电磁场与电磁波答案
第一章 题 解
《就是它，不要再找了，赶紧下载吧！》
1-1 已知三个矢量分别为
z
y e e e A x 32-+=；
z
y e e e B x 23++=；
z
e e C x -=2。试求①
|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ?；④B A ?；⑤C B A ??)(及B C A ??)(；⑥B C A ??)(及C B A ??)(。
解 ①
()14
3212
22222=-++=++=
z y x A A A A
1421322222
2=++=++=z y x B B B B ()5
1022
22222=-++=++=z y x C C C C
②
()z y e e e A A A e x a 3214
1
14-+=
==
()z y e e e B B B e x b 23141
14++=
==
()z e e C C C e x c -=
==
25
1
5
③
1
623-=-+=++=?z z y y x x B A B A B A B A
④
z y z
y z
y
x
z y x
z y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x
51172
1
3
321
--=-==?
⑤
()z
y z y e e e e e e C B A x x 223111
2
5117+-=---=
??
因
z y z
y z
y
x
z y x
C C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x
4521
2
321
---=--==?
则
()z
y z y e e e e e e B C A x x 13862
1
3
452
+--=---=??
⑥
()()()152131532=?+?-+?-=??B C A
()()()1915027=-?-++?=??C B A 。
1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为α，位置矢量B 与X 轴的夹角为β，试证
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为
ααsin cos A A y e e A x += β
βsin cos B B y e e B x += 已知
()
βα-=?cos B A B A ，求得
()B
A B A B A β
αβαβαsin sin cos cos cos +=
-
即
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P
，)3 ,1 ,4(2-P 及)
5 ,2 ,6(3P 。试问：①该三角形
是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为
z
y e e P 21-=；
z
y x e e e P 342-+=；
z
y x e e e P 5263++=
那么，由顶点P 1指向P 2的边矢量为
z
e e P P x -=-412
同理，由顶点P 2指向P 3的边矢量由顶点P 3指向P 1的边矢量分别为
z
y e e e P P x 8223++=-
z
y e e e P P x 7631---=-
因两个边矢量0
)()(2312=-?-P P P P ，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。
因
17
142212=+=-P P
69
81222223=++=-P P ，
所以三角形的面积为
11735.021
2312=--=
P P P P S
1-4 已知矢量
x
y y e e A x +=，两点P 1及P 2的坐标位置分别为)1 ,1 ,2(1-P 及)1 ,2 ,8(2-P 。若取P 1
及P 2之间的抛物线2
2y x =或直线21P P 为积分路径，试求线积分??1
2 d p p l A 。
解 ①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为2
2y x =, y y x d 4d =，则
()()
14
2d 6d 2d 4d d d 12
3
2221
2
1
2
12
1
2
-===+=+=?????
y y y y y y y y x x y P P P P P P P P l A ②积分路线
为直线。因1P ,2P 两点位于1-=z 平面内，过1P ,2P 两点的直线方程为
()2281
21---=
-x y ，即
46+=x y ，y x d 6d =，则
()()
14
412d 46d 6d 12
21
2
1
2
-=-=-+=???
y
y y y y y P P P P l A 。
1-5 设标量32yz xy +=Φ，矢量z y e e e A x -+=22，试求标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的
方向上的方向导数。
解 已知梯度
2223)2(yz z xy y z y x z y x z y x
e e e e e e +++=??+??+??=?Φ
ΦΦΦ
那么，在点)1 ,1 ,2(-处Φ 的梯度为
z
y x e e e 33--=?Φ
因此，标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数为
()()1
3622233-=+-=-+?--=??z y x z y x e e e e e e A Φ
1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。 证明 式（1-5-11）为()ΦψψΦΦψ?+?=?，该式左边为
()()()()ΦψΦψΦψΦψz y x z y ??+??+??
=?e e e x
??? ????+??+???
? ????+??+???
????+??=z z y y x x
z
y ψΦΦ
ψψΦΦψψΦ
Φ
ψe e e x ????
????+??+??+???? ????+??+??=z y x z y x z y z y ψψψΦΦΦΦψe e e e e e x x
ΦψψΦ?+?=
即，
()ΦψψΦΦψ?+?=?。
根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。
1-7 已知标量函数
z e y x -??? ??
??? ?
?
=3sin 2sin
ππΦ，试求该标量函数Φ 在点P (1,2,3)处的最大变化率及其
方向。
解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数Φ的梯度为
z y x z y ??+??+??=?Φ
ΦΦΦe e e x
那么
z y z e y x e y x --??? ????? ??+??? ????? ??
=?3cos 2sin 33sin 2cos 2ππππππΦe e x
z
z e y x -??? ????? ?
