流形上的散度公式证明
杨科
中国 成都 610017
E-mail: more2010e@https://www.doczj.com/doc/f910817263.html,
摘 要:
散度公式(又称Остроградский-Gauss 公式) 是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的散度公式证明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷(例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell 方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象[流形]的解析解、数值解;
传统的流形微积分学, 用外微分形式推导出Green 公式, Остроградский-Gauss 公式,Stokes 公式,乃至关于n 维空间积分的广义Stokes 公式[20],即 d ?∑∑
ω=ω?? 但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;
本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数; 而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、 柱面坐标系、 广义球面坐标系及其相关微元系数等),用积分以及和式极限的方法,证明散度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系 [包括
单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)]的存在, 使散度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型.
"证明流形上的散度公式"本身不是唯一目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.
本系列稿件相关的数值模型表明, 使用基于参数化空间点积法的曲面积分以及基于个性化微元系数的三重积分, 能够获得关于复杂几何形体[流形] (尤其是不对称、不规则曲面及其包含空间区域)的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分以及任意空间区域三重积分, 实现向量场 (电场、磁场、流体场、引力场等) 和数量场 (电位场、温度场、密度场等)在任意自由曲面及其包含空间区域的精确积分计算,确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的散度公式和工程意义上的流形积分.
关键词:
微积分学拓扑学物理学 Poincare猜想向量场数量场自由参数曲面坐标系
单连通可定向闭合参数曲面坐标系复连通可定向闭合参数曲面坐标系
基于参数化空间点积法的曲面积分基于个性化微元系数的三重积分
流形上的散度公式证明数值模型和式极限两种类型积分的新公式关联
工程意义上的流形积分解析积分值任意精度浮点数积分值
中图分类号：O17/O412.3
目录
引言1 (2)
引言2 证明的前提条件—-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立 (4)
流形上的散度公式证明 (10)
总结 (13)
参考书籍 (14)
引言1
散度公式(又称Остроградский-Gauss公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17].传统的散度公式证明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法(简称投影法)的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法.投影法的基本思路是将三维欧氏空间区域中的曲面积分,转化为某一空间直角坐标平面上的二重积分,以间接的方式达到目的.
投影法的缺陷是明显的:
第一,积分曲面在某一坐标平面的投影区域不能有重叠, 这就决定了积分曲面只能是非常简单的函数曲面; 在现实世界和物理、工程领域更为普遍存在复杂参数曲面, 投影法则无能为力;
第二,投影法通常要求积分曲面具有某种对称性(点对称、轴对称和面对称等[2]), 计算诸如"以三维坐标原点为中心的球面上侧、下侧、左侧、右侧曲面"类型的简单曲面积分,再乘以某一常数, 得到整个球面的积分值; 在现实世界和物理、工程领域更为普遍存在的不对称、不规则曲面, 用投影法计算非常繁琐, 在绝大多数情况下不能计算[1][2][3][4][5][6][7] [8][9];以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系(例如贴体坐标系等)的偏微分方程组求解(例如有限元法、边界元法、有限差分法等[18])基础上.一个多世纪以来的数学、物理、工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解;
第三,因不同积分曲面的几何差异,投影的方向、投影的次数千差万别[尤其是分面投影法].有100计算实例,就可能有100种投影方案.计算过程不可能标准化、模块化,不利于电子计算机编程;
第四,不论积分曲面复杂程度,投影法实际计算过程普遍繁琐;
第五,在物理、数学分析领域至关重要的Остроградский–Gauss公式,Stokes公式(在某种意义上也包括Green公式),投影法几乎没有直接计算实例(即使有,也是极个别的特例,没有代表性.如正方体、长方体表面外观的闭合―曲面‖[12][13][15][16][17],数条正方体不同表面截线段围成的闭合―曲线‖[12][13][15][16],平面―x+y+z=1‖与三个直角坐标平面的
相交三角形构成的闭合―曲线‖[12][13][14][15][16]等). 通常的思路是, 先用符号逻辑的方式证明在直角坐标系中三大公式的存在, 然后是如何应用这三大公式简化计算. 非常遗憾、困惑的是没有这三大公式的丰富而绚丽的直接计算实例.
在球面坐标系,有向量场参数曲面积分[13]、球体空间区域三重积分[即通过三阶Jaccobi 行列式变量变换];在极坐标系,有平面区域二重积分[即通过二阶Jaccobi 行列式变量变换]等计算方法[12][13][14][16][17].但是存在下列问题:
第一,在球面坐标系内,向量场闭合曲面积分与数量场闭合空间区域三重积分彼此孤立, 没有通过散度公式关联,并且两者的计算结果不能相互验证;
第二,向量场闭合曲面积分与数量场闭合空间区域三重积分局限于正交曲线坐标系[即球面坐标系和柱面坐标系] [12][13][14][16][17] 或广义球面坐标系[14], 没有扩展到无穷多个任意参数曲面坐标系;
第三,在极坐标系内,向量场环路积分与数量场平面区域二重积分彼此孤立,没有通过Green 公式关联,并且两者的计算结果也不能相互验证;
第四,数量场[二元函数]闭合平面区域二重积分局限于正交曲线坐标系[即极坐标系][11],没有扩展到无穷多个任意单连通闭合曲线坐标系.
传统的流形微积分学, 用外微分形式推导出Green 公式, Остроградский-Gauss 公式,Stokes 公式,乃至关于n 维空间积分的广义Stokes 公式[20],即
d ?∑∑
ω=ω?? 但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言.
认识,无止境.
引言2 证明的前提条件
——单连通可定向闭合曲面坐标系的建立
(一)
考察证明的对象---散度公式:
“散度公式 设空间闭区域Ω是由光滑或分片光滑的闭曲面S 围成,函数
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) [构成向量场A] 及其偏导数在空间闭区域Ω上连续,则
S A n dS divA d ωΩ
? =?????? (1) 其中曲面S 为空间闭区域Ω的整个边界曲面外侧, n 为曲面S 的单位外法向量, divA 为向量场A 的散度”.
在公式的定义中,强调空间闭区域Ω的边界闭合曲面S 必须是能够区分其”内侧”、”外侧”
的可定向曲面.
在传统的直角坐标系Остроградский-Gauss 公式证明中,‖抽象可定向闭合曲面∑‖是这样定义的:
抽象可定向闭合曲面∑由三个子曲面11223:(,),:(,),&z z x y z z x y ∑= ∑= ∑ 分片包围而成,其中曲面11223:(,),:(,),&z z x y z z x y ∑= ∑= ∑皆为抽象二元函数.
(参见《高等数学(第六版)》(下册) 同济大学数学系 高等教育版 2007 P168-170)
也就是说,散度公式客观上要求,不论在空间直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲面S 必须具有两种属性:(1)闭合性;(2)可定向性.
离开传统的空间直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的‖可定向闭合曲面‖并且进一步建立‖可定向闭合曲面坐标系‖? 并没有现成的答案.
Poincare 猜想[19]断定"任何与n 维球面同伦的n 维闭合流形必定同胚于n 维球面",在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 其对应的判断为 "任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面".
也就是说, 根据Poincare 猜想, 在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 任何单连通、可定向的闭合曲面(虽然仅仅是单连通),不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于‖球面‖这一普遍属性.
进一步的问题自然是‖在三维欧氏空间,能否根据Poincare 猜想这一普遍属性,定义单连通、可定向的闭合曲面的抽象的、普遍意义的表达式?‖ 这也正是本‖引言‖讨论的中心内容.
在空间解析几何学中,上述"2维球面"的参数表达式为[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v), cos(u)],其中参数u 的变化范围[0,Pi],参数v 的变化范围[0,2*Pi ](在严格意义上, 该参数表达式是 ‖2维球面‖ 在‖空间直角坐标系‖和‖球面坐标系‖之间的转换式; ‖二维球面‖ 在球面坐标系的表达式是常数1).
在拓扑学领域,"同胚"的定义为"两个流形,如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个,则认为两者是同胚的".
从解析几何学和拓扑学的角度再理解Poincare 猜想,既然"2维球面"的参数方程为
[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],其中参数变化范围u[0,Pi],v[0,2*Pi],则其变形[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi] (其中待定系数a,b,c 为任意非零常数) 即为任意椭球面的参数方程. 在三维欧氏空间,任意椭球面皆同胚于球面,这是拓扑学的常识,无需讨论;
如果a,b,c 为任意"一阶可导连续函数",可能出现怎样的情况? 参见下列图例:
图例1:
假设任意待定系数a=sin(u)+cos(v), b=cos(u),c=cos(v/2),则目标参数曲面[a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)](其中u∈[0,π], v∈[0,2π]) 为[(sin(u)+cos(v))*sin(u)*cos(v),cos(u)*sin(u)*sin(v), cos(v/2)*cos(u)](其中u∈[0,π], v∈[0,2π])
其实际参数图形为:
图例1 由待定系数a,b,c输入任意"一阶可导连续函数",
输出参数曲面呈非单连通、非闭合状态,
与‖Poincare猜想‖及‖流形上的散度或旋度公式‖讨论的内容无关
图例2:
假设任意待定系数a=sin(u+v)+cos(v), b=cos(v),c=cos(v/2),
则目标参数曲面[a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)](其中u∈[0,π], v∈[0,2π])
为[(sin(u+v)+cos(v))*sin(u)*cos(v),cos(v)*sin(u)*sin(v), cos(v/2)*cos(u)](其中u∈[0,π], v∈[0,2π])
其实际参数图形为:
图例2 由待定系数a,b,c输入任意"一阶可导连续函数",
输出参数曲面呈非单连通、不可定向状态,
与‖Poincare猜想‖及‖流形上的散度或旋度公式‖讨论的内容无关
图例3:
假设任意待定系数a=sin(u),b=cos(u)+cos(u+3*v)/3,c= cos(u),则目标参数曲面[a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)]
(其中u∈[0,π],v∈[0,2π])
为[sin(u)*sin(u)*cos(v),(cos(u)+cos(u+3*v)/3)*sin(u)*sin(v), cos(u)*cos(u)](其中u∈[0,π], v∈[0,2π])
其实际参数图形为:
图例3 由待定系数a,b,c输入任意"一阶可导连续函数",
输出曲面呈单连通可定向闭合状态
可以作为‖Poincare猜想‖及‖流形上的散度或旋度公式‖讨论的对象
实验数据从原始现象表明,同样属于参数曲面[a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),
c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi], 因待定系数a,b,c的不同取值, 一部份曲面属于单连通、可定向闭合曲面,一部分曲面则例外.
