233+= 是双曲线，半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线 的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线， 在曲线上任意取一点P （x, x x 3233+）满足3421=-PF PF 即可；
圆函数（三角函数） 1.基本性质： sin tan cos x x x = ,cos cot sin x x x = 1sec cos x x = ,1 csc sin x x = tan cot 1x x = sin csc 1x x = sec cos 1x x = 22sin cos 1x x += 《 221tan sec x x +=,221cot csc x x += 2.奇偶性： sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=- 3.两角和差公式 sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±= [ tan tan tan()1tan tan x y x y x y ±±= 4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x = 2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=-22tan tan 21tan x x x = - 双曲函数 1.基本性质： sh th ch x x x = ,ch cth sh x x x = 1sech ch x x =,1csch sh x x = - th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x = 22ch sh 1x x -= 221th sech x x -=,221cth csch x x -=- 2.奇偶性： sh()sh x x -=- ch()ch x x -= ~ th()th x x -=- 3.两角和差公式 sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x y x y x y ±±= ± 4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x = 2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x x x x ==-=+ [
Hyperbolic functions(双曲函数）and their geometric meaning In mathematics, hyperbolic functions are analogs of the ordinary trigonometric, or circular, functions. The basic hyperbolic functions are the hyperbolic sine "sinh" (/?s?nt?/ or /??a?n/), and the hyperbolic cosine "cosh" (/?k??/), from which are derived the hyperbolic tangent "tanh" (/?t?nt?/ or /?θ?n/), hyperbolic cosecant "csch" or "cosech" (/?ko???k/ or /?ko?s?t?/), hyperbolic secant "sech" (/???k/ or /?s?t?/), and hyperbolic cotangent "coth" (/?ko?θ/ or /?k?θ/),[1] corresponding to the derived trigonometric functions. The inverse hyperbolic functions are the area hyperbolic sine "arsinh" (also called "asinh" or sometimes "arcsinh")[2] and so on. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the equilateral hyperbola. The hyperbolic functions take a real argument called a hyperbolic angle. The size of a hyperbolic angle is the area of its hyperbolic sector. The hyperbolic functions may be defined in terms of the legs of a right triangle covering this sector. Hyperbolic functions occur in the solutions of some important linear differential equations, for example the equation defining a catenary, of some cubic equations, and of Laplace's equation in Cartesian coordinates. The latter is important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity. In complex analysis, the hyperbolic functions arise as the imaginary parts of sine and cosine. When considered defined by a complex variable, the hyperbolic functions are rational functions of exponentials, and are hence meromorphic. Hyperbolic functions were introduced in the 1760s independently by Vincenzo Riccati and Johann Heinrich Lambert.[3] Riccati used Sc. and Cc. ([co]sinus circulare) to refer to circular functions and Sh. and Ch. ([co]sinus hyperbolico) to refer to hyperbolic functions. Lambert adopted the names but altered the abbreviations to what they are today.[4] The abbreviations sh and ch are still used in some other languages, like European French and Russian.
定义 双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2 cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2 tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)] sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)] csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)] cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 和性质 t > 0 对于所有的 t。 参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。[3]实变双曲函数 y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。
y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。 y=th(x)，定义域：R，值域：（-1，1），奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间，lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。 y=cth(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x||x|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1，lim[x->+∞，coth(x)=1]， lim[x->-∞，coth(x)=-1]。 y=sch(x)，定义域：R，值域：（0，1]，偶函数，最高点是（0，1），函数在（0，+∞）严格单调递减，x轴是其渐近线，lim[x->∞，sech(x)]=0。 y=xh(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x|x≠0}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴，lim[x->∞，csch(x)]=0。 双曲函数名称的变更：sh也叫sinh，ch也叫cosh，th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。 双曲正弦：sh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2 双曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2 解析性：shz，chz是全平面的解析函数。 周期性：shz，chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质。 反双曲函数 反双曲函数是双曲函数的反函数.，它们的定义为： arcsh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）] arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）] arcth(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2 arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2
恒等式 与双曲函数有关的恒等式如下: cosh^2(x) - sinh^2(x) =1 coth^2(x)-csch^2(x)=1 tanh^2(x)+sech^2(x)=1 * 加法公式： sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y) cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y) tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)] * 减法公式： sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y) cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y) tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)] * 二倍角公式： sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x) cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1 * 半角公式： cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2 sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2 双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如 * 三倍角公式：