?-3sin 2sin ππe 将点P (1,2,3) 的坐标代入，得
()3
3236
----=?e e z
y P e e πΦ。那么，在P 点的最大变化率为
276
236
23
33
+=--=?---ππ
Φ
e e e
z
y
P
e e
P 点最大变化率方向的方向余弦为
0cos =α；
27cos 2+-
=ππβ；
2727
cos 2+-
=πγ
1-8 若标量函数为
z y x xy z y x 62332222--++++=Φ
试求在)1 ,2 ,1(-P 点处的梯度。
解 已知梯度
z y x z y ??+??+??=?ΦΦΦΦe e e x
，将标量函数Φ代入得
()()()
662432-+-++++=?z x y y x z y e e e x Φ
再将P 点的坐标代入，求得标量函数Φ 在P 点处的梯度为
()y P e e x 93-=?Φ
1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。
证明 式（1-6-11）为()A A ??=??C C ，该式左边为
()()()()A A ??=???? ????+??+??=??+??+??
=
??C z A y A x A C CA z CA y CA x C z y x z y x 即
()A A ??=??C C
式（1-6-12）为()ΦΦΦ??+??=??A A A ，该式左边为
()()()()z y x A z A y A x ΦΦΦΦ??+??+??
=
??A
z A z A y A y A x A x A z
z y y x x ??+??+??+??+??+??=ΦΦ
ΦΦΦΦ
ΦΦ??+??=A A ；
即
()ΦΦΦ??+??=??A A A
1-10 试求距离||21r r -在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。 解 在直角坐标系中
()()()21221221221z z y y x x -+-+-=
-r r
在圆柱坐标系中，已知φcos r x =，φsin r y =，z z =，因此
()()()212211222112221sin sin cos cos z z r r r r -+-+-=
-φφφφr r
()()2
1212122122cos 2z z r r r r -+--+=φφ
在球坐标系中，已知φθcos sin r x =,φθsin sin r y =,θcos r z =,因此 ()()()2
11222111222211122221cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin θθφθφθφθφθr r r r r r -+-+-=
-r r
()[]121212122122c o s c o s c o s s i n s i n 2θθφφθθ+--+=r r r r
1-11 已知两个位置矢量1r 及2r 的终点坐标分别为),,(111φθr 及),,(222φθr ，试证1r 与2r 之间的夹角
γ为
212121cos cos )cos(sin sin cos θθφφθθγ+-=
证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为
1
11111111cos sin sin cos sin θφθφθr r r z y x e e e r ++= 2
22222222cos sin sin cos sin θφθφθr r r z y x e e e r ++=
已知两个矢量的标积为
γ
cos 2121r r r r =?，这里γ为两个矢量的夹角。因此夹角γ为
2
12
1cos r r r r ?=
γ
式中
)
cos cos sin sin sin sin cos sin cos (sin 21221122112121θθφθφθφθφθ++=?r r r r
2
121r r =r r
因此，
2
1212121212121cos cos )cos(sin sin cos cos )sin sin cos (cos sin sin cos θθφφθθθθφφφφθθγ+-=++=
1-12试求分别满足方程式()0)(1=??r r f 及()0)(2=??r r f 的函数)(1r f 及)(2r f 。 解 在球坐标系中，为了满足
()[]()[]()()()0
311111=+??=??+??=??r f r r f r
r f r f r f r r r
即要求()()0
3d d 11=+r f r r f r ()()r r r f r f d 3d 11-=?，求得
()C r r f ln ln 3ln 1+-=
即
()31r C
r f =
在球坐标系中，为了满足
()[]()[]()0222=??+??=??r r r r f r f r f
由于()[]02=??r r f ，0=??r ，即上式恒为零。故()r f 2可以 是r 的任意函数。
1-13 试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。
证明 ①式（1-7-11）为()A A ??=??C C （C 为常数）
令
z
y x e e e A z y x A A A ++=，
z
z y y x x CA CA CA C e e e A ++=，则
()A e e e e e e A ??=??
????=??????
=
??C A A A z y x C CA CA CA z y x C z
y x z y
x z y x z y x
②式（1-7-12）为()A A A ??+??=??ΦΦΦ 令
z
y x e e e A z y x A A A ++=，
z
z y y x x A A A e e e A ΦΦΦΦ++=，则
()()()x
y z z
y x z
y x A z A y A A A z y x e e e e A ????????
-??=??????=??ΦΦΦΦΦΦ
()()()()z
x y y x z A y A x A z A x e e ????????-??+???
?????-??-ΦΦΦΦ
z
x y y x z x y z A y A x A z A x A z A y e e e ???? ????-??+??? ????-??-???? ????-??=ΦΦΦΦ
ΦΦ
z x y y x z x y z y A x A z A x A z A y A e e e ???? ????-??+???
