第十一章 静不定结构
11.3求图示静不定梁的两端反力。设固定端沿梁轴线的反力可以省略。 解：（a ）问题是二次静不定的。由对称性2
ql B A R R ==（向上）。研究图示同解梁。变形
条件 06)
2/(2)2/)(2/(2
/3
2
=-+=
EI
l q EI l ql EI l m A A θ
解得 12ql
A m -=（逆），由对称性12
ql
B M =
11.4a 图示结构中，梁为16号工字梁，拉杆的截面为圆形，d =10mm,两者均为A3钢，E=200GN/m 2.试求梁及拉杆内的最大正应力。
解：问题是一次静不定的。去B 变形谐调条件为B B f δ=。 即 -EI
l N B δ3+EA
l N EI ql B 14
8=
解得
N N ql
B 3400010/5000101138105.14224531?==
??? ?
???? ??????? ????+π 梁的M 图如图。 k N m M 0.22max =
kN N N B BC 5.14== 于是，杆内 210105.144max /1563
3m MN A
N BC ==
=
???πσ 梁内
210141100.22max /1563
6max
m MN z
W M ==
=
??σ
11.4作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的ＥI 皆相等。
解：（a ）问题是一次静不定的。去C 处多余约束，静定基如图。变形谐调条件0=c f 。
11)(Rcx x M = （0≤1x ≤α）,22)(Px Rca x M -= （0≤2x ≤α）
??
?
=-=
-+=
=??l
a
a
EI Pa EI
Rca EI
EI
Rc
M EI
M
c adx Px Rca dx x Rcx dx f 0
23422111110)()(3
3
解得 P R C 8
3
=（向上）
Pa a R M C B 83
==, a a C B P P a R M 85=+-= ，M 图如图示。
（c ）问题是二次静不定的。去A 点两个位移约束，静定基如图。变形谐调条件为
0=A u ， 0=A v 。 11)(x R x M X = （0<1x <4）,
2
2222)(qx Y X x R a R x M -
+= （0<2x <7 ） ???
????=-+=-+==-+=-++=???+b EI qb EI b R EI ab R qx Y X EI A EI qab EI ab R EI b a a R a b qx Y X EI X EI A Y X Y X dx x x R a R v adx
x R a R dx x x R u 083222221
623)3(0022
2111110)(0
)()(4322
23
2222 化简，代入数据???=+=+21228
712712
343800Y X
Y X R R R R
解得 kN R X 318.2-=， kN R Y 49.12=。 m kN a R M X B ?-==27.9 kN b R a R M qb Y X C -=-
+=8.192
2
极值点 m x q
R M Y
123.3==
，.23.1022
kNm x R M M qx M Y E =-=, M 图如图所示。
11.7为改善桥式起重机大梁的刚度和强度，在大梁的下方增加预应力拉杆CD 。梁的计算简图如图b 所示。由于CC ’和DD ’两杆甚短，且刚度较大，其变形可以不。试求拉杆CD
因吊重P 而增加的内力。 解：由静平衡得2
P
B A R R =
-将拉杆CD 切开如图，设在P 作用下切口沿1x 方向位移为P
1?在单位力11=X 作用下切口沿1x 方向位移为11δ，则在P 及1X 联合作用下切口沿1x 方向位移011111=?+=?P X δ
P
M 图
9.27
x )
(x 1 1N ( M(x )
在P 作用下梁轴力及拉杆CD 轴力0==CD AB N N
[]
{}EI
L Pe L P L PL EI EA C EA C EI
P c N N M 8)2(4)(221
42121113121111
1002 ----=++??-??-=++=
?ωωω
)()(1
2
1
11
1
11A A
I E EA EA
EI e e ++
=+
+
?=
δ代入①得[
]0)(8)
(11
1212
=+++--EI
ZL e P A A E x
得)(8)2()(11
112
1
1128)
(A
A I E A A I E E EI ZL Pe I L Pe X ++-++=
=
-
11.9 图示静不定刚架的EI 为常量。试用卡氏定理或莫尔积分，直接求出铰支座的反力。 解：问题是二次静不定的。去C 处两个位移我余约束，得静定基如图所示。 变形谐调条件为0=c u ，0=c v 。
用卡氏定理 2/2/)(2
111l R qx x R x M H v --= （0≤x 1 10 211 221)2/)(2/(2 1dx l l R x R dx x R u H qx V EI H EI c {? =--= 1 112110 )2/(2 1 dx x l R x R v H qx v EI c l/2 化简 ?????=--=-8 41 3112 41247ql H V ql V H R R R R 解得 10 ql H R = （向左）， ql R v 20 9 =（向上） 11.10 链条的一环如图所示。试求环内最大弯矩。 R V 解：由对称性，取图示1/4结构讨论，有2/P Q B =，0=B N ，0=B θ θθsin )(2R M M P B += （0≤θ≤2π ） R M x M P B 2)(+= （0≤x ≤α） 即 0 )(22 22 =+++Ra M a R P PR B π 解得 PR M a R a R B 2++- =π， 2212/2 PR M M a R PR B CD +-= + =ππ。 显有 PR M M M a R a R A B 2max ++= ==π 11.13车床夹具如图所示，EI 已知。试求夹具A 截面上的弯距。 解：由对称性讨论1/6园环（曲杆CA 段）。可判定 0=A Q ， 0=A θ 。 由BC 与AC 对称条件，考虑ACB 段曲杆平衡，易求P N A 3 3= 。 由卡氏定理 )c o s 1()(33θθ-+=PR M M A （0≤θ≤3π） ? =??-+ =3 3 31 01))cos 1((πθθθRd PR M A EI A 即 )(2133 3 =-+RP RP M A π 解得 PR PR M A 100.0)(3 3 23 =- =π ??=??++??+= 20 0212 10 1)(1)sin (π θ θθa P B EI P B EI b dx R M Rd R M M B N A 11.15求解图示静不定刚架。 解： 0111=?+P X δ ( )[] 2)( 22)(2 2 2 322 2 2 111122211 13???+?? ???= =??= ??a a a a a EI EI P a a a EI P a a δρ EI a a a EI 12721213 33)(=+= 7 612721)/()(3 311 1P EI a EI Pa P X -=-== ?-δ 第十二章 动 载 荷 12.2长为l 、横截面面积为A 的杆以加速度α向上提升。若材料单位体积的重量为γ，试求杆内的最大应力。 