湛江市2014年普通高考测试题（一）
数学（文科）
参考公式：n 个数据123,,,,n x x x x 的平均数是x ，这组数据的方差2s 由以下公式计算：
2
22221231
[()()()()].n s x x x x x x x x n
=
-+-+-++-
一、选择题：
1．复数1i +的共轭复数是（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ． 1i -- 2．设函数()lg(1)f x x =-的定义域为A ，值域为B ，则A
B =（ ）
A ．(0,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,1)
D ．(,1)-∞
3．“3
π
α=
”是“sin 2
α=
”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 4．通过某雷达测速点的机动车的时速频率分布直方图如图所示， 则通过该测速点的机动车的时速超过60的概率是（ ） A ．0.038 B ．0.38 C ．0.028 D ．0.28
5．等差数列{}n a 中，2374,20a a a =+=，则8a =（ ）
A ．8
B ．12
C ．16
D ．24
6．运行如图的程序框图，若输出的结果是1320s =，则判断框中可填入（ ）
A ．10?k ≤
B ．10?k <
C ．9?k <
D ．8?k ≤ 7．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是（ ）
8．在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=（ ） A ．
6π B ． 3π C ． 23π D ． 56
π
9．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线430x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ． 450x y +-=
C ．430x y -+=
D ． 430x y ++=
10．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)-重合，则与点(5,8) 重合的点是（ ）
A ．(6,7)
B ．(7,6)
C ．(5,4)--
D ．(4,5)--
二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11．双曲线2
214
x y -=的焦点坐标是_____________ 。 12．不等式1
22
x
>
的解集是 ． 13．若关于
x y
、的不等式组50
02x y y a x -+≥??
≥??≤≤?
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ．
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C
的参数方程是x y α
α
?=??=??．（α为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos ρθ=， 则在曲线C 上到直线l
的点有_____________个。
15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径AB=4，C 为圆周上一点，AC=3，
CD 是⊙O 的切线，BD ⊥CD 于D ，则CD= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin(),(0,0,(0,))2
f x A x A π
ω?ω?=+>>∈．的部分图象如图所示，其
中点P 是图象的一个最高点。（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知(
,)2
π
απ∈且5sin 13
α=
，求()2f α
．
17．（本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量
超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税。检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）。
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120/x g km =乙。
（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是多少？ （2）求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性。 18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，△PAB 和△C AB 都是以AB 为斜边的等腰直角三角形，D 、E 、F 分别是PC 、AC 、BC 的中点。（1）证明：平面DEF //平面PAB ；（2）证明：AB ⊥PC ；
（3）若2AB PC ==P ABC -的体积．
19．（本小题满分14分）在正项等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，355a a +=且3a 和5a 的等比中项是2． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若212221
(log log log )n n b a a a n
=
+++，判断数列{}n b 的前n 项和n S 是
否存在最大值，若存在，求出使n S 最大时n 的值；若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分14分）已知顶点为原点O 的抛物线1C 的焦点F 与椭圆22
222:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点
重合1C 与2C 在第一和第四象限的交点分别为A 、B ．
（1）若△AOB 是边长为1C 的方程；（2）若AF OF ⊥，求椭圆2C 的离心率e ； （3）点P 为椭圆2C 上的任一点，若直线AP 、BP 分别与x 轴交于点(,0)M m 和(,0)N n ，证明：2
mn a =．
21．（本小题满分14分）已知2
1()ln(1),()(,)2
f x x
g x ax bx a b R =+=
+∈． （1）若2()(1)()b h x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； （2）若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立； （3）利用（2）的结论证明：若0,0x y >>，则ln ln ()ln 2
x y
x x y y x y ++>+。
湛江市2014年普通高考测试题（一） 数学(文科)参考答案及评分意见
一、选择题：1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.C 8.C 9.A 10.A
二、填空题：11.(, 12.{|1}x x >- 13.[5,7) 14.3 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16. （本小题满分12分）
解：(1)由函数最大值为2 ，得A =2 。………….1分，由图可得周期4[()]126
T ππ
π=--= ，………….2分 由
2π
πω
=，得2ω= 。…………….3分，又2,12
2
k k Z π
π
ω?π?