????-??-???? ????-??+ΦΦΦ A A ??+??=ΦΦ
若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。
1-14 试证 0=??r ，0=???
????r r 及0
3=??? ????r r 。
证明 已知在球坐标系中，矢量A 的旋度为
φ
θ
φθθφθθθA r rA A r r r r r r
sin sin sin 2??????
=
??e e e A
对于矢量r ，因r A r =，0=θA ，0
=φA ，代入上式，且
因r 与角度θ，φ无关，那么，由上式获知0=??r 。
对于矢量r r ，因1=r A ，0=θA ，0=φA ，显然0
=??? ????r r 。
对于矢量3
r r
，因21r A r =，0=θA ，0=φA ，同理获知 0
3=???
????r r 。
1-15 若C 为常数，A 及k 为常矢量，试证： ① r k r
k k ??=?c c e C e
； ② r
k r k A k A ???=??c c e C e )(；
③ r k r k A k A ???=??c c e C e )(。
证明
①证明r k r
k k ??=?C C e C e
。
利用公式()()ΦΦΦ?'
=?F F ，则
()()r k r k r k r k r k ??=??=????C C C Ce C e e
而
()()k
e e e r k =++=++?=??z z y y x x z y x k k k z k y k x k
求得
r k r k k ??=?C C e C e 。
②证明()
r
k r k A k A ???=??C C e C e 。
利用公式()ΦΦΦ??+??=??A A A ，则
()()()
r k r k r k r k A A A A ??????=??+??=??C C C C e e e e
再利用①的结果，则 ()
r
k r k A k A ???=??C C e C e ③证明()
r
k r k A k A ???=??C C e C e 。
利用公式()A A A ??+??=??ΦΦΦ，则
()()()
A A A A r k r k r k r k ??=??+??=??????C C C C e e e e
再利用①的结果，则 ()
r
k r k A k A ???=??C C e C e 。
1-16 试证 r e k r e kr
kr --=???? ???22
，式中k 为常数。
证明 已知在球坐标系中
22222222
sin 1sin sin 11φΦ
θθΦθθθΦΦ??+
??? ??????+??? ??????=?r r r r r r
则
?????????? ??????=???? ???--r e r r r r r e kr kr 222
1????????? ?
?--??=--kr kr e r k e r r r r 22211
()kr kr kre e r r ----??=21()()()[]
kr
kr e
k kr e k r
---+---=112r e k kr
-=2 即
r e k r e kr
kr --=???? ???22
1-17 试证 2
||21
)()(E E E E E ?-??=???
证明 利用公式
()()()()()A B B A A B B A B A ???+???+??+??=??
令上式中的E B A ==，则
()()()()E
E E E E E E E E ???-??=???+??=?22222
将上式整理后，即得
()()2
2
1E E E E E ?-??=???。
1-18 已知矢量场F 的散度)(r F δq =??，旋度0=??F ，试求该矢量场。 解 根据亥姆霍兹定理，()()()r A r r F ??+-?=Φ，其中
()()V ΦV '
'-'??'=
?'d 41
r r r F r π
；
()()V V '
'-'??'=
?'d 41r r r F r A π
当0=??F 时，则()0=r A ，即()()r r F Φ-?=。那么因()r F δq =??，求得
()()r
q
V q ΦV πδπ
4d 41=''-'=
?'r r r r
则
()()r
r q Φe r r F 24π=
-?=
1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为?
??
??3 ,32 ,4π，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中
的位置。
解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
φcos r x =，φsin r y =，z z =
因此，该点在直角坐标下的位置为
23
2cos 4-=???
??=πx ;
3232sin 4=???
??=πy ;
z = 3
同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，
2
22z y x r ++=；z y x 22arctan +=θ；
x y
arctan =φ 可得该点在球坐标下的位置为
5=r ；
533
4
arctan ≈=θ；
120=φ
1-20 已知直角坐标系中的矢量
z
y c b a e e e A x ++=，式中a , b , c 均为常数，A 是常矢量吗？试求该
矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解 由于A 的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
2
2y x r +=；
x y arctan
=φ；
z z =
求得
22b a r +=；
a b arctan
=φ；
c z =
22sin b a b +=
φ；
22cos b a a +=
φ
又知矢量A 在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
??
????????????????
??-=??????????z y x z r A A A A A A 10
0cos sin 0sin cos φφφφφ
将上述结果代入，求得
????????????+=????????????
?????
?????
??
???
?
++-++=??????????c b a c b a b a a b a b b a b b
a a A A A z r 010
0022222
22
22
2φ
即该矢量在圆柱坐标下的表达式为
c b a z r e e A ++=22
直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为
222z y x r ++=；?