解：沿m-n 将杆件截开，取下半部分为研究对象。该部分杆件长度的重量为γAx ,相应的 惯性力为a g Ax γ ,且方向向下。于是作用在杆件上的重力、惯性力和提升力N d 组成平衡力系。 0=-- γγ Ax a g Ax N d x )1( +=g a Ax N d γ )1(+== g a x A N d d γσ n )1( max +==g a l l x d γσ (a ) (b) a/2 a/2 a/2 a/2 12.5轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。若轴与盘以ω=40rad/s 的匀角速度旋转，试求轴 内由这一圆孔引起的最大正应力。(原图见教材) Φ300 解：钢的比重为7800N/m 3 。 N P d 10600404.0)780003.03.0(224=?????=π m N M d ?=??=21204.01060021max 22512.0212032max /5.12/101252 max m MN m N W M d d =?== = ??πσ12.9图示机车车轮以n=300r/min 的转速旋转。平行杆AB 的横截面为矩形，h =5.6cm,b =2.8cm,长度l =2m,r =25cm,材料的密度为ρ=7.8g/cm 3。试确定平行杆最危险的位置和杆内最大正应力。 解：由于弯曲是平行杆强度的主要因素，而当平行杆在最低点位置时，惯性力与重力的方向一致，故平行杆的最低点位置是最危险的位置，这时单位长度上所受到的力为（原图详见教材） m N q d /3015)(25.0)7800056.0028.0(2 602300=???=?π q m N q q q m N q f d f /3135/12081.9)7800056.0028.0(=+==???= B 平行杆内最大弯曲正应力为 6056 .0028.023135m a x /107102 6 1 2 81max MN W M d d =?= = -????σ 12.13 AB 杆下端固定，长度为l, 在C 点受到沿水平运动的物体G 的冲击。物体的重量为Q ，其与杆件接触时的速度为v 。设杆件的E 、I 及W 皆为已知量。试求AB 杆的最大应力。 解：利用能量守恒定律来确定C 点处的冲击位移d ?，从而确定动荷系数K d 。 在冲击过程中，物体G 的速度v 减低为零，所以动能的减少为g Qv T 22=；又因冲击是沿水 平面方向的，所以物体的位能没有改变，也就是V=0。 杆内变形能U ，可由力d P 在冲击过程中所作的功来计算，即d d d P U ?= 2 1 。由于杆 受水平方向冲击后将发生弯曲，所以这里的d ?是杆在被冲点C 处挠度，它与d P 间的关系为EI a P d d 33= ?，由此得2343 d a EI P ?= 将上面求出的T 、V 和4U 23212)(32 d a EI g Qv ?= 由此解出d ?为i g v i g v EI Qa g v d i ??=?= =?22 3 2 )(3 式中的EI a P d d 33= ?，动荷系数, M 图 3 223gQa EIv g v d i i d K = = = ??? 水平力Q 作用于C 点时，杆的固定端处横截面最处边缘上的点 即杆的危险点处的静应力为 W Qa W M i ==max σ 杆在危险点处的冲击应力d σ为： 2 22 3gaW Q EIv W Qa g v i d d i K = ?= =?σσ 12.16直径d=30cm 、长为l =6cm 的圆木柱，下端固定，上端受重W=2KN 的重要作用。木材的E 1=10G p a 。求下列三种情况下，木桩内的最大正应力： （a ） 重锤以静载荷的方式作用于木桩上； （b ） 重锤从离桩顶0.5m 的高度自由落下； （c ） 在桩顶放置直径为15m 、厚为40mm 的橡皮垫，橡皮的弹性模量MPa E 8 锤也是从离橡皮垫顶面0.5m 的高度自由落下。 W 解：（a ）263.04/2000/0283.0102 m MN i =?-?πσ 橡皮 （b ）2 1070 .15 .0253 .04/10106 2000/88.60283.0243243111070.15 29m MN K K m i d d d i =?===++=?==?-??-????σσπ d （c ） m i 44515 .010804 .020005 1083.51066.51070.110 70.124 6---????-?=?+?=+?=?π 74.401083.5114) 04.05.0(2=?+ +=--d K 2/15.10283.074.40m MN K i d d =?==σσ 12.17图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在1kN 的静载荷作用下缩短 0.0625cm 。钢杆的直径d =4cm,l =4cm,许用应力〔σ〕= 120MPa ，E=200GPa 。若有重为15kN 的重物自由落下，求其许可的高度H 。又若没有弹簧，则许可高度H 将等于多大？ 解：（1）有弹簧时，弹簧常数 2 2602 .015000 310 6.11500002 .010 2004 150006625.01000/12/94.11101062.9/106.1/16002 6 2 9 m MN m MN m m N mm N c A Q i c Q EA Ql i ≈=?= = ?=+ = += ??=== -?-?????ππσ 15kN l [] 1011121202==≤=++=?i i d i H d K σσσσ 许可的高度()[]m H i i 385.01062.94040111032 2 1 =??=?=? --≤ - （2）又若没有弹簧时，则m EA Ql i 302.01020041500010239.02 9-?????== = ?π 许可高度 ()[]m H i i 00956.010239.04040111032 2 1=??=?=? --≤ - 12.19圆轴直径d =6cm ,l =2cm,左端固定，右端有一直径D=40cm 的鼓轮。轮上绕以钢绳， 绳的端点A 悬挂吊盘。绳长l 1=10m,横截面面积A=1.2cm 2,E=200GPa 。轴的剪变模量G=80GPa 。重量Q=800N 的物块自h =20cm 处落于吊盘上，求轴内最大的剪应力和绳内最大正应力。 解 D GI l Q EA Ql i P D 33101201020010800210629.010333.06 921--?????=?+?=+ = ?+ = ?-1111310962.02 .022++=++=-???i H d K 6 06.02.08001677.3103 MN N n W M j =?== -???πτ14367.64.21K j d d =?==σσ 第十三章 交 变 应 力 13.1火车轮轴受力情况如图所示。a =500mm,l =1435mm,轮轴中段直径d =15cm 。若P =50kN,试求轮轴中段截面边缘上任一点的最大应力σmax 、最小应力σmin 、循环特征r ,并作出σ-t 曲线。(原图见教P141.) 解：22615.05 .01050max /5.75/105.75332 3332 m MN m N d Pa W M =?== = = ???π πσ 1 /5.755 .755.752 max min max min -== = -=-=-σσσσr m MN 13.5货车轮轴两端载荷P=110kN ，材料为车轴钢,σb =500MPa,σ-1=240Mpa 。