也就是说,参数曲面[a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]存在两种情况:
(1)在待定系数a,b,c为任意非零常数的情况下,参数曲面为椭球面(自然同胚于球面);
(2)在待定系数a,b,c为任意一阶可导连续函数的情况下,参数曲面可以为单连通可定向闭合曲面(同胚于球面),也可以为非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面).
进一步的问题自然是―在参数曲面[a sin(u)cos(v), b sin(u)sin(v), c cos(u)], u[0,Pi],v[0,2*Pi]模式中, 能否通过某种定义将非单连通可定向闭合曲面(不同胚于
球面)的情况排除?‖
(二)
设定―任意曲面‖为一集合,则―任意单连通、可定向闭合曲面‖是前者的子集合. Poincare猜想是这一子集合的属性, 本论文―流形上的散度或旋度公式证明‖及其‖和式极限证明‖则讨论散度或旋度公式是否适用于这一子集合.
Poincare猜想为用参数方程方法描述―任意单连通、可定向闭合曲面‖的某种属性(即―同胚于2维球面‖这一属性)提供了实现途径. 参考丘成桐院士2006年观点: 庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响.
基于上述情况,将无数具体的单连通、可定向闭合曲面抽象化为一个统一的表达式:
[a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]
(其中待定系数a,b,c不能任意指定, 而必须服从于曲面的‖单连通、可定向闭合‖的拓扑学属性)
也就是说, 如果待定系数a,b,c能够任意指定, 则目标曲面 [a*sin(u)cos(v), b*sin(u)sin(v), c*cos(u)], u[0,Pi],v[0,2*Pi] 可能是‖单连通、可定向闭合曲面‖,也可能不是;
如果预先设定目标曲面 [a sin(u)cos(v), b sin(u) sin(v), c cos(u)], u[0,Pi],v[0,2*Pi] 本身就是‖单连通、可定向闭合曲面‖, 则待定系数a,b,c就不能任意指定了.
从几何意义解释上述现象 --- 在空间直角坐标系, 球面( 即[sin(u)cos(v),
sin(u)sin(v),cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]) 沿x,y,z轴三个方向任意连续变化(即[a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi],其中待定系数a,b,c为任意一阶可导连续函数),不一定产生单连通、可定向闭合曲面;
反过来,在空间直角坐标系,任一单连通、可定向闭合曲面--必定由球面( 即[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi])沿x,y,z轴三个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y,z轴三个方向连续变回球面)-- Poincare 猜想为依据.
例如,正六面体(即正方体)表面也可以被视为单连通、可定向闭合曲面---但是正六面体表面难于甚至不能用参数方程描述---但是不能否认,根据Poincare猜想, 正六面体表面必定同胚于球面,必定由球面(即[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],u[0,Pi], v[0,2*Pi])沿x,y,z轴三个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y,z轴三个方向连续变回球面);根据Poincare猜想,正六面体表面同样可以用[a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v), c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]参数模式描述.
用[a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi] 模式
描述抽象的、具有普遍意义的单连通、可定向闭合曲面,实际上是用Poincare猜想来描述
单连通、可定向闭合曲面的某种内在结构和属性(即同胚于球面这一属性),为进一步的公式
推导设定一个恰当的前提条件.
需要特别指出,在具体曲面为―复连通、可定向闭合曲面‖(例如环面及其同胚曲面)情况
下还不能实现抽象化,还没有相关的理论依据为支持.
在实际操作层面,用Plot3D[属于Waterloo Maple计算机代数系统指令]指令绘画
出某一参数曲面,必须在直观视觉上判定该曲面是否为单连通、可定向闭合曲面以后, 才能
决定是否适用于流形上的散度或旋度公式数值模型;从参数表达式本身无法判断曲面是否
为单连通、可定向闭合曲面;
―参数曲面是否为单连通、可定向闭合曲面‖的决定因素在拓扑学领域而不在解析几何
领域;单凭解析几何的参数方程方法并不能够推导、演绎出某一曲面的单连通、可定向闭合
属性.