???
?
?+=z y x 2
2arctan θ；
???
??=x y arctan φ 由此求得
222c b a r ++=；????
??+=c b a 2
2arctan θ；???
??=a b arctan φ
矢量A 在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
??
?
?
?
???????????
??
??--=??????????z y x r A A A A A A 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φ
φ
θφθφθθφθφ
θφθ
求得
??????
??????++=????????????????
??
??--=??????????000cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 222c b a c b a A A A r φ
φ
θφθφθθφθφ
θφθ
即该矢量在球坐标下的表达式为 222c b a r ++=e A 。
1-21 已知圆柱坐标系中的矢量
z
r c b a e e e A ++=φ，式中a , b , c 均为常数，A 是常矢量吗？试求
A ??及A ??以及A 在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解 因为虽然a , b , c 均为常数，但是单位矢量e r 和e φ均为变矢，所以A 不是常矢量。 已知圆柱坐标系中，矢量A 的散度为
()z A A r rA r r z
r ??+??+??
=
??φφ11A
将
z
r c b a e e e A ++=φ代入，得
()r a ar r r =++??
=
??001A
矢量A 的旋度为
z
r
z
r
A rA A z
r r
r ?
φφ??????
=
??e e e A z z r r b c
rb
a z r r r e e e e =????
??=φφ
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
φcos r x =; φsin r y =;
z z =
a
x
y x x =
+=
2
2cos φ;
a
y y x y =
+=
2
2sin φ
又知矢量A 在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
??
??
????????????????-=??????????z r z y x A A A A A A φφφφφ10
0cos sin 0sin cos
将上述接结果代入，得
???
?????
?????
??
???+-=??????????????????
??
?????
?-=??????????c x a b y y a b x c b
a a x a y a y
a x
A A A z y x 10
000
即该矢量在直角坐标下的表达式为
z
y x c x a b y y a b x e e e A +??? ??
++??? ??-=，其中222a y x =+。
矢量A 在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
??
?
??
???????????????-=??????????z r r A A A A A A φφθθθθθ
010
sin 0cos cos 0
sin 以及
r a =
θsin ，r c
=θcos ，求得
??
??
?
?????=????????
?????
???+=????????????????????
?????
?-=??????????b r b r c a c b a r a r c r c r a
A A A r 0001000
22φθ 即该矢量在球坐标下的表达式为φ
e e A b r r +=。
1-22 已知圆球坐标系中矢量
φ
θe e e A c b a r ++=，式中a , b , c 均为常数，A 是常矢量吗？试求A
??及A ??，以及A 在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。
解 因为虽然a , b , c 均为常数，但是单位矢量e r ，e θ，e φ均为变矢，所以A 不是常矢量。 在球坐标系中，矢量A 的散度为
()()???? ?
???+??+??=
??φθ
θθθφ
θ
A r A r A r r r r sin 1
sin sin 1122A
将矢量A 的各个分量代入，求得θcot 2r b
r a +=
??A 。
矢量A 的旋度为
φ
θ
φθθφθθθA r rA A r r r r r r
sin sin sin 2??????
=
??e e e A
φ
φ
θθφθθθe e e e r b
c
r rb
a r r r r r =??????=
sin sin sin 2
利用矢量A 在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
??
??
?
???????????
??
??--=??????????φθθ
θ
φφθφθφφθφθA A A A A A r z y x 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin
以及????
??
?
+=+=2222sin cos y x y y x x φφ，???????=
++=+=+++=a z z y x z a y x z y x y x 2222222222cos sin θθ，求得该矢量在直角坐标下的表达式
为
z y
x
a y x
b z y x cx
y x a byz y y x cy
y x a bxz x e e e A ???
? ??+-
+????
??+++++???? ?
?+-
++=2222222222
利用矢量A 在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
?????
?????????-+=?????????????????
??
?????-=????????????????????-=??????????r a b z c z a b r c b a a
r a
z a z
a r
A A A A A A r z r 0100
00sin cos 1000cos sin φθφθ
θ
θθ
求得其在圆柱坐标下的表达式为
z
r r a b z c z a b r e e e A ??? ?
?
-++??? ??+=φ。 1-23 若标量函数z xy z y x 2
1),,(=Φ，??Φsin ),,(2rz z x =，23sin ),,(r r θ
?θΦ=
，试求12
Φ?，
22Φ?及32
Φ?。
解 xz xz z y x 202021
22
1221212
=++=??+??+??=?ΦΦΦΦ
2
2
22222222
11z r r r r r ??+???? ????+??? ??????=?ΦφΦΦΦ
()()0sin 1sin 12=-+??
=
φφrz r rz r r
????