规定安全系数n =1.5。试校核Ⅰ—Ⅰ和Ⅱ—Ⅱ截面的强度。（原图见教材P142.） 解：校核Ⅰ—Ⅰ截面的强度： 23 .1/9.72/9.72/109.721081332 max min 226108 .0082 .010110108.0082.0max 3 32 3 332 ==-=-==?=== = ?????d D P W M m MN m MN m N σσσππ 由教材图13-8（c ）查得：当2 /500m MN b =σ时，34.1=σK 由教材表13-1查得： 当mm d 108=时，碳钢70.0=σε 由教材表13-2查得： 当2 /400m MN b =σ时，车削加工，95.0=β 当2 /800m MN b =σ时，车削加工，90.0=β 用插入法求得： 当2 /500m MN b =σ时，车削加工，94.0=β 根据教材（13-11）式可知：5.162.19.72240 94 .070.034 .1max 1 === =??-n n K σσσβ σεσ 校核Ⅱ—Ⅱ截面的强度 ： 226133 .0118 .010110133.0118.0max /2.56/102.563 3 3 33 m MN m N P W M =?=== =?????ππ σ 2max min /2.56m MN -=-=σσ 3.013340==d r ； 1.1133146==d D 由教材图13-8（a ）查得：当2 /500m MN b =σ时，2 .1=σK 由教材表13-1查得：当mm d 133=时，碳钢68.0=ε 由教材表13-2查得：当2 /400m NM b =σ时，粗车加工，85.0=β 当2 /800m MN σ时，粗车加工，80.0=β 用插入法求得：当2 /800m MN b =σ时，粗车加工，84.0=β 根据教材（13-11）式可知：5.103.22.56240 84 .068.02 .1max 1 =>== = ??-n n K σσσβσ εσ 结论：车轴强度足够。 13.6在σm -σa 坐标系中，标出与图示应力循环对应的原点，并求出自原点出发并通过这些点的射线与σm 轴的夹角a 。 解：（b ） ' 2663;20 11113 1120403 13 1 max min ==== -== = -++--a tga r r r σσ (d) 5 120040max min == =σσr '4133;6667.0011115 1 15=== = +-+-a tga r r 200 第十四章 压 杆 稳 定 14.1某型柴油机的挺杆长度l =25.7cm,圆形横截面的直径d =8mm,钢材的E=210Gpa,MPa p 240=σ。挺杆所受最大压力kN P 76.1=。规定的稳定安全系数 5~2=st n 。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，μ=1, 1294 /008.0257.01== =?i l μλ 而 9.926 9 22102401021014.31== = ???p E σπλ 1λλ 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 kN P L EI lj 30.62 644 )5108(14.3922 2) 257.01(1021014.3)(== = ?? ??-??μπ 58 .376.130 .6=== P P lj n 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm ，内径d =44mm,l =950mm.材料为30CrMnS i N i 2A, 试求斜撑杆的临界压力lj P 和临界应力lj σ。（原图见教材P173.）(GPa E MPa MPa p b 210,1200,1600===σσ) 解：斜撑两端按铰支座处理， 5 .419 .55017.0044.0052.06 921012001021014.31017.095.01224 1224 1== = ====+= += ????p E i l m d D i σπμλλ 1λλ ，可用拉欧公式计算 2 )044.0052.0(1040164 ) 044.0052.0(14.3) 95.01(1021014.3)(/665401224 3 4 49 222m MN kN P A P lj l EI lj lj == = =?= = -?-???π σμπ 14.5三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,MPa s 240=σ.两端均为铰支，长度分别为l 1l 2和l 3，且m l l l 532321===。试求各杆的临界压力lj P 。 解：对于A3钢 1.57,10012 .1240 3042===≈--b a s σλλ 分别计算三杆的柔度 3 .31)3(5.62)2(125)1(4 /16.025.114/16.05.214/16.05 13 32 21 1== = ======???i l i l i l μμμλλλ 杆1 kN P l EI lj 254064 16 .014.3)51(1020014.3)()1(4 2 9 22 12=?= = ????μπ 杆2 kN A b a P lj 470016.010)5.6212.1304()(2414 .36)2(=????-=-=λ 杆3 kN A P s lj 482016.010*******.36)3(=???==σ 14.10在图示铰接杆系ABC 中，AB 和BC 皆为细长压杆，且截面相同，材料一样。若因在ABC 平面内失稳而破坏，并规定2 0πθ< <，试确定P 为最大值时的θ角。 解：设AB 、BC 杆的压力分别N 1，N 2 θθsin ,cos 21P N P N ==或12,P tg N N ==θ设AB 杆长为l 1,则BC 杆长θtg l l 12=β ππ2 122 21 2 21,tg P l EI lj l EI lj lj P P = == 只有当N 1和 N 2都达到临界压时，P 才最大，把上两式代入 ) (2 1 2121 21 2βθβ θβ c t g tg ctg tg tg P P N N lj lj -=∴== = = 14.13蒸气机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为A3钢。连杆所受最大轴向压力为465kN.连杆在摆动平面（xy 平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的xz 平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。(原图见教材P176.) 解：先计算横截面的几何性质 4 612014 .0085.012 096.0)085.014.0(4 512085 .0082.012 14.0096.02 31007.41078.11047.6082.0085.0096.0140.03 3 3 3 m I m I m A y z -??--??-?=+= ?=-= ?=?-?= 在xy 平面内失稳 在xy 平面内失稳 和λ2很接近，已属强度问题，不用再算。 