(三)
[a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi] 只是
基于Poincare猜想定义的抽象的、普遍意义的单连通可定向闭合曲面表达式, 还不属于
坐标系;抽象单连通可定向闭合曲面坐标系为[r a sin(u)cos(v),r b sin(u) sin(v), r c cos(u)], r[0, ∞],u[0,Pi],v[0,2*Pi], 其中r为向径, a,b,c为待定系数(因为a,b,c既可以为非零常数,也可以为一阶可导连续函数),具有不确定性.
实际上,抽象单连通可定向闭合曲面表达式[a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v), c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]与椭球面表达式[a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),
c cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]在形式上是完全一致的,只是两者对待定系数a,b,c的
解释不同:前者将a,b,c解释为"任意非零常数或一阶连续可导函数(非任意,受曲面的单
连通可定向闭合属性限制)‖,而后者将a,b,c解释为只是"任意非零常数";故抽象单连通
可定向闭合曲面坐标系与直角坐标系的对应关系是x=r*a sin(u)cos(v),y=r*b sin(u) sin(v),z=r*c cos(u)(与椭球面坐标系-直角坐标系转换式是相同的).
流形上的散度公式证明:
散度公式设空间闭区域Ω是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) [构成向量场A] 及其偏导数在空间闭区域Ω上连续,则
S A n dS divA dω
Ω
? =?
????? (1)
其中曲面S为空间闭区域Ω的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度
证明:
定义任意单连通、可定向闭合曲面S 的参数表达式:
[a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)] (2)
其中a,b,c 为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S 决定a,b,c 的取值;设定参数u,v 的变化范围[0,π],[0,2π],使曲面S 闭合.(参见Poincare 猜想: "任何与n 维球面同伦的n 维闭合流形必定同胚于n 维球面")[19]
根据曲面参数表达式(2),定义并计算第一偏导数矩阵,获取曲面S 的切平面法向量: sin()cos()sin()sin()cos()sin()cos()sin()sin()cos()i j k a u v b u v c u u u u a u v b u v c u v v v ????????????????????????????
= i c ()sin u 2b ()cos v a ()cos u ()cos v 2k b ()sin u a ()sin u 2()sin v j c
+ + a ()sin u ()sin v 2k b ()
cos u + (3) 从(3)式分别提取i ,j ,k 项系数,获得曲面S 的切平面法向量:
[2sin()cos()c u b v ,2sin()sin()u a v c ,sin()cos()u ab u ] (4)
向量场A 与曲面S 的切平面法向量(4)的空间点积对曲面参数u ,v 的积分:
???0
2π???0π()P ,,x y z c ()sin u 2b ()cos v ()Q ,,x y z ()sin u 2a ()sin v c + ()R ,,x y z ()sin u a b ()cos u + u d v d =
= d ??????02π + 12()Q ,,x y z a ()sin v c π12()P ,,x y z c b ()cos v πv 0 (5)
将曲面S 的参数表达式(2)各项通乘以向径r(设定r>0),将x,y,z 轴方向上的曲面坐标参数转化为空间区域坐标参数: [ra sin(u)cos(v),rb sin(u) sin(v),rc cos(u)] (6)
根据空间区域坐标参数(6),定义并计算第二偏导数矩阵,获取空间闭区域Ω微元系数的一般表达式:
sin()cos()
sin()cos()sin()cos()sin()sin()sin()sin()sin()sin()cos()cos()cos()ra u v ra u v ra u v r u v rb u v rb u v rb u v r u v rc u rc u rc u r u v ????????????????????????????????????
= 2sin()abcr u (7)
计算向量场A 的散度,并将其从直角坐标形式(8)转变为空间闭区域 Ω坐标形式(9): (,,)(,,)(,,)P x y z Q x y z R x y z x y z
???++??? (8) ?? ??????x ()P ,,x y z ?? ??????r ()r a ()sin u ()cos v ?? ??
????u ()r a ()sin u ()cos v ?? ??????v ()r a ()sin u ()cos v ?? ??????y ()Q ,,x y z ?? ??
????r ()r b ()sin u ()sin v + ?? ??????u ()r b ()sin u ()sin v ?? ??
????v ()r b ()sin u ()sin v ?? ??????z ()R ,,x y z ?? ??????r ()r c ()cos u ?? ??????u ()r c ()cos u ?? ??????v ()r c ()cos u + = ?? ??