????+??? ??????+??? ??????=?2322
23232232
sin 1sin sin 11φΦθ
θΦθθθΦΦr r r r r r
0cos sin sin 1sin 2122322+???
????+??? ??-??=
r r r r r r θθθθθ
θθθθθsin 1sin sin cos sin 244224r r r =
-+=
1-24 若 z
y y x z x z xy z y x e e e A x 22332),,(++=
???sin cos ),,(32r e e A z r r z r +=
θθθ?θφθ
cos 1
sin 1sin ),,(2r r r r r e e e A ++=
试求A ??，A ??及A 2
?。
解 ①3
23200z y z y z A y A x A z
y x =++=??+??+??=??A ；
2
2332y x z x z xy z y x A A A z y x z y x z y x z y x
??????=??????
=
??e e e e e e A
()()()z
y x xyz z x xy z xy x y x e e e 322223223232-+-+-=；
z
z y y x x A A A 2222?+?+?=?e e e A
()()z
y x x y xz z xy xz e e e 222322662++++=；
②
()z A A r rA r r z r ??+??+??
=
??φφ11A ()φφcos 30cos 13r r r r =+??=
φ
φ
φφφ?
φsin 0
cos 22r r z r r r A rA A z r r r z r z r
z r ??????=??????
=
??e e e e e e A
()()()
φφφφφφφφsin sin 2cos sin sin 2cos 22r r r r r r r r z r z r e e e e
e e +-=+-+=
z z r r r r A A r r A A A r r A A 2
222222222?+???? ?
???+-?+???? ????--?=?e e e A φφφφφφ
φ
φφφsin 3sin 2cos 2z r e e e +-=；
（此处利用了习题26中的公式）
③
()()???? ?
???+??+??=
??φθ
θθθφ
θ
A r A r A r r r r sin 1
sin sin 1122A
()()
0sin sin 1sin 12
132
+??+??=
-θθθθr r r r r
2cos 2sin 3r θ
θ+
=；
θ
θθ
θ
φθθθθφθθθφ
θ
φθφ
θcos sin sin sin sin sin sin sin sin 122-??????
=??????
=
??r r r r r r A r rA A r r r r r
r r e e e e e e A
???
??--+??? ??+??? ??-=θθθθφθcos sin cos 2sin 2
33r r r r e e e
???
?
?+-+-=233sin cos cos 2sin r r r r
θθθθφθe e e ；
()?
???????-??
--?=?φθθθθφθA r A r A r A r r r sin 2sin sin 2222222e A ?
??
?????-??+-?+φθθθθφθθθA r A r r A A r 222222sin cos 22sin e ?
??
?????+??+-?+φθθφθθθφφφA r A r r A A r 222222sin cos 2sin 2sin e
将矢量A 的各个坐标分量代入上式，求得
θθθθθθθφθ24332sin cos sin 2cos 2cos 4sin 2cos r r r r r r e e e A -??
?
???-+??????-=? 1-25 若矢量21 ,cos 32<<=r r r ?
e A ，试求???V V d A ，式中V 为A 所在的区域。
解 在球坐标系中，
φθθd d d sin d 2
r r V =， ()()???? ?
???+??+??=
??φθ
θθθφ
θ
A r A r A r r r r sin 1
sin sin 1122A
将矢量A 的坐标分量代入，求得
?????-=???? ??-=??ππθφθφφ200212
42
42d sin cos d d d cos d r r r V r V V V A
??
-=π
π
θθφφ20
2d sin 2cos d ?-=-=π
π
φφ202d cos
1-26 试求
?
?S
r d )sin 3(S
e θ，式中S 为球心位于原点，半径为5的球面。
解 利用高斯定理，
V V
S
d d ????=?A S A ，则
V V
S
d d ????=?A S A ???=π
πθθθφ2005
2
d sin sin 6d d r
r r
275π=
2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷
q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。
解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''=21。那么，由
122
2
022
1
01244r r r q q r q q =?'=
'πεπε，同时考虑到
d r r =+21，求得
d r d r 3
2 ,3121==
可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距d 3
1
。
2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及
位置分别为：
)
0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场
强度。
解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，
32=r ，23=r 。
利用点电荷的场强公式r e E 2
04r
q πε=，其中r e 为点电荷q 指向场点P 的单位矢
量。那么，
1q 在P 点的场强大小为0
2
1
011814πεπε=
=
r q E ，方向为()z y
r e e
e +-
=2
11。
2q 在P 点的场强大小为022
022121
4πεπε=
=
r q E ，方向为()z y x r e e e e ++-
=3
12。 3q 在P 点的场强大小为0
23
033414πεπε=
=
r q E ，方向为y r e e -=3
则P 点的合成电场强度为
??
