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吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学2020届高三数学上学期第一次月考试题文

吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学2020届高三数学上学期第

一次月考试题 文

考试说明: 1.考试时间为120分钟,满分150分,选择题涂卡。

2.考试完毕交答题卡。

第Ⅰ卷

一、选择题(本题包括12个小题,每小题只有一个正确选项,每小题5分,共60分) 1.已知集合{|10}A x x =-≥,{0,1,2}B =,则A B =

A .{0}

B .{1}

C .{1,2}

D .{0,1,2}

2.若1

sin 3

α=,则cos2α= A .

89

B .

79

C .79

-

D .89

-

3.已知向量a

=(2,3),b =(3,2),则b a -=

A B .2 C .

D .50

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4.设a 、b 均为单位向量,则“b a b a +=-33”是“a ⊥b

”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2π]的零点个数为 A .2

B .3

C .4

D .5

6.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3= A .16

B .8

C .4

D .2

7.已知曲线e ln x

y a x x =+在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .a=e ,b=–1

B .a=e ,b=1

C .a=

e

1

,b=1 D .a=

e

1

,1b =- 8.设f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e 1x

-,则当x <0时,f (x )=

A .e 1x

--

B .e

1x

-+ C .e 1x ---

D .e

1x

--+

9.若x 1=

4π,x 2=4

3π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=

A .2

B .

32

C .1

D .

12

10.已知0.2

23log 7,log 8,0.3a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为

A.c b a <<

B.a b c <<

C.b c a <<

D.c a b <<

11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3f x f x -=-,在区间30,2

??????

上是增函数,且函数

()3y f x =-为奇函数,则

A. ()()()841331f f f <<-

B. ()()()318413f f f -<<

C. ()()()138431f f f <<-

D. ()()()311384f f f -<<

12.记不等式组6,

20

x y x y +≥??

-≥?表示的平面区域为D .命题:(,),29p x y D x y ?∈+≥;命题

:(,),212q x y D x y ?∈+≤.下面给出了四个命题 ①p q ∨

②p q ?∨

③p q ∧?

④p q ?∧?

这四个命题中,所有真命题的编号是

A .①③

B .①②

C .②③

D .③④

第Ⅱ卷

二、填空题(本题包括4个小题,共20分)

13.设向量a

=(4sin α,3),b

=(2,3cos α),且a

∥b

,则锐角α=_______ 14.设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________.

15. 已知函数())1f x x =+,()4f a =,则()f a -=________

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16.若ABC △222

)

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a c

b +-,且∠C 为钝角,则∠B =_________;

c a 的取值范围是_________.

三、解答题:(17题到21题每题12分,选考题10分,共70分) 17.在△ABC 中,a =3,–2b c =,cos B =1

2

-

(1)求b ,c 的值; (2)求sin (B +C )的值.

18.某食品工厂甲、乙两个车间包装某种饼干,在自动包装传递带上每隔15分钟抽取一袋饼干称其重量,测得数据如下(单位:g ) 甲:100, 96, 101, 96, 97 乙:103, 93, 100, 95, 99 (1)这是哪一种抽样方法?

(2)估计甲、乙两个车间的平均数与方差,并说明哪个车间的产品更稳定。

19.设{a n }是等差数列,a 1=–10,且a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列. (1)求{a n }的通项公式;

(2)记{a n }的前n 项和为S n ,求S n 的最小值.

20.如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点. (1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;

(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ?说明理由.

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21.已知函数()e ln 1x

f x a x =--.

(1)设2x =是()f x 的极值点,求a ,并求()f x 的单调区间; (2)证明:当1

e

a ≥时,()0f x ≥.

选考题(从22,23题中选择1题作答)

22(4-4).在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为???

????+=-

=t y t x 22522

3 (t 为参数).在以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆C 的方程为 ρ=25sin θ.

(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;

(2)若点P 坐标为()

5,3,圆C 与直线l 交于A ,B 两点,求|PA |+|PB |的值.

23(4-5).设函数()5|||2|f x x a x =-+--. (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围.

文科数学答案

1. C

2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.A 11.B 12.A 1

3. 30 1

4.63n

a n =- 15.2- 16.60(2,)?+∞

17.解:(1)由余弦定理2

222cos b

a c ac B =+-,得

2221

323()2

b c c =+-???-.

因为2b c =+,

所以2221(2)323()2

c c c +=+-???-. 解得5c =. 所以7b =.

(2)由1

cos 2

B =-

得sin B =.

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由正弦定理得sin sin a A B b =

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=. 在ABC △中,B C A +=π-.

所以sin()sin 14

B C A +==

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. 18.(1)系统抽样(2)甲车间的产品更稳定 试题解析:(1)系统抽样 (2),甲98X =,乙98X =

,)(甲5221232251S 222222=++++= ,

)(乙5

64

1325551S 222222=++++= 故乙甲

22S S

< , 所以甲车间的产品更稳定。

19.解:(1)设{}n a 的公差为d . 因为110a =-,

所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+. 因为23410,8,6a a a +++成等比数列, 所以()()()2

3248106a a a +=++.

所以2

(22)(43)d d d -+=-+. 解得2d =.

所以1(1) 212n a a n d n =+-=-. (2)由(Ⅰ)知,212n a n =-.

所以,当7n ≥时,0n a >;当6n ≤时,0n a ≤. 所以,n S 的最小值为630S =-.

20.解:(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .

因为BC ⊥CD ,BC ?平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM . 因为M 为CD 上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ?平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时,MC ∥平面PBD .

证明如下:连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 中点. 连结OP ,因为P 为AM 中点,所以MC ∥OP .

MC ?平面PBD ,OP ?平面PBD ,所以MC ∥平面PBD .

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21.解:(1)f (x )的定义域为(0)+∞,

,f ′(x )=a e x

–1

x

. 由题设知,f ′(2)=0,所以a =2

1

2e . 从而f (x )=

21e ln 12e x x --,f ′(x )=211e 2e x x

-. 当02时,f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.

(2)当a ≥1e 时,f (x )≥e ln 1e

x

x --.

设g (x )=e ln 1e x x --,则e 1

()e x g x x

'=-.

当01时,g ′(x )>0.所以x =1是g (x )的最小值点. 故当x >0时,g (x )≥g (1)=0. 因此,当

1

e a ≥

时,()0f x ≥.

22.(1)由得直线l 的普通方程为x +y -3-

=0.

又由ρ=2

sin θ,得圆C 的直角坐标方程为x 2

+y 2

-2

y =0,即x 2+(y -

)2

=5.

(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得(3-t )2+(

t )2=5,即t 2-3t

+4=0.由于Δ=(3)2

-4×4-2>0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实数根,所以t 1+t 2=

3

,t 1·t 2=4.又直线l 过点P (3,

),A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,所以|PA |+

|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3.

23.解:

(1)当1a =时,

24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??

=-<≤??-+>?

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤

≤.

(2)()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥.

而|||2||2|x a x a ++-≥+,且当2x =时等号成立.故()1f x ≤等价于|2|4a +≥. 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥,所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞.