说题比赛设计稿

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城厢镇中心学校石海兰

题目：九年级下册课本第27页第10题

分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形面积大？为什么？

一、审题分析

（一）题目背景

1、题材背景：此题出自人教版九年级下册27页的习题26.3第10题。

2、知识背景：通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用

顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。

3、方法背景：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的

最值转化为二次函数的最值问题，提高分析解决问题的能力，了解数形结合思想、函数思想。

4、思想背景：数形结合思想、数学建模思想、函数思想。

（二）学情分析

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数的图像与性质后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图像的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练的应用知识解决问题。教材安排利用二次函数的最值求面积最大问题，正是为了弥补这一不足。

（三）重、难点

重点：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质，求面积最值问题难点：1、正确构建数学模型

2、对函数图像顶点、端点与最值关系的理解与应用

（四）教材编写意图

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考察。新课标中要求学生能通

过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作为专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用题。

二、解题过程

（一）知识回顾

1、复习二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像、顶点坐标、对称轴和最值

2、如何求二次函数的最值？有哪几种方法？（配方法、公式法）

（1）求函数y=x2+2x-3的最值

（2）求函数y=x2+2x-3的最值（0≤x≤3）

（二）问题设计

问题1（在情境中发现问题）请你画一个周长为40厘米的矩形，算一算它的面积是多少？再和同学比比，矩形的面积相同么？有没有最大面积？

问题2（在解决问题中找出方法）想一想：某工厂为了存放材料，需围一个周长40米的矩形场地，矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？

（教师引导学生突破难点：由问题1可知，面积随长宽的变化而变化，把面积看做长宽的函数，先求出函数关系式；因为周长已知，设长为x，则宽用含x的代数式表示；也可设宽为x，则长用含x的代数式表示。因变量面积设为y，根据面积等于长乘宽列出y与x的关系式，再根据函数的性质求解。）

教师给出规范的解题过程：

设矩形场地长为x米，则宽为（20—x）米

面积y=x(20—x)=—x 2+20x (0

该函数图像为抛物线，开口向下，有最大值

故当x=10)1(2202=-?-=-

a b 时

Y 有最大值100)1(4204422=-?-=-a b ac

即长是10米宽也是10米时，面积最大。

问题3（在巩固与应用中提高技能）

上述问题中，若围成周长40米的圆形场地，最大面积是多少？哪种图形的场地面积大？

师生共解：c=2 r=40, 则r=

20240=

圆面积是127400)20(

2≈= ，故圆形场地面积大。

解决例题后，让学生思考：通过上述问题，分别用定长为L 的线段围成矩形和圆，哪种图形面积大？

（多媒体展示解题过程：）

设围成的矩形长为x ，则矩形面积S=x （x L x x L 2)2(2+-=-， 由此求得矩形的最大面积是162L 。围成的圆的面积是 ,)2(22 L L = 因为 41622l L <所以圆的面积大。

及时总结方法：解这类题目的一般步骤：

（1）

列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 （2） 在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二

次函数的最大值或最小值。

（三） 、题目变式延伸

设计三组练习题让学生选做，每组题做对都得一百分。学生自由选择完成，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦。

A层（你能行）：如图1，现要用40米长的篱笆围成一矩形场地（一边靠墙且墙足够长），设矩形与墙平行的一边长为x米，怎样围才能使矩形的面积S最大，并求出最大面积。

B层（你肯定行）：将上题中的条件改为（一边靠墙且墙长18米）

C层（你一定是最棒的）：如图2，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。

（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围

（2）当x取何值时，花圃面积S最大，最大值是多少？

（图1）（图2）

（四）师生小结：让学生总结本节课的收获、利用函数知识解决实际问题的方法及要注意的问题。