+=+
∈，及(0,)2π
?∈，………….4分
得3π
?=
。………….5分，()2sin(2)3
f x x π
∴
=+ 。…………….6分
（2）512
21313παπαα∈=-由（，），且sin =，得cos ，………….8分
()2sin(2)2(sin cos cos sin )22333
f ααπππ
αα∴=?+=+，………….10分，513
-=
．…………….12分 17. （本小题满分12分） 解：（1）从被检测5辆甲品牌的轻型汽车中取2辆，有10种不同二氧化碳排放量结果：（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）…. 2分，设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果： （80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）
∴ 7
()0.710
P A =
=。 答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率为0.7。……………. 6分 （2）由题可知，4801201205
x
x +=∴=乙，，解得 120x = 。………….7分，又120x =甲，………. 8分 ∴ 22222216005s ??=++++=??甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-120）， ∴ 22222214805
s ??=++++=??乙（100-120）（120-120）（120-120）（100-120）（160-120），…………11分 ∵ 22
120x x s s ==>甲乙乙甲，，
∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。…………12分 18.（本小题满分14分）
（1）证明：∵
E 、
F 分别是AC 、BC 的中点，∴ //.EF AB ………1分 ∵ ,,AB PAB EF PAB ??平面平面∴ //,//.EF PAB DF PAB 平面同理平面………2分
∵ ,,EF
DF F EF DEF DF DEF =??且平面平面……3分，
∴ //.DEF PAB 平面平面 ……4分
（2）证明：取AB 的中点G ，连结PG 、CG ， ∵ △PAB 和△CAB 都是以AB 为斜边的等腰直角三角形，
∴ ,,PG AB CG AB ⊥⊥∵ ,,,PG
CG G PG PCG CG PCG =??且平面平面
∴ .AB PCG ⊥平面…………6分，∵ ,PC PCG ?平面 ∴ .AB PC ⊥…………8分
（3）解：在等腰直角三角形PAB
中，AB ，G 是斜边AB 的中点，∴
1,22
PG AB ==
同理2CG =
。………10分， ∵
,2
PC =∴
△PCG 是等边三角形， ∴
11sin 60.22PCG
S
PG CG =????== …………12分 ∵ ,AB PCG ⊥平面∴
1
1.3
3P ABC PCG
V AB S -=??== …………14分 19. (本小题满分14分)
解：（1）依题意：354a a ?=，…………1分，又355a a += ，且公比(0,1)q ∈，解得 354,1a a ==。 ∴ 2
5311,42
a q q a =
==即，……3分，∴ 312
16a a q == ……4分，∴ 1151116()22n n n
n a a q ---=?=?= ……6分 （2）∵ 2log 5n a n =-，∴ (45)1
92(43(5))2
n n n
n b n n
n +--=
+++-==
…………8分 ∵当9n <时，0n b >，当9n =时，0n b =，当9n >时，0n b < ………10分 ∴ 12891011S S S S S S <<
<=>>>. ………12分，∴ n S 有最大值，此时8n =或9n =。………14分
20.（本小题满分14分）
解：（1）设椭圆的右焦点为(,0)F c ，依题意得抛物线的方程为24y cx = ………………………1分 ∵△A O B
是边长为点A
的坐标是，…………3分
代入抛物线的方程2
4y cx =解得14
c =
，故所求抛物线1C 的方程为2
y x = ……………4分 （2）∵AF OF ⊥, ∴ 点A 的横坐标是c ，代入椭圆方程解得2
b y a
=±，即点A 的坐标是2(,)b c a ………5分
∵ 点A 在抛物线2
4y cx =上，∴422
24,2b c b ac a
==即，……………6分
将222
b a
c =-代入上式整理得：2
()210c c
a
a
+?
-=，即2210e e +-=
，解得1e =-分 ∵ 01e <<，故所求椭圆2C
的离心率1e =。 …………………………8分
（3）证明：设112222(,),(,),(,)P x y A x y B x y -，代入椭圆方程得2222
1122
22221,1x y x y a b a b
+=+= ……9分
而直线PA 的方程为211112()()()()0x x y y x x y y --+--= …………………………10分 令0y =得211212x y x y m y y -=
-。……11分，在211212x y x y m y y -=-中，以2y -代换2y 得2112
12
x y x y n y y +=+ ………12分
∴ 2222
21122112211222
121212
x y x y x y x y x y x y mn y y y y y y +--=?=+--2
22
22
221122222212(1)(1)y y a y a y b b a y y ---==- ………14分 21. （本小题满分14分） 解：(1)当2b =时，()2
1ln 22
h x x ax x =-
-，∴1()2h x ax x '=--. …………1分
∵ ()h x 有单调减区间，∴()0h x '<有解，即2
120ax x
x
--<，∵
0x >，∴ 2210ax x +->有解…2分 （ⅰ）当0a ≥时符合题意；（ⅱ）当0a <时，△440a =+>，即1a >-。 ∴a 的取值范围是(1,)-+∞。……………4分
（2）当0,1a b ==时，设()()()ln(1)x f x g x x x ?=-=+-，∴ 1()111
x
x x x ?-'=-=++。………5分 ∵1x >-，讨论()x ?'的正负得下表：
…………………………6分
∴当0x =时()x ?有最大值0，即()0x ?≤恒成立。∴当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立。………8分 （3）∵0,0x y >>，∴ln ln ()ln
2x y x x y y x y ++-+(ln ln )(ln ln )22
x y x y
x x y y ++=-+-………10分 22ln
ln ln ln 22x y x y x y x y x y x y x y x y ++=+=--++ln(1)ln(1)22y x x y
x y x y
--=-+-+ ………12分 由（2）有ln(1)ln(1)02222y x x y y x x y
x y x y x y x y
-----+
-+>-?-?= ∴ln ln ()ln
2
x y
x x y y x y ++>+…………14分