???????? ??++???? ??+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε
2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。
解 令点电荷q -位于坐标原点，r 为点电荷q -至场点P 的距离。再令点电荷
q +位于+z 坐标轴上，1r 为点电荷q +至场点P 的距离。两个点电荷相距为l ，场点P 的坐标为（r,θ,φ）。
根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为
???? ??-=
311304r r
q r r E πε 考虑到r >> l ，1r e = e r ，θcos 1l r r -=，那么上式变为
r r
r r r r r r q r r r r q e e E ???
?
??+-=???? ??-=2121102122210))((44πεπε 式中
()
2
122
2
1
221
1cos 211cos 2-
--???
? ??-+=-+=θθr l
r l r rl l r r
以
r
l
为变量，并将2
1
22
cos 21-???
? ??-+θr l r l 在零点作泰勒展开。由于r l <<，略去高阶项后，得
θθcos 1cos 1121
1r
l r r l r r +=??? ??+=-
利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为
θ
r e e E 3030204sin 2cos 1cos 14r ql r
ql r r l r q πεθπεθ
θπε+=????????? ???-??? ??+?-=
2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-?C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为6102-?C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。
解 根据叠加原理，P 点的合成电位为
()V 105.24260?=?
=r
q πε?
因此，将电量为C 1026-?的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ?
2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。
解 建立圆柱坐标系。 令先电 轴对称，场强与φ荷沿z 轴放置，由于结构以z 无关。为了简单起见，令场点位于yz 平面。
设线电荷的长度为L ，密度为
l ρ，线电荷的中点位于坐标原
点，场点P 的坐标为??
?
??z r ,2,π。
利用电位叠加原理，求得场点
P 的电位为
?
-=22
d 4L L l
r l περ? 式中()220r l z r +-=
。故
习题图2-4
y
习题图2-5
()2
2
2
2
22
2202222ln 4 ln 4r L z L z r L z L z r l z l z l
L
L
l
+??? ?
?
-+-+??? ??
+++=
?
??
?
??+-+--
=-περπερ?
因?-?=E ，可知电场强度的z 分量为
22
2
2
02222ln 4r L z L z r L z L z z
z E l z +??? ?
?
-+-
+??? ??
+++??-=??-
=περ?
???????
?
??
+??? ??--
+??? ??+-=2
222021
214r L z r L z l περ ???
???
?
?
????? ??-+-
??? ??++-=220211
2114r L z r L z r l περ ()()???
?
?
?-+-
++-=222
20224L z r r L z r r r l περ ()120sin sin 4θθπερ-=
r
l
电场强度的r 分量为
22
2
2
02222ln 4r L z L z r L z L z r
r E l r +??? ?
?
-+-
+??? ??
+++??-=??-
=περ?
一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e
A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。
4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程
6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。
第一章 矢量分析 第一章 题 解 1-1 已知三个矢量分别为 z y e e e A x 32-+=； z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。试求①|| |,| |,|C B A ；②单 位矢量c b a e e e , ,；③B A ?；④B A ?；⑤C B A ??)(及 B C A ??)(；⑥B C A ??)(及C B A ??)(。 解 ① ()143212 22222=-++=++= z y x A A A A 1421322222 2=++=++=z y x B B B B ()51022 22222=-++=++=z y x C C C C ② ()z y e e e A A A e x a 32141 14-+= == ()z y e e e B B B e x b 23141 14++= == ()z e e C C C e x c -= == 25 1 5 ③ 1623-=-+=++=?z z y y x x B A B A B A B A ④ z y z y z y x z y x z y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x 51172 1 3 321 --=-==? ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x 22311102 5117 +-=---=?? 因 z y z y z y x z y x C C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x 4521 2 321---=--==?
则 ()z y z y e e e e e e B C A x x 13862 1 3 452 +--=---=?? ⑥ ()()()152131532=?+?-+?-=??B C A ()()()1915027=-?-++?=??C B A 。 1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为α，位置矢量B 与X 轴的夹角为β，试证 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为 ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x += 已知()βα-=?cos B A B A ，求得 ()B A B A B A β αβαβαsin sin cos cos cos += - 即 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ， )3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。试问：①该三角形是否是直角三 角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为 z y e e P 21-=； z y x e e e P 342-+=； z y x e e e P 5263++= 那么，由顶点P 1指向P 2的边矢量为 z e e P P x -=-412 同理，由顶点P 2指向P 3的边矢量由顶点P 3指向P 1的边矢量分别为 z y e e e P P x 8223++=- z y e e e P P x 7631---=-
第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。
电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量—
《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件
第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。
8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。
1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通 量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????===??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 1. 在直角坐标系证明0A ????= 2.
2009——2010学年第一学期期末考试 ?电磁场与微波技术?试卷A 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分) 1. 静电场是( ) A. 无散场 B. 旋涡场 C.无旋场 D. 既是有散场又是旋涡场 2. 已知(23)()(22)x y z D x y e x y e y x e =-+-+- ，如已知电介质的介电常数为0ε，则自由电荷密度ρ为( ) A. B. 1/ C. 1 D. 0 3. 磁场的标量位函数的单位是( ) A. V/m B. A C. A/m D. Wb 4. 导体在静电平衡下，其内部电场强度( ) A.为零 B.为常数 C.不为零 D.不确定 5. 磁介质在外部磁场作用下，磁化介质出现( ) A. 自由电流 B. 磁化电流 C. 传导电流 D. 磁偶极子 6. 磁感应强度与磁场强度的一般关系为( ) A.H B μ= B.0H B μ= C.B H μ= D.0B H μ= 7. 极化强度与电场强度成正比的电介质称为( )介质。 A.各向同性 B. 均匀 C.线性 D.可极化 8. 均匀导电媒质的电导率不随( )变化。 A.电流密度 B.空间位置 C.时间 D.温度 9. 磁场能量密度等于( ) A. E D B. B H C. 21E D D. 2 1B H 10. 镜像法中的镜像电荷是( )的等效电荷。 A.感应电荷 B.原电荷 C. 原电荷和感应电荷 D. 不确定 二、填空题(每空2分，共20分) 1. 电场强度可表示为_______的负梯度。 2. 体分布电荷在场点r 处产生的电位为_______。 0ε0ε
第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+
1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 ,,0,D B H J E B D t t ρ????=+??=-??=??=??v v v v v v v ，(3分)（表明了电磁场和它们的源之 间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=v v g 、20n E ?=v v 、2s n H J ?=v v v 、20n B =v v g ) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=v v v ；动态矢量位A E t ??=-?-?v v 或A E t ??+=-??v v 。库仑规范 与洛仑兹规范的作用都是限制A v 的散度，从而使A v 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=???v v ò 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择
《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。
16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布
第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??=
2010-2011-2学期《电磁场与电磁波》课程 考试试卷参考答案及评分标准 命题教师：李学军 审题教师：米燕 一、判断题（10分）（每题1分） 1. 旋度就是任意方向的环量密度 （ × ） 2. 某一方向的的方向导数是描述标量场沿该方向的变化情况 （ √ ） 3. 点电荷仅仅指直径非常小的带电体 （ × ） 4. 静电场中介质的相对介电常数总是大于 1 （ √ ） 5. 静电场的电场力只能通过库仑定律进行计算 （ × ） 6. 理想介质和导电媒质都是色散媒质 （ × ） 7. 均匀平面电磁波在无耗媒质里电场强度和磁场强度保持同相位 （ √ ） 8. 复坡印廷矢量的模值是通过单位面积上的电磁功率 （ × ） 9. 在真空中电磁波的群速与相速的大小总是相同的 （ √ ） 10 趋肤深度是电磁波进入导体后能量衰减为零所能够达到的深度 （ × ） 二、选择填空（10分） 1. 已知标量场u 的梯度为G ，则u 沿l 方向的方向导数为（ B ）。 A. G l ? B. 0G l ? C. G l ? 2. 半径为a 导体球，带电量为Q ，球外套有外半径为b ，介电常数为ε的同心介质球壳，壳外是空气，则介质球壳内的电场强度E 等于（ C ）。 A. 24Q r π B. 2 04Q r πε C. 24Q r πε 3. 一个半径为a 的均匀带电圆柱(无限长)的电荷密度是ρ，则圆柱体内的电场强度E 为 （ C ）。 A. 2 2a E r ρε= B. 202r E a ρε= C. 02r E ρε= 4. 半径为a 的无限长直导线，载有电流I ，则导体内的磁感应强度B 为（ C ）。 A. 02I r μπ B. 02Ir a μπ C. 022Ir a μπ 5. 已知复数场矢量0x e E =E ，则其瞬时值表述式为( B )。 A. ()0cos y x e E t ω?+ B. ()0cos x x e E t ω?+ C. ()0sin x x e E t ω?+ 6. 已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面电磁波的频率f=108 Hz ，则电磁波的波长为（ C ）。 A. 3 (m) B. 2 (m) C. 1 (m) 7. 在良导体中平面电磁波的电场强度的相位比磁场强度的相位（ A ）。 A. 超前45度 B. 滞后45度 C. 超前0～45度 8. 复数场矢量( ) 0jkz x y E e je e =-+E ，则其极化方式为( A )。 A. 左旋圆极化 B. 右旋圆极化 C. 线极化 9. 