14.15某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3钢，起重机 的最大是P=40kN.若规定的稳定安全系数为5=ωn ，试校核BD 杆的稳定性。 解：对A 点取矩计算DB 杆中的压力N kN N N 107,2405.130sin =?=?? 27.315201047.6102356.610.590525.04651520 3612 .1235 3040525.010.3110 47.61078.135====???====<======--???--P P s lj i l z A I z lj z z n kN A P m i σλλμ8 .61,02512.0251.010 .35.0=====?y i l y y y m A I i μλ 查槽钢表得m i m A y 0209.0,1083.3224=?=-， DB 杆长m l 73.1866 .05.1== 为柔度为 1008.820209 .073.11<== ?λ 用中等柔度杆的公式计算临界应力 5 48.6693102111083.32/2118.8212.130412.130******** 4 2 >=== =???===?-=-=-P P lj lj lj lj n kN A P m MN σλσ 安全. 14.16 10号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。钢管的内径和外径分别30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。梁及钢管同为A3钢。当重为300N 的重物落于梁的A 端时，试校核AB 杆的稳定性。规定稳定安全系数5.2=ωn 。 解：先把重量300N 静止放在A 处，计算AB 杆中承受的压力及A 处的垂位移。AC 梁 查表得4 8 10245m I -?= N m EI l /1084.15 10245102003338 93 3-?????== - AB 杆 N m m A EA L /1082.11050.5)03.004.0(8 102451020022 42244 9 -???-?== ?=-=-π 设AB 杆受到压力N ，由A 处垂直位移， 可得如下关系式 EA NL EI l N = -3 )300( 或 N N 8 5 1082.1)300(1084.1--?=-? 算出 N N N 3007.299≈= A 处垂直位移 m l 68 1046.510 82.1300--?=??=? 代入垂直下落撞击的动载系数公式 5.6111116 1046.501 .022=++=+ +=-???j h d K AB 杆受的动压力为 kN P K P j d d 5.183005.61=?== 再计算AB 杆的临界压力 160 0125.003.004.00125 .021224 1224 1 ===+= += ?λm d D i 用欧拉公式计算 5 .229.23.42)03.004.0(5 .183.42446414.3)21(1020014.32 9 2<== = =-?=???P P lj lj n kN P 不安全。 1.5m 0.5m 第七章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 §7-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法： 二、静定结构的内力 1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。（ ） 2、静定结构受外界因素影响均产生内力。大小与杆件截面尺寸无关。 （ ） 3、静定结构的几何特征是： A. 无多余的约束； B.几何不变体系； C. 运动自由度等于零； D.几何不变且无多余约束。 （ ） 4、静定结构在支座移动时，会产生： A. 内力； B. 应力； C. 刚体位移； D. 变形。 （ ） 5、叠加原理用于求解静定结构时，需要满足的条件是： A. 位移微小且材料是线弹性的； B.位移是微小的； C. 应变是微小的； D.材料是理想弹性的。（ ） 6、在相同的荷载和跨度下，静定多跨梁的弯距比一串简支梁的弯距要大。 （ ） 7、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。（） 8、图示为一杆段的M、Q图，若Q图是正确的，则M图一定是错误的。 （ ） M 图 Q图 9、图示结构的支座反力是正确的。 （ ） 10、当三铰拱的轴线为合理拱轴时，则顶铰位置可随意在拱轴上移动而不影响拱的内力。（ ） 11、简支支承的三角形静定桁架，靠近支座处的弦杆的内力最小。 （ ） 12、图示桁架有9根零杆。 （ ） 13、图示对称桁架中杆1至8的轴力等于零。 （ ） 14、图示桁架中，上弦杆的轴力为N = - P 。 （ ） 15、图示结构中，支座反力为已知值，则由结点D 的平衡条件即可求得。 （ ） N CD A B C D E 16、图示梁中，BC 段的剪力Q 等于 ，DE 段的弯矩等于 。 17、在图示刚架中， = M DA , 使 侧受拉。 a 18、图示桁架中，当仅增大桁架高度，其它条件均不变时，对杆1和杆2的内力影响是： A ．N 1，均减小； B ．N 2N 1，均不变； N 2C ．N 1减小，不变； D ．N 2N 1增大，不变。 （ ） N 2 超静定结构计算——力法 一、判断题: 1、判断下列结构的超静定次数。 (1、 (2、 (a (b (3、 (4、 (5、 (6、 (7、 (a(b 2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。 3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力,只与各杆件刚度的相对数值有关。 4、在温度变化、支座移动因素作用下,静定与超静定结构都有内力。 5、图a 结构,取图b 为力法基本结构,则其力法方程为δ111X c =。 (a(bX 1 c 6、图a 结构,取图b 为力法基本结构,h 为截面高度,α为线膨胀系数,典型方程中?12122t a t t l h =--(/(。 t 2 1 t l A h (a(bX 1 7、图a 所示结构,取图b 为力法基本体系,其力法方程为。 (a(bP k P X 1 二、计算题: 8、用力法作图示结构的M 图。 B EI 3m 4kN A 283 kN 3m EI /m C 9、用力法作图示排架的M 图。已知 A = 0.2m 2,I = 0.05m 4 ,弹性模量为E 0。 q 8m =2kN/m 6m I I A 10、用力法计算并作图示结构M 图。EI =常数。 M a a a a 11、用力法计算并作图示结构的M图。 q l l ql/2 2 EI EI EI 12、用力法计算并作图示结构的M图。 q= 2 kN/m 3 m 4 m 4 m A EI C EI B 13、用力法计算图示结构并作出M图。E I 常数。(采用右图基本结构。P l2/3l/3l/3 l2/3 P l/3 X 1 X 2 14、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。 3m 6m 第1节 静定平面桁架 一、桁架的内力计算方法 1、结点法 取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。该法最适用于计算简单桁架。 