第四章 OpenGL 图形变换
4.6 矩阵操作函数
OpenGL 中的变换，包括视点变换、模型变换、投影变换、视口变换等等都离不开矩阵，它们都是建立在矩阵运算基础上的，OpenGL 提供了对矩阵的通用操作函数，这些函数在图形变换中起到了非常重要的作用。
1、指定变换矩阵的类型 void glMatrixMode( GLenum mode );
其中，参数mode 有三种取值： （1）GL_MODELVIEW 模型视点变换矩阵 （2）GL_PROJECTION 投影变换矩阵 （3）GL_TEXTURE 纹理矩阵
本函数指定以上三种变换矩阵中的一种作为当前变换矩阵。
2、初始化变换矩阵
void glLoadIdentity( void);
把当前的变换矩阵设置为单位矩阵，即把当前矩阵变成：?????
????
???10
00
01000010
0001。 3、用定制的矩阵替换当前变换矩阵中的内容
void glLoadMatrixd( const GLdouble *m ); void glLoadMatrixf( const GLfloat *m );
参数m 指向一个定制好的矩阵。通常这个矩阵由程序员来设计和定制。m 是一个由16个元素组成的向量（ m1 ,m2 ,m3 ,m4 ,m5 ,m6 ,m7 ,m8,m9 ,m10 ,m11 , m12 ,m13 ,m14 ,m15, m16 ）, 这16个元素构成的矩阵的结构是
?????
???????1612
8
4
15117314106213951m m m m m m m m m m m m m m m m 显然，16个元素中按顺序每4个元素构成矩阵的一列。编程实现时，可声明一个具有16个元素的一维数组，如double A[16], 数组A 中元素的使用范围是A[0]~ A[15]。 一个特例是，当把这个矩阵设计成单位矩阵，并用glLoadMatrix 函数装入时，就相当
于调用了glLoadIdentity函数。
4、用定制的矩阵右乘当前变换矩阵
void glMultMatrixd( const GLdouble *m );
void glMultMatrixf( const GLfloat *m );
设当前矩阵为C，执行glMultMatrix后，新的矩阵为：C×m，并用这个新的矩阵替换当前变换矩阵。
例1 绘制一个点，并对点做三次变换：
glMatrixMode ( GL_MODELVIEW ) ;
glLoadIdentity ( ) ;
glMultMatrixf ( N ) ;
glMultMatrixf ( M ) ;
glMultMatrixf ( L ) ;
glBegin ( GL_POINTS);
glVertex3f ( v );
glEnd ( ) ;
上例中，设当前变换矩阵为E (因为执行了glLoadIdentity ( )，所以当前变换矩阵为单位矩阵)，N、M、L是三个定制好的4×4变换矩阵，则变换后的顶点为
E×N×M×L×v = N×M×L×v
= N×(M×(L×v))
从上式可以看出，先对顶点v做变换L, 然后再对变换后的v做变换M，最后对改变后的顶点做变换N。变换的指定顺序和执行顺序是相反的！所以理解一个对象的变换过程要从最后一个变换开始向前直到第一个变换！
4.7 投影变换
OpenGL中提供了两种投影变换方式，一种是平行投影，一种是透视投影。不管是调用哪种投影函数，为了避免混乱的变换，其前面必须加上以下两句：
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
投影变换定义一个视景体，视景体外多余的部分将被裁剪掉，最终图像只是视景体内的有关部分。
4.7.1 平行投影
平行投影的视景体是一个长方体，如图4-7所示。平行投影最大一个特点是无论物体距离相机多远，投影后的物体大小尺寸不变。这种投影通常用在建筑蓝图绘制和计算机辅助设计等方面，这些行业要求投影后的物体尺寸及相互间的角度不变，以便施工或制造时物体比
例大小不变。
图4-7 平行投影模型图
平行视景体的定义函数是：
void glOrtho(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top, GLdouble near,GLdouble far);
其中，Left 为左裁剪面坐标, right 为右裁剪面坐标,bottom 为下裁剪面坐标, top 为上左裁剪面坐标,near 为到近裁剪面的距离, far 为到远裁剪面的距离。若裁剪面在视点的后面，则距离值为负数。
创建一个平行视景体。其中近裁剪平面是一个矩形，矩形左下角点三维空间坐标是（left ，bottom ，-near ），右上角点是（right ，top ，-near ）；远裁剪平面也是一个矩形，左下角点空间坐标是（left ，bottom ，-far ），右上角点是（right ，top ，-far ）。所有的near 和far 值同时为正或同时为负。如果没有其他变换，平行投影的方向平行于Z 轴，且视点朝向Z 负轴。
从矩阵运算的角度来看，glOrtho 创建一个平行投影矩阵：
??
?
???
?
??
???
??
?
????
?
-----=100
02
0002
00
02z y x t near far t bottom
top t left right M 其中，near
far near
far t bottom top bottom top t left right left right t z y x -+-=-+-=-+-
=,,
若当前矩阵为C ，则当前矩阵C 被替换为M C ?。
例2 平行投影示例
glMatrixMode(GL_PROJECTION); glLoadIdentity(); if (w <= h)
glOrtho (-500.0, 500.0, -500.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, 500.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -500, 500); else
glOrtho (-500.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,
500.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -500.0, 500.0, -500, 500);
4.7.2 透视投影
透视投影和一般照相的原理差不多，符合人们心理习惯。离视点近的物体大，离视点远的物体小，远到极点即消失，成为灭点。它指定的视景体是一个四棱台。这个投影通常用于动画、视觉仿真以及其它许多具有真实性反映的方面。 OpenGL 透视投影函数有两个，一个是函数glFrustum()，它生成的视景体如图4-8所示。
图4-8 glFrustum 生成的透视投影体
例3透视投影示例1
glMatrixMode (GL_PROJECTION); /* prepare for and then */ glLoadIdentity (); /* define the projection */
glFrustum (-1.0, 1.0, -1.0, 1.0, 1.5, 20.0); /* transformation */
另一个函数是gluPerspective 。它也创建一个对称透视视景体，但它的参数定义于前面的不同，如图4-9所示。其操作是创建一个对称的透视投影矩阵，并且用这个矩阵乘以当前矩阵。函数原型为
void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear, GLdouble zFar);
Y X Z Y
参数fovy 定义视野在X-Z 平面的视度，范围从0度到180度；参数aspect 是投影平面 宽度与高度的比率；参数zNear 和Far 分别是视点到远近裁剪面的距离。在透视投影中，它们总为正值。
图4-7 平行投影模型图
图4-9 gluPerspective 生成的透视投影体
例4透视投影示例2
glMatrixMode (GL_PROJECTION); /* prepare for and then */ glLoadIdentity (); /* define the projection */
gluPerspective(45.0f,(GLfloat)width/(GLfloat)height,0.1f,100.0f);
【综合示例EP4-2】离视点远近各绘制一把茶壶，并用平行投影和透视投影两种方法分别实现，观察其不同的显示效果。 //
#include "stdafx.h"
void myinit (void) {
/* 将背景清为白色 */ glClearColor (0.0, 0.0,0.0, 0.0); glShadeModel (GL_SMOOTH); }
void CALLBACK reshape(GLsizei w, GLsizei h) {
if (!h) return;
glViewport(0, 0, w, h);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
Y X
Z Y
glLoadIdentity();
int s=1;
if (s==0)
{
if (w <= h)
glOrtho (-500.0, 500.0, -500.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,
500.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -500, 1000);
else
glOrtho (-500.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,
500.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -500.0, 500.0, -500, 1000);
}
else
gluPerspective(60.0f,(GLfloat)w/(GLfloat)h,0.1f,1000.0f);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
}
void CALLBACK display(void)