????x ()P ,,x y z a 3()sin u 2()cos v 2r 2()cos u ()sin v -?? ??????y ()Q ,,x y z b 3()sin u 2()sin v 2r 2()cos u ()cos v + (9)
散度(9)与空间闭区域Ω微元的乘积对变量r,u,v 的三重积分: (10) ??????02π??????0π??????0
1?? ??????x ()P ,,x y z a 3()sin u 2()cos v 2r 2()cos u ()sin v -?? ?? ??????y ()Q ,,x y z b 3()sin u 2()sin v 2r 2()cos u ()cos v + ????a ()sin u r 2b c r d u d v d =
??????02π??????0π15?? ??????x ()P ,,x y z a 3()sin u 2()cos v 2()cos u ()sin v -?? ?? ??????y ()Q ,,x y z b 3()sin u 2()sin v 2()cos u ()cos v + ????a ()sin u b c u d v d 0 =
其中,
≠ d ???02πd ???0πd ???01a b c r 2()sin u r u v 0
即设定空间闭区域Ω微元本身对参数r,u,v 的三重积分不能为零,也可以理解为设定空间闭区域Ω不能为零体积
即(5)式=(10)式:
???02π???0
π()P ,,x y z c ()sin u 2b ()cos v ()Q ,,x y z ()sin u 2a ()sin v c + ()R ,,x y z ()sin u a b ()cos u + u d v d
=
??????02π??????0π??????01?? ??????x ()P ,,x y z a 3()sin u 2()cos v 2r 2()cos u ()sin v -?? ?? ??????y ()Q ,,x y z b 3()sin u 2()sin v 2r 2()cos u ()cos v + ????a ()sin u r 2b c r d u d v d
亦可表述为
S A n dS divA d ωΩ
? =?????? (1), 证毕
环面散度公式证明和流形上的散度公式数值模型,参见‖附件1 流形上的散度公式证明和数值模型(分析与说明)‖;
流形上的散度公式和式极限证明及其数值模型, 参见‖流形上的散度公式和式极限证明和数值模型[附件3 分析与说明]‖
总结
传统的散度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题 (例如电磁学领域的 Maxwell 方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上. 一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明, 通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)解析解、数值解;
传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green 公式,Остроградский-Gauss 公式,Stokes 公式,乃至关于n 维空间积分的广义Stokes 公式[20],即 d ?∑∑
ω=ω?? 但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;
建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数;而不再依赖于已有的少数几个直角
坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系及其相关微元系数),证明散度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系[包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare 猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)]的存在, 使散度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分
之间的新公式关联, 并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型.
"证明流形上的散度公式"本身不是唯一目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.
本系列稿件相关的数值模型表明,通过基于参数化空间点积法的曲面积分和基于个性化微元系数的三重积分,能够获得关于复杂几何形体(流形)(尤其是不对称、不规则曲面及其包含空间区域) 的解析积分值或任意精度浮点积分值; 实现任意曲面积分、任意空间区域三重积分(甚至实现积分区间的艺术化); 寻找向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)和数量场(电位场、温度场、密度场等) 在任意自由曲面及其包含空间区域的积分计算途径和关联关系, 寻找微积分学、拓扑学和工程计算三者的直接衔接点,实现流形上的散度公式和工程意义上的流形积分,实现更广大、更自由的物理、数学探索和工程实践.
参考书籍:
[1]《基础物理述评教程》潘根科学版2002.1 (P360-361,P385,P401)
[2]《费恩曼物理学讲义》(第2卷) [《The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. Sands》Pearson Education 1989 ] 上海世纪出版股份有限公司/上海科学技术版2005.6 第1版2009.10 第6次印刷(P31-32,P48-54,P55-65,P159-165,P230-242,P259-289)
[3]《电磁学》高等教育版2001.1 (P33-43)
[4]《电动力学及其计算机辅助教学》科学版2007.8 (P1-47)
[5]《场论》原子能版2006.10 (2008.8 重印) (P9-13,P147-150,P184-186)
[6]《流体力学》冶金工业版2010.2 (P40-80)
[7]《应用流体力学》清华大学版2006.3 (P21-32)
[8]《工程流体力学》人民交通版2010.1 (P28-46,P57-59)
[9]《多维气体动力学基础(第2版)》北京航空航天大学版2008.6 (P15,P36-43)
[10]《数学分析简明教程》(下册) [前苏联] А.Я.Хинчин高等教育版1956.8 (P644-649)
[11]《工程数学: 矢量分析与场论》谢树艺高等教育版1978.12 第1版1985.3 第2版
2002.3 第23次印刷(P41-45,P85,P90-91)
[12]《微积分》(下册) 同济大学应用数学系高等教育版2002.1 (P163-165, P234-238,P242-243,P247-248)
[13]《高等数学多元微积分及其教学软件》上海市教委组编
上海交通大学同济大学华东理工大学上海大学编科学版1999.6
(P388-390,P291-294,P312-313, P393-402,P407)
[14]《工科微积分》(下册) 丁晓庆科学版2002.9 (P288-296, P309-315,P317-318)
[15]《高等数学(第六版)》(下册) 同济大学数学系高等教育版1978.10 第1版2007.6 第6版
2009.8 第9次印刷(P168-170,P174-175)
[16]《托马斯微积分》(第10版) [《Thomas’s Calculus》(Tenth Edition) ] 高等教育版2003.8 (P1048-1056,
P1137-1147,P1147-1157)
[17]《微积分》M.R.Spiegel [《Schaum’s Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus》
McGraw-Hill Companies, Inc Copyright 1963, 37thPrinting, 1998 ] 科学版2002.1 (P169-170, P180,P190-201)
[18]《现代数值计算方法》刘继军科学版2010.3 (P62-136)
[19]《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明》[《A complete proof of the Poincare and geometrization
conjectures-Application of the Hamilton-Perelman theory of the RICCI flow》]
Г. Я. Перельман朱熹平曹怀东《Asian J. Math》June 2006, P165-492
[20]《流形上的微积分》M.Spivak 人民邮电版2006.1 (P114-143)
[21]《Maple指令参考手册》国防工业版2002.1
Proof of Divergence Theorem at Manifold
Yangke
China Chengdu 610017
E-mail: more2010e@https://www.doczj.com/doc/f910817263.html,
Abstract:
Divergence Theorem( i.e. Остроградский-Gauss’Theorem) is one of the hard core in modern mathematical and physical system. The logic system of Divergence Theorem’s traditional proof, established formular association between surface integral (Based on projective method in 3-Dimensional Cartesian coordinates, shortened form as ‘projective method’) and triple integrals, radicated that projective method was primary method of surface integral. But projective method possesses many obvious defects (e.g. complicated and tedious calculating course, be disable to calculate on asymmetrical、irregular surfaces etc.), so that resolvents of many important questions in physics、engineering field (e.g. instantiation of Maxwell's equations in electromagnetism and integral at discretional irregular control surface in hydrodynamics) are built on solving partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates. For more than a century, countless mathematical、physical and engineering practices have proved: Depend on projective method、partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates, it is difficult or disable to obtain analytical solution or numerical solution about complicated geometric objects (Manifold);
Traditional manifold calculus deducts out Green Theorem 、Остроградский-Gauss Theorem and Stokes Theorem by exterior differential form, and even generalized Stokes Theorem about n-dimensional space integral [20], viz.
d ?∑∑
ω=ω??. But these theorems (deducted by exterior differential form), scantly possess abstract academic meaning, and can ’t reveal idiographic course of integrals, leave alone idiographic numerical models.
In this manuscript, constitute individual coordinates that matches with idiographic geometric object
[Manifold] (Viz. What idiographic geometric shape, what coordinates of idiographic geometric shape, what element coefficient of idiographic geometric shape; no longer rely on a few existent coordinates: Cartesian coordinates 、Spherical coordinates 、Cylindrical coordinates and generalized spherical coordinates and their correlative element coefficients etc.), by methods of integral and finite sums limits, prove the presence of Divergence Theorem in countless free parametrized surface [Manifold] coordinates [Include simply connected orientable closed surface coordinates (Bases on Poincare conjecture) and multiple connected orientable closed surface (Torus) coordinates], enable Divergence Theorem surpass traditional architecture of 3-Dimensional Cartesian coordinates, establish new formular association between surface integral (Bases on parameterized dot product method) and triple integrals (Bases on idiographic element coefficient), and realize mutual validation between two types of integral in infinitely plentiful and gorgeous formular numerical model operations, radicate theoretical logic basis and numerical model of two new integral methods.
‘Prove Divergence Theorem at Manifold ’ itself is not sole purpose, ‘Establish new formular association between surface integral (Bases on parameterized dot product method ) and triple integrals (Bases on idiographic element coefficient), radicate theoretical logic basis and numerical model of two new integral methods ’ is prime purpose.
Correlative numerical models of these series manuscripts have indicated, by surface integral (Bases on parameterized dot product method ) and triple integrals (Bases on idiographic element coefficient), we can obtain analytic integral value and float integral value in discretional precision about complicated geometric objects (Manifold, Irregular 、Asymmetrical surface and its embedded spacial bounded closed region especially). Realize free surface integral and triple integrals in free space bounded closed region, realize exact integral calculation of vector field [electric field 、magnetic field 、hydromechanical field 、gravitational field etc.] and scalar field [electric potential field 、temperature field 、density field etc.] in discretional free surface and its embedded spacial bounded closed region, radicate logic relationship of two integral methods, realize Divergence Theorem at Manifold and Manifold Integral in Engineering Meaning.
Keywords:
Calculus, Topology, Physics, Poincare Conjecture, Vector Field, Scalar Field,
Free Parametrized Surface Coordinates,
Simply Connected Orientable Closed Surface Coordinates,
Multiple Connected Orientable Closed Surface Coordinates,
Surface Integral Bases on Parametrized Dot Product Method,
Triple Integrals Bases on Idiographic Element Coefficient,
Divergence Theorem at Manifold,
Proof, Numerical Models,Finite Sums Limits,
New Formular Association between Surface Integral (Bases on Parametrized Spacial Dot Product Method) and Triple Integrals( Bases on Idiographic Element Coefficient),
Manifold Integral in Engineering Meaning,
Analytic Integral Value, Float Integral Value in Discretional Precision
CLC number: O17/O412.3
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
《3.1.1两角差的余弦公式》教案 玉林高中数学科 授课人：饶蔼 教学目标 1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础. 2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值. 3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性. 教学重、难点 1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用. 2. 难点：探究过程的组织和适当引导. 学情分析 学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法 1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等. 教学过程 （一）创设情境，引入课题 金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？ 设前进量为x 米，则3430cos 8=?=x 米 提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？
解三角形公式
海伦－秦九韶公式 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 而公式里的p为半周长（周长的一半）： 注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s 作为半周长，所以 和 两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√（1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2] =1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2） （2ab-a^2-b^2+c^2）] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2
b^2=a^2+c^2-2ac cos B c^2=a^2+b^2-2ab cos C 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 海伦-秦九韶公式 p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长） 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。 已知三条中线求面积 方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc， 则 S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb) *(Ma+Mb-Mc)]/3 ； 方法二：已知三边a，b，c ；
§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计 主讲教师：卫金娟教学目标 1、知识目标： 通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标： 通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标： 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 学情分析： 1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备； 但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成. 2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习； 从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达. 3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。 教学难点：两次探究过程的组织和引导。 教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合 知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式 教学准备：多媒体、圆规，三角板 教学流程：
《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)； ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 的外接圆的半径，则有 a b c 2R ．sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ； ②化边为角： sin a， sin b， sin C c ； 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ； ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 7、三角形面积公式： S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理：在 C 中， a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论： cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2． 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和夹角，求其余的量. ②已知三边求角 梯度 散度 散度（divergence）的概念： 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。 div F =▽·F 气象学： 散度指流体运动时单位体积的改 变率。简单地说，流体在运动中集中的 区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 用以表示的量称为散度，值为负时为辐 合，此时有利于天气系统的的发展和增 强，为正时表示辐散，有利于天气系统 的消散。表示辐合、辐散的物理量为散 度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。 上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。 散度（divergence ）的运算法则： div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数) div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数) 旋度 设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy 的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即 rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k 式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。 行列式记号 旋度rot A 的表达式可以用行列式记号形式表示： 若 A=Ax·i+Ay·j ， 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导 近期观看了科幻大片《星际穿越》，影片中出现了虫洞、黑洞、第五维空间等一些星际概念，让人感觉宇宙中充满了奇妙的变换.宇宙的研究当然离不开数学，数学是一切自然科学之王，而数学中也充满了各种奇妙的、令人着迷的变换.三角变换就是其中之一，有些人认为三角学是古老的数学，应该弱化.但从现行高中数学教材来看，仍是对三角学比较重视，确实三角学属于经典数学中的知识，之所以经典有其原因所在，三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想，是开启学生数学智慧之门，引起学生数学探究欲望的良好素材. 数学变换方法有着深刻的哲学思想基础，这是因为辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化[1].由于数学变换方法充分体现了联系、运动、转化的观点，它对数学教育研究必然是有启发性的. 下面以“两角差的余弦公式”推导为例，从变换的视角赏析其生成方式. 1公式推导前奏――两锐角差的余弦公式 从学生认知特点的角度出发，从特殊到一般是比较符合学生认知规律的.所以一般可以考虑从两锐角差的余弦着手， 比如cos（45°-30°）=？有各种变换方法可以求出此三角函数值. 1.1数学动手实验中的变换 明代学者与军事家王守仁说：“知是行之始，行是知之成.”而陶行知老先生说：“行是知之始，知是行之成.”“墨辩”提出三种知识：亲知、闻知、说知.亲知是亲身得来的，就是从“行”中得来的，闻知是从旁人那儿得来的，或由师友口传，或由书本传达.说知是推想出来的知识.陶老先生拿“行是知之始”来说明知识之来源，并不是否认闻知和说知，乃是承认亲知为获取一切知识之根本.闻知与说知必须安根 于亲知里面方能发生效力.古今中外第一流的真知灼见无一 不是从“做”中得来，也就是说“教学”要以“做”为主. 浙江省高中数学特级教师冯寅老师也曾经强调“动手”与“动脑”图1并重的观点.我们可以尝试让学生在动手操作数学实验的过程中推导出两锐角差的余弦公式. （1）你能用这两块三角板（如图1）拼出哪些角度呢？ （2）你能用它们拼出15°的角吗？ （3）你能否利用所拼出的图形（如图2或如图3）求出cos15°的值呢？ （4）若将上面的45°和30°角分别改成锐角α和β，那么会有怎样的结论？cos（α-β）=？ 1.2物理学做功中的变换 MAXWELL方程组 向量场数量场 有源场无源场保守场（无旋场）有旋场（非保守场） 保守场=有势场=无旋场------环流等于零! 有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性! 3.含时磁场可以感生出电场 4.