根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化： （1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。 （2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。 （3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。 F N3 F N3=0 F N1=F N2=0 F N3=F N4(a) (b)(c)F N4 (d)F N3=F P F P N1F F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N3 F N3 F N1=F N2，F N1=F N2， F N1=F N2， 图2-2-1 （4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。例如 图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。 1A 2 F P F P A F P F P B F P F P B A (b)(a) X =0 图2-2-2 图2-2-3 （5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。 （6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。 0B F P F P F P F P B － A' B' A － A (a) (b) 图2-2-4 2、截面法 截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个平衡方程求解。该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算。 在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化。 截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆称为截面单杆。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。 截面单杆可分为两种情况： （1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆。计算时，对其中两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图2-2-5（a ）中，CD 、AD 、AB 杆都 第八章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法： 第四章 超静定结构计算——力法 一、判断题： 1、判断下列结构的超静定次数。 （1）、 （2）、 (a ) (b ) （3）、 （4）、 （5）、 （6）、 （7）、 (a)(b) 2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。 3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。 4、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。 5、图a 结构，取图b 为力法基本结构，则其力法方程为δ111X c =。 (a) (b) X 1 6、图a 结构，取图b 为力法基本结构，h 为截面高度，α为线膨胀系数，典型方 程中?1212 2t a t t l h =--()/()。 t 21 t l A h (a) (b) X 1 7、图a 所示结构，取图b 为力法基本体系，其力法方程为 。 (a)(b) 1 二、计算题： 8、用力法作图示结构的M 图。 3m m 9、用力法作图示排架的M 图。已知 A = 0.2m 2 ，I = 0.05m 4 ，弹性模量为E 0。 q a a 11、用力法计算并作图示结构的M 图。 ql /2 12、用力法计算并作图示结构的M 图。 q 3 m 4 m 13、用力法计算图示结构并作出M 图。E I 常数。（采用右图基本结构。） l 2/3 l /3 /3 l /3 14、用力法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 3m 3m 2m 2m 2m 2m 16、用力法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l q l l 17、用力法计算并作图示结构M 图。E I =常数。 18、用力法计算图示结构并作弯矩图。 16 1 kN m m m m 19、已知EI = 常数，用力法计算并作图示对称结构的M 图。 q l l q 9-1 同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概 念分析习题答案 9-1 试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。 9-2 试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出M 图，并求刚结点B 的转角φB 。 解：设EI=6，则5.1,1==B C A B i i 53.05 .13145.1347 .05 .13141 4=?+??==?+??=B C B A μμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩 -67.05 45.9 -45.9 ()()() 逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?-=?? ? ???+---= ? ? ? ???---=θ (b) 解：设EI=9，则 9m 9m 6m 3m 3m 2m 6m 2m 9-2 3 ,31,1====B E B D B C A B i i i i 12.01 41333331 316.01 41333331 436 .0141333333 3=?+?+?+??==?+?+?+??==?+?+?+??==B C B A B E B D μμμμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC B D B E 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩 0 0 0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 16.2 0 最后弯矩 3.6 7.2 5.4 61.2 -73.8 ()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?=?? ? ???---= ? ? ? ???---=θ 9-3 试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出M 图。 (a) 解：Ｂ为角位移节点 设EI=8,则1==B C A B i i ，5.0= =B C B A μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M B A ?