{
glLoadIdentity();
glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT);//清除背景
// 将所有的线画为黑色
glColor3f (1.0, 1.0, 1.0); //顶点的颜色
glTranslatef(0,0,-800);
auxWireTeapot(100);
glColor3f (1.0, 1.0, 0.0); //顶点的颜色
glTranslatef(300,0,200);
auxWireTeapot(100);
auxSwapBuffers();
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
auxInitDisplayMode (AUX_DOUBLE | AUX_RGBA);
auxInitPosition (0, 0, 1000, 700);
auxInitWindow ("OpenGL图形变换EP4-2");
myinit ();
auxReshapeFunc(reshape);//回调函数
auxMainLoop(display);
return 0;
}
从上例可以看出，在平行透视中，距离视点不同，相同大小的物体，看上去大小没有发生变化；在透视投影中，相同大小的物体，离视点越近显得越大。
4.8 视口变换
视口变换相当于选择照片的大小。在OpenGL中，视口是窗口中用于绘制图像的矩形区域。经过模型变换、视点变换、投影变换和裁剪变换后的物体显示于屏幕窗口内指定的区域内，这个区域通常为矩形，称为视口。OpenGL中相关函数是：
glViewport(GLint x,GLint y,GLsizei width, GLsizei height);
这个函数定义一个视口。函数参数(x, y)是视口在屏幕窗口坐标系中的左下角点坐标，参数width和height分别是视口的宽度和高度。缺省时，参数值即(0, 0, winWidth, winHeight) 指的是屏幕窗口的实际尺寸大小。参数值均以象素为单位，整数类型。
值得注意的是，视口的长宽比率总是等于视景体裁剪面的长宽比率。如果两个比率不相等，那么投影后的图像显示于视口内时会发生变形。另外，屏幕窗口的改变一般不明显影响视口的大小。因此，在调用这个函数时，最好实时检测窗口尺寸，及时修正视口的大小，保证视口内的图像能随窗口的变化而变化。
4.9 矩阵堆栈
堆栈指的是一个顶部打开底部封闭的柱状物体，通常用来存放常用的东西。这些东西从顶部依次放入，但取出时也只能从顶部取出，即“先进后出，后进先出”。在计算机中，它常指在内存中开辟的一块存放某些变量的连续区域。因此，OpenGL的矩阵堆栈指的就是内存中专门用来存放矩阵数据的某块特殊区域。
实际上，在创建、装入、相乘模型变换矩阵和投影变换矩阵时，都用到堆栈操作。一般说来，矩阵堆栈常用于构造具有层次性的模型，即由一些简单目标构成的复杂模型。例如，一辆自行车就是由两个轮子、一个三角架及其它一些零部件构成的。它的层次性表现在当自行车往前走时，首先是前轮旋转，然后整个车身向前平移，接着是后轮旋转，然后整个车身向前平移，如此进行下去，这样自行车就往前走了。
矩阵堆栈对复杂模型运动过程中的多个变换操作之间的联系与独立十分有利。因为所有矩阵操作函数如glLoadMatrix()、glMultMatrix()、glLoadIdentity()等只处理当前矩阵或堆栈顶部矩阵，这样堆栈中下面的其它矩阵就不受影响。堆栈操作函数有以下两个：
void glPushMatrix(void);
void glPopMatrix(void);
第一个函数表示将当前堆栈中所有矩阵向下压一级，然后复制栈顶矩阵并压入栈顶，这样堆栈中最上面两个矩阵的内容相同，顶部矩阵是第二个矩阵的备份；压入的矩阵数不能太多，否则出错。
第二个函数表示弹出堆栈顶部的矩阵，并将其删除。而原来栈中的第二个矩阵成为栈顶矩阵，栈顶矩阵就是当前矩阵；当堆栈中仅存一个矩阵时，不能进行弹出操作，否则出错。
为了更好地理解这两个函数，我们可以形象地认为glPushMatrix()就是“记住自己在哪”，
glPopMatrix()就是“返回自己原来所在地”。
【综合示例EP4-4】利用辅助库中的长方体线框模型、圆环面线框模型、圆柱面线框模型、模型变换函数（平移、旋转），在平行投影模式下，绘制一个简单的巴士结构线框模型。
图4-10 巴士简单结构线框模型
源程序如下所示：
#include "stdafx.h"
int nAngleY=0; // 沿Y轴旋转的角度
int nAngleX=0; // 沿X轴旋转的角度
int nAngleZ=0; // 沿Z轴旋转的角度
void CALLBACK ClockwiseRotateByX()
{
nAngleX--;
}
void CALLBACK CounterClockwiseRotateByX()
{
nAngleX++;
}
void CALLBACK ClockwiseRotateByZ()
{
nAngleZ--;
}
void CALLBACK CounterClockwiseRotateByZ()
{
nAngleZ++;
}
void CALLBACK ClockwiseRotateByY()
{
nAngleY--;
}
void CALLBACK CounterClockwiseRotateByY()
{
nAngleY++;
}
void myinit (void)
{
/* 将背景清为白色*/
glClearColor (1.0, 1.0,1.0, 1.0);
glShadeModel (GL_SMOOTH);
}
void CALLBACK reshape(GLsizei w, GLsizei h)
{
if (!h) return;
glViewport(0, 0, w, h);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
if (w <= h)
glOrtho (-500.0, 500.0, -500.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,
500.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -500, 500);
else
glOrtho (-500.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,
500.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -500.0, 500.0, -500, 500);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
}
void CALLBACK display(void)
{
glLoadIdentity();
glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT);//清除背景
glRotated(nAngleX,1,0,0);
glRotated(nAngleY,0,1,0);
glRotated(nAngleZ,0,0,1);
glLineStipple(1, 0x3F07); // 指定点划格式
glEnable(GL_LINE_STIPPLE); // 进入点划模式
glBegin(GL_LINES);
// X轴：红
glColor3f (1.0, 0, 0);
glVertex3d(-490,0,0);
glVertex3d(490,0,0);
// Y轴：绿
glColor3f (0.0, 1.0, 0);
glVertex3d(0,-490,0);
glVertex3d(0,490,0);
// Z轴：蓝
glColor3f (0.0, 0.0, 1);
glVertex3d(0,0,-490);
glVertex3d(0,0,490);
glEnd();
glDisable(GL_LINE_STIPPLE);//离开点划模式
glColor3f (1.0, 0.0, 0);
glPushMatrix(); // 车体
glTranslatef(0,80,0);
auxWireBox(400, 100, 200);
glPopMatrix();
glPushMatrix(); // 左后轮
glTranslatef(-120,0,-80);
auxWireTorus(10, 40);
glPopMatrix();
glPushMatrix(); // 右后轮
glTranslatef(-120,0,80);
auxWireTorus(10, 40);
glPopMatrix();
glPushMatrix(); // 左前轮
glTranslatef(120,0,-80);
auxWireTorus(10, 40);
glPopMatrix();
glPushMatrix(); // 左前轮
glTranslatef(120,0,80);
auxWireTorus(10, 40);
glPopMatrix();
glPushMatrix(); // 后轮轴
glTranslatef(-120,0,100);
glRotatef(90,1,0,0);
auxWireCylinder(10, 200);
glPopMatrix();
glPushMatrix(); // 前轮轴
glTranslatef(120,0,100);
glRotatef(90,1,0,0);
auxWireCylinder(10, 200);
glPopMatrix();
auxSwapBuffers();
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
auxInitDisplayMode (AUX_DOUBLE | AUX_RGBA);
auxInitPosition (0, 0, 1000, 700);
auxInitWindow ("OpenGL图形变换");
myinit ();
auxKeyFunc (AUX_LEFT, ClockwiseRotateByY);
auxKeyFunc (AUX_RIGHT, CounterClockwiseRotateByY);
auxKeyFunc (AUX_UP, ClockwiseRotateByX);
