分层随机抽样
一、教学内容解析
《分层随机抽样》是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修三第2章第一节的第三课时。必修三的关于统计的这一教学内容，作用是让学生感受统计的“用样本估计总体”的思想，学会收集数据，进而对其进行整理，选用合适的方法进行分析，最后能用特征数反映总体的特征。初步掌握在实际问题中，用统计知识分析、解释生活现象的基本方法。分层抽样这一节内容是对前面简单随机抽样和系统抽样方法的一个补充，学完这节课后，学生可以形成较为完整的抽样方法体系，为后面对总体的分析打下坚实的基础，所以本节课起到承上启下的作用。
本节课，教材共设置了一个案例和一个实践操作问题，从“为什么要进行分层抽样”到“如何实施分层抽样”，最后阐述“各种抽样方法的适用范围和特点”。整节课，深入浅出地将一个看似简单的数学概念进行全新地解读，引导学生用数学的思维方法分析现实的问题，能够透过繁杂的现象，看出其中蕴含的数学道理，全面提升学生的数学素养。经过思考，教者为了凸显统计抽样的必要性和为什么要进行分层抽样，对美国历史上发生的预测总统大选的失败的案例引入课题，层层深入地说明抽样的要求和分层抽样的适用范围。统计是应用型的数学知识，脱离了实践操作，就是空谈。本节课，教者安排了一个操作案例，从日常的教学活动中选取了“班级学生平均身高估计”这个课题，让学生实际操作，真正体现数学在解决实际问题中的价值和作用，进而真正将统计知识应用到实际问题中。
二、教学目标设计
1.通过具体实例的研究，了解分层抽样的方法以及科学，合理选用抽样方法的必要性。
2.了解分层抽样的操作步骤
3.通过对实际问题的对比分析，了解各种抽样方法的适用范围，使学生能根据具体情况选择适当的抽样方法解决问题。
4.了解分层随机抽样的必要性
5.通过实例，在与简单随机抽样的比较中，让学生思考，讨论它的特点，并能根据实际问题的需要设计恰当的抽样方法，提升学生的数据分析素养。
三、学生学情分析
在必修三的学习中，由于教材的内容在苏教版初中教材中已有涉及，学生对统计的思
想有初步的了解，学生对这部分内容比较熟悉，教学上更应侧重于应用和实践操作。所以，设置什么样案例，让问题更有代表性，怎样进行课题实践操作，让每个学生参与其中，得到体验和提升，是本节课成败的关键所在，也是教者着力最多的地方。
四、教学策略分析
为了达成教学目标，突出重点，突破难点，同时由于本节课是实践操作型的特点，运用两种教学模式，充分调动学生的积极性，构建有效课堂。
一是采用传统的“教师讲授引导式”。本节课的开始，教师通过具体案例，将统计的思想和抽样的要求渗透其中，紧扣教材内容，让学生明确本节课要完成的任务；
二是“学生动手实践检验”，结合具体问题，从收集数据，找出正确的抽样方法，到最后数据的分析整理，让学生从中探寻、感悟统计的思想，可以在具体情境中，选择正确的抽样方法独立完成一次统计抽样过程。
五、教学过程
5.1设置情境
师：今年是美国总统大选年，希拉里和特朗普正在为总统宝座争得你死我活。在结果出来之前，各大民调机构和媒体会对选举结果纷纷做出预测。不过美国历史上曾经发生过一次著名的预测失败的案例.
案例 1936年美国一著名杂志社为了预测总统候选人罗斯福与兰登两人谁能当选，为了了解公众的意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表，最后收回回信200多万封，在调查史上是少有的容量，花费了大量的人力、物力，杂志社相信自己的调查结果——兰登将以57％对43％的比例获胜．最后选举的结果却是罗斯福以62％对38％的巨大优势获胜．试分析这次调查失败的主要原因．（注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有）.