理想媒质的群速与相速比总是（ C ）。 A. 比相速大 B. 比相速小 C. 与相速相同 10. 导体达到静电平衡时，导体外部表面的场Dn 可简化为（ B ）。 A. Dn=0 B. n s D ρ= C. n D q = 三、简述题（共10分）（每题5分） 1．给出亥姆霍兹定理的简单表述、说明定理的物理意义是什么（5分） 答：若矢量场F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和； （3分） 物理意义：分析矢量场时，应从研究它的散度和旋度入手，旋度方程和散度方程构成了矢量场的基本方程。 （2分） 2．写出麦克斯韦方程组中的全电流（即推广的安培环路）定律的积分表达式，并说明其物理意义。（5分） 答：全电流定律的积分表达式为： d ()d l S t ??= +??? ? D H l J S 。 （3分） 全电流定律的物理意义是：表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。（2分） 四、一同轴线内导体的半径为a ， 外导体的内半径为b , 内、外导体之间填充两种绝缘材料，a 第九章习题解答 9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强 时，电台的位置偏离正南多少度？ 解：元天线（电基本振子）的辐射场为 j k r j θ-=E e 可见其方向性函数为(),sin f θφθ=，当接收台停在正南方向（即090θ=）时，得到最大电场强度。由 s i n θ= 得 045θ= 此时接收台偏离正南方向045±。 9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。 解： 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。 当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。 9.3 如题9.3图所示一半波天线，其上电流分布为() 11cos 2 2m I I kz z ??=-<< ??? （1）求证：当0r l >>时， 020 cos cos 22sin jkr m z I e A kr πθμπθ -?? ? ??= ? （2）求远区的磁场和电场； （3）求坡印廷矢量； （4）已知22 c o s c o s 20.609sin d π πθθθ ?? ? ?? =? ，求辐射电阻； （5）求方向性系数。 题9.3（1） 图 解：（1）沿z 方向的电流z I 在空间任意一点()0,P r θ产生的矢量磁位为 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 淮 海 工 学 院 10 - 11 学年 第 2 学期 电磁场与电磁波期末试卷(A 闭卷) 答案及评分标准 题号 一 二 三 四 五1 五2 五3 五4 总分 核分人 分值 10 30 10 10 10 10 10 10 100 得分 1.任一矢量A r 的旋度的散度一定等于零。 （√ ） 2.任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度。 （√ ） 3．在两种介质形成的边界上，磁通密度的法向分量是不连续的。 （ × ） 4．恒定电流场是一个无散场。 （√ ） 5．电磁波的波长描述相位随空间的变化特性。 （√ ） 6．在两介质边界上，若不存在自由电荷，电通密度的法向分量总是连续的。（ √） 7．对任意频率的电磁波，海水均可视为良导体。 （× ） 8．全天候雷达使用的是线极化电磁波。 （× ） 9．均匀平面波在导电媒质中传播时，电磁场的振幅将随着传播距离的增加而按指数规律衰减。 （√ ） 10．不仅电流可以产生磁场，变化的电场也可以产生磁场。 （√ ） 二、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．设点电荷位于金属直角劈上方，如图所示，则 镜像电荷和其所在的位置为[ A ]。 A 、-q(-1,2,0);q(-1,-2,0) ;-q(1,-2,0) B 、q(-1,2,0);q(-1,-2,0); q(1,-2,0) C 、q(-1,2,0);-q(-1,-2,0); q(1,-2,0)； D 、-q(-1,2,0);q(-1,-2,0); q(1,-2,0)。 2．用镜像法求解静电场边值问题时，判断镜像电荷设置是否正确的依据是[ C ]。 A 、镜像电荷的位置是否与原电荷对称； B 、镜像电荷是否与原电荷等值异号； C 、待求区域内的电位函数所满足的方程与边界条件是否保持不变； D 、镜像电荷的数量是否等于原电荷的数量。 3．已知真空中均匀平面波的电场强度复矢量为 2π()120 (V/m)j z E z e e π-=x r r 则其磁场强度的复矢量为[ A ] A 、2π=(/)j z y H e e A m -r r ； B 、2π=(/)j z y H e e A m r r ； C 、2π=(/)j z x H e e A m -r r ； D 、2π=-(/)j z y H e e A m -r r 4．空气（介电常数为10εε=）与电介质（介电常数为204εε=）的分界面是0 z =的平面。若已知空气中的电场强度124x z E e e =+r r r ，则电介质中的电场强度应为 [ D ]。 A 、224x z E e e =+r r r ； B 、2216x z E e e =+r r r ； C 、284x z E e e =+r r r ； D 、22x z E e e =+r r r 单选题1电磁场与电磁波(第三版)课后答案第9章
电磁场与电磁波试题及答案
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