课件10 偶函数图象的特征 课件编号：ABⅠ-1-3-4． 课件名称：偶函数图象的特征． 课件运行环境：几何画板4.0以上版本． 课件主要功能：配合教科书“1.3.2奇偶性”的教学，通过数据、图象等多维度理解偶函数的图象特征． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph】(图表)菜单中的【Define Coordinate System】(建立直角坐标系)，建立直角坐标系．单击【Graph】菜单中的【Hide Grid】（隐藏网格）．选中原点，按Ctrl＋K,给原点加注标签A，并用【文本】工具把标签改为O．给单位点加注标签，并改为1． （2）单击【Graph】菜单中的【Plot New Function】(绘制函数图象)，弹出“New Function”函数式编辑器，输入函数f（x）＝x2,单击【OK】画出函数f（x）的图象． （3）单击【Graph】菜单中的【Plot Point】(绘制点)，弹出“Plot Point”绘制点对话框，依次输入0，4，单击【Plot】，绘制出点C（0，4），同样地绘制点D（1，4），E（2，4），F（－2，4），最后单击【Done】（完成），如图1． 图1 （4）选中C点，E点，单击【Construct】菜单中的【Circle By Center+Point】（以圆心和圆周上的点画圆），如图2，得到大圆，及时单击【Construct】菜单中的【Point On Circle 】（圆上的点），画出G点．选中C点，D点，单击【Construct】菜单中的【Circle By Center+Point】，得到小圆，选中C点，G 点，按“Ctrl＋L”连结CG，交小圆于H．如图3，选中点G及x轴，单击【Construct】
附录2 双曲函数和反双曲函数 双曲正弦sinh 2 x x e e x --= . (arcsin h ln =x x . y sinh x y arcsinh x y sinh x y arcsinh x y x 双曲正弦的性质 sinh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是奇函数, 其图形通过原点并关于原点对称, sinh x 在R 内是单调增加的. 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于曲线12 x y e =, 当x 无限减小时, 其图形在第三象限内无限逼近于曲线12 x y e -=- . 双曲余弦cosh 2 x x e e x -+=. (arccosh ln =x x . y cosh x y cosh x y arccosh x < y cosh x y arccosh x y x
双曲余弦的性质 cosh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是偶函数, 其图形通过点()0, 1并关于y 轴对称. 在(), 0-∞内, 它是单调减少的; 在()0, +∞内, 它是单调增加的. cosh01=是它的最小值. 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于曲线12 x y e =; 当x 无限减小时, 其图形在第二象限内无限逼近于曲线12 x y e -= . 记隹如下常用关系: 注 此式与22 sin cos 1x x +=相似, 但二者不同. 关于双曲函数, 还有些恒等式, 详见——19. y sinh x y cosh x y 12 e x y 12 e x 双曲正切sinh tanh cosh x x x x x e e x x e e ---==+. ()()11arctanh ln 1, 121+=∈--x x x x . %
奇函数与偶函数的性质及其应用 1 奇函数的性质及其应用 奇函数的性质 设)(x f 是奇函数. (1)若)0(f 有意义，则0)0(=f ； (2)若a x f x g +=)()(，则a x g x g 2)()(=-+； (3)若函数)(x f 有最大(小)值，则函数)(x f 有最小(大)值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 证明 (1)在恒等式0)()(=-+x f x f 中，令0=x 后，可得0)0(=f . (2)可得a a x f a x f x g x g 2])([])([)()(=+-++=-+. (3)这里只证明结论：若函数)(x f 有最大值，则函数)(x f 有最小值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 设函数)(x f 的定义域是D ，得)()(,,00x f x f D x D x ≤∈?∈?. 因为奇函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，所以D x D x ∈-∈?,，得 D x x f x f x f x f x f x f ∈--=-≥≤-=-0000),()()(),()()(，所以函数)(x f 有最小值(为)(0x f -)，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 题1 (普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a 使函数1 22 )(+- =x a x f 为奇函数？ 解 由奇函数的性质(1)，可得1,01)0(==-=a a f . 还可验证：当1=a 时，0)()(=-+x f x f ，即)(x f 是奇函数. 所以存在实数1=a 使函数)(x f 为奇函数. 题2 (2017年高考安徽卷理科第11题)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，若将方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为( ) A.0 B.1 C.3 D.5
三角函数的定义 直角坐标系中定义 直角三角形定义 a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的 图像。 单位圆定义 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是： x2+y2=1 对于大于 2π或小于?2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：
级数定义 只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立： 这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。 在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。 从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。 与指数函数和复数的联系 可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分： 这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在复平面中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。 进一步的，这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数： 这里 i2=?1还有对于纯实数 x， 微分方程定义 正弦和余弦函数都满足微分方程
圆函数（三角函数） 1.基本性质： sin tan cos x x x = ,cos cot sin x x x = 1sec cos x x = ,1 csc sin x x = tan cot 1x x = sin csc 1x x = sec cos 1x x = 22sin cos 1x x += 221tan sec x x +=,221cot csc x x += 2.奇偶性： sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=- 3.两角和差公式 sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±= tan tan tan()1tan tan x y x y x y ±±= 4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x = 2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=-22tan tan 21tan x x x = - 双曲函数 1.基本性质： sh th ch x x x = ,ch cth sh x x x = 1sech ch x x =,1csch sh x x = th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x = 22ch sh 1x x -= 221th sech x x -=,221cth csch x x -=- 2.奇偶性： sh()sh x x -=- ch()ch x x -= th()th x x -=- 3.两角和差公式 sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x y x y x y ±±= ± 4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x = 2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x x x x ==-=+ 22th th 21th x x x = +
奇偶函数的性质及其应用 一、知识点总结 奇偶函数的性质 1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质： a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; b.对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）； c.图像关于原点（0,0）对称； d.若0∈d则f（0）=0; e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质： a. 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）； c.图像关于y轴对称； d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 二、奇偶函数性质的应用 热点题型一：利用奇偶性求参数的值 例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b 的值为 . 解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0 a-1+2a=0，解得b=0,a= 故a+b=.
点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0. 例2 已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值. 解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数 ∴f（x）=0， 即：=0，∴a=1 解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数 ∴f（-x）=-f（x） 即：=- 整理得（2a-2）（2x+1）=0 ∴2a-2=0 解之得a=1 点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f（0）=0，若0?埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。 热点题型二：利用奇偶性求函数解析式 例3 已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x）求出函数的解析式。 解：当x0 ∵当x≥0时，f（x）=x（1+x）
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