师：美国各个阶层对选谁当总统存在着较大分歧，而杂志社从富人阶层中选取的样本不具有代表性，不能代表全体美国人民的意向，所以导致预测结果失败。那么当总体中的个体差异比较大时，我们如何抽样，让样本具有更好的代表性呢？我们来看这样一个问题。
【设计意图】：
统计的思想是用样本去估计总体，所以抽取一个能代表总体的样本是进行数学分析的前题。什么是“好”的样本？较之于生硬的说教，不如举例说明。通过所举的案例学生很快就能理解，抽样要有“代表性”，这样才能对总体作出合理的估计，达到正确估计总体的目的。那对总体中的个体差异较大的情况，我们如何抽取样本，激发学生的好奇心，引入本节课的课题。
这个案例同时意在培养学生学会用数学的眼光观察世界的习惯，用数学的语言去解释，表达身边的世界。
5.2提出问题
问题：为了估计我们班级全体学生（共有50人，其中男生30人，女生20人）的平均身高，我想从班级学生中抽取出容量为10的样本进行调查，请问你将如何抽样？（学生讨论）
方案1 用简单随机抽样从50人中抽取10人
方案2 用系统抽样法从50人中抽取10人
师：还有同学有其他的想法吗？
方案3 从男生中抽取6人，从女生中抽取4人合成10人的样本
师：请大家自由讨论下，这三种方案，哪种方案比较好？
学生自由讨论
师：所抽出的样本中什么因素会对样本的平均身高产生重大影响？
生：性别因素
师：为什么？
生：因为男女生的身高存在明显的差异。
下面我们具体看一下这几种抽样方法
①全班同学采用简单随机抽样，抽取容量为10的样本。
生：简单随机抽样，有可能抽出的男生偏多，或者女生偏多，这样会与总体的真实情况出入较大。
②利用学生的学号，用系统抽样的办法抽取10位同学的成绩作为样本。
生：系统抽样虽然较简单随机抽样更加便捷，但仍然没有考虑到样本中男女生的人数偏多或偏少的问题。
师：方案3明显是考虑到了男女的因素，不会出现男女生人数偏多或偏少的问题，
但为什么男生，女生抽出的人数是6人和4人，而不是各抽5人呢？
原因1：因为总体中的男女生人数之比是3：2，而样本是要反映总体，所以样本中男女生之比是3：2
师：非常好，有没有要补充的？
原因2：如果男生，女生都各抽5人的话，男女生被抽到的可能性是不一样的。总体中男生人数比女生少，所以男生被抽到的可能性比女生小。
师：科学合理的抽样要求每个个体被抽到的可能性是相同的，男生抽6人，女生抽4人，则无论男生和女生被抽到的可能性是一样的，所以是合理的抽样。
【设计意图】：
“性别差异”是影响身高的重要因素，简单随机抽样不能稳定地体现“男生人数与女生人数是3：2”的抽样要求。将几种抽样方案进行对比，学生能够感受到“按人数之比”进行抽样的必要性。
师:刚才是我们进行理论分析的结果，那在实际操作中，考虑到了男女因素的方案3是否就一定具有优势呢？统计学是对数据进行收集、整理和分析的数学分支。历史上，数学家为了收集数据，可以做大量重复的试验。比如，数学家布丰为了检验抛掷硬币，出现正面向上的概率是1/2,曾经不间断地抛掷硬币4000多次，从而验证了这个结论。今天我们不妨也学习数学家也做个小小的数学实验，来检验一下这几种抽样方法。
5.3数学实验
5.3.1准备材料：提供高二某班级身高数据一份。
5.3.2实验过程：
（1）两人一个小组，共分为二个大组.
第一大组
采用方案1，利用随机数表法抽取10个数据样本，并用计算器算出样本的平均值。
第二大组
采用方案3，先在男生中抽取6个数据，再在女生中抽取4个数据合成样本，并用计算器算出样本的平均值.