含时电场可以感生处磁场 上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处 （1）电位移的散度 == 该点处自由电荷的体密度； （2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。 （3）电场强度的旋度 == 该点处磁感强度变化率的负值； （4）磁场强度的旋度 == 该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和\ 把不明白的字母列举一下： E 是电场强度矢量 D 是电位移矢量（也叫电感应强度）应该还有一个电传导向量 E=D+? B 是磁感应强度矢量 H 是磁场强度矢量 H=B+? 其中内在的联系是： D=εE B=μH 注意上面这些大写字母都是矢量 物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分 ▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来） ·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的 第一个说的是，电场的源是电荷。＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。 第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。 第三个公式，也是看微分形式。这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。负号是方向。这是什么意思呢？它是说变化的磁场（含时磁场）能产生电场。这一个在日常生活中用的最多，发电厂就是用的这个发电的。 第四个公式，和上一个方程类似不过又有不同，这里除了变化的电场（含时电场）能产生磁外，还说恒定的电流也能产生磁场。＜j是电流的意思＞这一个也好理解，你想我们高中学的右手螺旋定则，其实就是用了这个。右手螺旋定则是由电流方向判断磁场方向，那么也就是说有电流就有磁场了。这个是帮助理解，其实是先有，麦克斯维再有右手螺旋定则的。 、 倒三角什么意思啊？我们一般把空间看成 X,Y,Z,的三维空间，这里的倒三角是对这，三个维度分别求导再相加的意思 梯度 1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。 向量场A，数量场u ▽称为汉密尔顿算子，▽·▽=▽2=△， 解三角形公式 1、内角和： 180=++C B A ； 1800,1800,1800<<<<< 梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下 的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有： 而 (5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度： 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1 三角形三角关系： A+B+C=180 ； C=180°— (A+B)； 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 梯度、散度和旋度 梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一 下的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X 度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有： 而 (5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度： 散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。 海伦－秦九韶公式 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 而公式里的p为半周长（周长的一半）： 注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s作为半周长，所以 和 两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√（1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2] =1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径）。 变形公式 （1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC （2）sinA：sinB：sinC=a：b：c （3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB （4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R （5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC 余弦定理 a^2=b^2+c2-2bcco s A b^2=a^2+c^2-2ac cos B c^2=a^2+b^2-2ab cos C 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 海伦-秦九韶公式 p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长） 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。 已知三条中线求面积 方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc， 则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ； 方法二：已知三边a，b，c ； 则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ； 两角差的余弦公式 教学目标 1．掌握两角差的余弦公式．(重点) 2．会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点) 3．两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点) [基础·初探] 教材整理两角差的余弦公式 阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题． cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β． (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.() (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．() (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．() (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.() 解：(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°. (2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α －β)＝cos α－cos β. (3)√.结论为两角差的余弦公式． (4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [小组合作型] 利用两角差的余弦公式化简求值 (1)cos 345°的值等于( ) A ．2－6 4 B ．6－24 C ．2＋64 D ．－2＋6 4 (2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A ．12 B ．3 2 C ． 3 D ． 2 (3)化简下列各式： ①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． (2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． ---- 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 第三章三角恒等变换 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1两角差的余弦公式 [A组学业达标] 1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于() A. 3 2B．－ 3 2 C. 1 2D．－ 1 2 解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos(180°－33°)＝cos 27°·cos 57°＋sin 27°cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝ 3 2.故 选A. 答案：A 2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于() A.1 2B．－ 1 2 C. 3 2D．－ 3 2 解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°) －(α＋15°)]＝cos(－60°)＝1 2. 答案：A 3．cos 555°的值是() A. 6 4＋ 2 4B．－ 6 4－ 2 4 C. 6 2－ 2 2 D. 2 2－ 6 2 解析：∵cos 555°＝cos 195°＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－ 2 2× 3 2－ 2 2 ×1 2＝－ 6＋2 4.故选B. 答案：B 4．若cos α＝117，cos(α＋β)＝－47 51，且α，β都是锐角，则cos β的值为( ) A ．－17 B.13 C.403867 D ．－403867 解析：∵β＝(α＋β)－α， 又∵cos α＝117，cos(α＋β)＝－47 51，α，β都是锐角， ∴α＋β是钝角，∴sin α＝ 12217，sin(α＋β)＝142 51. ∵cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， ∴cos β＝－4751×117＋14251×12217＝－47＋33651×17＝28951×17＝1 3. 答案：B 5．已知sin ? ????π6＋α＝35，π 3<α<5π6，则cos α的值是 ( ) A.3－4310 B.4－3310 C. 23－35 D. 3－235 解析：∵π3<α<5π6，∴π2<π 6＋α<π. ∴cos ? ?? ?? π6＋α＝－ 1－sin 2? ?? ?? π6＋α＝－45. ∴cos α＝cos ??????? ????π6＋α－π6＝cos ? ????π6＋αcos π6＋sin ? ???? π6＋α·sin π6＝－45×32＋35×12 ＝3－43 10. 答案：A 6．计算cos 45°·cos 15°＋sin 45°sin 15°＝________． 解析：cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos ()45°－15°＝cos 30°＝3 2. 答案：32(完整版)梯度、散度、旋度的关系
从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导
麦克斯韦方程中的梯度、散度、旋度
解三角形公式整理
梯度、散度和旋度
高中数学解三角形方法大全
(完整版)解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
余弦定理公式大全
梯度旋度散度Word版
解三角形公式
两角差的余弦公式
解三角形知识点归纳(附三角函数公式).doc
3.1.1 两角差的余弦公式
相关主题
文本预览