=????=+= 488212 443222 2 m KN l M B C ?-=?+-=582621 892 结点力偶直接分配时不变号 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 48 -58 12 4m 4m 8m 2m 第十一章静不定结构 目录 第十一章静不定结构 (3) §11.1 静不定结构概述 (3) 一、基本构件 (3) 二、静不定结构 (3) §11.2 用力法解静不定结构 (4) 一、只有一个多余约束的情况 (4) 二、有多个多余约束情况 (5) §11.3 对称及反对称性质的利用 (7) §11.4 连续梁及三弯矩方程 (8) 第十一章 静不定结构 §11.1 静不定结构概述 一、 基本构件 1. 桁架：直杆通过铰节点连接，何载作用在节点上，每一杆件只承受拉伸或压缩。 2. 刚架：直杆通过刚节点连接，每一杆件可以承受拉伸、压缩、弯曲和扭转。 3. 连续梁：连续跨过若干支座的梁。 二、 静不定结构 1. 静不定结构：支座反力不能完全由静力平衡方程求出的结构。分外力静不定结构和内力静不定结构。 2. 几何（运动）不变结构：结构只存在由变形所引起的位移。 3. 多余约束：结构中超过使体系保持几何不变结构的最少约束的约束。 桁架（内力静不定结构） 刚架1（内力静不定结构） 连续梁（外力静不定结构） 维持结构几何不几何可变 多余约束 多余约束用 4. 静不定次数的判断：去掉多余约束使原结构变成静定结构，去掉多余约束的个数为静不定的次数。 多余约束 R R 解除一个活动铰，相当于解除一个约束；解除一连杆，相当于解除一个约束；解除单铰，相当解除两个约束 5. 基本静定系：解除静不定结构的某些约束后得到的静定结构。 6. 静不定结构的基本解法：力法和位移法。 §11.2 用力法解静不定结构 一、只有一个多余约束的情况 如图所示结构，求其约束反力 解：1. 将约束解除得到基本静定系 B 1X F R2F R2 力法求解超静定结构 的步骤： 第八章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 结构力学静定结构与超静定结构建筑类 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 1、静定与超静定结构的概念:无多余约束的几何不变体系是静定结构 静定结构：由静力平衡方程可求出所有内力和约束力的体系 有多余约束的几何不变体系是超静定结构 超静定结构：由静力平衡方程不能求出所有内力和约束力的体系. 瞬变体系不能作为结构:瞬变体系的主要特性为: 1.可发生微量位移,但不能继续运动 2.在变形位置上会产生很大内力 3.在原位置上,一般外力不能平衡 4.在特定荷载下,可以平衡,会产生静不定力 5.可产生初内力. 常变体系是一种机构而不是结构 2、静定结构的内力分析方法 几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力 求解一般原则：从几何组成入手，选择合适的隔 离体，使得一个隔离体上未知力的个数不超过三个，如果力系为平面汇交力系，则不应超过两个。一般按照几何组成的相反顺序分析。 一、单跨梁的内力分析 弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线，M图为斜直线。 2.均布荷载段(q=常数)，Q图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷载指向相同。 3.集中力作用处,Q图有突变，且突变量等于力值; M图有尖点,且指向与荷载相同。 4.集中力偶作用处，M图有突变，且突变量等于力偶值; Q图无变化。 内力计算的关键在于:正确区分基本 部分和附属部分. 熟练掌握单跨梁的 计算. 单体刚架(联合结构)的支座反力(约 束力)计算 方法:切断约束，取一个刚片为隔离 体，假定约束力的方向，由隔离体的平衡建立三个平衡方程。 四.刚架弯矩图的绘制做法:拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨梁相同的方法画弯矩图. 分段定点连线 六.由做出的剪力图作轴力图 做法: 逐个杆作轴力图,利用结点的平衡条件,由已知的杆端剪力和求杆端轴力,再由杆端轴力画轴力图.注意:轴力图画在杆件那一侧均可,必须注明符号和控制点竖标. 六、水平曲拐ABC 为圆截面杆，在C 段上方有一铅垂杆DK ，制造时DK 杆短了Δ。曲拐AB 和BC 段的抗扭刚度和抗弯刚度皆为GI P 和EI 。且EI GI P 5 4=。杆DK 的抗拉刚度为EA ，且252a EI EA =。试用能量法求解。（2010） （1）在AB 段杆的B 端加多大扭矩，才可使C 点刚好与D 点相接触？ （2）若C 、D 两点相接触后，用铰链将C 、D 两点连在一起，再逐渐撤除所加扭矩，求DK 杆内轴力和固定端处A 截面上的内力。〖20分〗 1，p B GI am 2=?，接触条件：?=?a ?，所以：22a GI m p B ? = 2，协调关系：?=+?c w l ，其中：EA a F l N ?=?，c w 由能量法求得： AB ：11,,,x M a T x F M a F T N N ==?== BC ：22,x M x F M N =?= EI a F EI a F EI a F GI a F dx EI M M dx EI M M dx GI T T w N N N p N a a a p c 2113382333320120120=++=++=??? 由?=+EI a F EA a F N N 2113，得到：38a EI F N ?= 固定端：3338,42,8a EI aF M a EI aF M a EI F F N x N y N Z ?==?==?= = 六、折杆ABC 位于同一平面内，受垂直于折杆平面作用于B 处的集中力P =10kN 。已知E =200GPa ，G =80GPa ，I = 400×103mm 4，Ip =2I ，用能量法求C 处的支反力和B 截面的竖直位移。〖20分〗（2009） 解：超静定，除C 处约束，加向上反力X 1。C 处加向上单位力 1， 列单位力作用的和P 作用时的内力方程： BC: : 0)(=x M ； x x M =)( （3分） AB: Px x M -=)(： x x M =)( （3分） 0)(=x T ； 8.0)(=x T （3分） mm GI x T x T dx EI x M x M p 3.12)()()()(11=?+?=??δ （2分） mm EI P dx EI x M x M P 3.2138.0)()(31=?-=?=?? （2分） 由正则方程： 01111=?+P X δ （2分） KN X P 74.11111=?-=δ （2分） B 截面的竖直位移：mm EI X P EI l X P AB P 6.1738.0)(3)(31311=?-=-=?（向下） （3分） （法二：可用除C 处约束，加反力F c ，用变形条件△c=0来求解F c 。） 六、如图所示平面刚架在B 处受弯矩0M 作用, 刚架EI 已知。试求C 处的垂直位移及转角。（不计轴力的影响）〖20分〗 （2010B ） 变形能：EI Rl M EI l R dx EI x Rl M dx EI x R dx EI x M dx EI x M V V V l l l l AB BC 2)(62)(22)(2)(20320222200121202220112-+=-+=+=+=????