auxKeyFunc (AUX_DOWN, CounterClockwiseRotateByX);
auxKeyFunc (AUX_D, ClockwiseRotateByZ);
auxKeyFunc (AUX_d, ClockwiseRotateByZ);
auxKeyFunc (AUX_U, CounterClockwiseRotateByZ);
auxKeyFunc (AUX_u, CounterClockwiseRotateByZ);
auxReshapeFunc(reshape);//回调函数
auxMainLoop(display);
return 0;
}
另一个有关桌子等静物的模型绘制程序见EP4-5。结果如图4-11所示。
图4-11 桌子静物线框模型
【综合示例EP4-6】机械臂的关联运动。手部运动以前臂为旋转关节点，前臂运动以上臂为旋转关节点，前臂运动带动手部运动，上臂运动带动手部、前臂运动。
图4-12 机械臂运动线框模型
#include "stdafx.h"
int nAngleY=0; // 沿Y轴旋转的角度int nAngleX=0; // 沿X轴旋转的角度int nAngleZ=0; // 沿Z轴旋转的角度
int angleHand=0;
int angleFront=0;
int angleTop=0;
void CALLBACK ClockwiseRotateByX()
{
nAngleX--;
}
void CALLBACK CounterClockwiseRotateByX()
{
nAngleX++;
}
void CALLBACK ClockwiseRotateByZ()
{
nAngleZ--;
}
void CALLBACK CounterClockwiseRotateByZ()
{
nAngleZ++;
}
void CALLBACK ClockwiseRotateByY()
{
nAngleY--;
}
void CALLBACK CounterClockwiseRotateByY()
{
nAngleY++;
}
void CALLBACK RotateHand1()
{
angleHand++;
}
void CALLBACK RotateHand2()
{
angleHand--;
}
void CALLBACK RotateFront1()
{
angleFront++;
}
void CALLBACK RotateFront2()
{
angleFront--;
}
void CALLBACK RotateTop1()
{
angleTop++;
}
void CALLBACK RotateTop2()
{
angleTop--;
}
void myinit (void)
{
/* 将背景清为白色*/
glClearColor (1.0, 1.0,1.0, 0.0);
glShadeModel (GL_FLAT);
}
void CALLBACK reshape(GLsizei w, GLsizei h)
{
if (!h) return;
glViewport(0, 0, w, h);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
if (w <= h)
glOrtho (-500.0, 500.0, -500.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,
500.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -500, 500);
else
glOrtho (-500.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,
500.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -500.0, 500.0, -500, 500);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
}
void CALLBACK display(void)
{
glLoadIdentity();
int i;
glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);//清除背景
/* 将所有的线画为黑色*/
glRotated(nAngleX,1,0,0);
glRotated(nAngleY,0,1,0);
glRotated(nAngleZ,0,0,1);
glLineStipple(1, 0x3F07); // 指定点划格式
glEnable(GL_LINE_STIPPLE); // 进入点划模式
glBegin(GL_LINES);
// X轴：红
glColor3f (1.0, 0, 0);
glVertex3d(-490,0,0);
glVertex3d(490,0,0);
// Y轴：绿
glColor3f (0.0, 1.0, 0);
glVertex3d(0,-490,0);
glVertex3d(0,490,0);
// Z轴：蓝
glColor3f (0.0, 0.0, 1);
glVertex3d(0,0,-490);
glVertex3d(0,0,490);
glEnd();
glDisable(GL_LINE_STIPPLE);//离开点划模式
glColor3f (128.0, 0.0, 0.0); //顶点的颜色
glRotated(angleTop,0,0,1);
glTranslated(100,0,0);
auxWireBox(200,50,40);// 上臂
glTranslated(100,0,0);
glRotated(angleFront,0,0,1);
glTranslated(100,0,0);
auxWireBox(200,50,40);// 前臂
glTranslated(100,0,0);
glRotated(angleHand,0,0,1);
glTranslated(100,0,0);
auxWireBox(200,50,40);// 手
auxSwapBuffers();
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
auxInitDisplayMode (AUX_DOUBLE | AUX_RGBA);
auxInitPosition (0, 0, 1000, 700);
auxInitWindow ("OpenGL图形变换");
myinit ();
auxKeyFunc (AUX_1, RotateHand1);
auxKeyFunc (AUX_2, RotateHand2);
auxKeyFunc (AUX_3, RotateFront1);
auxKeyFunc (AUX_4, RotateFront2);
auxKeyFunc (AUX_5, RotateTop1);
auxKeyFunc (AUX_6, RotateTop2);
auxKeyFunc (AUX_LEFT, ClockwiseRotateByY);
auxKeyFunc (AUX_RIGHT, CounterClockwiseRotateByY);
auxKeyFunc (AUX_UP, ClockwiseRotateByX);
auxKeyFunc (AUX_DOWN, CounterClockwiseRotateByX);
auxKeyFunc (AUX_D, ClockwiseRotateByZ);
auxKeyFunc (AUX_d, ClockwiseRotateByZ);
auxKeyFunc (AUX_U, CounterClockwiseRotateByZ);
auxKeyFunc (AUX_u, CounterClockwiseRotateByZ);
auxReshapeFunc(reshape);//回调函数
auxMainLoop(display);
return 0;
}
一、教学内容与地位 图形和变换是“空间与图形”领域的四块内容（图形的认识，图形与变换，图形与坐标，图形与证明）之一。本套教科书在七年级上册先安排图形的初步认识，及七年级下册三角形的初步知识的基础上，集中学习四种变换的知识，一方面是考虑到学生通过几何学习后，已有一定的生活经验；另一方面本章所学的四种变换的初步知识将为后续的内容，如四边形、圆及图形与坐标、图形与证明的学习打下基础。 本章的主要内容有轴对称图形、图形的轴对称变换、平移变换、旋转变换和相似变换，以及图形变换的简单应用。本章要求学生对各种图形变换有一定的认识，要求了解各种图形变换的一般概念，能够辨别和判断，理解各程图形变换的基本性质，会按要求作出变换后的图形，并应用于图案设计等生活实际。根据本套教科书的整体设计，轴对称、平移、旋转和相似这四种变换在今后图形教学的相关章节将继续渗透，逐步深化。 本章的教学要求为： （1）了解四种变换的概念，能辨别和判断四种变换； （2）理解四种变换的基本性质，会按要求画出经变换后的图形； （3）能将变换的知识应用于图案设计等生活实际中去。 二、本章教材分析 由于现在的初一学生从未具体接触过轴对称、平移、旋转和相似这四种变换，所以在学生学习时建议增加用折纸等方法来确定轴对称图形的对称轴，用方格纸画轴对称图形、按一定比例将简单图形放大或缩小、将简单图形平移或旋转90°、设计图案等活动，使学生对轴对称、平移、旋转、相似等变换也具有一定的感性认识和生活经验。本套教科书在这里安排变换的学习，侧重于对其性质的探索和理解，同时能运用其性质进行简单图形变换的作图。轴对称、平移、旋转变换均属于保距变换，和全等图形的关系比较密切，其概念、性质将在本章中作完整地介绍，并在后面的学习中作进一步地渗透和应用。相似变换是保角变换，对相似变换的概念和性质的真正理解和掌握，还须进一步学习相似三角形、位似形等知识，这将在九年级上册学习。因此本 - 1 -
图形和变换习题 一、选择题（每题3分） 1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形的有（） A．1个B．2个 C．3个 D．4个 2、如图，每个小正方形网格的边长都为1，右上角的圆柱体是由 左下角的圆柱体经过平移得到的。下列说法错误的是（） A.先沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上沿垂直的方向 平移4个单位长度，然后再沿水平方向向右平移3个单位长度。 B.先沿水平方向向右平移7个单位长度，再向上沿垂直的方向 平移4个单位长度 C.先向上沿垂直的方向平移4个单位长度，再沿水平方向向右 平移7个单位长度 D.直接沿正方形网格的对角线方向移动7个单位长度 3、下面给出的是一些产品的商标图案，从几何图形的角度看(不考虑文字和字母)，既是轴 对称图形又能旋转180°后与原图重合的是( ) 4、4张扑克牌如图（1）所示放在桌面上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示， 那么她所旋转的牌从左数起是（） A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张 5、将一圆形纸片对折后再对折，得到右图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中 一部分展开后的平面图形是( ) A B C D
6、 7、如图△ABC 与△A ’B ’C ’关于直线MN 对称，P 为MN 上任意一点，下列说法不正确的是（ ） A ．AP=A ’P B ．MN 垂直平分AA ’,C C ’ C ．这两个三角形面积相等 D ．直线AB ，A ’B ’的交点不一定在MN 上 第7题 第8题 8、如图，BC 是等腰直角三角形ABC 的斜边，将△APB 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD 重合，则△APD 是 （ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 9、如图在矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中所标柱的数据，计算图中空白部分的面积是（ ） A ．2bc ab ac c -++ B ．()()c b c a -- C ．2a +ab ac-bc + D ．22b -bc a -ab + 10、右图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩 余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是： 把跳棋棋子在棋 盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称 为一步。已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A 跳进对方区域 （阴影部分的格点），则跳行的最小步数为（ ） A 、2步 B 、3步 C 、4步 D 、5步 二、填空题（每题3分） 11、计算机软件中，大部分都有“复制”、“粘贴”功能，如在“Word ”中，可以把一个图形 复制后粘贴在同一个文件上，通过“复制”、“粘贴”得到的图形可以看作原图经过_______变换得到的。 12、正方形是轴对称图形，它有_______条对称轴．
第二章图形的变换 图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答，也将有效地提高思维品质. 初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题 2.1图形的平移与对称 火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动 上面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景?你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流. 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移(translation ).平移不改变图形的形状和大小 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等； 对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等. 例1如图，将面积为5的△ ABC沿BC方向平移至△ DEF的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积是多少？ 分析⑴对应点的距离等于平移的距离； (2)利用平移前后的两个图形全等”平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法. 解设点A到BC的距离为h, 戸, 1 则S SBC = 2BC h = 5. ???平移的距离是BC的长的2倍， ??? AD = 2BC, CE= BC, 1 ?四边形ACED的面积=^(AD + CE) h = 1 1 2(2BC + BC) h= 3 >^BC h = 3 X5 = 15. 例2 如图，两个全等的△ ABC和厶DEF重叠在一起，固定△ ABC，将△ DEF进行如下变换： (1) 如图1, △ DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD，请直接写出 S^A BC与S四边形AFED 的关系； (2) 如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ ABC应满足什么
第二章 图形与变换及一元二次方程 单元检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ） 2.如图1-2，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )． 图1-2 3.下列方程是一元二次方程的是( ) A ．x 2-2x=x(x+1) B ．x 22 -2x=x 2-2x C ．4x 2+3x=5 D ．2x 2-4x+1=2x 2 -21 4.下列方程适合用直接开平方法解的是 （ ） A ．x 2-4x+1=2 B ．x 2+1=2 C ．x 2-4x=0 D ．x 2 -4x+4=-2 5.方程x 2 -4x-3=0配方正确的是（ ） Ａ．x 2-4x+4=4-3 Ｂ．x 2-4x-4=4+3 Ｃ．x 2-4x+2=3+2 Ｄ．x 2 -4x+4=7 6.请你先观察图，然后确定第四张图为 ( ) 7. 如图1-6，将ΔPQR 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P 平移后的坐标是( )A ． (-2,-4) B ． (-2,4) C ．(2,-3) D ．(-1,-3) 8.在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如上图1-7中的△ABC 称为格点△ABC ．现将图中△ABC 绕点A 顺时针旋转180?，并将其边长扩大为原来的2倍，则变形后点B 的对应点所在的位置是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 图1-6 图1-7 9.如图1-8，ΔACD 和ΔAEB 都是等腰直角三角形，∠CAD ＝ ∠EAB ＝900 ．四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的是 ( )． A ．ΔACE 以点A 为旋转中心，逆时针方向旋转900 后与ΔADB 重合B ．ΔACB 以点A 为旋转中心，顺时针方向旋转2700 后与ΔDAC 重合 C ．沿AE 所在直线折叠后ΔACE 与ΔADE 重合D ．沿AD 所在直线折叠后，ΔADB 与ΔADE 重台 10.如图1-9，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1， 0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( ) A ．12a - B ．1(1)2a -+ C ．1(1)2a -- D ．1(3) 2a -+ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图1-10，P 是正△ABC 内的一点，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转到△P ′AB ，则∠PAP ′的度数为________． 12.三角尺在灯泡 的照射下在墙上形成影子（如图1-11 所示）. 50cm OA '=，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ． 13.如图1-12，ABC △与A B C '''△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 14.一元二次方程(m-2)x 2 +6x-16=0的根是 。 图1-9
7.1 [过关演练](30分钟55分) 1.下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是(B) 2.(2019·山东青岛)如图,将线段AB先向右平移5个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°,得到线段A'B',则点B的对应点B'的坐标是(D) A.(-4,1) B.(-1,2) C.(4,-1) D.(1,-2) 3.(2019·阜阳颍泉区模拟)如图,网格中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是(D) A.点A B.点B C.点C D.点D 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(C) A.12 B.6 C.6 D.6 【解析】连接B'B,∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴AC=A'C,CB=CB',∠A=60°,∴△AA'C是等边三角形,∴∠ACA'为60°,即旋转角为60°,∴∠BCB'=60°,∴△BCB'是等边三角形,∴B'B=BC=6.