师：我们得到多组数据后，如何对数据进行分析，进一步判断哪组样本数据更接近总体真实水平？
（2）用计算机描绘出各组数据的折线图。
5.3.3实验结论：通过数据的折线图，和班级学生身高的实际平均水平作比较，可以发现采用方案3抽取的样本算出的平均值和总体的平均值最为接近，而且数据的波动性更小。
【设计意图】：新课程理念要求“教师是引导者、方法的建立者，而不是简单的知识的传授者”，倡导学生“自主、合作、探究”的学习方法。所以，尽管方案3看起来有明显的优点，但我们应该要培养学生看问题不能流于表面，即使不能进行严格的理论证明，也要通过实践去验证自己的认识是否正确。让学生完整地进行一次数据收集、整理、分析，解释的过程，亲身体会统计学的学科特点，进一步地，提高学生数据分析的素养，全方位地体现新课程理念。
5.3.4实验反思
师：如果已知班级有个女生个子很高，已经和男生差不多高了，怎么办？
生1：可以将她剔除掉，
生2：如果剔除的话，就违反了公平性原则，就不是科学合理的抽样。
为了减小误差，可以把她的身高数据划归到男生生这一例中去。
师：很有道理，这也就是说我们按照比例抽样，必须要满足每一类型之间的差异要比较大，但是在每一个类型内部，个体之间差异要尽可能的小，否则就失去了按比例抽样的意义。
师：方案3就是我们今天要介绍的分层抽样
【设计意图】创设一个情境，让学生体会分层抽样中对“层”的要求，即层与层之间差异明显，层次分明，把握住分层的重点。
5.4数学建构，形成概念
你能概括出分层抽样的概念吗？
分层抽样的定义
分层抽样的适用范围总体“差异明显”
分层抽样的目的为了使样本充分地反映总体的情况（样本有代表性）
分层的原则分成“层次分明”的几部分，（层和层之间的差异要大）
分层抽样的特点按各部分在总体所占的比实施抽样
师：你能规划下分层抽样的具体抽样步骤吗？
生：（1）将总体按一定的标准分层；（分层）
（2）计算各层的个体数与总体的个体数的比；（定比）
（3）按各层个体数与总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；（确定各层的样本容量）
（4）在每一层进行抽样。
师：分层抽样，在实际生活中应用非常广泛，你能举出一些在实际生活中用到分层抽样的例子吗？
【设计意图】
以上，师生进行了大量的数学实践活动，教师需要引导学生用数学的眼光从客观现实的原型中，形成抽象的数学概念。“实验、观察、验证、归纳、应用”是本节课的一条主线，至此，
达到了进一步增强学生的抽象思维能力的目标。
5.5数学应用
师：我们现在所处的是“大数据时代”，互联网日益成为人们获取数据的一个重要来源。例 1.某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如表所示：
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
分析：利用分层抽样去抽取
生1因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样。
师：人数较多能否采用系统抽样?
生：由于持不同的态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样方法，而以分层抽样为妥。师：那每一层具体要抽取多少人呢？
（板书例题）
师：接下来我们具体到每一层应该如何抽样？
生：考虑到人数较多，用系统抽样。
师：分层抽样主要是解决总体中差异比较明显的抽样，但具体到每一层，则应该用系统抽样或是简单随机抽样。
【设计意图】
“问题是数学的心脏”，此处，安排一个与本节课开头类似的案例，学生同样要经历选择简单随机抽样还是分层抽样的思维过程。但是，此时，学生已经了解分层抽样的概念，能够明确地提出选择分层抽样的理由。对于分层抽样，学生已经从最初的感知上升到较为深刻的认识，同时，能够在数据处理中，灵活地应用，达到了提高学生数学实践能力的目标。
师：目前我们已经学习了三种抽样方法，这就要求我们在实际问题中根据问题的特点科学地选取合理的抽样方法。
例2 .下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2)某影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1—40．有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，需留下32名听众进行座谈；
(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
分析（1）总体容量比较小，用抽签法或随机数表法都很方便．
（2）总体容量比较大，由于人员没有明显差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样．
（3）由于学校各类人员对这一问题看法差异可能很大，故应采用分层抽样方法．
【设计意图】
表面上，这是一组辨析题，学生需要分析具体条件，选择合理的抽样方法进行抽样，温故知新，加深对不同抽样方法的理解。深层次上讲，统计是应用数学，产生于生产生活需要，揭示每个实际问题背后的数学原理，并能用数学的方法对收集的数据进行整理、分析，再进一步指导人们的生产生活。本章是高中阶段与生活实际结合最紧密的内容，教师应充分利用这一特点，设置多种情境，让学生置身于多种不同的生活场景，充分感受数学知识在实际生活中广泛应用，培养学生的理性思维能力．
通过例2的学习，我们进一步了解到了三种抽样方法的特点及适用范围，那么这三种抽样方法，那么之间的区别和联系是什么？我们一起来看一下．
5.6 反思（需要大家去讨论）
某城市的两所中学分别对自己学校12-14岁学生的身高进行了抽样统计，发现这两所学校12-14岁学生的平均身高竟相差了19CM，这可能吗？他们在抽样的过程中可能出现了哪些问题？
抽样的代表性不好
1.没有分层抽样，只是进行了简单随机抽样，分层抽样要考虑到年龄因素，性别因素．
2.样本的容量较小，也可能会导致差距过大．
3.学校的类型可能不同等原因．
5.7课堂练习
1．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、和2000辆. 为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车应分别抽取、、和辆.
2．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生之比为5：2：3，且已知初中生有800人.现要从这所学校中抽取一个容量为80的样本以了解他们对某一问题的看法，应采用什么抽样方法？从小学部、初中部及高中部各抽取多少名？总体上看，平均多少名学生中抽取到一名学生？
六、教学设计说明
“分层抽样”在很多教师和学生看来，似乎是很浅显的数学概念，有很多教师认为，根本不需要“大费周章”地学习它。其实，我们从数学知识的发生、发展、应用、拓展的角度来深入思考这节课该怎样上，才能感受到数学教学的魅力。
首先，我们为什么要进行分层抽样？回答了这个问题，也就理解了分层抽样的特点和适用范围。我们希望让知识自然的发生，而不是教师的照本宣科。教者从一个热点时事，美国总统
竞选结果预测提出问题，让学生从荒谬的结论中反思，进而提出“当总体中个体差异明显时，抽样要有兼顾这种差异”的抽样要求，触及分层抽样的特点，展开本节课的学习，达到“四两拨千斤”的效果。
接下来，教师和学生就“估计班级全体学生平均身高，需要从班级学生中抽取出样本进行调查”这个问题展开讨论。师生共同分析、研究、探讨，究竟采用何种方法进行抽样，为后面的实践操作做好准备。我们从理论上进行分析，鼓励学生深入思考，不要在教师的影响下亦步亦趋，而是真正培养学生的理性思维能力。在这个环节，我们不但辨析了各自抽样的适用范围，而且确实了下面将要进行的数学实验的目的。此时，学生经过对各种抽样方法的辨析，初步了解了分层抽样的特点，迫切希望通过实验来验证理论分析的正确性，学生的内心充满对实验结果的期待，达到了“引而不发跃入也”。
本节课最有趣的环节就是数学实验。教师此时是引导员，引导学生进入场地，各自进行实验；教师也是技术员，将学生能整理的数据输入电脑，进行操作，将结果呈现给学生；教师也是组织者，有序地安排各大组的学生代表进行实验结果的汇报，与其他组的同学互享学习成果；教师也是观察者，通过聆听学生的报告，把握学生学习的动态，关注他们的学习进展，发现他们存在的不足。师生在这个环节，都是学习者，教学互长，共同促进。
课程进行到这里，学生已经全面学习了“分层抽样”的概念，数学知识自然形成。学生不但知道了什么是“分层抽样”，而且通过上面的实验，总结出分层抽样的步骤，加强了动手实践能力。为了增强教学效果，教师安排了两个例题，进一步辨析，帮助学生识别各种抽样方法特点，在解决具体问题时，准确地选择合理的抽样方法，达到本节课的教学目的。
通过本节课的教学，教师重新认识到数学教育对学生能力培养的重要性。看似简单的现实问题，如果用数学的思考方式来分析，可以揭示问题蕴含的数学背景，进一步，可以将问题一般化，不但解决一个问题，而是解决一类问题。数学的课堂教学，不仅仅是数学的基础知识、基本技能、基本思想的传授，更要训练学生清晰地表达思想方法，有条理地思考、解决问题，并要对所学进行反思、总结、概括，全面提升学生的数学素养。
一、选择题 1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( ) A ．73 B ．78 C ．77 D ．76 解析：样本的分段间隔为80 16＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5 ＝78.故选B. 答案：B 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示： 则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170 D ．180,160 解析：用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 答案：A 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析：根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确． 答案：A 4．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．50 解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50. 答案：D 5．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据： 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^ ＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 解析：∵x ＝2＋4＋5＋6＋8 5＝5， y ＝ 30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5 ， ∴当x ＝5时，y ＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5＝50，解得m ＝60. 答案：D
高中数学优质课-对数函数及性质教学设计． 》教学设计1 《对数函数及其性质一、教学分析、教学内容1
.教学内容为对数函数的概念、图象及性质本节是学习指数、指数函数和对数的后继内容，作出对数函数的图象以及得到相应根据描点法，对数函数既是指数函数的反函的对数函数性质.也是高中乃至以后的数学学习中应用极为广数，其研究方法以及研究的泛的重要初等函数之一，有利于进一步加深对函数思问题具有普遍意义.为进后面一步探究函数的综合应想方法的理解，用起到承上启下的作用.2、学生学习情况分析学
对数函数是高中引进的第二个初等函数，生在学习过程中，仍保留着初中生许多学习特能力发展正处于形象思维向抽象思维转折 阶点，由于函数概念十分抽象，段，但更注重形象思维.初中函数教学要求又以对数运 算为基础，同时，这双重问题增加了对较低，学生运算能力较弱，教师必须认识到这一点，教数函数教学的难度.学中要有控制的拔高，关注学习过程.但是只要 2 让学生类比指数函数的研究方法，通过课件演中，示，通过数形结合，让其感受1)a?0log y?x (a? 且a取不同值时反映出不同函数图象，并让学生观
a函数图象的规律.察、发现、归纳出图象的特征、、设计理念3以新课本节课以建构主义基本理论为指导， 针对学生的学习标基本理念为依据进行设计的，对数函数的教学首先要挖掘其与指数的联背景，系，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动合作交流的权交给学生，为他们提供自主探究、机会，改变学生的学习方式.、教学目标4 知识技能 4.1（1）掌握对数函数的
概念、图像及性质.）应用对数函数性质，掌握求简单对数2（型函数定义域的方法；）掌握三种简单的分别比较对数、真数（3 .和底数大小的方法4.2过程与方法 利用指数函数以及性质导出对数函数概念在学习和应用对数函数性质的过和相应的函数， 3 .程中，着重数学思想方法的培养指数函数和对数函数概念1（）类比的思想. 和性质的类比.
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部）
目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）……………………………………………………
21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用………………………………………
高中数学教学设计
等比数列的前n项和（第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
对数函数及其性质（1） 一、教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计
统计 一、知识点归纳 1、抽样方法： ①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为N n 。 2、总体分布的估计： ⑴一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： ⑴平均数：n x x x x x n ++++= 321； 取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：2 1 2)(1 ∑=-= n i i x x n s ； 标准差：2 1 )(1∑=-= n i i x x n s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧ （最小二乘法） 1 221n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx ==? -? ?=??-??=-??∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。
《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。
高中数学教学设计模版 及案例 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
教学情境一：（问题引入）在 ABC中，已知两边a,b和夹角C，作出三角形。
联系已学知识，可以解决这个问题。 对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a B 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点能够解决什么问题 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出） 222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。
2.1.2系统抽样 1.从2 015个编号中抽取20个号码入样,采用系统抽样的方法,则抽样的分段间隔为() A.99 B.99.5 C.100 D.100.55 答案:C 2.某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额.采取如下方法:从某本发票的存根中随机抽一张,如15号,然后按序往后将65号,115号,165号,…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是() A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.其他方式的抽样 解析:本抽样中,“相邻”两个样本的号码都相差50,是等距抽样,即系统抽样. 答案:C 3.在一个个体数目为2 020的总体中,利用系统抽样抽取一个容量为100的样本,则总体中每个个体被抽到的机会为() A B C D 解析:在抽样过程中尽管要剔除20个个体,但每个个体被抽到的机会仍是相同的,即每个个体被抽到的概率为 答案:C 4.用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本,将这160名学生从1到160编号.按编号顺序平均分成20段(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16段应抽出的号码为125,则第1段中用简单随机抽样确定的号码是() A.7 B.5 C.4 D.3 解析:由系统抽样知,每段中有8人,第16段应为从121到128这8个号码,125是其中的第5个号码,所以第一段中被确定的号码是5. 答案:B 5.一个总体的60个个体的编号为0,1,2,…,59,现要从中抽取一个容量为10的样本,用系统抽样抽取,并且第一段内抽取个体号码为3,则抽取的样本号码是. 答案:3,9,15,21,27,33,39,45,51,57 6.一个总体中的100个个体的编号分别为0,1,2,3,…,99,依次将其分成10个小段,段号分别为0,1,2,…,9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第0段随机抽取的号码为l,那么依次错位地取出后面各段的号码,即第k段中所抽取的号码的个位数为l+k或l+k-10(l+k≥10),则当l=6时,所抽取的10个号码依次是. 解析:在第0段随机抽取的号码为6,则由题意知,在第1段抽取的号码应是17,在第2段抽取的号码应是28,依次类推.故正确答案为6,17,28,39,40,51,62,73,84,95. 答案:6,17,28,39,40,51,62,73,84,95 7.要从1 002个学生中选取一个容量为20的样本.试用系统抽样的方法给出抽样过程. 解:第一步,将1 002名学生编号. 第二步,从总体中剔除2人(剔除方法可用随机数法),将剩下的1 000名学生重新编号(编号分别为 000,001,002,…,999),并分成20段. 第三步,在第1段000,001,002,…,049这五十个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如003)作为起始号码. 第四步,将编号为003,053,103,…,953的个体抽出,组成样本. 8.下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样,阅读并回答问题: 本村人口:1 200人,户数300,每户平均人口数4人; 应抽户数:30户; 抽样间隔:=40; 确定随机数字:取一张人民币,编码的后两位数为12; 确定第一样本户:编码的后两位数为12的户为第一样本户; 确定第二样本户:12+40=52,52号为第二样本户; …… (1)该村委采用了何种抽样方法? (2)抽样过程中存在哪些问题?指出并修改. (3)何处采用的是简单随机抽样? 解:(1)系统抽样.
《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
高中数学分层作业的设计思路探索 随着时代的发展，我国各行各业都取得了巨大成就，最为提高我国国民基本素养的教育领域也进行了较为深刻的改革。自我国在教育领域实施新课改以来，我国高中数学教师就积极地响应新课改的号召，在高中数学教学中，充分体现了“以人为本”的原则，尊重每个学生个体的差异，能根据学生的不同的基础设计出差异性作业的布置，使得学生在整体上取得了进步，为学生自身的发展提供了保证。本文就将对高中数学分层作业的设计思路进行探索，希望能对我国的高中数学教育的进行有所帮助。 标签：高中数学；分层作业；设计思路；探索 自我国在教育领域实施新课程改革方案以来，我国就在强调素质教育，而“以人为本”是素质教育的基本教育理念，这个理念的主要意义就是要教师在进行教育的过程中，承认学生之间存在差异性，促进学生的个性发展，全面提高学生的素质，这在很大程度上给高中数学教师的教学带来了挑战，为适应新课程改革带来的挑战，需要采取积极有效的措施对学生实施教育，需要对学生进行分层作业的布置，这是一种比较有效的教学模式，具有较强的实践性与灵活性，能做到因材施教。[1] 一、分层作业含义 其实早在我国的春秋战国时期，我国就已经出现了分层作业理论，也就是我国最伟大的教育家之一孔子所强调的“因材施教”的教育方法。具体而言，就是教师在从事教学活动过程中，要承认学生之间的差异性，并且会充分尊重他们之间的这种差异性。在新课改的号召之下，教师对学生进行针对性的作业布置，这样就可以使得处于不同基础水平的学生都能够在学习与能力上有所提升，进而不断提高自身能力，挖掘自身的潜力。由于分层教学实现了学生自己对作业的选择，这就在一定程度上实现了学生对自身能力的认可，使其对自己有准确的定位，正确认识自身的能力，对其在未来事业发展中具有重要的意义。 二、高中数学分层作业设计 随着时代的进步，高考作为许多学生步入大学校门的基本途径，高中教学任重而道远。高中数学教育作为一门基础性的教学学科，对于学生进行其他学科的学习具有一定辅助作用。但是，现在的高中生每个人的基础与能力不同，这就给高中数学教师的教学带来了挑战，因此，教师要在新课改的号召之下，对学生进行分层作业的教学设计。 1.对学生进行分层 在高中数学分层作业设计的工作中，在设计之初，教师就要对班级内的所有学生的学习状况有所了解，了解到学生之间数学基础存在的差异，只有这样，才
§2.1第2课时抽样方法（2）——系统抽样 教学目标 （1）正确理解系统抽样的概念，掌握系统抽样的一般步骤； （2）通过对解决实际问题的过程的研究学会抽取样本的系统抽样方法，体会系统抽样与简单随机抽样的关系。 教学重点、难点 正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。 教学过程 一、问题情境 情境：某校高一年级共有20个班级，每班有50名学生。为了了解高一学生的视力状况，从这1000 名学生中抽取一个容量为100的样本进行检查，应该怎样抽取？ 二、学生活动 用简单随机抽样获取样本，但由于样本容量较大，操作起来费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，你能否设计其他抽取样本的方法？ 三、建构数学 1．系统抽样的定义： 一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。说明：由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证： （1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。 （2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称 k 等距抽样，这时间隔一般为[]N n （3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。 （4）系统抽样与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样； （5）简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的。 练习：（1）你能举几个系统抽样的例子吗？ （2）下列抽样中不是系统抽样的是（C） （A）从标有1~15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样 （B）工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 （C）搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止 （D）电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
高中数学：统计与统计案例练习 A组 一、选择题 1．某校为了解学生平均每周的上网时间(单位：h),从高一年级1 000名学生中随机抽取100名进行了调查,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),其中频率分布直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1∶3∶5,据此估计该校高一年级学生中平均每周上网时间少于4 h的学生人数为() A．200 B．240 C．400 D．480 解析：选C设频率分布直方图中从左到右前3个小矩形的面积分别为P,3P,5P.由频率分布直方图可知,最后2个小矩形的面积之和为(0.015＋0.035)×2＝0.1.因为频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1,所以P＋3P＋5P＝0.9,即P＝0.1.所以平均每周上网时间少于4 h的学生所占比例为P＋3P＝0.4,由此估计学生人数为0.4×1 000＝400. 2．AQI(Air Quality Index,空气质量指数)是报告每日空气质量的参数,描述了空气清洁或污染的程度．AQI共分六级,一级优(0～50),二级良(51～100),三级轻度污染(101～150),四级中度污染(151～200),五级重度污染(201～300),六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2019年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图,利用该样本估计昆明市2020年4月份空气质量优的天数为() A．3 B．4 C．12 D．21
解析：选C从茎叶图知,10天中有4天空气质量为优,所以空气质量为优的频率为4 10＝ 2 5, 所以估计昆明市2020年4月份空气质量为优的天数为30×2 5＝12,故选C. 3．(成都模拟)某城市收集并整理了该市2018年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据,绘制了下面的折线图． 已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据折线图,下列结论错误的是() A．最低气温与最高气温为正相关 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月 D．最低气温低于0 ℃的月份有4个 解析：选D在A中,最低气温与最高气温为正相关,故A正确；在B中,10月的最高气温不低于5月的最高气温,故B正确；在C中,月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月,故C正确；在D中,最低气温低于0 ℃的月份有3个,故D错误．故选D. 4．(承德模拟)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本,其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人,女性40人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是() A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B．是否倾向选择生育二胎与性别无关
《排列与排列数公式》（第 1 课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A 版《数学选修 2-3》第一章第 2 节的第一节课，排列是一类特殊而重 要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出 排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根 据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计 数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的 理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特 征，得出排列的定义，再跟进10 个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排 列的特点， n 个不同的元素，取出 m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础， 为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为 后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让 学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题 是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步 骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题 作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻 辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际 生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的 着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置 密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、 有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜 色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨 论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。
高中数学分层教学教学设计 一意义与价值 现代课程理论的观点——教学设计是应用系统方法对各种课程资源进行有机整合，对教学过程中相互联系的各部分作出科学合理安排的一种构想。教学设计直接反映出教师的业务水平，反映教师对教材的理解程度和对新课标的把握尺寸，它直接影响课堂教学效果，尤其在全面推进素质教育的同时，更要注重培养学生的个性品质。所以我们在本课题的研究中把“高中数学分层教学设计”作为一个子课题研究，通过对本课题的研究，能彻底改变教师的教学观念，在提高教师业务水平的同时，是教师在教学方法有新的突破，在教学艺术出具特色，在教学风格上有自己的独特之处，为培养特色教师奠定基础，在全面提高教学质量的同时，更注重培养学生的个性品质及非智力因素。 二研究目的 1、教学设计科学合理，教学目标明确，教学设计环节齐全，教学过程中的其他环节紧扣教学目标，教学设计要科学严谨，不能有形式无内容，也不能有内容不注重形式，所有的教学设计都是围绕教学目标所设定，教学目标的实现是通过测试而实现的。 2、教学设计中要体现新课标的核心理念，新课标是教学的指导思想，深入理解新课程标准是对教学内容的定位，是确定教学内容三维目标的主要依据，同时在教学设计中，要贯穿分层教学思想，在备、讲、改、辅、作业等诸多环节中体现分层教学思想。 3 、通过对本课题的研究，教学设计要在科学合理可行的基础上，又要体现教学艺术和教学风格。 三研究内容 1、学生情况分层分析： 对学生学习改内容时，要分析各层学生原有的知识背景，学习该内容的生活经验和学习经验，对各层学生进行测试和访谈，学习该内容可能存在的困难对各层学生进行访谈，对学生的学习兴趣、学习积极性、学习方法、学习习惯对学生进行分层方法。 2 、教学内容分层分析：