εεε ,0=??R V εl M R 430= 力法 思考题 1.超静定结构与静定结构在几何组成上有何区别？解法上有什么不同？ 2.力法中超静定结构的次数是如何确定的？ 3.力法方程及方程中各系数和自由项的物理意义是什么？ 4.应用力法计算时，对超静定结构作了什么假定？ 5.在超静定桁架和组合结构中，切开或撤去多余链杆的基本结构，两者的力法方程是否相同？ 6.举例说明用力法解超静定结构的步骤。 7.力法方程中为什么主系数必为正值，而副系数可为正值、负值或为零？ 8.如何判定结构是否为对称结构？在分析对称结构时，应如何简化计算？ 习题 1.试确定图示各结构的超静定次数。 题1图 2.试用力法计算图示超静定梁，并绘出内力图。 题2图 3.用力法计算图示连续梁，并绘弯矩图，EI为常量。 题3图 4.用力法计算图示刚架，并作出内力图。 题4图 5.用力法计算图示刚架，并作出内力图。 题5图 6.用力法计算图示刚架，并作出弯矩图。 题6图 7.试求图示超静定桁架各杆的内力。各杆EA均相同。 题7图 8.作图示结构中CD梁的弯矩图，各杆EI=常数，立柱AB截面面积A= 题8图 9.试用力法计算下列排架，作弯矩图。 题9图 10.利用对称性计算图示结构，绘出弯矩图。 题10图 位移法 思考题 1.用位移法计算结构时，为什么能够用结点位移作为基本未知量？ 2.举例说明用位移法解超静定结构的步骤。 3.为什么一个刚结点只有一个转角作为基本未知量？为什么铰处的转角不作 为基本未知量？ 4.位移法能否用于求解静定结构，为什么？ 习题 1.试确定图示各结构用位移法计算时的基本未知量数目。 题1图 2.用位移法计算图示刚架，并作出内力图。 题2图 3.用位移法计算图示刚架，并作出内力图。 一. 用力法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数 2. 理解力法原理 3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构） 4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构） 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构） （二）小结 1. 超静定结构、多余约束、超静定次数 （1）超静定结构 从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。 静定结构：几何不变，无多余约束。 超静定结构：几何不变，有多余约束。 （2）多余约束 多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。 （3）超静定次数 多余约束的个数是超静定次数。 判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。 2. 力法原理 力法是计算超静定结构最基本的方法 （1）将原结构变为基本结构 （2）位移条件： （3）建立力法方程 3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件 （3）力法方程 （3）绘弯矩图 4. 用力法计算超静定桁架和组合结构 注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。 例：超静定组合结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件 （3）力法方程 （4）绘弯矩图 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算 （1）温度变化时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 力法方程 （2）支座移动时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 二. 用位移法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移） 3. 掌握计算对称结构的简化方法 （二）小结 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。 位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微 2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构） 例：求连续梁的内力 解：（1）确定基本未知量及基本体系 1.关于∞点和∞线的下列四点结论： (1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。 (2) 不同方向上有不同的∞点。 (3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。 (4) 各有限远点都不在∞线上。 2.多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。 3.W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。W=0, 具备成为几何不变体系所要求 的最少约束数目。W<0， 体系具有多余约束。 4.一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。 两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。 5.二元体规律： 在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。 6.形成瞬铰（虚铰）的两链杆必须连接相同的两刚片。 7.w=s-n ，W=0,但布置不当几何可变。自由度W >0 时，体系一定是可变的。 但W ≤0仅是体系几何不变的必要条件。S=0,体系几何不变。 8..轴力FN --拉力为正； 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正； 弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正。 弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号； 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。 9.剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度q 的大小 ； 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 10. 梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积； 梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积。 () ()Q dM x dF x dx =22() ()()Q dF x d M x q y dx dx ==-FN+d FN F N FQ+dF Q F Q M M+d M d x d x ,, B A B A B A x NB NA x x x QB QA y x x B A Q x F F q dx F F q dx M M F dx =-=-=+? ? ? 建筑力学问题简答（七）超静定结构内 力计算 194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 195．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 197．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 198．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 200．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n 次超静定结构的力法方程 对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程： 00 22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 式中： δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δ 《结构力学》经典习题及详解 一、判断题（将判断结果填入括弧内，以√表示正确，以×表示错误。） 1．图示桁架结构中有3个杆件轴力为0 。（×） - 2．图示悬臂梁截面A的弯矩值是ql2。(×) l l 3．静定多跨梁中基本部分、附属部分的划分与所承受的荷载无关。（√） 4．一般来说静定多跨梁的计算是先计算基本部分后计算附属部分。（×） 5．用平衡条件能求出全部内力的结构是静定结构。（√） 6．求桁架内力时截面法所截取的隔离体包含两个或两个以上的结点。（√） 7．超静定结构的力法基本结构不是唯一的。（√） 8．在桁架结构中，杆件内力不是只有轴力。（×） " 9．超静定结构由于支座位移可以产生内力。（√） 10．超静定结构的内力与材料的性质无关。（×） 11．力法典型方程的等号右端项不一定为0。（√） 12．计算超静定结构的位移时，虚设力状态可以在力法的基本结构上设。（√） 13．用力矩分配法计算结构时，汇交于每一结点各杆端分配系数总和为1，则表明分配系数的计算无错误。（×） 14．力矩分配法适用于所有超静定结构的计算。（×） 15．当AB 杆件刚度系数i S AB 3 时，杆件的B 端为定向支座。 (×) ? 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号填在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分。） 1．图示简支梁中间截面的弯矩为（ A ） q l A ． 82ql B ． 42ql C ． 22 ql D ． 2ql 2．超静定结构在荷载作用下产生的内力与刚度（B ） 【 A ． 无关 B ． 相对值有关 C ． 绝对值有关 D ． 相对值绝对值都有关 3．超静定结构的超静定次数等于结构中（B ） A ．约束的数目 B ．多余约束的数目 C ．结点数 D ．杆件数 4．力法典型方程是根据以下哪个条件得到的（C ）。 A ．结构的平衡条件 B ．结构的物理条件 C ．多余约束处的位移协调条件 D ．同时满足A 、B 两个条件 、 5． 图示对称结构作用反对称荷载，杆件EI 为常量，利用对称性简化后的一半结构为（A ）。 第十二章 超静定结构总论 ?基本解法的分类和比较 ?基本解法的推广和联合应用 ?混合法与近似法 ?超静定结构的特性 ?关于计算简图的补充讨论 §12-1 超静定结构解法的分类和比较 力法类型 位移法类型基本形式力法位移法能量形式余能法势能法 渐近形式（渐近力法）力矩分配法、无剪力分配法 手算电算 矩阵形式 （矩阵力法） 矩阵位移法 说明：手算时，凡是多余约束多、结点位移少的结构用位移法； 反之用力法。 结构形式 适宜的方法 超静定桁架、超静定拱力法连续梁、无侧移刚架 力矩分配法 有侧移刚架 位移法、无剪力分配法、联合法 基本解法的合理应用 一、力法中采用超静定结构的基本体系 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ X 1 画M 1、M P 有现成的公式可用 二、位移法中采用复杂单元 只需推导复杂单元的刚度方程，整体分析按常规步骤进行。 变截面单元 变截面单元 单拱单元 三、几种方法的联合应用（各取所长） 4I 4I 5I 3I 3I A B C D E F ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m 4I 4I 5I 3I 3I A B C D E F ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m 4I 4I 5I 3I 3I A B C D E Δ=1 例题12-10 试用联合法求图示刚架的弯矩图。 F 1P k 11 用力矩分配法，并求出F 1P 、k 110 1111=+?P F k 再用叠加法，作M 图。 再建立位移法方程 例、联合应用力矩分配法与位移法求等截面连续梁结构的弯矩图。 8m 4m 4m 4m 4m 2m A B E C F D G 20kN/m 100kN 20kN [分析]图示结构中E 点处有竖向线位移，故不能直接应用力矩分 配法，可利用位移法与力矩分配法联合进行计算。选E 点竖向线位移为位移法基本未知量，B 、C 点角位移用力矩分配法计算。 解：（1）取E 点竖向线位移为位移法基本未知量 k F P 11110 ?+=典型方程为： 14.常见问题解答6超静定结构内力计算静 定结构的内力与材料的性质无关 建筑力学常见问题解答 6 超静定结构內力计算 1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 2．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即 为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： 去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。答：n 次超静定结构的力法方程力法求解超静定结构的步骤
结构力学(静定结构内力)练习题
《结构力学习题集》(上)超静定结构计算――力法1(精)
结构力学 静定结构的受力分析
(整理)力法求解超静定结构的步骤：.
《结构力学习题集》(上)第四章超静定结构计算——力法
同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概念分析习题答案
材料力学11-第十一章静不定结构解析
最新力法求解超静定结构的步骤：
结构力学静定结构与超静定结构建筑类
第十四章 静不定系统习题集1
工程力学习题集(三)
超静定计算
结构力学知识点总结
建筑力学问题简答(七)超静定结构内力计算
《结构力学》典型习题与解答
10超静定结构总论结构力学分析
14.常见问题解答6超静定结构内力计算 静定结构的内力与材料的性质无关
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