5.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020.如果点A的坐标为(1,0),那么点B2020的坐标为(A) A.(-1,-1) B.(0,) C.(-,0) D.(-1,1) 【解析】∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴B(1,1),连接OB,由勾股定理得OB=,由旋转得OB=OB1=OB2=OB3=…=,∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°,∴B1(0,),B2(-1,1),B3(-,0),…,发现是8次一循环.∵2020÷8=252……4,∴点B2020的坐标为(-1,-1). 6.如图,在△ABC中,AB=6 cm,BC=4 cm,AC=4 cm.将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3 cm,得到△FDE,则图中阴影部分的面积为18cm2. 【解析】由平移可得,DF=AB,DF∥AB,∴四边形ABDF是平行四边形.又由平移的方向,可得∠ABD=90°,∴四边形ABDF是矩形.由平移可得,△ABC≌△FDE,BD=3 cm,∴S△ABC=S△FDE,∴阴影部分的面积=矩形ABDF的面积=AB·BD=6×3=18(cm2). 7.(2019·六安九中模拟)如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点B落在AD边的点F处,折痕为CE.若∠D=70°,则∠ECF的度数是35°. 【解析】∵将菱形纸片ABCD折叠,使点B落在AD边上的点F处,∴∠BCE=∠FCE,BC=CF.∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,BC=CD,∴CF=CD,∴∠CFD=∠D=70°,∵BC∥AD,∴∠BCF=∠CFD=70°,∴∠ECF=35°. 8.如图,把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置,它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半.若BC=,则△ABC移动的距离是.
轴对称图形（教参） 【教学目标】 1．通过具体实例认识轴对称图形、对称轴，能画出简单轴对称图形的对称轴． 2．探索轴对称图形的基本性质，理解“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”的性质． 3．会用对折的方法判断轴对称图形，理解作对称轴的方法． 4．通过丰富的情境，使学生体验丰富的文化价值与广泛的运用价值． 【教学重点、难点】 1．本节教学的重点是认识轴对称图形，会作对称轴． 2．轴对称图形的性质的得出需要一个比较复杂的探索过程，其中包括推理和表述，是本节教学的难点． 【教学准备】 学生：复习小学学过的轴对称图形，从现实生活中找4-5个轴对称图形． 教师：准备教学活动材料，收集轴对称图形，可上互联网查询． 【教学过程】
一、回顾交流，列举识别 1．怎样又快又好地剪出这个“王”宇．说明：让学生用纸、剪刀剪一剪． 2．这个“工”字有什么特征? 说明：对折后能够互相重合，具有这种特征的图形叫轴对称图形，这条折痕所在的直线叫 做对称轴． 3．在小学时，我们已经学过轴对称图形，请例举一些数学、生活中的轴对称图形． 说明：让学生举例以回顾小学所学的知识，丰富学习情境，但要注意学生所举的例子会存 在思路偏窄，教师要注意引导拓宽． 4．教师展示教学多媒体：指出下列图片中，哪些是轴对称图形． 说明：进一步丰富情境，体验轴对称的丰富的文化价值与广泛的运用价值． 二、合作探索，明晰性质 1．发给学生活动材料1 教学活动材料1 1．下列图形是轴对称图形吗?你是怎样判别的?讲给同伴听． 2．上述图形中，是轴对称图形的，找出对称轴． 3．在上述图形中，任选一个轴对称图形，绕着对称轴对折重合后，任选一对重合的点作上记号，如点A，A’，问： (1)点A，A’与对称轴有什么关系?
第二章图形与变换教案 (共6课时) 2.1轴对称图形（教参） 2.2轴对称变换 2.3平移变换 2.4旋转变换 2.5 相似变换 2.6图形变换的简单应用 2.1 轴对称图形（教参） 【教学目标】 1．通过具体实例认识轴对称图形、对称轴，能画出简单轴对称图形的对称轴． 2．探索轴对称图形的基本性质，理解“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”的性质． 3．会用对折的方法判断轴对称图形，理解作对称轴的方法． 4．通过丰富的情境，使学生体验丰富的文化价值与广泛的运用价值． 【教学重点、难点】 1．本节教学的重点是认识轴对称图形，会作对称轴． 2．轴对称图形的性质的得出需要一个比较复杂的探索过程，其中包括推理和表述，是本节教学的难点． 【教学准备】 学生：复习小学学过的轴对称图形，从现实生活中找4-5个轴对称图形． 教师：准备教学活动材料，收集轴对称图形，可上互联网查询www．Oh1l00．com．【教学过程】 一、回顾交流，列举识别 1．怎样又快又好地剪出这个“王”宇．说明：让学生用纸、剪刀剪一剪． 2．这个“工”字有什么特征? 说明：对折后能够互相重合，具有这种特征的图形叫轴对称图形，这条折痕所在的直线叫做对称轴． 3．在小学时，我们已经学过轴对称图形，请例举一些数学、生活中的轴对称图形．说明：让学生举例以回顾小学所学的知识，丰富学习情境，但要注意学生所举的例子会存在思路偏窄，教师要注意引导拓宽． 4．教师展示教学多媒体：指出下列图片中，哪些是轴对称图形．
说明：进一步丰富情境，体验轴对称的丰富的文化价值与广泛的运用价值． 二、合作探索，明晰性质 1．发给学生活动材料1 2．交流归纳，总结如下： (1)可用对折的方法判断一个图形是否是轴对称图形； (2)轴对称图形中互相对应的点称为对称点； (3)对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段． 三、运用性质，内化方法 1．分发教学活动材料2，学生独立思考． 2．同伴交流． 画对称轴 例1 如下各图的梯形ABCD 是轴对称图形，你有哪些方法画出它的对称轴? 教学活动材料1 1． 下列图形是轴对称图形吗?你是怎样判别的?讲给同伴听． 2．上述图形中，是轴对称图形的，找出对称轴． 3．在上述图形中，任选一个轴对称图形，绕着对称轴对折重合后，任选一 对重合的点作上记号，如点A ，A ’，问： (1)点A ，A ’与对称轴有什么关系? (2)再任选另外一对重合的点，试一试，上述关系还成立吗?