统计 一.简单随机抽样：抽签法和随机数法 1.一般地，设一个总体含有N个个体（有限），从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等（n/N），就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 2.一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，这种抽样方法叫做抽签法。 抽签法的一般步骤：a、将总体的个体编号。 b、连续抽签获取样本号码。 3. 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。 随机数表法的步骤：a、将总体的个体编号。b、在随机数表中选择开始数字。c、读数获取样本号码。 4. 抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。 二.系统抽样： 1.一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。 系统抽样的一般步骤： （1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。 （2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k=N/n。(k∈N,L≤k). （3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。 （4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。 在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当N/n不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。 三.分层抽样： 1.一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。 分层抽样的步骤： （1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。（2）按比例确定每层抽取个体的个数。 （3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。（4）综合每层抽样，组成样本。 2.分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点： （1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。 （2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 （3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。 四.用样本的频率分布估计总体分布： 1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。 其一般步骤为：（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差（2）决定组距与组数（3）将数据分组（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2.频率分布折线图、总体密度曲线 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。
关于高中数学分层次教学的策略分析 发表时间：2017-09-01T10:11:30.127Z 来源：《教育学》2017年7月总第122期作者：高飞 [导读] 在高中数学课堂中进行分层次教学，在一定程度上解决了“众口难调”的矛盾，也转变了许多学困生，达到了大面积提高教学质量的目的。 陕西省绥德中学718000 摘要：课堂分层教学是因材施教原则在课堂教学中的具体运用。它根据因材施教的原则、学生心理特点和认知规律，对不同成绩基 础的学生提出不同的教学目标要求，使教学更符合学生的实际情况、更适应各个层次的学生，从而更好地调动学生的积极性和主动性。 关键词：分层次数学教学 我校高中学生的数学成绩分布呈梨状，优生较少，中等、偏差学生占多数。其中个体差异较明显，无论是智力、非智力因素还是基础 知识、学习态度都参差不齐。这种现状若按同一要求进行教学，则会严重制约教学质量的提高。 一、对学生按层次分类编组 出于对学生自尊心的考虑，分组时要依据学生的心理特点，认真做好学生的思想工作，适当分组，可分A、B、C三组。 A组的学生并没有抵触、自卑的情绪，出于对“难题”的畏惧，他们还非常欢迎分组。 二、备课分层次要求 备课要根据教学大纲对教学内容的具体要求和各层学生的基础制订分层目标，以“B组”学生为主要层，达到不同的教学目的。制订各层 次目标时，切忌忽视概念或公式的来由，否则无助于学生思维品质的培养，无助于学生能力的训练。长此以往，学生解决问题的能力无从谈起。在教学中要尽可能再现公式推导的过程，成为“生产”知识的主人，探索问题的过程比结论本身更具意义。 例1：等比数列的前n项和公式。 “B组”学生占大多数，他们既有“C组”学生较踏实的学习态度，又和“A组”学生一样欠缺能力，以他们的接受水平辅开教学比较容易衔接 两头。 三、课堂教学分层次实施 1.课堂例题分层次设计 （1)基础练习,巩固公式的应用（利用投影片投影出例题)。 例2：口答下列各题： (A)已知等比数列{an}中，a1=2，q=3，求S3。 (B)请利用(A)题的数据，自己编题，改为求a1或求q，并求解。 其意图：(A)巩固公式，直接应用；(B)巩固和深化所学的知识，明确公式使用范围，提高应用公式的识辩能力。（2）辅垫练习分解难度，强化公式应用。 例3：(A)求等比数列l，1/2，1/4，1/8，…的前10项的和。 (B)求Sn=(1-x)+(2-x2)+(3-x3)+…+(n-x3)。 (C)求数列3，5，9，17，…的前10项的和。 （教师引导学生演算例题，投影出正确答案。） 其意图：(A)进一步加强公式应用。(B)初步熟练应用公式，引起学生足够重视公式的使用范围，以培养学生思维的严密性。(C)熟练运 用公式，培养学生的观察力。 （3）设计梯度，形成技能。 2.课堂提问分层次进行 分层次教学的课堂提问，要讲究提问的科学性及艺术性，每个问题尽可能地让学生动脑、动手、动口，去发现、猜想、在理论上推 导，所有的机会都给学生，同时又及时小结数学思想和方法、思维策略以及相互转化，都会极大地调动学生学习的积极性。B组学生的答问对A组学生具有启发作用，C组学生的答问具有对教学内容深化拓展的作用。例如： （1）等比数列定义，其通项公式及该公式的推导使用了何种方法？你能否记住？ （复习一下旧知识，为下面推导出前n项和公式做准备，并提供了类比。让学生积极回忆、积极参与课堂教学。）