D C B A 第1题图 第6题图油 加运奥京北第7题图2019版中考数学复习 第七章 图形与变换讲义 习题精编 1、如图摆放的正六棱柱的俯视图是（ ） 2、如图，是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A 、直棱柱 B 、圆柱 C 、圆锥 D 、球 3、如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ） A B C D 4、如图是一个由6个大小相同、棱长为1的小正方体搭成的几何体，关于它的三视图下列说法中正确的是（ ） A 、主视图的面积为6 B 、左视图的面积为2 C 、俯视图的面积为5 D 、三种视图的面积都是5 5、如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） 主视图 左视图 俯视图 A 、9 B 、8 C 、7 D 、6 6、如图是正方体的平面展开图，每个字上标有一个汉字，与“油”字相对的面上的字是（ ） A 、北 B 、京 C 、奥 D 、运 7、某数学兴趣小组利用太阳光测量一 棵树的高度，如图，在同一时 刻，测得树的影长为4.8米，小明的 影长为1.2米，已知小明的身高为1.7米，则树的高度为
________米。
C D B A 俯视图 321 8、有四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（ ） 9、如图所示的几何体的左视图是（ ） 10、一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ） D C B A 11、如图，是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 第二节 图形的对称、平移与旋转 考点1 图形的对称 1、轴对称与轴对称图形 名称 定义 性质 区别 联系 轴承对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形守完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。 （1）对应线段互相平行；对应角相等；对称点的连线段被对称轴平分。 （2）轴对称变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 （1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形； （1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠； （2）如果把轴对称图形分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对
第七章图形与变换测试卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本题为共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1. (2018·长沙)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A) 2. (2019·柳州)如图，这是一个机械零部件，该零部件的左视图是(C) 3. (2019·海南)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，平移线段AB，使点A落在点A1(－2，2)处，则点B的对应点B1的坐标为(C) A. (－1，－1) B. (1，0) C. (－1，0) D. (3，0) ,第3题图),第4题图) 4. 如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是(A) A. 1，3，0 B. 0，－3，1 C. －3，0，1 D. －3，1，0 5. (2019·宜昌)如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(B) A. (－1，2＋3) B. (－3，3) C. (－3，2＋3) D. (－3，3) ,第5题图),第6题图),第7 题图) 6. (2019·天津)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为点E，连接BE，下列结论一定正确的是(D) A. AC＝AD B. AB⊥EB C. BC＝DE D. ∠A＝∠EBC 7. (2019·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED
七年级数学下册第二章图形和变换单元检测 一、选择题（每小题2分，共20分） 1、下列图形中,绕旋转中心旋转 600后能与自身重合的是( ) 2、对联“中华文明源远流长，专页报刊培育栋梁”中，成轴对称的汉字有（） Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个 3、下列说法中正确的有（）①等边三角形有三条对称轴；②四边形有四条对称轴；③等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长是或；④一个三角形中至少有两个锐角．Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个 4、为测试某电子表的准确时间，分四次记录了所显示时刻，显示图不是轴对称图形的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5、下列图形中对称轴最多的图形是（） 6、如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与成轴对称的三角形共有（）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个 7、如图，图案（1）变成图案（2）是由下列哪种变换而成的……………………（）（A）平移变换（B）轴对称变换 （C）旋转变换（D）相似变换 图案（1）图案（2） 8、如图，将四边形AEFG变换到四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是（）A、这种变换是相似变换B、对应边扩大到原来的2倍C、各对应角度数不变D、面积扩大到原来的2倍 9、把一个正方形三次对折后沿虚线剪下, 如图所示: 则所得的图形是( ) 10、4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180o后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左数起是（）A .第一张 B.第二张 C.第三张 D.第四张 11、数字是从镜子中看到的, 它所对应的实际数字是. 一张纸上写着一个号码，这个号码在镜子里的数字是，则实际纸上的号码是________．12、已知△ABC的面积为18,将△ABC作相似变换,使边长缩小到原来的13 ,得到 △A＇B＇C＇,则△A＇B＇C＇的面积为. 13、四个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，它们全部是轴对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是_____． 14、请指出图中从图1到图2的变换是变换。 15、小红驾驶着摩托车行驶在公路上，他从反光镜中看到后面一辆汽车的车牌为“”，根据有关数学知识，此汽车的牌照为______________ 16、要使正五角星旋转后与自身重合，至少将它绕中心顺时针旋转的角度为度。 17、如图4，已知正方形的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积是＿＿＿＿。
习题 2．试证明下述几何变换的矩阵运算具有互换性： （1）两个连续的旋转变换；（2）两个连续的平移变换； （3）两个连续的变比例变换；（4）当比例系数相等时的旋转和比例变换； （1）证明：设第一次的旋转变换为： cosθ1 sinθ1 0 T1= - sinθ1 cosθ1 0 0 0 1 第二次的旋转变换为： Cosθ2 s inθ2 0 T2= - sinθ2 cosθ2 0 0 0 1 则因为 T1*T2 = cosθ1 sinθ1 0 cosθ2 sinθ2 0 - sinθ1 cosθ1 0 - sinθ2 cosθ2 0 0 0 1 0 0 1 = cosθ1 cosθ2+sinθ1 sinθ2 cosθ1 sinθ2+ sinθ1 cosθ2 0 - sinθ1 cosθ2- cosθ1 sinθ2 -sinθ1 sinθ1+ cosθ1 cosθ2 0 0 0 1 Cos（θ1+θ2）sin（θ1+θ2） 0 = - sin（θ1+θ2） cos（θ1+θ2） 0 0 0 1 cosθ2 sinθ2 0 cosθ1 sinθ1 0 T2*T1 = - sinθ2 cosθ2 0 - sinθ1 cosθ1 0 0 0 1 0 0 1
cosθ1 cosθ2+ sinθ1 sinθ2 cosθ1 sinθ2+ sinθ1 cosθ2 0 = - sinθ2cosθ1- cosθ2 sinθ1 -sinθ1 sinθ1+ cosθ1 cosθ2 0 0 0 1 Cos（θ1+θ2）sin（θ1+θ2） 0 = - sin（θ1+θ2） cos（θ1+θ2） 0 0 0 1 即T1*T2= T2*T1, 两个连续的旋转变换具有互换性 （2）证明：设第一次的平移变换为： 1 0 0 T1= 0 1 0 Tx1 Ty1 1 第二次的平移变换为： 1 0 0 T2= 0 1 0 Tx2 Ty2 1 则因为 T1*T2 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Tx1 Ty1 1 Tx2 Ty2 1 1 0 0 = 0 1 0 Tx1+Tx2 Ty1+Ty2 1 而 T2*T1 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Tx2 Ty2 1 Tx1 Ty1 1 1 0 0 = 0 1 0
第二章 图形和变换 一、选择题（每题3分） 1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形的有（） A．1个B．2个 C．3个 D．4个 2、如图，每个小正方形网格的边长都为1，右上角的圆柱体是由左下角的圆柱体经过平移得到的。下列说法错误的是（） A.先沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上沿垂直的方向平移4个单位长度，然后再沿水平方向向右平移3个单位长度。 B.先沿水平方向向右平移7个单位长度，再向上沿垂直的方向平移4个单位长度 C.先向上沿垂直的方向平移4个单位长度，再沿水平方向向右平移7个单位长度 D.直接沿正方形网格的对角线方向移动7个单位长度 3、下面给出的是一些产品的商标图案，从几何图形的角度看(不考虑文字和字母)，既是轴对称图形又能旋转180°后与原图重合的是( ) 数学七年级(下) 复习测试题
4、4张扑克牌如图（1）所示放在桌面上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左数起是（ ） A ．第一张 B ．第二张 C ．第三张 D ．第四张 5、将一圆形纸片对折后再对折，得到右图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是 ( ) 6、 7、如图△ABC 与△A ’B ’C ’关于直线MN 对称，P 为MN 上任意一点，下列说法不正确的是（ ） A ．AP=A ’P B ．MN 垂直平分AA ’,C C ’ C ．这两个三角形面积相等 D ．直线AB ，A ’B ’的交点不一定在MN 上 A B C D
第7题 第8题 8、如图，BC 是等腰直角三角形ABC 的斜边，将△APB 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD 重合，则△APD 是 （ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 9、如图在矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中所标柱的数据，计算图中空白部分的面积是（ ） A ．2bc ab ac c -++ B ．()()c b c a -- C ．2a +ab ac-bc + D ．22b -bc a -ab + 10、右图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋 盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步。已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A 跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最小步数为（ ） A 、2步 B 、3步 C 、4步 D 、5步
武汉大学资源与环境科学学院刘吉平：ljpzwhu@https://www.doczj.com/doc/f410288462.html, 第一节图像表示与图像特征 图像的矩阵表示和向量表示；图像的统计特征：一阶直方图，均值（均值向量），方差（协方差矩阵）；图像处理的若干概念：线性运算，点处理、邻域处理、全局处理 1.1图像的矩阵表示 其中，分别为列和行方向采样间隔。矩阵的每个元素即为象素或像元。 . ,,2,1 ;,,2,1 . ,n j m i y j j x i i =′=′Δ′=Δ′=?? ?? ??? ?? ?????? ?????=),() 1,()5,2() 2,2()1,2()5,1()4,1()3,1() 2,1()1,1(),(n m f m f f f f f f f f f j i f x Δy Δ
武汉大学资源与环境科学学院刘吉平：ljpzwhu@https://www.doczj.com/doc/f410288462.html, 1.2 图像的向量表示 （在做图像相关等处理算法时更方便）。按行展开的向量表示为： 举例：矩阵： 向量：[] [] 123,,,,,,(,1),(,2),(,3),,(,),(1,2,,). T i m i f f f f f f f f i f i f i f i n i m === [] 2098 2 0 9 8 6 8 0 26805276 5 2 7 6 2 0 4 12041 2T
武汉大学资源与环境科学学院刘吉平：ljpzwhu@https://www.doczj.com/doc/f410288462.html, 1.3 图像的统计特征 一阶直方图 反映图像灰度级与灰度级频数的关系的图形。式中M 是以(i ,j )为中心的测量窗口中的总象素数，N (b )为测量窗口中灰度值为ｂ的像元数。在平稳性的假设下测量窗口一般取为整幅图像大小。直方图的实例如下图所示： ()()M b N b P ≈
第一节投影、视图与尺规作图 要题随堂演练 1．(xx·嘉兴中考)下列几何体中，俯视图为三角形的是( ) 2．(xx·菏泽中考)下图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道，其左视图是( ) 3．(xx·聊城中考)如图所示的几何体，它的左视图是( ) 4．(xx·荆门中考)某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．(xx·临沂中考)如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)．根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是( )
A．12 cm2 B．(12＋π)cm2 C．6π cm2 D．8π cm2 6.(xx·河北中考)图中三视图对应的几何体是( ) 7．(xx·潍坊中考)如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： (1)作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C； (2)以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； (3)连接BD，BC. 下列说法不正确的是( ) A．∠CBD＝30° B．S△BDC＝ 3 4 AB2 C．点C是△ABD的外心 D．sin2A＋cos2D＝1 8．(xx·青岛中考)一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有种．
9．(xx·白银中考)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为． 参考答案 1．C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8．10 9.108 欢迎您的下载，资料仅供参考！
第七章《图形与变换》自我测试 [时间：90分钟分值：100分] 一、选择题(每小题3分，满分30分) 1．(2011·义乌)下列图形中，中心对称图形有() A．4个B．3个C．2个D．1个 2．(2011·杭州)正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．梯形D．菱形 3．(2011·潍坊)如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空 白的两个小正方形涂黑，得到新的图形(阴影部分)，其中不是 ．．轴对称图形的是() A B C D 4．(2010·泸州)如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合，则θ的取值可能为() A．90°B．60°C．45°D．30° (第3题) (第4题) (第5题) 5．(2010·自贡)边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示阴影部分)，则这个风筝的面积是() A．2－3 3 B. 2 3 3C．2－ 3 4D．2 6．(2011·乐山)如图，直角三角板ABC的斜边AB＝12 cm，∠A＝30°，将三角板ABC绕C 顺时针旋转90°至三角板A′B′C′的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A′B′C′平移的距离为()[来源:学_科_网] A. 6 cm B. 4 cm C. (6－2 3) cm D．(4 3－6) cm
(第6题) (第7题) (第8题) 7．(2011·烟台)如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是() A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD 8．(2011·黄冈)如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为() A．4 B．8 C．16 D．8 2 9．(2010·东营)把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向 平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换． ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在 这种图形变换(如图甲)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变 ．．．．．换．过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是() A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 (第9题) (第10题) (第12题) 10．如图所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB∥CD)，如果已知物体AB＝30，则CD的长应是() A．15 B．30 C．20 D．10 二、填空题(每小题3分，满分30分) 11．(2011·泉州)等边三角形、平行四边形、矩形、圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是________． 12．(2011·永州)永州市新田县的龙家大院至今已有930多年历史，因该村拥有保存完好的“三堂九井二十四巷四十八栋”明清建筑，而申报为中国历史文化名村．如图是龙家大院的一
第四章 OpenGL 图形变换 OpenGL 图形变换是OpenGL 技术体系的核心内容之一，它的最主要功能是让虚拟世界里的物体动起来，是虚拟世界的动力驱动系统，也可以称之三维图形系统的引擎！ OpenGL 图形变换的主要内容包括几何变换、投影变换、裁剪变换、视口变换等，本章尽量以通俗易懂的方式来讲解各技术要点。 4. 1 图形变换浅说 OpenGL 图形变换和照相是非常相似的，它们之间的关系大致描述如下。 1、视点变换（View Transformation ） 视点变换相当于把相机放到一定的位置上，镜头对准场景。如图4-1所示。 图4-1 视点变换与相机定位 在OpenGL 中， 默认情况下，视点变换相当于把相机放到世界坐标系的原点 （0 ，0 ，0），镜头指向Z 轴的负方向，相当于从世界坐标系的原点向屏幕内部的虚拟场景观察。 2、模型变换（Model Transformation ） 模型变换相当于场景中人物或对象位置的变化、角度的改变和大小的改变。 图4-2 虚拟照相场景中的人物 Y X Z 观察方向 X
照相时场景中的人物或对象需要作调整，以便他们位于场景中合适的位置上。有此时候人物不在视野范围内时，还要走动一下，进入镜头场景内，方向不对时，还要转动一下，眼睛转向镜头。比如图4-2所示，照相时，警察不在镜头场景内，他需要向后向移动。中间的企鹅背对镜头，他需要转过向来面向镜头。企鹅向左边的气球中吹气，气球变大。调整后的场景如图4-3所示。 图4-3 虚拟照相场景中的调整后人物或对象 上述调整过程中的人员移动 和企鹅的转身动作 和气球充气变大 都属于模型变换。 3、投影变换（Projection Transformation ） 投影变换相当于调整相机镜头焦距，放大或缩小景物（如图4-4所示）。 图4-4 投影变换与相机焦距调整 OpenGL 中投影变换的本质功能是定义一个视景体，使视景体外的多余部分被裁剪掉，再把景物变换到一个规则投影体（高、宽、深均为2个单位的立方体）。 Z Y X 观察方向
2.1轴对称图形（教参） 2.2轴对称变换 2.3平移变换 2.4旋转变换 2.5 相似变换 2.6图形变换的简单应用 2.1轴对称图形（教参） 【教学目标】 1．通过具体实例认识轴对称图形、对称轴，能画出简单轴对称图形的对称轴． 2．探索轴对称图形的基本性质，理解“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”的性质． 3．会用对折的方法判断轴对称图形，理解作对称轴的方法． 4．通过丰富的情境，使学生体验丰富的文化价值与广泛的运用价值． 【教学重点、难点】 1．本节教学的重点是认识轴对称图形，会作对称轴． 2．轴对称图形的性质的得出需要一个比较复杂的探索过程，其中包括推理和表述，是本节教学的难点． 【教学准备】 学生：复习小学学过的轴对称图形，从现实生活中找4-5个轴对称图形． 教师：准备教学活动材料，收集轴对称图形，可上互联网查询www．Oh1l00．com．【教学过程】
一、回顾交流，列举识别 1．怎样又快又好地剪出这个“王”宇．说明：让学生用纸、剪刀剪一剪． 2．这个“工”字有什么特征? 说明：对折后能够互相重合，具有这种特征的图形叫轴对称图形，这条折痕所在的直线叫做对称轴． 3．在小学时，我们已经学过轴对称图形，请例举一些数学、生活中的轴对称图形．说明：让学生举例以回顾小学所学的知识，丰富学习情境，但要注意学生所举的例子会存在思路偏窄，教师要注意引导拓宽． 4．教师展示教学多媒体：指出下列图片中，哪些是轴对称图形． 说明：进一步丰富情境，体验轴对称的丰富的文化价值与广泛的运用价值． 二、合作探索，明晰性质 1．发给学生活动材料1 教学活动材料1 1．下列图形是轴对称图形吗?你是怎样判别的?讲给同伴听．
第二章 图形和变换单元检测试卷 、选择题（共10小题，每小题3分，共30 分） 温馨提示：每小题四个答案中只有一个是正确的，请把正确的答案选出来! 1?下列图形中，旋转 60°后可以和原图形重合的是（ ） AC _ AB ■，则? BAC 的度数是（ 之比是（ ） A 、正六边形 B 、正五边形 C 、正方形 D 、正三角形 2.如图1,面积为12cm 2的三角形ABC 沿BC 方向平移至三角形 DEF 的位置，平移的距离是边 BC 3、如图2,将厶ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转 D 、无法确定 第4题 A D 20 ° B 点落在一位置，A 点落在A 位置，若 A . 50 ° B . 60° C . 70° D . 80 ° 4.如图3, —块等边三角形木板 ABC 的边长为 1,现将木板沿水平线翻转 （绕一个点旋转） ，那么 A 点从开始到结束所走的路径长度为（ B.2n D. 3 5.如图，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心, 将一块半径足够长, 圆心为直角的扇形纸板的圆心放在 O 点处，并将纸板的圆心绕 旋转，求正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的面积为（ A. 1a 2 3 B . -a 2 4 C. -a 2 2 1 D. a 4 6. P 是等边 ABC 内部一点，? APB 、? BPC 、? CPA 的大小之比 是5:6:7，所以PA 、PB 、PC 的长为边的三角形的三个角的大小 A . 2:3:4 B. 3:4:5 C. 4:5:6 D.不能确定 36cm J V ACED 的面积为 （ 2 C 、 48cm 第3题 B Q
7.用一个5倍的放大镜去观察一个三角形，对此，四位同学有如下说法：甲说：三角形的每个内角 都扩大到原来的5倍；乙说：三角形的每条边都扩大到原来的5倍；丙说：三角形的面积扩大到原来的5倍；丁说：三角形的周长都扩大到原来的5倍.上述说法中正确的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.3 8.如图是5级台阶侧面的示意图（每个台阶的宽度和高度可能不同） 在台阶上铺地毯，则至少要测量（） A.1次 B.2沉 C.3次 D.4次 9.已知/ AOB=45,P是它内部的一点，点P关于OA OB的对称点分别是C和D,则厶COD一定是 （） A.锐角三角形 B. 钝角三角形 10.把一个正方形三次对折后沿虚线剪下 如图所示：则所得的图形是（）C. 等边三角形D.等腰直角三角形 王計右折右下方折沿虚线剪开<□ D 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24 分） 温馨提示：填空题必须是将最简洁最正确的答案填在空格处! B 11.已知/ AOB是由/ DEF经过平移变换得到的，且/AOB+ Z DEF = 120°.则/ AOB =_度. 12.如图，三角形ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM=3cm，三角形ABC的周长是22cm，则 三角形ABN的周长是___________ 13 .如图，△ ABC可看做是厶DEC通过________________ 变换而得? 14.如图,ABC经过相似变换得A DEF若Z ABC = 20°Z BCA= 40°, AB:DE = 2:1,则Z EDF的度数是__________ （第13 题） 15.如图所示，把△ ABC绕点C顺时针旋转35 °得到△ AiBQ, AB交AC于点D，若 Z A）DC = 90 ° 则Z A= __________ 16.如图，P是Z AOB内一点，P1, P2分别是点P关于OA, OB的对称点，连接P1P2 , 交OA于点M，交OB于点N,已知P1P2 = 5切，则厶PMN的周长为_____________ C 第14题